Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d Alexandrie

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1 S livre Math'x Index 3 page page page page page page page page page page page page page page page page 64 fonction affine par morceax page 64 (fonctions + ) page 65 (Fonctions )... 5 page page page page page page page page page page page page page page page page /37 chap_.odt 30//4

2 S livre Math'x 3 page 59 A- En appliqant le théorème de Thalès ax triangles OAB et OA'B', on a : OA' OA et ax triangles FOD et FA'B', on a : A' F OF = A' B ' OD. Comme OD = AB, on obtient la doble égalité : OA' OA Or, comme F [OA'], on a : A'F = A'O OF, d'où, Or, A' O OF OF = A' O OF En divisant chaqe terme par OA' non nl, il vient : Remarqes : atres méthodes por mener les calcls = A' F OF OA' OA = A' F OF = A' B ' AB. OA = OF OA' les triangles étant rectangles, on pet tiliser la trigonométrie tan ÂOB = AB OA et tan Â' OB' = A' B ' OA' comme ÂOB = Â' OB' (angles opposés par le sommet), AB OA = A' B ' OA' tan ÔFD = OD OF tan Â' OB' = A' B ' A' F, comme ÔFD = Â' FB ' (angles opposés par le sommet), OD OF = A' B ' A' F (mêmes calcls ensite q'a-desss), éqivat à OA' OA, soit : = A' B ' AB, soit : OA' OA A' O OF = OF OA + OA', soit : A' F OF = = A' B ' AB OF = A' B ' OD.... De l'égalité, OA' OA = A' F OF, on tire : OA' OF = A'F OA = (A'O OF) OA = A'O OA OF OA /37 chap_.odt 30//4

3 S livre Math'x soit : OA' OF + OF OA =A'O OA On divise chaqe terme par : OA' OF OA, on obtient : OA + OA' = OF B- On sait OA' = 0 mm, soit : OA' = 0,0 m On note C = OF (en m o dioptrie), et OA = x (en mètres) d'où, C = x + 0,0 = x + 50 ) On pose f (x) = x + 50 Les variations de la fonction f, qi, à x associe C, sont celles de la fonction inverse sr ]0 ; + [. (En ajotant ne constante (ici : 50) l'ordre ne change pas. x f(x) 50 ) Pisqe C = OF, on a : OF = C = f ( x) Soit g la fonction qi, à x associe OF. On a g (x) = f ( x) et on obtient le tablea de variations sivant : Pisqe, por tot x réel, f (x) > 0, on pet appliqer la fonction inverse On a sccessivement : 0 < a < b fonctions appliqées Commentaires a > b > 0 a + 50 > + 50 > 50 b soit : f(a) > f(b) > 50 f (a) < f (b) < 50 Soit g(a) < g(b) On a montré : Si 0 < a < b alors g(a) < g(b) x 0 + g(x) 0 0,0 Fonction inverse strictement décroissante sr ]0 ; + [ On a ajoté 50 (Fonction affine constante) Fonction inverse strictement décroissante sr ]50 ; + [ l'inverse d'n réel strictement positif est n réel strictement positif. les réels obtens sont strictement positifs Commentaires : on pet conclre maintenant l'exercice, en calclant g(5). 3/37 chap_.odt 30//4

4 S livre Math'x Comme g est strictement croissante sr ]0 ; + [, on a : Si x 5 alors g (x) g(5). Comme g(5) = f (5) = 50,04 0, mètres. Comme g (x) = OF, on obtient l'encadrement demandé a 3b/ Remarqe : g (x) = = x a) Une méthode à partir d A/ x + 50 x por démontrer ne égalité, on calcle séparément les dex membres de l'égalité... On sait qe D'atre part : 0,0 L'égalité OF = 0,0 OF = OA + 0,0 0,0004 OA+ 0,0 0,0004 OA+ 0,0 0,0+ OA 0,0 OA =, d'où, OF = 0,0 OA 0,0+ OA = 0,0(OA+ 0,0) 0,0004 OA+ 0,0 est donc provée. = 0,0 OA 0,0+ OA b) OA 5 m, Si x 5, comme g est ne fonction strictement croissante, on obtient : g (x) g(5). 5 g(5) = Une valer approchée par défat de g(0,5) est 0,0998 D'atre part, qand x agmente indéfiniment, la vergence C tend vers 50 et son inverse OF tend vers 0,0. Finalement : si OA 5 m alors 0,09 98 OF 0,0 (en mètres), soit 9,98 mm OF 0 mm. c) Comme la distance OA' = 0 mm (distance d cristallin à la rétine), le foyer est extrêmement proche de la rétine... lorsqe OA tend vers l'infini. 6 page 6 La fonction racine carrée est strictement croissante sr [0 ; + [, d'où, a) Si 0 x 9 alors 0 x 3 b) Si 0 < x 0,0 alors 0 < x < 0, c) Si x [ ; 0 4 [ alors x [ ; 0²[ 7 page 6 Soit la droite d'éqation y = 00. La corbe représentative de la fonction racine carrée est a-desss de cette droite si et selement si x 00. On a donc : x 0 4 d'éqation y = 00 Sr l'intervalle [0 4 ;+ [, la corbe de racine carrée est a-desss de la droite 4/37 chap_.odt 30//4

