Corrigé Centrale (Maths I - PSI)

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1 Corrigé Cerale - Mahs I - PSI Fraçois Jaboeuf - PSI* - Joffre-MONTPELLIER avril I.A Quesio I.A : PARTIE I O recoaî le lemme de Lebesgue do la démosraio es ici simplifiée car f es C : ue iégraio par paries doe la coclusio cherchée : b cosx f six d [f a x ] b a + b x a f cosx d x fa cosax fb cosbx + b a f cosx d. L expressio e faceur de x das le derier membre es visibleme borée par rappor à x. D où le résula : b x + a f six d I.B Quesio I.B : I.B. La focio si si es coiue sur ], ] e même coiue par morceaux sur [, si ] puisque si si e si. Ceci assure l exisece de l iégrale ordiaire J. I.B. O a claireme J ; J ; J cos d. Puis la formule rigoomérique : si3 3 si 4 si 3 codui à : J si d 3 4 cos d e fialeme J 3. I.B.3 De si si cos si, o ire pour : J J E cosidéra la parié de o obie : cos d si J J J J J si es impair si es impair. Puis par récurrece immédiae : si es pair J k k k si es pair e o ul I.B.4 De si si cos si, o ire pour : J J cos d. E comme cos la focio f : cos es C sur l iervalle [, ], le lemme de Lebesgue de la quesio I.A s applique la démosraio de I.A es aalogue e remplaça six par cosx ou bie le chageme de variable u das la derière iégrale

2 remplace cos par + si u. E subsiua à la variable x la suie x de ie + o a la ie cherchée : J J. D où, puisque la suie J es cosae, J e compe eu des résulas du I.B.3, après glisseme de l idice k de, o rerouve la formule demadée habiuelleme déduie du développeme e série eière de la focio Aa : I.C Quesio I.C : I.C. la focio si si + 4 k k k + es coiue e ou poi o muliple de e coiue par morceaux sur [, a] puisque si k es l u des muliples e ombre fii de das l iervalle [, a], k si si k siu + k u k u e siu + k u k u. Ceci assure l exisece de l iégrale ordiaire demadée. I.C. O sai déja que f es C sur ], a] comme fracio e x e six do le déomiaeur e s aulle pas. Le problème à résoudre es doc le prologeme C e. Sacha que l o a les développemes e série eière : six + xk x k k k+! e six x x + xk six x k k k+!. Le uméraeur x es doc prologeable par e e ce prologeme, développable e série eière es C sur R ; de même le déomiaeur six x adme u prologeme par e qui es C sur R. Fialeme comme o a posé f, f coïcide sur l iervalle [, a] avec le quoie des deux prologemes C do le déomiaeur e s aulle pas, i e il vau, i sur l iervalle ], a] où il vau six e f es bie C sur [, a]. x I.C.3 Chacue des deux iégrales exisa d après I.C., o peu écrire : a si d a si si d a sif d où f es la focio de la quesio précédee. Comme f es C sur [, a], le a si a si lemme de Lebesgue de la quesio I.A. doe : d si d. I.C.4 er Cas : a D après I.B.4 e I.C.3. a si d. ème Cas : < a < Par la relaio de Chasles : a si d si d si d a e compe eu du er cas e de I.A la focio es C sur l iervalle [a, ], o obie la même ie : a 3ème Cas : a > si d. De même a si d si d + a si es C sur l iervalle [, a], o obie la même ie : I.D Quesio I.D : d e compe eu du er cas e de I.A la focio a si d. F si d siu du par le chageme de variable affie u e d après I.C.4, u F. Pour x +, soi E x + car > x x + de elle sore que par la relaio de Chasles : F x F + x si x si d e x + d puisqu o a la majoraio x si d x si d + si d si car sur l iervalle [, + ]. D où la ie cherchée : x + F x. mcsc.ex - page

