) 2) Les prix unitaires de chaque matériau sont représentés pour le premier semestre par la matrice P 1 :

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1 Exercice 1 Opéraions sur les marices Pour la réalisaion de ses chaniers, une enreprise de gros-œuvre du bâimen achèe, auprès de deux fournisseurs A e B, le béon (en m 3, les briques (en nombre de palees e les charpenes (en m 3. ( Sa commande de maériaux pour le premier semesre es représenée par la marice S 1 : S 1 = en noan dans la première colonne les quaniés de béon, de briques e de charpenes commandées auprès du fournisseur A, e dans la deuxième colonne celles commandées auprès du fournisseur B. ( La commande pour le second semesre es représenée par la marice S 2 : S 2 = Représener par une marice S la commande de maériaux pour l'année ( ( ( S = S 1 +S 2 = = Les prix uniaires de chaque maériau son représenés pour le premier semesre par la marice P 1 : P 1 = ( en noan dans la première ligne les prix uniaires du béon, des briques e des charpenes chez le fournisseur A, e dans la deuxième ligne ceux chez le fournisseur B. Au second semesre, ces prix on augmené globalemen de 2 % chez chaque fournisseur. Donner la marice P 2 représenan les prix uniaires de chaque maériau pour le second semesre 280,5 525,3 2568,36 P 2 = 1,02 P 1 = ( 302,94 504,9 2473,5. Savoir e nécessié de le faire los des éudes de suies (noammen suie géomérique : Augmener de % revien à muliplier par 1 + Diminuer de % revien à muliplier par 1 Preuve : Soi une quanié q. 100, 100. Après augmenaion de %, la nouvelle quanié es q ' = q + Après diminuion de %, la nouvelle quanié es q ' = q 100 ( q = q. 100 ( q = q. Aenion : Exprimer par un pourcenage es une façon de donner le coefficien muliplicaeur lors de la donnée de la proporionnalié Dans les calculs, on n'écri jamais % (ce n'es pas un nombre mais un ensemble de données (voir la phrase précédene. Dans le calcul, on écri /9 hp://dossierslmm.chez-alice.fr DS4_corrige.od 25/02/15

2 Ici : 2 % mène au coefficien : = 0,02 e non 0,2 qui serai celui associé à Calculer la dépense de l'enreprise par maériau e par fournisseur au premier semesre. Fournisseur A : Béon : = Briques : = Charpenes : = Fournisseur B : Béon : = Briques : = Charpenes : = Commenaires : Quelques erreurs de lecure (? On a les prix uniaires dans la marice P 1, auremen di : une seule unié de béon (ici : 1 m 3 coûe 275 chez le fournisseur A pour 125 m 3, la dépense sera de... Exercice 2 Marices e sysèmes L'objecif du problème es de chercher s'il exise une foncion f elle que f (x = ax² + bx + c don la courbe représenaive passe par les poins A(1 ; 0, B( 1 ; 2 e C(2 ; 7. { a+b+c=0 1 Démonrez que le problème es équivalen à la résoluion du sysème (S : a b+c= 2. 4 a+2b+c=7 A C f, d'où, f(1 = 0, soi : a + b + c = 0 B C f, d'où, f( 1= 2, soi : a b + c = 2 C C f, d'où, f(2 = 7, soi : 4a + 2b + c = 7 Réflexe : Soi une courbe d'équaion connue (E (Une équaion conien un signe = e me en relaion les coordonnées d'un poin de la courbe. Un poin A( x A ; y A apparien à cee courbe si e seulemen si ses coordonnées x A e y A vérifien l'équaion de cee courbe. Ici : la courbe représene une foncion f, d'où, son équaion es y = f (x. ( a c 2 On pose X = b. Déerminez les marices M e N elles que le sysème (S soi équivalen à l'équaion maricielle MX = N. On pose M = ( e N = ( /9 hp://dossierslmm.chez-alice.fr DS4_corrige.od 25/02/15

