Licence Science de la Mer et de l Environnement. Physique Générale

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1 Licence Science de la er e de l Enironnemen Physique Générale Chaire 9 :Dilaaion des gaz Raels mahémaiques : les dériées arielles Quand une foncion déend de lusieurs ariables, ar exemle f( x, x2, x3,... xn) la différenielle oale es donnée ar : df dx x x x xn Où les son les dériées arielles de la foncion f ar raor à la ariable x i, les aures x i ariables éan considérées comme des consanes. Exemle : Variaion du olume d un cylindre de rayon r e de haueur h Le olume es donné ar la formule : V πr 2h aec : dv V dr+ V dh r h V 2πrh r e V π r h 2 D où dv 2π rhdr+ πr 2dh 2 Echauffemen d un gaz-loi de Gay-Lussac En coordonnées de Claeyron, on rerésene deux isohermes aux eméraures e. 2 3

2 es le racé à ression consane es le racé à olume consan 2. Coefficien de dilaaion hermique à ression consane Soi le olume à C, e le olume à la eméraure. Le coefficien de dilaaion hermique du gaz à ression consaneα quand la eméraure asse de C à C, ar degré es donnée ar : α De même enre e, on eu écrire : Si ' + Δ e ' + Δ, alors : α ' ' ' α + Δ Δ Δ Le cas limie lorsque Δ sera : ( ) α ( ) es la dériée arielle du olume ar raor à la eméraure, la ression, l aure ariable resan consane. En hermodynamique, on indique la ou les ariables resan consanes, ce qui ne se fai as en général en mahémaiques, comme nous l aons u au aragrahe récéden. 2.2 Coefficien de dilaaion hermique à olume consan Soi la ression à C, e la ression à la eméraure. Le coefficien de dilaaion hermique du gaz à olume consan quand la eméraure asse de C à C, ar degré es donnée ar : α De même enre e, on eu écrire : Si ' ' ' ' + Δ e ' + Δ, alors : Δ + Δ Δ Le cas limie lorsque Δ sera : 2

3 es la dériée arielle de la ression ar raor à la eméraure, le olume l aure ariable resan consane. 2.3 Loi de Gay-Lussac Les coefficiens de dilaaion hermique à olume consan: α e à ression consane : son égaux e alen : α 273 Cee loi es d auan lus raie que la ression es faible. 3 Inerréaion grahique des coefficiens α e Ce On race deux isohermes à e. qui dans ce ye de diagramme son aroximaiemen des droies. α On mulilie numéraeur e dénominaeur ar, ce qui donne : α es l ordonnée de, donc : De même : 3

4 Donc : α, α rerésene sur le grahique l échauffemen à ression consane. La droie O es l échauffemen à Ce donc : On mulilie numéraeur e dénominaeur ar, ce qui donne : ' e Donc : Lorsque la ression deien roche de zéro, la relaion deien : O Si les gaz son arfais, les droies son arallèles à l axe des ressions. Si les gaz ne son as arfais, les droies ne son as arallèles, e α. basse ression, les isohermes son une ene négaie, donc : > donc : α > Exemle : une ression de Torr (mm de mercure) 5α 5 α O 2 367,49 367,39 272,2 272,9 CO 2 374,9 372,4 267,34 268,52 Conrairemen aux aures gaz, l hydrogène e l hélium on une ene osiie donc : α < Ce 4

5 4 Loi limie de Gay-Lussac Lorsque la ression end ers zéro, le oin e les oins,,, Donc, e Ce qui fai que aux faibles ressions, ε ε, ,5 5 Echelle des gaz arafais ux basses ressions, ous les gaz enden ers une même limie aelée l éa arfai. En raique, c es celui où les dimensions moléculaires consiuan le gaz son négligeables ar raor aux disances moyennes enre molécules. On eu donc uiliser un gaz quelconque our définir l échelle Celcius. D où + ) aec ( 273,5 6 Echelle des eméraures absolues Nous enons de oir que ( + ). Nous ouons ré-écrire cee relaion sous la forme : ( + ) Si on ose : T , 5, on obien : T La ression éan oujours osiie, il fau que T le soi aussi. En conséquence, la eméraure en degrés Celcius, ne eu as êre inférieure à 273, 5 qui es le zéro absolu. C C 5

6 Nous aons u que à la eméraure : + ), ( que l on eu ré-écrire : On en dédui De même à C, on aura : En faisan le raor de ces deux dernières relaions, on obien : Sur la figure récédene, on oi que : D où, Lorsque Que l on ré-écri : Nous aons u au aragrahe 3 que :, O or our un gaz arfai Donc à C,, on en dédui : O O De même à la eméraure, O Que l on eu ré-écrire : O O O O O ( + ) O O ( + ) Or nous aons osé : T+ Donc : O O T Pour la glace, donc T 273, 5 OO T T On eu écrire : O O r T T Les coordonnées à l origine O son roorionnelles aux eméraures absolues. Or O e O rt D où la relaion rt La consane r ne déend que de la quanié de gaz, as de sa naure 6

7 7 yohèse d bogadro bogadro a fai l hyohèse suiane : Des olumes égaux de gaz mesurés dans les mêmes condiions de eméraure e de ression coniennen le même nombre de molécules ; Le olume molaire, es la quanié de molécules occuan un olume de 22,4 lires dans les condiions habiuelles de eméraure e de ression : N6,23.23 Pour une mole, la relaion rt deien RT aec R8,35 Joules Pour n moles, nrt 7