3 I.E Quesio I.E : L applicaio si l es, c es-à-dire, si, e seuleme si, k k+ k si d k Mais la série de erme gééral posiif k+ si es C par morceaux sur [, + [; elle es iégrable sur ce iervalle si, e seuleme si, si si d exise. Or par la relaio de Chasles o peu écrire : si u+k. D où la coclusio demadée : es pas iégrable sur ], + [. II.A Quesio II.A : du par les chagemes de variable affies : u+k e posiivié de u+k du es divergee puisqu o a la mioraio : u+k du k+ PARTIE II u+k d sur [, ]. du L applicaio si es C par morceaux sur [, + [ cf. I.C. ; elle es iégrable sur ce iervalle car domiée, quad +, par avec. II.B Quesio II.B : Iégros I par paries après ous êre assurés que la parie iégrée es bie covergee : I si d [ si ] + + si d, e [ si ] + puisque si O +. Puis par le chageme de variable affie u, o obie : I II.C Quesio II.C : u du I. e si Sur [, ], si es sriceme cocave doc so graphe es sriceme e dessous de la agee e y pour > e pour > o a claireme si < <. E compe-eu de la parié du sius : R, si <. La suie de focios si, C e iégrables sur R si < + es domiée par la focio ϕ : qui es si < visibleme C e iégrable sur R +. Aisi e le héorème de covergece domiée s applique : o peu permuer l iégrale e la ie : II.D Quesio II.D : I. si Par srice posiivié des iégrales des focios coiues, o a claireme I > pour pair. O a vu que I > e pour impair 3, d après II.A o peu écrire : N I si k+ N + d si k k d relaio de Chasles e comme au I.E par les chagemes affies de variable : u + k, I k k u+k du k k u+k du impair. Or la suie u+k u+k e de ie ulle k N car < u+k du k du k. La série précédee do la somme es I es alerée e relève de la règle de Leibiz. No seuleme elle coverge ce qu o savai déjà mais sa somme I es du sige du premier erme : u du k N es posiive e décroisssae car c es le cas de la suie du >. Fialeme N, I >. III.A Quesio III.A : Calculos les premiers ermes : g si ; g cos si ; mcsc.ex - page 3 PARTIE III

4 g si cos si si cos. Supposos par récurrece sur k k qu il exise u polyôme P k el que R +, g,k si k P k cos, alors : R +, g,k+ kcos P k cos si k si k+ P k cos si k [ kcos P k cos cos P k. cos ] Aisi la suie de polyômes P k k défiie par : P ; P X; k [, ], P k+ kxp k X P k covie. Fialeme R +, h,k si k Pk cos, e les focios h,k k so C sur R + cf. I.C. pour le problème e e so domiées par car P k cos es borée sur R e k, doc iégrables e +. III.B Quesio III.B : Pour, il y a qu ue seule valeur possible pour k k e pour > e k 3, opéros ue iégraio par paries do la parie iégrée coverge : k! [ ] + + k g k d k! k + g k + k! k+ g k+ d. Mais d après III.A, k + g k si k Pk cos, doc : k + g k O quad e k + g k O quad + pour k 3, e même pour k cf III.C. + k Fialeme o a bie k! h,k d k! h,k+ d, ce qui prouve l idépedace par rappor à k varia de à - de k! h,k d h, d. III.C Quesio III.C : Pour k, cela découle de l iégrabilié éablie III.A, e pour k, de la covergece de la parie iégrée de la quesio précédeeavec k- e de l exisece de l iégrale du premier membre ; o obie aisi h, d h, d, e doc compe-eu du III.B : III.D Quesio III.D : k.. }, k! De la défiiio de h,, de I e de III.C avec k o dédui : I III.E Quesio III.E : III.E. h, d h,k d +! g d h, d Il s agi de la liéarisaio des puissaces eières de si ei e i i : 4 p si p p e i e i p p p k k Cp k ep ki p p C p p + p k k Cp k cosp k e isola le erme réel où kp e e regroupa les ermes cojugués associés à k e p-k p C p p + k C p k cosk e chagea k e p-k k p De même : 4 p si p+ p i ei e i p+ p p+ i k k Cp+ k ep k+i p k p+k Cp+ k sip k + e regroupa les ermes cojugués associés à k e p+-k p k C p k sik + e chagea k e p-k k p+ mcsc.ex - page 4