5 S livre Math'x 8 page 6 Commentaire : On sait qe la fonction est définie sr [0 ; + [ et est strictement croissante sr [0 ; + [. Se sovenir qe la " qantité " sos le radical ( ) est n réel positif o nl. { Trc 0 D'où, écrire Trc > Machin éqivat à Machin 0 Trc > Machin a) x > x > 4 Comme la fonction est strictement croissante sr [0 ; + [, on a : x > x > 4. s a = ]4 ; + [. (comme x > 4, x est nécessairement positif) b) x 3 0 x 9 por la même raison s b = [0 ; 9] c) x 0 s c = [00 ; + [ d) x 0 s d = [0 ; + [ e) x 4 < 0 x 4 < 4 4 x < 8 s e = [4 ; 8[ f) x x x 0 s f = ] ; 0] 9 page 63 a) 3 + x > 4 x > x > s a = ] ; + [ (voir n 8 por les jstifications) b) 3 x + x 3 x 9 s b = [ 9 ;+ [ c) x (x 5) 0 (évident) s c = [5 ; + [ Ce q'on doit avoir en tête : L'expression x (x 5) n'a de sens qe si x 0. Por x 0, on a : x 0. Le prodit x (x 5) est positif o nl si et selement si les facters x et (x 5) sont de même signe Il est donc nécessaire et sffisant d'avoir x 5 0 Complément : x (x 5) 0 s c = [0 ; 5 ] En effet, on doit avoir x 0 et comme x 0, le facter (x 5) est négatif o nl. 4 page 63 Méthode : 5/37 chap_.odt 30//4

6 S livre Math'x Comprendre qe por a > 0, a a = a, d'où, a a = a et a = a a Comprendre qe por a 0, b 0, ( a + b)( a b) = a b, d'où, la transformation des qotients contenant des en mltipliant nmérater et dénominater par la qantité conjgée d dénominater. a) b) = = 3( 5 ) ( 5+ )( 5 ) = c) = ( 3) (+ 3)( 3) d) = Retenir : A > 0, A = A A = = = 3 5 page 63 Soit x 0. a) x+ = x x 4 b) x x+3 c) d) x+ = ( x)( x 3) x 9 = ( x++) x 3 x +4 = 3( x +4+) x +3 = x+5 x 6 x 9 (Remarqe : on doit avoir x > 0) 7 page 63 Remarqer : n N, ( n+ n) ( n+ + n) =, o encore : a) 5 4 = ( 5+ 4) ( 5 4)( 5+ 4) = 5+ 4 = 5 + n+ n = n+ + n b) Comme 5 4 et qe la fonction racine carrée est strictement croissante sr [0 ; + [, on a : 5 4, soit : 5 En ajotant à chaqe membre de l'inégalité : Finalement d'après le /a/ : ) 6 5 = Comme 6 5 et qe la fonction racine carrée est strictement croissante sr [0 ; + [, on a : 6 5 6/37 chap_.odt 30//4

7 S livre Math'x En ajotant 5 à chacn des membres de l'inégalité, il vient : Conclsion : ) Por tot n N, on a : n+ n n. 8 page 63 Soit f (x) = x + x+ 5 por tot x réel. Remarqe : L'expression x² + x + 5 est strictement positive Preve : x² + x + 5 = (x + )² + 4 o encore discriminant = b² 4ac = = 6 Comme < 0, l'expression est d signe de coefficient de x ²,... ) f (x) = x + x+ 5 Méthode : On mltiplie par : x + x+ 5+ x + x+ 5+ por avoir ne atre écritre de f (x) Important : on ne change pas la " valer " d'n nombre en mltipliant par. Tot réside dans le choix de = On doit avoir : " trc " 0 trc trc. et, il fat n intérêt (q'apportent ces calcls?) Por les formes algébriqes contenant des, on mltiplie par la qantité conjgée afin d'obtenir l'identité remarqable (a + b)(a b) = a² b². Application à l'exercice : Vocablaire : les expressions a + b et a b sont dites conjgées. Por tot x réel, x + x+5 0 (car, c'est ne image par la fonction ), d'où, x + x+5 + x + x f (x) =( x + x+ 5 ) x + x+ 5+ x + x+ 5+ = x + x+ 5 4 x + x+ 5+ = ) Comme x + x+ 5 > 0, et, > 0, la somme x + x+ 5 + > 0 Or (x + )² 0 por tot x réel. (x + )² = 0 lorsqe x = Par conséqent, le qotient (x+ ) x + x (il est nl en ) x + x+ x + x+ 5+ = (x+ ) x + x+ 5+ 7/37 chap_.odt 30//4

8 S livre Math'x Por tot x réel, f (x) 0, soit : f (x). 3) D'atre part : f( ) = 0 { f ( )= f (x) por tot x réel prove qe est le minimm de f atteint en. 30 page 63 ) Démonstration de la variation de la fonction. (Voir cors) ) a) f est définie sr [ 3 ; + [ par f (x) = x+ 3. Soit 3 a < b. Recherche d signe de f(b) f(a) f(b) f(a) = b+ 3 a+ 3 Or, b+ 3 a+ 3 = Comme a < b alors b a > 0 ( b 3 a 3)( b 3+ a 3) b 3+ a 3 = b 3 (a 3) b 3+ a 3 = D 'atre part, la somme b+ 3 + a+ 3 de dex nombres positifs est positive. On en dédit : b+ 3 a+ 3 > 0, soit, f(b) f(a) >0 o encore : f(a) < f(b) Conclsion : On a montré : si 3 a < b alors f(a) < f(b) La fonction f est strictement croissante sr [ 3 ; + [ b a b 3+ a 3. b) g est définie sr ] ; ] par g (x) = x Soit a < b Recherche d signe de g(b) g(a) g(b) g(a) = b a Or, b a = Comme a < b alors a b < 0 ( b a)( b+ a) b+ a = b ( a ) b+ a = D 'atre part, la somme b + a de dex nombres positifs est positive. On en dédit : b a < 0, soit, g(b) g(a) < 0, o encore, g(a) > g(b) Conclsion : On a montré : si a < b alors g(a) > g(b) La fonction g est strictement décroissante sr ] ; ] a b b+ a 34 page 64 p a por éqation y = x² 6x + et d : y = x + 4 8/37 chap_.odt 30//4

