CHAPITRE 16 : GEOMETRIE DANS L ESPACE

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1 CHAPITRE 16 : GEOMETRIE DANS L ESPACE Ce chapitre rappelle les notions de base pour connaitre le vocabulaire et les propriétés attachées aux solides, pour savoir lire les représentations planes de ces solides et de les représenter en perspective, d être capable d en construire un patron (sauf pour la sphère qui n en n a pas). Vous devez aussi faire appel à vos connaissances de la géométrie plane et à celles relatives aux grandeurs. I ESPACE ET PLAN : Rappels : Deux points non confondus pris dans l espace définissent une droite unique. Tous les points de cette droite sont contenus dans un même plan. Trois points non alignés, pris n importe où dans l espace, déterminent un plan unique. Une droite est génératrice d une infinité de plans. Quatre points non alignés ne sont pas nécessairement coplanaires (qui appartiennent au même plan). L intersection de deux plans distincts de l espace est soit vide (plans parallèles) soit une droite (plans sécants). Deux plans sont orthogonaux s ils sont sécants en formant un angle droit. Deux droites d 1 et d 2 sont orthogonales dans l espace si leurs parallèles d 1 et d 2 menées par un point O donné sont perpendiculaires dans le plan défini par d 1 et d 2. Remarque : dans le plan, on utilise indifféremment les termes «orthogonal» et «perpendiculaire». Dans l espace, ces termes n ont pas le même sens. Deux droites sont orthogonales si elles sont contenues dans des plans orthogonaux. Deux droites sont perpendiculaires si elles sont orthogonales et sécantes (donc appartiennent au même plan). Si une droite est orthogonale à un plan, alors elle est orthogonale à toute droite de ce plan. Un plan coupe deux plans parallèles selon deux droites parallèles. Deux plans sont perpendiculaires ssi l un des plans contient une droite orthogonale à l autre plan. II POLYEDRES : 1/ Définitions : Un polyèdre est un solide de l espace délimité par des polygones appelés ses faces. (en grec «poly» signifie «plusieurs» et «èdre» signifie «face». Les faces des polyèdres sont planes. Les côtés des polygones forment les arêtes du polyèdre. Ces ont l intersection de deux faces. Les sommets des polygones forment les sommets du polyèdre. Ce sont l intersection de deux arêtes. Un polyèdre est convexe s il est situé tout entier d un même côté de tout plan contenant une quelconque de ses faces (ou bien si toutes ses diagonales sont entièrement contenues dans le polyèdre). Sinon le polyèdre est dit concave. 2/ Perspective cavalière : Il y a plusieurs façons de représenter un solide dans le plan. Dans une perspective cavalière, on représente l image du solide par une projection sur un plan de projection qui est parallèle à une face du solide. Ces faces parallèles au plan de projection sont représentées sans déformation et en grandeur réelle. Les droites perpendiculaires au plan de projection se projettent selon une direction qui est toujours la même, appelée direction des fuyantes. L angle avec la direction horizontale est généralement de 30 ou 45. Les distances y sont réduites (réduction de 0,5 à 0,7). Les arêtes cachées sont représentées en pointillés. Exemple : Page 1

2 3/ classement des polyèdres : Tétraèdre régulier cube octaèdre régulier (4 triangles équilatéraux) (prisme droit à base carrée) (8 triangles équilatéraux) Dodécaèdre régulier icosaèdre régulier prisme droit 12 faces pentagonales régulières (20 triangles équilatéraux) H Prisme droit à base rectangulaire : Le parallélépipède rectangle pyramide pyramide régulière apothème Exercice 1 : Calculer la longueur de l apothème SH de la pyramide régulière dont toutes les arêtes sont égales à a. Exercice 2 : Démontrer que la diagonale d d un cube d arête a est égale à a 3. Page 2

3 III SOLIDES DE REVOLUTION : Un solide de révolution est un solide limité latéralement par une ou plusieurs surfaces qui tournent autour d un axe. Le cylindre droit, le cône et la sphère sont des solides de révolution. ou apothème O Le cylindre est engendré par la révolution d un rectangle autour de l axe de révolution du cylindre. Le cône est engendré par la révolution du triangle rectangle autour de l axe de révolution (hauteur). La sphère est engendrée par la rotation d un demi-cercle de centre O autour de l axe de révolution. La sphère est constituée des points de l espace situés à égale distance d un point O, centre de la sphère. La boule est constituée des points de l espace situés à égale distance R d un point O et à une distance inférieure à R du point O. Exercice 3 : Calculer l aire et le volume d une sphère de diamètre 9 cm. (voir formulaire) IV PATRONS : Un patron d un solide est une figure plane constituée de surfaces assemblées qui, par pliage (sans chevauchement) permet de reconstituer le solide. Les longueurs, aires, angles sur les surfaces planes d un patron sont correspondants à ceux du solide. Un même solide peut avoir plusieurs patrons (un cube a 11 patrons). La sphère n a pas de patron. Exemples de patrons : retrouver les solides correspondants. Page 3