3 ( ( a c ( b = Résoudre le problème. a b+c= 2. 4 a+2b+c=7 7 équivau à { a+b+c=0 On es donc amené à résoudre l'équaion maricielle MX = N. Cours : Si M es inversible alors la soluion de l'équaion maricielle es la marice S = M 1 N. À la calcularice, on rouve que M es inversible. ( 2 X = M 1 N = 1 3. La foncion f es la foncion définie par f (x = 2x² + x 3 (Vérificaion : f(1 = = 0, f( 1 = = 2, f(2 = = 7 Commenaire : ne pas oublier de conclure l'exercice. Exercice 3 Graphe probabilise Alice paricipe à une compéiion de ir à l'arc ; elle effecue plusieurs lancers de flèches. Lorsqu'elle aein la cible à un lancer, la probabilié qu'elle aeigne la cible au lancer suivan es égale à 0,9. Lorsqu'elle a manqué la cible à un lancer, Alice se déconcenre e la probabilié qu'elle aeigne la cible au lancer suivan es égale à 0,4. On suppose qu'au premier lancer, elle a auan de chances d'aeindre la cible que de la manquer. Pour ou nombre enier naurel n sricemen posiif, on noe : a n la probabilié qu'alice aeigne la cible au n-ième lancer ; b n la probabilié qu'alice manque la cible au n-ième lancer ; P n = (a n b n la marice ligne raduisan l'éa probabilise au n-ième lancer. Représener la siuaion par un graphe probabilise de sommes A e B (A représenan l'éa " Alice aein la cible " e B l'éa " Alice manque sa cible ". Indiquer la marice de ransiion M associée à ce graphe. On prendra les sommes A e B dans l'ordre (A, B. 0,9 0,1 M = ( 0,4 0,6 3/9 hp://dossierslmm.chez-alice.fr DS4_corrige.od 25/02/15

4 Donner P 1 e calculer P 2. P 1 = (0,5 manquer. 0,5 car, on suppose qu'au premier lancer, elle a auan de chances d'aeindre la cible que de la P 0,9 0,1 2 = (0,5 0,5 ( 0,4 0,6 Quelques confusions dans les probabiliés : La marice de ransiion es la marice M = ( P ( A A P B ( A = (0,5 0,9+0,5 0,4 0,5 0,1+0,5 0,6 = (0,45+0,2 0,05+0,3 = (0,65 0,35 P A P B (B La marice donnan l'éa probabilise au lancer n es la marice (P ( A P (B où P(A es la probabilié pour Alice d'aeindre A à ce lancer n, e, P(B es celle de ne pas aeindre la cible. La marice de ransiion perme de calculer la probabilié au lancer suivan : P n+1 = P n M Sur un arbre de probabilié : L'éa P n = (a n b n e P n+1 = (a n 0,9+b n 0,4 a n 0,1+b n 0,6 4/9 hp://dossierslmm.chez-alice.fr DS4_corrige.od 25/02/15

5 Exercice 4 Graphes Amérique du Nord mai 2014 Lors d'une campagne élecorale, un homme poliique doi effecuer une ournée dans les villes A, B, C, D, E, F, G e H, en uilisan le réseau auorouier. Le graphe G ci-dessous, représene les différenes villes de la ournée e les ronçons d'auoroue relian ces villes (une ville es représenée par un somme, un ronçon d'auoroue par une arêe : Parie A 1 Déerminer, en jusifian, si le graphe G es : a comple ; le graphe G n'es pas comple cerains sommes ne son pas reliés (par exemple, A e E ne son pas reliés. b connexe. le graphe G es connexe. Aucun somme n'es isolé. Il exise un chemin relian deux sommes quelconques de ce graphe. 2 a Jusifier qu'il es possible d'organiser la ournée en passan au moins une fois par chaque ville, ou en emprunan une fois e une seule chaque ronçon d'auoroue. Un el raje correspond à une chaîne eulérienne. On déermine les degrés de chaque somme. Somme A B C D E F G H Degré D'après le héorème d'euler, comme il y a exacemen deux sommes de degré impair, B e D, il exise un chemin eulérien relian ces deux sommes. 5/9 hp://dossierslmm.chez-alice.fr DS4_corrige.od 25/02/15

6 b Cier un raje de ce ype. Rappel d'une méhode : On crée une chaîne de B à D emprunan une e une seule fois chaque arêe (on marque (ou efface les arêes emprunées. À parir d'un somme de cee chaîne, on insère une boucle emprunan une e une seule fois chaque arêe (on marque (ou efface les arêes emprunées. On réière jusqu'à épuisemen des arêes. EXEMPLE : B-A-D les arêes B-A e A-D son effacées (ou marquées e on remplace le somme B par la boucle B-E-C-B qu'on insère (les arêes B-E, E-C, C-B son effacées on a donc : B-E-C-B-A-D on insère la boucle C-G-F-H-C- (on efface C-G, G-F, F-H, H-C on insère la boucle H-D-E- on a donc : B-E- C-G-F-H-C-B-A-D C-H- B-E-C-G-F-H-D-E-C-H-C-B-A-D Un aure chemin eulérien : B A D E B C E G C H F G H D 3 On appelle M la marice d'adjacence associée au graphe G (les sommes éan pris dans l'ordre alphabéique. M = a Déerminer la marice M. ( /9 hp://dossierslmm.chez-alice.fr DS4_corrige.od 25/02/15