9 S livre Math'x Dans la site de l'exercice, on pose : f (x) = x² 6x + et g (x) = x + 4 Ainsi, p : y = f (x) et d : y = g (x). Por donner la position relative de p et d, on détermine le signe de la différence : d(x) = x² 6x + ( x + 4) Soit l'expression d(x) = x² 5x 3 On reconnaît ne expression d second degré. Calcl d discriminant = b² 4ac = ( 5)² 4 ( 3) = 49 = 7² On a donc dex racines, x = b a = ( 5) 7 = et x = b a = ( 5)+7 Comme le coefficient est strictement positif, on obtient le tablea de signes sivant : x d ( x) Comparaison des ordonnées = f (x) > g (x) f (x) < g (x) f (x) > g (x) position p a-desss de d p a-dessos de d p a-desss de d relative Vérification graphiqe : 38 page 64 Nombre Valer absole Commentaires = > 0 5,3 5,3 = 5,3 5 5 = = = 3 5,3 < 0, d'où, sa valer absole est son opposé < 5, d'où, 5 < 0 L'opposé de 5 est = > 0 9/37 chap_.odt 30//4

10 S livre Math'x Nombre Valer absole Commentaires = π 0 = 0 40 page 64 a) x = 3 éqivat à x = 3 o x = 3 s a = { 3 ; 3} b) L'éqation x = n'a acne soltion s b = c) x = éqivat à x = o x = s c = { ; } d) x < éqivat à < x < s d = ] ; [ e) x 00 éqivat à 00 x 00 s e = [ 00 ; 00] f) x > 0,0 éqivat à x < 0,0 o x > 0,0 s f = ] ; 0,0[ ]0,0 ; + [ 4 page 64 ) t 6 = éqivat à t 6 = o t 6 = éqivat à t = 4 o t = 8 ) 3 t+ 9 = 5 éqivat à 3t + 9 = 5 o 3t + 9 = 5 éqivat à 3t = 4 o 3t = 4 éqivat à t = 4 3 o t = page 64 max(a ; b) = { a si a b b si a b Soit n réel x, si x 0 alors x x et max(x ; x) = x. Si x 0 alors x x et max(x ; x) = x. Conclsion : max(x ; x) = x (Si a = b, max(a ; b) = a = b) 44 page 64 fonction affine par morceax. ) Le point A a por abscisse 3, le point M a por abscisse x. La distance de x à 3 est la longer d segment [AM] On doit étdier les cas où A est avant M et A est après M. Si x = 3 alors la distance d(x) de x à 3 est égale à 0. Si x > 3 alors la distance d(x) de x à 3 est égale à x 3. Si x < 3 alors la distance d(x) de x à 3 est égale à 3 x. Comme x 3 { = x 3 si x 3, on a : d(x) = x 3. 3 x si x 3 0/37 chap_.odt 30//4

11 S livre Math'x )La représentation graphiqe de d est la rénion des dex demi-droites d'éqations respectives : y = x 3 sr [3 ; + [ y = 3 x sr ] ; 3] 46 page 64 (fonctions + ) Revoir si nécessaire les variations des fonctions de référence a) f est définie par f (x) = x + 4 D f = [0 ; + [ et f strictement croissante sr [0 ; + [ (f est de la forme + avec = et = 4) b) f est définie par f (x) = x² D f =R f strictement décroissante sr ] ; 0] f strictement croissante sr [0 ; + [ (f est de la forme + avec = ² (fonction carré) et = ) c) f est définie par f (x) = x 4 D f =R f strictement décroissante sr ] ; 0] f strictement croissante sr [0 ; + [ (f est de la forme + avec =. et = 4) d) f est définie par f (x) = x + 3 D f = ] ; 0[ ]0 ; + [ f strictement décroissante sr ] ; 0[ f strictement décroissante sr ]0 ; + [ (f est de la forme + avec = fonction inverse et = +3) 47 page 65 (Fonctions ) Revoir si nécessaire les variations des fonctions de référence a) f est définie par f (x) = 4 x D f = [0 ; + [ et, comme 4 > 0, f strictement croissante sr [0 ; + [ (f est de la forme avec = et = 4) b) f est définie par f (x) = x² /37 chap_.odt 30//4

