I. La numération décimale

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Samuel Éthier
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ISN Codage biaire et quatité d iformatios I. La umératio décimale Das le système décimal, o utilise 10 chiffres :..Le système décimal est doc u système de umératio de base 10.

1 ISN Codage biaire et quatité d iformatios I. La umératio décimale Das le système décimal, o utilise 10 chiffres :..Le système décimal est doc u système de umératio de base 10. Aisi les ombres se décomposet e ue somme de facteurs de 10, c'est-à-dire e uités, dizaies, cetaies, milliers, millios,. Tout ombre etier aturel p se décompose de faço uique sous la forme : pa 10 a a 10 a10 a avec où et a, a,..., a, a, a 0;1;2;...;8; O appelle cette écriture ue décompositio e base 10 de p. La suite aa 1... aaa 2 1 0est appelée écriture décimale de p. O ote aa... aaa Exemple Le ombre 4138 peut s écrire : E partat de la droite : - Le 1 er chiffre (de rag 0) correspod aux uités : 10 0 =1 - Le 2ème chiffre (de rag 1) correspod aux dizaies :.. - Le 3ème chiffre (de rag 2) correspod aux : - La positio (ou rag) de chaque chiffre das le ombre est importate, elle défiit le "poids" du chiffre das le ombre. Le chiffre de poids le plus fort correspod à celui dot la puissace de 10 est la plus grade (chiffre le plus à ) Le chiffre de poids le plus faible correspod à celui dot la puissace de 10 est la plus petite (chiffre le plus à ) Chiffre de poids le + fort Chiffre de poids le + faible Exercice : (10) =.

Vu de l'extérieur, u ordiateur permet de stocker, trasformer, traiter et trasmettre de l iformatio aussi variée que des ombres, du texte, des images, des sos.

2 Vu de l'extérieur, u ordiateur permet de stocker, trasformer, traiter et trasmettre de l iformatio aussi variée que des ombres, du texte, des images, des sos.et das des domaies comme l igéierie, le calcul scietifique, les bases de doées, la fiace. Cepedat, les seules doées qu'il peut maipuler sot 0 ou 1. E effet, la mémoire des ordiateurs est costituée d'ue multitude de petits circuits électroiques élémetaires : des trasistors. U trasistor foctioe comme u robiet. Le courat passe (1) ou e passe pas (0) selo la tesio e B, comme l eau coule ou pas selo la positio du levier. Aisi u trasistor e peut être que das deux états: 0 (absece de tesio) et 1 (présece de tesio). Ces valeurs sot appelées boolées ou chiffres biaires ou bits (BIary digit). Il est doc écessaire de mettre l'iformatio sous cette forme: c est la phase de codage, préalable et écessaire à tout traitemet de l'iformatio. II. Le codage biaire Das le système biaire, o utilise 2 chiffres :..Le système biaire est doc u système de umératio de base 2. Aisi les ombres codés e biaires se décomposet (e décimal) e ue somme de facteurs de 2. Tout ombre etier aturel p se décompose de faço uique sous la forme : p a 2 a 2... a 2 a 2 a avec et a, a,..., a, a, a 0; O appelle cette écriture ue décompositio e base 2 de p. La suite aa 1... aaa 2 1 0est appelée écriture biaire de p. O ote aa... aaa Exemple de coversio de la base 2 vers la base 10 Le ombre biaire correspod (e décimal) à : =. E partat de la droite : - Le 1 er bit (de rag 0) correspod aux uités : 2 0 =1 - Le 2ème bit (de rag 1) correspod aux deuzaies :.. - Le 3ème bit (de rag 2) correspod aux quatraies :.. - Attetio, l'ordre des bits est importat; leur positio défiit le "poids" du bit das le ombre. Le bit de poids le plus fort correspod à celui dot la puissace de 2 est la plus grade Le bit de poids le plus faible correspod à celui dot la puissace de 2 est la plus petite bit de poids le + fort bit de poids le + faible

Exercice 0 Compléter : 2 0 = ; 2 1 = ; 2 2 = ; 2 3 = ; 2 4 = ; 2 5 = 2 6 = ; 2 7 = ; 2 8 = ; 2 9 = ; 2 10 = ; 2 11 = Exercice 1 1) Exprimez e décimal les ombres suivats : a) 0 2 b) 1 2 b c) 100 2 d)

3 Exercice 0 Compléter : 2 0 = ; 2 1 = ; 2 2 = ; 2 3 = ; 2 4 = ; 2 5 = 2 6 = ; 2 7 = ; 2 8 = ; 2 9 = ; 2 10 = ; 2 11 = Exercice 1 1) Exprimez e décimal les ombres suivats : a) 0 2 b) 1 2 b c) d) 11 2 e) f) g) h) ) Quelle heure est-il? 3) Vous pouvez maiteat compredre cette excellete blague d iformaticie : «Il y a 10 sortes de ges sur terre : ceux qui compreet le codage biaire et les autres.» Exercice 3 Trouver la représetatio e base 10 des ombres et C est e qu a été démotré le théorème fodametal de l iformatique. Exprimer cette aée e base dix. Exercice 4 Compléter l'écriture e base 2 les etiers etre 0 et 15: Base Base Base Base 2 Exercice 4 Quel est le plus grad etier aturel représetable sur 4 bits?.sur 8 bits?.. Coversio de la base 10 vers la base 2 2 Il s'agit doc de faire des divisios successives par 2, jusqu'à obteir u quotiet égal à 1. Le derier quotiet et les restes, otés das l'ordre iverse, doet l'écriture biaire du ombre.