4 Exercice 4 : Un cône de révolution a un rayon de 6 cm. Sa hauteur est égale à 8 cm. Dessiner un patron de cône. S 8 cm 6 cm V SECTIONS PLANES: La section d un solide par un plan est la surface constituée de l ensemble des points d intersection du plan et du solide. 5.1 Section d un pavé droit par un plan parallèle à une arête ou à une face : La section est un rectangle. A 5.2 Section d un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à son axe : La section est un rectangle. La hauteur du cône correspond à la dimension AB du rectangle. D H est pied de la hauteur issue de O. Vue de dessus H A D O C Exercice 5 : Sachant que le plan passe à 3 cm du centre O, et que le rayon OA est tel que OA = 5 cm, calculer AH. En déduire la dimension AD du rectangle ABCD. 5.3 Section d une sphère par un plan : La section est un cercle. Il est à noter que le triangle OHM est rectangle en H. Si le plan passe par O, la section est un cercle de rayon celui de la sphère. Un tel cercle est appelé grand cercle. Page 4

5 Exercice 6 : Sachant que la plan passe à 5 cm du centre O et que HM = 8 cm, calculer le rayon de la sphère. 5.4 Section d une pyramide par un plan parallèle à la base: La section est un polygone de même forme que la base. Exercice 7 : Sachant que la pyramide est régulière telle que AB = 4 cm, que SI = 10 cm et SA = 15 cm, Calculer la longueur du côté de la section IJKL. 5.5 Section d un cône par un plan parallèle à la base: La section est un cercle de rayon inférieur à celui de la base. A Exercice 8 : Le cône de révolution est coupé par un plan parallèle à sa base tel que SI/SO = 2/3. 1/ Sachant que SO = 10 cm et que AO = 4,5 cm, calculer le volume du cône de révolution de base le cercle de rayon OA. 2/ En déduire le volume du petit cône de révolution de base le cercle de centre I obtenu après section. Page 5

6 CORRIGE DES EXERCICES DU CHAPITRE 16 : Exercice 1 : H est le milieu de [BC] donc HB = a/2 et SB = a,dans le triangle SHB rectangle en H, on montre avec le théorème de Pythagore que SH = 3 a (hauteur du triangle équilatéral). 2 Exercice 2 : La diagonale d une face est égale à a 2. Puis la diagonale du cube dans un deuxième triangle rectangle et avec le théorème de Pythagore montre que d ² = a² + ( a 2 ) ² soit d = a 3. Exercice 3 : A 4 r² 4 4,5² 81 cm², A r 4, , 5 cm Exercice 4 : Il est facile de tracer le cercle de base de rayon r = 6 cm. Par contre il faut tracer la surface latérale du cône qui est une portion de disque. Il nous faut donc calculer l angle au centre x de cette portion de disque. La génératrice SA peut être calculée avec le théorème de Pythagore (laissé au lecteur) : SA = 10 cm. La longueur de l arc de cercle de la surface latérale est égale à la longueur du disque de base. x Alors , on obtient x alors x 216. Schéma à main levée : r = 6 cm SA = 10 cm Exercice 5 : Dans le triangle rectangle AHO, OH = 3 cm et OA = 5 cm, d après le théorème de Pythagore, AH = 4 cm et donc comme AOD est isocèle en O (OA et OD sont deux rayons) alors (OH) est l axe de symétrie de ce triangle isocèle et H est le milieu de [AD] donc AD = 8 cm. Exercice 6 : Le triangle OHM est rectangle en H, d après le théorème de Pythagore, OM = 89 cm. Exercice 7 : Les plans ABCD et IJKL sont parallèles et coupés par le plan SAB donc l intersection des deux plans avec SAB sont les droites (IJ) et (AB) qui sont parallèles entre elles. Les points S,I,A et S,J,B sont alignés, le théorème de Thalès montre que IJ = 8/3 cm. Exercice 8 : aire de la base x hauteur r² h 4,5² 10 1/ V 67,5 cm / V = k 3 x V = , cm 3. Page 6