12 S livre Math'x D f =R Comme < 0, f strictement croissante sr ] ; 0] f strictement décroissante sr [0 ; + [ (f est de la forme avec = ² (fonction carré) et = ) c) f est définie par f (x) = 3 x D f =R Comme 3 < 0, f strictement croissante sr ] ; 0] f strictement décroissante sr [0 ; + [ (f est de la forme avec =. et = 3) d) f est définie par f (x) = 4 x = 4 x D f = ] ; 0[ ]0 ; + [ Comme 4 > 0 f strictement décroissante sr ] ; 0[ f strictement décroissante sr ]0 ; + [ (f est de la forme avec = fonction inverse et = +4) 5 page 65 OABC est n carré de côté cm. À tot réel x strictement positif, on associe le point M de [OA) n'appartenant pas à [OA], tel qe AM = x. La droite (MB) cope (OC) en P. On pose f (x) = OP ) On cherche OP en fonction de AM. Avec la propriété de Thalès : On sait qe A [OM], d'où, OA + AM = OM OM = + x Comme (AB) (OP), le théorème de Thalès appliqé ax triangles MOP et MAB donne : OP AB = OM AB (OA+ AM ) (+ x), d'où, OP = = = 4+ x = 4 AM AM x x x + Avec la trigonométrie (d collège) : En remarqant qe ÔMP = ÂMB, dans les triangles rectangles MOP et MAB, on a : tan ÔMP = OP OM et tan AB OM AB ÂMB =, d'où, OP = =... = + 4 AM AM x. ) Comme la fonction inverse est strictement décroissante sr ]0 ; + [ et qe 4 > 0, on a sccessivement : Une méthode : Si 0 < a < b alors a > b En mltipliant par 4, pis en ajotant, on obtient : Si 0 < a < b alors 4 a + > 4 b +, soit : f(a) >f(b) la fonction f est strictement décroissante sr ]0 ; + [ Une atre méthode : Soit 0 < a < b f(b) f(a) = ( 4 b + ) ( 4 a + ) = 4 b 4 a = 4(a b) ab Comme a < b, a b < 0 Comme a > 0 et b > 0 alors ab > 0. /37 chap_.odt 30//4

13 S livre Math'x Le qotient 4(a b) est strictement négatif. ab f(b) f(a) < 0 On a montré : Si 0 < a < b alors f(a) >f(b) la fonction f est strictement décroissante sr ]0 ; + [ Remarqe : la fonction f de l'énoncé n'existe pas sr ] ; 0[ 5 page 65 a) b) Conjectre : La fonction f associe, à la longer BC, la longer AE. Il semble qe f est décroissante. Lorsqe BC agmente, AE dimine lorsqe BC dimine, AE agmente. BC et AE varient en sens contraire. 3/37 chap_.odt 30//4

14 S livre Math'x La fonction f : BC AE définie sr ]0 ; + [ est décroissante. Comprendre l'énoncé : notion de fonction : À ne longer x (allant de 0 à + ), on associe ne longer y. Si x = 0, C est en B, et, il n'y a pas de point E (pas de droite (BD) copant [Av). La fonction f : x y = f (x) est par conséqent définie sr ]0 ; + [ ) Des rappels : - Un triangle est inscrit dans n cercle lorsqe ses trois sommets sont sr le cercle. - Le cercle est circonscrit à ce triangle (" circm " signifie " ator de ") - être inscrit dans n cercle Por déterminer n triangle rectangle, dex conditions : {- n côté d triangle est n diamètre. Ce n'est q'après cela qe l'on pet dire qe ce côté est l'hypoténse - Une figre importante : Les angles inscrits interceptant le même arc de cercle sont égax et valent la moitié de l'angle a centre interceptant cet arc. (le cas de l'angle droit étant n cas particlier). ^ACB = ^ADB = ^AEB = ^AFB = ^AOB. a) b) Le triangle ABD est inscrit dans le demi-cercle de diamètre [AB]. Ce triangle est donc n triangle rectangle en D. On a donc : AD² + BD² = AB² (i) Les triangles EDC, BDC, ADE sont assi rectangles en D. CD² + DE² = CE² (ii) AE² = AD² + DE² (iii) 4/37 chap_.odt 30//4

15 S livre Math'x BC² = BD² + DC² (iv) Par somme membre-à-membre des égalités (i) et (ii), on a : AB² + CE² = AD² + DB² + CD² + DE² En remplaçant dans le membre de droite, AD² + DE² par AE² (iii) et BD² + DC² par BC² (iv), on obtient : AB² + CE² = AE² + BC² (v) c) Point méthode : a b), on a trové ne égalité où apparaît CE (qi est ne longer dépendant de x). Il fat donc trover ne atre égalité faisant intervenir CE de façon à sbstiter CE dans l'égalité d b/ por avoir y en fonction de x. Les calcls : AE² = y² BC² = x² Or, [CE] est l'hypoténse d'n triangle rectangle de côtés perpendiclaires de longers : y x et 4 CE² = y x ² + 4², d'où, CE² = (y x)² + 4² = y² xy + y² + 6 Comme AB² = 4² = 6, on obtient d'après l'égalité (v) : 6 + y² xy + x² + 6 = y² + x² qi éqivat à xy = 3 Comme x > 0, on a : y = 6 x 3) La fonction f : x 6 x définie sr ]0 ; + [ est décroissante. En effet, f (x) = 6 x et comme 6 > 0, les variations de f et la fonction inverse sont identiqes. 54 page 65 a) x+4 est définie si et selement si x 4. (On résot : x + 4 0) b) x est définie si et selement si x. (On résot : x 0) c) +x est définie si et selement si x. (On résot : + x 0) d) x est définie si et selement si x o x. x ] ; ] [ ; + [ (On résot : x² 0) e) x est définie si et selement si x 0 (On résot : x 0) f) { x 0 x est définie si et selement si x > 0. (On résot : x 0 ) 5/37 chap_.odt 30//4

16 S livre Math'x 55 page 65 Méthode : Étde des variations de sachant les variations de. ) On doit avoir (x) 0 (por calcler l'image ( x) ) ) Comme la fonction est strictement croissante sr [0 ; + [, (la fonction " conserve " l'ordre) la variation de la fonction f = est celle de sr les intervalles où (x) est postif o nl. Application : a) x signe de (x) 0 + XX XX XX XX XX XX 0 b) x signe de (x) XXX XXX XXX XXX c) 6/37 chap_.odt 30//4