5 III.E. d Sacha que d cosα α cosα + α p! cosα si es pair + siα si es impair siα si es pair e que de même d d siα α siα + α, cosα si es impair o obie compe-eu de la quesio précédee : g p p p 4 p k k C p k p kp p sik g p p+ p 4 p k k C p k p+ k +. p p sik + Puis d après III.D, o obie les formules suivaes où oues les iégrales exise o a même par chageme de variable affie u k, sik d siu du I u p Ip 4 p p! k k C p k p kp p + sik p d p! k p+k C p k p kp I I p+ p 4 p p! k k C p k p+ k + p p + sik+ d p p! k p+k C p k p+ k +. p I p E puisque I : I p p! k p+k C p k p kp p I p+ k p+k C p k p+ k +. Les cas p, p doe : p IV.A Quesio IV.A : I C ; I 3 C C ; I 4 C 4 + C4 3 3 PARTIE IV si x La focio + es C sur R +, domiée par doc iégrable e + e équivalee e à x x, doc C par morceaux sur R +. Fialeme elle es bie iégrable sur R + e l iégrale proposée exise même si. IV.B Quesio IV.B : si x Soi. L applicaio φ : x, +, par composiios e quoie de focios C, es C sur R + R + e domiée par x b + puisque six x e doc, si o se resrei à x b, avec b >, par + focio C e iégrable sur R +. De même la dérivée parielle x, cosxsi x xφx, + es C sur [, b] R +, domiée par b qui es C e iégrable sur R + +. Efi cf les calculs du III.A, x, φx, [cos x ]si x es x + C sur [, b] R +b +, domiée par car qui es C e iégrable sur R + +. Il découle alors du héorème si x + d es de classe C sur ou de dérivaio sous l iégrale avec hypohèses de domiaio que x A x segme [, b], b > e doc sur R + e que : x R +, A x cosxsi x + d, A x [cos x ]si x + Pour, la démosraio précédee s applique pour la dérivée première mais pas pour la secode car < ; e effe si x x φx, + e la majoraio précédee es plus valable; A sera déermiée au D. Pour, A x + d es ue cosae. Remarquos égaleme que A x exise pour ou réel x e qu alors A à la parié de. Pour, e x > ous avos doc : A x A x A x [cos x ]si x si x si x d + +si x + d si x d x + x I u du chg de variable u x, avec x > Cee relaio es ecore vérifiée pour x, puisqu alors le secod membre si x d es ul comme x I. A vérifie doc sur R + l équaio différeielle E pour. Remarquos que le sige de x iervie das les bores de l iégrale lors du derier chageme de variable e que l équaio différeielle vérifiée par A sur R es pas exaceme la même - il faudrai chager x I e + x I mcsc.ex - page 5 d

6 IV.C Quesio IV.C : IV.C. E s écri : y 4y A x 4xI 4xI. Cherchos ue soluio pariculière de cee équaio différeielle liéaire du secod ordre à coefficies cosas e avec secod membre biômial sous la forme d u biôme ax + b puisque es pas soluio de l équaio caracérisique r 4r. 4ax + b 4xI es vérifiée pour a I e b 4 e la soluio géérale de l équaio E s écri : y I x 4 + αex + βe x. IV.C. O sai que A es soluio de E sur R + e caracérisée par les codiios iiiales A e A cf calculs α + β de IV.B ; d où les valeurs de α e β doa A so les soluios du sysème : 4. Fialeme o obie α β I α 4 I e β 4 + I d où sur R+ : IV.C.3 A x I x I e x I e x D après les domiaios déja recorées au IV.B : A x x + + d x O x + x. Aisi das l expressio de A x le coefficie α 4 I de e x es ul sio A x x + αex e saurai êre domié par x. D où : I e x R +, A x 4 e x + x IV.D Quesio IV.D : cosx d e pour : A + x cosx d A + x d dx A x. D où puisque A A e compe-eu du résula de IV.C.3 : D après les résulas du IV.A, das le cas, o obie : A x x R +, A x A x e x IV.E Quesio IV.E : Raisoos de même qu au IV.C. pour déermier I 3 e A 3 :. E 3 : y 9y 6A x 9x I 3 3 9x I 3 3e x e l équaio caracérisique associée es r 9.. La focio I 3 x + I e x es ue soluio pariculière de E La soluio géérale de E 3 s écri doc : y I 3 x + I e x + αe 3x + βe 3x 4. Sur R +, A 3 es la soluio de E 3 qui vérifie les codiios iiiales cf calculs du IV.B : A 3 A 3 ce qui codui au sysème : α + β α β 8 4 I3 9. D où α 4 I3 9, β I Aisi o obie x R +, A 3 x I 3 x + I e x + 4 I3 9 e 3x + I O a oujours la majoraio : A 3 x x3 O x + x3, d où α 4 I Fialeme : I e x R +, A 3 x e 3x + 3e x + 3x 8 e 3x. mcsc.ex - page 6