Algorithme pour écrire u ombre etier e biaire variable : est u etier o ul Etrer Tat que 0 Si est pair, afficher à droite "0" Sio, afficher à droite "1" Affecter à le quotiet etier 2 Exercice 5

4 Algorithme pour écrire u ombre etier e biaire variable : est u etier o ul Etrer Tat que 0 Si est pair, afficher à droite "0" Sio, afficher à droite "1" Affecter à le quotiet etier 2 Exercice 5 Détermier la représetatio biaire des ombres 57 et 25. O trouve sur Iteret de ombreux outils permettat de covertir d u système vers l autre. A savoir : pour saisir e ombre écrit e biaire, o fait précéder le ombre de «0b». III. Quatité d iformatio U peu de vocabulaire U bit (biary digit)est u chiffre biaire, c est-à-dire 0 ou 1. U mot biaire est ue suite fiie de bits (de 0 et de 1). La taille d'u mot biaire est so ombre de bits. U mot (machie) est la quatité de bits stadard maipulée par u microprocesseur (CPU). La taille du mot s exprime e bits (ou e octets). U microprocesseur est d autat plus performat que ses mots sot logs car les doées qu il traite à chaque cycle sot plus ombreuses. C est pourquoi o classe les microprocesseurs par la taille de leur mot : 8, 16, 32, 64 bits (soit 1, 2, 4 ou 8 octets). U octet (o) est u mot de 8 bits appelé byte (B) par les aglais. exemple: est u octet. Exemples de format classique : mémorise le ombre 0 sur 1 octet mémorise le ombre.. sur 1 octet mémorise le ombre.. sur 1 octet..mémorise le ombre 27 sur 1 octet Attetio Ne pas oublier de placer les 0 devat le ombre si besoi.

Nombre d objets codables Le format d u mot biaire impose le ombre de valeur que peut predre le mot. Avec 1 bit il est possible de coder.valeurs : O peut doc coder iformatios avec 1 bit.

5 Nombre d objets codables Le format d u mot biaire impose le ombre de valeur que peut predre le mot. Avec 1 bit il est possible de coder.valeurs : O peut doc coder iformatios avec 1 bit. 2 bits permettet de coder valeurs différetes : O peut doc coder.. iformatios avec 2 bits. 3 bits permettet de coder valeurs différetes : O peut doc coder.. iformatios avec 3 bits. 1 octet permet de coder... valeurs : les ombres etiers allat de à.. O peut doc coder iformatios avec 1 octet. 2 octets permettet de coder... valeurs. O peut doc coder iformatios avec 2 octets. Pour u format de bits, o peut exprimer. valeurs différetes. Les uités : Les uités : les préfixes utilisés traditioellemet : kilo, méga, giga. e représetet pas ue puissace de 10, mais ue puissace de 2: 1 kilo-octet (K ou kb) = octets =1 024 octets 1 méga-octet (Mo ou MB) = 2 20 octets = Ko = octets 1 giga-octet (Go ou GB) = 2 30 octets = Mo = octets 1 téra-octet (To ou TB) = 2 40 octets = Go = octets 1 péta-octet (Po pou PoB) = 2 50 octets = To = octets Attetio kb sigifie kilobyte, 1 Byte = 1 octet Le système iteratioal ted cepedat à ormaliser cette otatio : Exercice 6 1) Combie d objets sot codables avec 1 bit, 8 bit, bits? 2) O souhaite pouvoir coder 1000 objets. Combie de bits sot écessaires? 3) Si l o veut associer u code biaire à chacu des de fraçais, combie d octets serot écessaires? Exercice 7 Classer les mesures de capacité suivates par ordre croissat : 100 bits ; 10 octet ; 4 Ko ; 1 Mo ; 1 Go ; 4000 octets ; 1000 Mo.

Exercice 8 1) Ue image est u esemble de poits colorés (les pixels) : si la palette utilisée comporte 32 768 couleurs, combie de bits serot écessaires pour coder les couleurs?

6 Exercice 8 1) Ue image est u esemble de poits colorés (les pixels) : si la palette utilisée comporte couleurs, combie de bits serot écessaires pour coder les couleurs? 2) U livre comporte 500 pages, chacue composée de 80 coloes et 40 liges. U caractère est codé sur u octet. Pourra-t-o, sas utiliser de logiciel de compressio, stocker ce livre sur ue disquette de 1,44 Mo? 3) Ue photo haute résolutio comporte 720x480 pixels, la couleur de chaque pixel état codée sur 24 bits. Pourra-t-o la stocker telle quelle (format bitmap) sur ue disquette de 1,44 Mo? Exercice 9 Eviro étudiats sot iscrits à l'uiversité de Provece. O peut estimer à 5000 le ombre de ouveaux étudiats à iscrire chaque aée. U uméro est attribué à chaque étudiat. Bie évidemmet, deux étudiats différets e doivet pas avoir le même uméro. 1) Combie de bits sot écessaires pour coder u de ces uméros (pour que chacu des étudiats ait u uméro distict)? 2) Les logiciels utilisés ot l'octet comme uité de mémoire. Combie d'octets sot écessaires pour coder u uméro d'étudiat? 3) Pour chaque étudiat, o mémorise e plus de so uméro, so om, so préom, sa date de aissace, so adresse, et divers reseigemets cocerat sa scolarité. E supposat qu'au total u kilo-octet doit ^etre réservé pour chaque étudiat, pourra-t-o stocker l'esemble de ces reseigemets (pour tous les étudiats) sur u CD-ROM? e mémoire vive (RAM) d'u ordiateur ordiaire? sur u disque dur de capacité stadard? Quelques ordres de gradeur : Clés USB: etre 1 et 8 Go, jusqu à 128 ou 256 Go. CD-Rom: 650Mo. DVD-Rom : 8,5 Go. DVD-R (simple couche) : 4,7 Go. Disques durs: 150, 250 ou 500 Go, jusqu à 1 To.

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