17 S livre Math'x x signe de (x) XX XX XX XX XX XX 0 0 XX XX XX XX XX XX Un exemple graphiqe dans chaqe cas : a) b) 7/37 chap_.odt 30//4

18 S livre Math'x 8/37 chap_.odt 30//4

19 S livre Math'x c) 64 page 66 a) On sait : 9/37 chap_.odt 30//4

20 S livre Math'x x + 4 On sait : a) On en dédit est ne fonction strictement croissante définie sr [ ; + [ et (x) > 0, donc, est définie sr [ ; + [, et, est ne fonction strictement décroissante sr [ ; + [. x + f=/ /4 b) x est ne fonction strictement décroissante sr [ 3 ; 0] et strictement croissante sr [0 ; + [, et (x) > 0, donc, est définie sr [ 3 ; + [, et, est ne fonction strictement croissante sr [ 3 ; 0] et strictement décroissante sr [0 ; + [ x f=/ / x c) est ne fonction strictement croissante définie sr [ 3 ; + [ et ( 3) = 0, et, (x) > 0 sr ] 3 ; + [ donc, est définie sr ] 3 ; + [ et, est ne fonction strictement décroissante sr ] 3 ; + [. x 3 + f=/ + d) x page 66 3 a) f (x) = + x+ f est de la forme a est ne fonction strictement décroissante définie sr ] ; + [ et (4) = 0, et, (x) > 0 sr ] ; 4[, (x) < 0 sr ]4 ; + [. donc, est définie sr ] ; 4[ ]4 ; + [ et, est ne fonction strictement croissante sr ] ; 4[ et sr ]4 ; + [. x 4 + f=/ + + avec (x) = x +, a = 3, et = 0/37 chap_.odt 30//4

21 S livre Math'x La fonction : x x + est ne fonction affine strictement croissante qi s'annle en en changeant de signe. On en dédit : est définie sr R { } = ] ; [ ] ; + [ est ne fonction strictement décroissante sr ] ; [ et sr ] ; + [ Comme 3 > 0, en mltipliant par 3, 3 a les mêmes variations qe, et en ajotant, f a les mêmes variations qe. x + f 3 b) f (x) = x+ 4 + f est de la forme a + avec (x) = x + 4, a = 3, et = La fonction : x x + 4 est ne fonction affine strictement décroissante qi s'annle en en changeant de signe. On en dédit : est définie sr R {} =] ; [ ] ; + [ est ne fonction strictement croissante sr ] ; [ et sr ] ; + [ En mltipliant par 3 : 3 est ne fonction strictement décroissante sr ] ; [ et sr ] ; + [ En ajotant, f a les mêmes variations qe 3. x + f 5 c) f (x) = + f est de la forme a + avec (x) =x² +, a = 5, et = x + La fonction : x x² + est ne fonction strictement décroissante sr ] ; 0] et strictement croissante sr [0 ; + [. Le minimm atteint en 0 vat, d'où, (x) > 0 sr R. /37 chap_.odt 30//4

22 S livre Math'x On en dédit : est définie sr R. est ne fonction strictement croissante sr ] ; 0] et strictement décroissante sr [0 ; + [ (le maximm atteint en 0 vat = ) En mltipliant par 5 : comme 5 > 0, 5 est ne fonction strictement croissante sr ] ; 0] et strictement décroissante sr [0 ; + [ (le maximm atteint en 0 vat 5) En ajotant, f a les mêmes variations qe 5. (le maximm atteint en 0 vat 4) x 0 + f 4 d) f (x) = 3 x+ f est de la forme 3 + avec (x) = x + et = : x x + a le même ensemble de définition et la même variation qe la fonction, d'où, est définie sr [0 ; + [ est strictement croissante sr [0 ; + [ le minimm atteint en 0 est, d'où, (x) > 0. On en dédit : est définie sr [0 ; + [ est ne fonction strictement décroissante sr [0 ; + [ (le maximm atteint en 0 vat = ) En mltipliant par 3 : comme 3 < 0 3 est ne fonction strictement croissante sr sr [0 ; + [ (le minimm atteint en 0 vat 3) En ajotant, f a les mêmes variations qe 3. (le minimm atteint en 0 vat ) x 0 + f /37 chap_.odt 30//4

23 S livre Math'x 67 page 66 f (x) = + f n'est pas définie en, f est strictement décroissante sr chaqe intervalle de son domaine x de définition. (voir ex 66 a)) Graphiqe a/ g (x) = 3 x+ g n'est pas définie en, g est strictement croissante sr chaqe intervalle de son domaine de définition. Graphiqe b/ h (x) = x 3 x = (x ) = x x h n'est pas définie en, h est strictement croissante sr chaqe intervalle de son domaine de définition. Graphiqe c/ k(x) = + x+ k n'est pas définie en, k est strictement décroissante sr chaqe intervalle de son domaine de définition. Graphiqe d/ 3/37 chap_.odt 30//4