7 IV.F Quesio IV.F : La formule demadée avec les coraies de degré e de parié es icorrece les cas,, 3... e so des core-exemples. Il covie de supprimer le erme e x siué deva Q e x. Démoros la formule aisi corrigée A x Q e x + R x avec degrér, degréq, R e Q aya les pariés respecives de, par récurrece sur. Pour, d après IV.D Q X X e R coviee. Pour, d après IV.C Q X 4 X e R X coviee. Pour 3, d après IV.E Q 3 X 8 X3 3X e R 3 8 3X coviee. Mais la quesio sur le degré de Q es assez délicae e écessie u raieme à par, voire des résulas iermédiaires à éablir cee difficulé a--elle éé vraime voulue par le cocepeur du suje?. Nous procéderos doc e deux éapes :. Démosraio de la formule demadée mais avec la codiio degq au lieu de degq.. Calcul explicie de Q e mise e évidece que so degré es bie. ère éape : L iiialisaio aux rags,, 3, a éé vérifiée plus hau e remarquos que l o peu l éedre au rag e posa A x Q e x β, e R x. Supposos maiea que la propriéé demadée avec degq soi vérifiée au rag e écrivos A x Q e x + R x k k+ pair β,k e kx + R x. L équaio E s écri alors : y y k β,k e kx + R x x I. k+ pair La echique de superposiio des soluios ous perme de chercher ue soluio pariculière sous la forme P e x + R x où. P e x k k k+ pair β,k e kx es soluio de y y. R x soluio de y y R x x I. k k+ pair β,k e kx Remarquos que ce derier secod membre es u polyôme e x de degré compe-eu de l hypohèse de récurrece e du fai que I cf II.D. Das l espace vecoriel de dimesio fiie des polyômes de degré au plus, l applicaio liéaire y y y es u auomorphisme par exemple sa marice das la base caoique es rigoale e a pour coefficies diagoaux la seule valeur propre ; O peu doc predre pour R x u polyôme de degré -, so coefficie domia éa d ailleurs I. De plus y e y aya le même parié, l applicaio y y y laisse sable les deux sous-espaces supplémeairs formés des polyômes pairs respeciveme impairs de degré au plus e idui doc pour des raisos de dimesio u isomorphisme sur chacu de ses espaces. Comme le secod membre à la parié de par cosrucio e hypohèse de récurrece, o e dédui que R a bie la parié de. Fialeme o peu écrire la soluio A sur R + sous la forme : A x P e x + R x + αe x + βe x Mais comme au IV.E, o a la majoraio A x x O x + x e doc α sio A x coradicoire avec la majoraio précédee. Soi le résula voulu : x R +, A x βe x + k k k+ pair β,k e kx + R x Q e x + R x où Q X βx + k k k+ pair β,k X k x + αex ce qui es Les polyômes Q e R coviee visibleme, mais remarquos qu à ce sade le coefficie β es pas cou e o e peu pas affirmer que le degré de Q soi exaceme. Coforméme à la oaio géérale o pose désormais β, β. ème éape : O sai d après les calculs du IV.B que pour, A A e doc que Q + R Q + R, mais compe-eu de la parié de R o a : R p e R p+, d où : Q p Q p+, e doc selo l écriure géérale des coefficies des polyômes A : p p, β p,p β p,k e β p+,p+ p k + β p+,k+ p + k Par ailleurs l expressio de Q vue à la première éape doe les relaios de récurrece suivaes e disigua les cas pair p e impair p + 3 : p k +, β p,k pp 4k pk+p β pp+ p,k e β p+,k+ 4k pk+p+ β p,k+ O obie immédiaeme par récurrece sur p k + : k mcsc.ex - page 7