7 b On donne la marice M 3 = ( Déerminer, en jusifian, le nombre de chemins de longueur 3 relian E à H. 4 chemins (ligne 5, colonne 8 de longueur 3 relian E à H Préciser ces chemins. E-B-C-H ; E-C-G-H ; E-G-F-H ; E-G-C-H Parie B Des conraines d'organisaion obligen ce homme poliique à se rendre dans la ville F après la ville A. Le graphe G es compléé ci-dessous par les longueurs en kilomère de chaque ronçon d'auoroue. Déerminer, en uilisan l'algorihme de Dijksra, le raje auorouier le plus cour pour aller de A à F. Préciser la longueur en kilomère de ce raje. 7/9 hp://dossierslmm.chez-alice.fr DS4_corrige.od 25/02/15

8 A B C D E G H F (A 600 (A 1000 (B 600 (A 800 (B 1000 (B 1000 (B 1150 (E 800 (B 900 (D (D 1400 (E (D 1400 (E 1550 (C 1450 (C 1450 (C 1700 (G 1600 (G 1600 (G 2000 (H Traje de longueur minimale : A-B-E-G-F de longueur km. Rappel de la méhode : Algorihme de Djiksra. Le principe : Si le plus cour chemin relian S (dépar à F (arrivée passe par les sommes s1, s2,, sk alors, les différenes éapes son aussi les plus cours chemins relian S aux différens sommes s1, s2,, sk. Le somme de dépar es S : ligne 1 : On affece le poids 0 au somme origine S e on aribue provisoiremen un poids aux aures sommes. (Ici : le somme S es A d'après l'énoncé. ligne 2 : On cherche les sommes adjacens à S auxquels on aribue leur pondéraion e on prend comme nouveau somme de dépar celui qui a la pondéraion la plus faible (qui devien donc le somme S de l'algorihme. (On indexe par le somme d'où on vien. Le premier somme es raié (on " barre " la colonne (Ici : B e D son adjacens à A, e, la disance la plus coure es la disance AB = 400. B devien le somme à raier. L'éape suivane es répéée jusqu'au momen où le somme d'arrivée es affecé de son poids définiif. (Une nouvelle ligne à chaque iéraion On cherche les sommes non raiés adjacens à S. Soi X un de ces sommes. On aribue à X la somme du poids de S e du poids de l'arêe SX si cee somme es inférieure à la pondéraion acuelle de X. 8/9 hp://dossierslmm.chez-alice.fr DS4_corrige.od 25/02/15

9 Lorsque ous les sommes adjacens son affecés d'un poids, le somme ayan la pondéraion la plus faible devien le nouveau somme S. (On indexe par le somme d'où on vien. (on " barre " la colonne du somme qui vien d'êre raié. Ici : Première iéraion : les sommes non raiés adjacens à B son C e E. C es affecé du poids e E du poids On n'oublie pas de noer D de poids 600. D devien donc le somme à raier. (On barre la colonne de B Deuxième iéraion : Les sommes non raiés adjacens à D son E e H. Comme es supérieur à 800, on garde le poids 800 pour E. H es affecé du poids = On n'oublie pas de noer C de poids E devien donc le somme à raier. (On barre la colonne de D Troisième iéraion : Les sommes non raiés adjacens à E son C e G. Comme es supérieur à 1000, on garde le poids pour C. G es affecé du poids = On n'oublie pas de noer H de poids C devien donc le somme à raier. (On barre la colonne de E Quarième iéraion : Les sommes non raiés adjacens à C son G e H. Comme es supérieur à 1 400, on garde le poids pour G. H es affecé du poids = 1450 (car 1450 < G devien donc le somme à raier. (On barre la colonne de C. Cinquième iéraion : Les sommes non raiés adjacens à G son F e H. F es affecé du poids e H garde le poids puisque < H devien donc le somme à raier. (On barre la colonne de G. Dernière iéraion : Le seul somme non raié adjacen à H es F e comme > 1 600, l'algorihme se ermine ici. On remone le chemin grâce à l'indexaion Pour arriver à F, on venai de G de E de B de A 9/9 hp://dossierslmm.chez-alice.fr DS4_corrige.od 25/02/15