24 S livre Math'x 70 page 67 f (x) = 3 x por x x + Rappel : la fonction f est ne fonction homographiqe. L'étde de ce type de fonctions est liée à celle de la fonction inverse. ). Comme 3(x + ) 7 = 3x, por tot x, on a, en divisant par x +, f (x) = 3 x x+ = x+ b ). En posant a = 3 et b = 7, on a f (x) de la forme a + x+ 7 La fonction f s'écrit sos la forme f : x 3 + x+ 3) On pet écrire la fonction f sos forme d'opérations selles sr les fonctions : f = a + b fonction. Méthode : On va donc appliqer sccessivement (et dans l'ordre) les propriétés d cors étape : Étde de : x x + est ne fonction affine strictement croissante sr R. étape : Étde de : s'annle en changeant de signe en où est ne Pisqe garde n signe constant sr ] ; [ et sr ] ; + [, la fonction a des variations opposées à celles de, d'où, est strictement décroissante sr ] ; [ et strictement décroissante sr ] ; + [ étape 3 : Étde de b : Comme b < 0, la fonction b a des variations opposées à celles de, d'où, b est strictement croissante sr ] ; [ et strictement croissante sr ] ; + [ étape 4 : Étde de a + b En ajotant la constante a, les variations de a + b sont celles de b, d'où, 4/37 chap_.odt 30//4

25 S livre Math'x f est strictement croissante sr ] ; [ et strictement croissante sr ] ; + [. Résmé dans n tablea (synthèse) : Commentaires La variable x + La fonction (fonction affine) variations de x x + Signe de (x) Nécessaire por étdier. signe de x La fonction La fonction 7 7 < 0 La fonction 3 + ( 7) variations de x x+ variations de x 7 x+ variations de x x+? 7 page 67 a) (Il y a ne errer dans le livre : soit f (x) = 4 x+ x Avec f (x) = 4 x+ x avec x Comme 4x + = 4(x ) + 5, on pet écrire f (x) = avec x, soit f (x) = 4 x+ x avec x ). 4( x )+5 x La méthode précédente de l'exercice 70 permet de conclre : f est strictement décroissante sr ] ; [ et strictement décroissante sr ] ; + [ En effet, la fonction affine x x est strictement croissante sr R et s'annle en changeant de signes en. Le coefficient mltiplicater 5 est positif = x Avec f (x) = 4 x+ x avec x ). 4x + = (x ) + 3, d'où, f (x) = 4( x )+3 x = x 5/37 chap_.odt 30//4

26 S livre Math'x f est strictement décroissante sr ] ; [ et strictement décroissante sr ] ; + [ En effet, la fonction affine x x est strictement croissante sr R et s'annle en changeant de signes en Le coefficient mltiplicater 3 est positif Commentaires La variable x La fonction (fonction affine) variations de x x + Signe de (x) Nécessaire por étdier. signe de x 0 + La fonction variations de x x? La fonction 3 3 > 0 variations de 3 x x La fonction variations de x x b) f (x) = 4 x+ x+6 avec x 6 Comme 4x + = 4(x + 6) + 6, on pet écrire f (x) = 4(x+6)+6 x+6 La méthode précédente permet de conclre : = 4 + f est strictement décroissante sr ] ; 6[ et strictement décroissante sr ] 6 ; + [ En effet, la fonction affine x x + 6 est strictement croissante sr R et s'annle en changeant de signes en 6. Le coefficient mltiplicater 6 est positif 6 x+6 73 page 67 (qand la proposition est vraie, il fat la prover grâce ax propriétés (générales)... qand la proposition est fasse, n contre-exemple sffit) 6/37 chap_.odt 30//4

27 S livre Math'x Proposition (A) : " Si a = b alors a = b " est ne proposition vraie. En effet, par la fonction valer absole, n réel a ne et ne sele image. Complément : Par définition d'ne fonction f définie sr n ensemble D f, n élément de D f a ne et ne sele image. On a donc : a et b étant des éléments de D f, Si a = b alors f(a) = f(b) Proposition (B) : " Si a = b alors a = b" est ne proposition fasse. Contre-exemple : Prenons a = 3, b = 3. On a : 3 = 3, mais 3 3 Complément : Cette proposition est la réciproqe de la proposition précédente. Por la plpart des fonctions f, f(a) = f(b) n'impliqe pas l'égalité de a et b. Proposition (C) : " a = b si et selement si a² = b² " est ne proposition vraie. En effet : a = { a o a et b = { b o b Comme a² = ( a)² = a² et b² = ( b)² = b², on a : on a montré : " Si a = b alors a² = b²" Réciproqement : Soit a² = b², on a alors : a = b o a = b. Comme b = b, on obtient : a = b. Complément : Por prover ne éqivalence, on doit montrer qe l'implication et sa réciproqe sont vraies Proposition (D) : " a b = a + b " est ne proposition fasse Contre-exemple : Prenons a = 3 et b = 3 ( ) = 4 = ( ) = 4 Rappel de la définition de la valer absole : 7/37 chap_.odt 30//4

28 S livre Math'x a b si a b a b = { b a si a b par conséqent, por avoir a b = a + b, il fat : { a b=a+ b o b a=a+ b Proposition (E) : " a = a " est ne proposition vraie. Preve : { a a a = a a = o = a² dans les dex cas. ( a) ( a) soit : { b=0 o a=0 a = a² pisqe a² positif. Remarqe : Cette qestion met en évidence l'ordre des " opérations " à effecter. Por calcler a, on fait : a a a ² (valer absole sivie de carré) Por calcler a, on fait : a a² a (carré sivi de la valer absole) Dans la plpart des cas, on ne pet pas changer l'ordre des " opérations ". Exemple : (a + b)² (somme de a et b sivie d carré de la somme) et a² + b² (carrés de a et b sivis de la somme des carrés) 74 page 67 ) f est de la forme avec : x x² + 4x + 5 (Fonction d second degré) Point méthode : On a besoin de déterminer le signe de (x) ( est définie si et selement si (x) 0) Étde de : Signe de (x) : et des variations de ( et ont les m^mes variations sr les intervalles où est définie) On pet remarqer : (x) = (x² 4x 5) = [(x )² 4 5] = [(x )² 9] = (x 3)(x + 3) (x) = (x )² + 9 (forme canoniqe) (x) = (x 5)(x + ) On pet assi faire : discriminant = b² 4ac = = 36 = 6² et x = b a f est définie sr [ ; 5] car (x) 0 sr [ ; 5] Variations de : Comme le signe de coefficient de x² est négatif et qe = la fonction est croissante sr [ ; ] et décroissante sr [ ; 5]. () = 9 et donc f() = 3 4 ( ) =, = 5 et x = b a = 8/37 chap_.odt 30//4