8 β p,k p rk+ rr k rk+r 4 k p β k,k p! k! k! p k!p+k! 4k p β k,k β p,k 4 k p C p k p β k,k e p rr+ β p+,k+ rk+ k rk+r+ 4 k p β k+,k+ p+! k+! k+! p k!p+k+! 4k p β k+,k+ β p+,k+ 4 k p C p k p+ β k+,k+ Aisi ous les coefficies du polyôme Q so cous dès que les coefficies β k,k k le so ; e ce so juseme ceux do o doi morer la o ullié! Au vu des premiers coefficies : β,, β, 4, β 3,3 8 o peu raisoableme cojecurer que :, β, Efi remarquos le cas pariculier de β, qui e rere pas das la forme précédee. Nous allos démorer cee formule par récurrece sur p e disigua les cas pair p e impair p+. Cas p La formule es vérifiée au rag p e supposos qu elle le soi jusqu au rag p, alors d après les relaios éablies ci-dessus : β p,p p k β p,k p k 4k p C p k p β k,k e compe-eu de l hypohèse de récurrece e disigua le cas k p k 4k p C p k p 4 p C p k p p p k p k C p k p + p C p p p p k k C k p + p C p p e chagea k e p-k e chagea k e p-k, sacha que C p k p Cp k k Cp k + p C p p par demi-somme des deux deriers résulas k k Cp k p p kp+ k C k p + p C p p p p+ k k p p+ p k k C k p p+ p p car p k k C k p p pour p Ce qui achève la récurrece e o peu écrire : p p : β p,p 4 e Q px p k C p k p 4 p p Xk + p k Cas p+ O procède de même : La formule es vérifiée au rag p e supposos qu elle le soi jusqu au rag p, alors d après les relaios éablies ci-dessus : β p+,p+ p+ p k k + β p+,k+ p+ e compe-eu de l hypohèse de récurrece p+ p+ p+ p p k 4k p k + C p k p+ k+ p+ k p k k + C p k C p p p k k + 4k p C p k p+ β k+,k+ p+ p+ p k k p k + C k p+ e chagea k e p-k p+ p+ p+ p+ p+ p+ p p kp+ k+ p + k C k p+ e chagea k e p+-k k k p k + Cp+ k par demi-somme des deux deriers résulas p+ k k p + kcp+ k p + p + p+ car p+ k k p + Cp+ k p + p+ e kcp+ k p + Cp k doc p+ k k kcp+ k p+ k k p + Cp k p + p Ce qui achève la récurrece e o peu écrire : p : β p+,p+ p+ e Q p+x p+ k p p+ k C p k p+ Xk+ Bous : u pei programme e Maple pour déermier les valeurs de I N+ e de A x N+ e sa réalisaio pour N4 : mcsc.ex - page 8

9 y:diffyx,x,x: eq:y-^*yx*-*a-^*x^-*j: B:Pi/: C:Pi/-Pi/*exp-x: s:jpi/: s:ab,ac: for p from o N do eqpair:subs*p,ab},eq; eqimpair:subs*p+,ac},eq; coverdsolveeqpair,y,dy},yx,exp: expad%: solde:combie%,exp: sold:collecsolde,exp*p*x,simplify; sorsold,exp*p*x; alpha:op[,,],sold; k:solvealpha: sol:subsjk,sold; B:subssol,yx: s:s,j*pk: B:subsexpx/X,expadB: sorb,[x,x],plex; Q:coeffB,x,: R:B-Q: l:lcoeffq,x: Q:expadQ/l: s:s,a*pl*combiesubsxexp-x,q,exp+r: coverdsolveeqimpair,y,dy},yx,exp: expad%: solde:combie%,exp: sold:collecsolde,exp*p+*x,simplify; sorsold,exp*p+*x; alpha:op[,,],sold; k:solvealpha: sol:subsjk,sold; C:subssol,yx: s:s,j*p+k: C:subsexpx/X,expadC: sorc,[x,x],plex; R:coeffC,X,: Q:C-R: l:lcoeffq,x: Q:expadQ/l: s:s,a*p+l*combiesubsxexp-x,q,exp+r: od: s; s; E les résulas pour N 4 : e I, I, I 3 3 8, I 4 3, I I 6 4, I , I , I A, A e x, A 4 e x + x, A 3 8 e 3 x 3 e x x 4, A 4 6 e 4 x 4 e x x3 4 x, A 5 3 e 5 x 5 e 3 x + e x x4 5 3 x + 3 6, A 6 64 e 6 x 6 e 4 x + 5 e x + 4 x5 8 x x, A 7 8 e 7 x 7 e 5 x + e 3 x 35 e x x x x 5 3, A 8 56 e 8 x 8 e 6 x + 8 e 4 x 56 e x x7 x5 + x3 5 3 x, A 9 5 e 9 x 9 e 7 x + 36 e 5 x 84 e 3 x + 6 e x x x x x ************************************* mcsc.ex - page 9