29 S livre Math'x Comme et ont les mêmes variations, on a : x 5 3 f(x) 0 0 ) g (x) = f (x) Point méthode : on connaît la variation de f et g est de la forme f avec =. Étde de g : comme le facter < 0, g et f ont des variations opposées, d'où, x 5 g(x) a)b) Tracé... méthode : On calcle qelqes valers por constrire C f... (on a déjà 3 points dans l'étde de f), on trace C g symétriqe de C f par rapport à l'axe des abscisses. Preve de la symétrie dans n repère orthonormal: Soit M(x, f (x)) n point de C f. Le point M'(x ; f (x)) symétriqe de M par rapport à l'axe des abscisses est point de C g pisqe g (x) = f (x). On a donc : Si M (Ox) alors M' (Ox) Si M (Ox) alors M' (Ox), L'axe (Ox) est la médiatrice de [MM'] { x K = x+ x =x le milie K de [MM'] a por coordonnées : donc, K (Ox) f (x)+ ( f ( x)) y K = =0 MM ' ( x x=0 f ( x) f ( x)= f ( x)), d'où, MM ' colinéaire à j... 9/37 chap_.odt 30//4

30 S livre Math'x y 3 C f x - -3 C g 4- Soit A( ; 0) l'objectif de l'énoncé est de démontrer ne éqivalence. Point méthode : En général, por démontrer ne éqivalence, on démontre dex implications. Si M(x ; y) est n point de C f alors AM² = 9 et y 0 et la réciproqe : Si AM² = 9 et y 0 alors M(x ; y) est n point de C f démonstration de : Si M(x ; y) est n point de C f alors AM² = 9 et y 0 Donnée : M(x ; y) n point de C f. On a donc : y = x + 4 x+ 5 et y 0. AM² = (x )² + (y 0)² = x² 4x ( x² + 4x + 5) = 9 on a montré : si M C f alors AM² = 9 et y 0. démonstration de la réciproqe : Donnée : AM² = 9 et y 0. On donc : AM² = (x )² + (y 0)² = 9 d'où, x² 4x y² = 9, soit : y² = x² + 4x + 5 Comme y 0, on obtient : y = x + 4 x+ 5 = f (x), donc : M C f. on a montré : si AM² = 9 et y 0 alors M C f. 30/37 chap_.odt 30//4

31 S livre Math'x Finalement : M C f si et selement si AM² = 9 et y 0. C f est donc l'ensemble des points d'ordonnée positive sités à la distance 3 d point A. C f est donc le demi-cercle a-desss de l'axe des abscisses de centre A et de rayon 3. C f C g est le cercle de centre A et de rayon 3. 0 page 70 Tracé ) a et b dex réels. M(a ; b) et N(b ; a) OM² = a² + b² et ON² = a² + b² (Th. de Pythagore). OM et ON étant des distances, on a : OM = ON = a + b b) Le milie P de [MN] a por coordonnées : {x P = a+ b y P = b+ a. Comme y P = x P, le point P est n point de la droite d d'éqation y = x. c) Dex cas : O et P sont confonds... On a donc : b = a et les points M et N sont sr la droite d' d'éqation y = x peroendiclaire à d en O. Les points M et N sont donc symétriqes par rapport à d. O et P ne sont pas confonds. Comme OM = ON, le point O est n point de la médiatrice de [MN]. (Lee triangle OMN est isocèle en O). Le point P milie de [MN] est assi n point de la médiatrice de [MN]. La droite (OP) est donc la médiatrice de [MN]. Or, O et P sont dex points distincts de d, donc les droites (OP) et d sont confondes. Les points M et N sont donc symétriqes par rapport à d. ) a) M est n point d'abscisse a de c avec a 0. L'ordonnée de M est par conséqent a. M(a ; a ) b) D'après le /, M' symétriqe de M par rapport à d a por coordonnées M'( a ; a) Comme a = ( a), on a : y M ' = (x M ' ), donc, le point M' c'. (On a montré : Si M c alors M' c') c) Réciproqe : 3/37 chap_.odt 30//4

32 S livre Math'x Soit N n point de c' d'abscisse b avec b 0. L'ordonnée de N est par conséqent b². N(b ; b²) N' symétriqe de N par rapport à d a por coordonnées N'( b² ; b) Comme b 0, b = b, et par conséqent N' c. (On a montré : Si N c' alors N' c) d) Conclsion : Les corbes c et c ' sont symétriqes par rapport à d. 05 page 70 Voir : ) c représente la fonction racine carrée. a et b sont dex réels tels qe 0 a < b. ) Les coordonnées de A(a; a ) et de B(b; b ) 3/37 chap_.odt 30//4

33 S livre Math'x { x K = a b 3) Les coordonnées d milie K de [AB]: y K = a b. 4) a) Le point L de c ayant por abscisse a b a por ordonnée a b. a+ b b) Graphiqement, K est strictement en-dessos de L, d'où, < a+ b. 5) Un réflexe à acqérir : Une des méthodes permettant de comparer des nombres, de les encadrer est d'tiliser les variations d'ne fonction reconne. Ici, on a dex nombres positifs a+ b et a+ b On pet penser à tiliser la fonction " carré " pisqe : à comparer, et, le symbole Les dex nombres sont positifs, donc, ils sont dans le même ordre qe lers carrés. a+ b 0 < < a+ b si et selement si 0 < 4 (a + a b + b) < a+ b. Or, a+ b 4 ( a + a a b+ b a b + b) = 4 Comme n carré est tojors positif et a < b, on a: Conclsion: a+ b < a+ b a+ b = ( a b ) 4 ( a + a b + b) > 0 33/37 chap_.odt 30//4

34 S livre Math'x 06 page 7. ) La fonction f est définie sr l'intervalle I = [0 ; ] (M [OS] et OS = et OM = x) (On pet considérer qe lorsqe M = O o qe M = S, les triangles OBC sont rédits à n segment et qe l'aire est nlle). ) (Le maximm de la fonction f est la valer maximale de l'aire de OBC.) Le maximm m de f semble être égal à lorsqe le triangle OBC est n triangle rectangle isocèle en O. 3) L'aire f (x) de OBC est : f (x) = Or, BM² = OB² OM² = 4 x² Conclsion : f (x) = x 4 x OM BC = OM BM. 4a) f (x) = x 4 x Or, x 0, d'où, x = x. Comme por a 0 et b 0, a b = ab, on obtient : f (x) = x 4 x = x (4 x) = 4 x x 4 b) 4 x x 4 = ( 4 x x 4 )( 4 x x 4 +) 4 x x 4 + = 4 x x x x 4 + Le dénominater est strictement positif (somme d'n nombre positif et de ) Étde d signe de x 4 + 4x² 4 En posant t = x², on ramène l'étde à : t² + 4t 4 = (t² 4t + 4) = (t )² 4 x x 4 4 On a donc : x 4 + 4x² 4 = (x² )² ; soit : f (x) = 4 x x 4 + = ( x ) 4 x x 4 + L'expression (x² )² est positive o nlle. (C'est n carré) Son opposé est par conséqent négative o nlle. 34/37 chap_.odt 30//4

35 S livre Math'x Conclsion : Por tot x de I, f (x) 0 et f (x) = lorsqe x² =. Comme 0 x, f (x) = lorsqe x = c) Pisqe f (x) et qe f ( ) =, l'aire maximale vat. En ce cas, le point M est tel qe OM =. Comme OB² = 4, OC² = 4 et BC² = 4 BM² = 4(4 ) = 8, le triangle OBM est rectangle (réciproqe d théorème de Pythagore) et isocèle en O. Complément : Si m n'est pas conn, on pet chercher por qelle valer de m, on a : por x [0 ; ], f (x) m 0. m est nécessairement n réel positif (aire) f (x) m = x 4 x m = 4 x x 4 m = ( 4 x x 4 m)( 4 x x 4 +m) 4 x x 4 +m = 4 x x 4 m ² 4 x x 4 +m En posant : t = x², on est amené à chercher la forme canoniqe de t² + 4t m², soit : (t )² + m² 4 Lorsqe m² 4 = 0 et m 0, on est assré d'avoir n réel négatif o nl. m = 07 page 7 f la fonction racine carrée et g définie par g (x) = x+ por x. ) Cors : reconnaître g est de la forme où est la fonction affine x x + Comme le coefficient de x est strictement positif, la fonction est strictement croissante. La fonction g = est donc strictement croissante sr [ ; + [. ) Tracer de C f et C g sr [0 ; 0] Tablea de valers : x f (x) 0 3 g (x) 3 y x Respecter les nités b) Position respective de C f et C g. 35/37 chap_.odt 30//4

36 S livre Math'x Comme la fonction racine carrée est strictement croissante sr [0 ; + [, et qe por tot x 0, on a : x < x +, on obtient : x < x+. Par conséqent : f (x) < g (x). C f est strictement a-dessos de C g. c) Por de " grandes valers " de x, les nombres f (x) et g (x) sont très proches. (Mais, ils restent distincts) 3) L'écart entre les points de C f et C g d'abscisse 0 est 0 0,0 par défat. Comme 0, > 0,05, on pet distinger les dex points. L'écart entre les points de C f et C g d'abscisse 00 est ,0498 par défat. Comme 0,0498 < 0,05, on ne pet pas distinger les dex points. L'écart entre les points de C f et C g d'abscisse 00 est ,035 par défat. Comme 0,035 < 0,05, on ne pet pas distinger les dex points. 4 a) Por x 0, g (x) f (x) = x+ x ( x+ x)( x+ + x) Or, x+ x = x+ + x Conclsion : g (x) f (x) = x+ + x = x+ x x+ + x = x+ + x b) Por x > 0, on sait : (voir.b/) x < x+ En ajotant x ax dex membres de l'inégalité, il vient : Or, la fonction inverse est strictement décroissante sr ]0 ; + [, d'où : Conclsion : Por tot x > 0, g (x) f (x) < x c) On est sûr de ne pls distinger sr le graphiqe les points de C f et C g d'abscisse x dès qe Soit : x > 0,05, soit : x > 0 c-à-d : x > 0 Comme x > 0, on obtient : x > 00 x < x+ + x x > x+ + x x < 0,05 0 page = De façon générale : n+ n+ = n+ n = 0 = n+ n+ = n+. 36/37 chap_.odt 30//4

37 S livre Math'x Notation : = i=00 i= i=n n+ n+ = i= i+ i+ i+ i+ 37/37 chap_.odt 30//4