UN MODÈLE D ÉVALUATION DES COÛTS AGRÉGÉS LIÉS AUX ASSURANCES POUR LES PROFESSIONNELS DE LA SANTÉ

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1 UN MODÈLE D ÉVALUATION DES COÛTS AGRÉGÉS LIÉS AUX ASSURANCES POUR LES PROFESSIONNELS DE LA SANTÉ Mémoire Emmanuel Hamel Maîrise en acuaria Maîres ès sciences (M.Sc.) Québec, Canada Emmanuel Hamel, 03

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3 Résumé Dans ce mémoire, un processus d évaluaion des coûs agrégés liés aux assurances pour les professionnels de la sané es considéré. Au chapire, nous décrivons les principales caracérisiques de l assurance pour les professionnels de la sané : l environnemen, les ypes de couverure d assurance, la prime, les coûs liés aux réclamaions, les ypes de dépendances sochasiques dans le processus des coûs e dans les aux d acualisaion du processus des coûs. Au chapire, une descripion des conceps héoriques préalables à l élaboraion e à l applicaion du modèle mahémaique es faie : la dépendance (avec copules), le processus de renouvellemen, la force d inérê e les méhodes numériques uilisées. Au chapire 3, le modèle héorique du processus des coûs es éabli e les premiers momens de ce processus son obenus, par des calculs numériques déerminises e par simulaions. Au chapire 4, plusieurs applicaions du modèle son présenées : momens avec force d inérê sochasique (Vasice), incidences de la dépendance sur le modèle, calculs de primes, mesures de risque (VaR e TVaR). Au chapire 5, nous concluons ce mémoire. iii

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5 Absrac In his maser s degree hesis, an aggregae loss model for healh professionals is considered. The inroducion describes some characerisics relaed o he insurance for healh professionals: environmen, ype of insurance coverage, premium, cos of a claim, sochasic dependencies in he claim process and discoun rae. In chaper, a descripion of heoreical conceps relaed o he proposed mahemaical model is done: sochasic dependence (by copulas), renewal processes, discoun rae (i.e. sochasic differenial equaions) and numerical mehods. In chaper 3, he heoreical model is presened and he firs momens are obained, wih deerminisic numerical calculaions and simulaions. In chaper 4, some applicaions of he model are presened: firs momens calculaions wih sochasic ineres rae (Vasice), impac of dependence on he model, premium calculaions, ris measures (VaR and TVaR). In chaper 5, he conclusion follows. v

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7 Avan-propos À Ghislain Léveillé, mon direceur de recherche, je iens à le remercier pour l encadremen e pour le souien financier qu il m a donné lors de l élaboraion e la rédacion de ce mémoire. À ma famille e à mes amis, je iens à exprimer une profonde reconnaissance pour le souien qu ils m on apporé lors de mes éudes de maîrise. vii

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9 Table des maières Résumé... iii Absrac... v Avan-propos... vii Chapire Inroducion... Chapire Conceps héoriques préalables au modèle Processus de renouvellemen ordinaire Définiions Sommes de renouvellemen avec réclamaions escompées Taux d acualisaion consan Taux d acualisaion sochasique Dépendance Copule Copules Archimédiennes Mesures de dépendance Mesure de Spearman Rho mulivariée Mesure de Kendall Tau mulivarié Mesure de «Upper ail dependence» Force d inérê Force d inérê consane Lemme d Iô Vasice Méhodes numériques uilisées Méhodes de quadraure Algorihmes d inégraion numérique Algorihme de Cuhre Algorihme Vegas Méhodes de simulaion de la copule... 4 xi

10 Chapire 3 Processus des coûs Hypohèses Calculs des deux premiers momens Calculs des foncions d auo-covariance e d auo-corrélaion Chapire 4 Applicaions Méhodes de simulaion des processus Algorihme de simulaion Simulaion de la disribuion du processus des coûs Calculs de primes Mesures de risque VaR e TVaR Incidences de la dépendance sur le modèle Incidence de la dépendance sur le premier momen Incidence de la dépendance sur la variance Incidence de la dépendance sur la foncion d auo-covariance Incidence de la dépendance sur la foncion d auo-corrélaion Momens simples e conjoins avec Vasice Chapire 5 Conclusion... 8 Bibliographie Annexe x

11 Chapire Inroducion Les soins de sané son une préoccupaion consane dans nore sociéé e pariculièremen pour les organismes qui en défraien les coûs. Les coûs des soins de sané reposen sur un équilibre dynamique enre plusieurs élémens, don le marché de l assurance. De fai, le marché de l assurance pour les professionnels de la sané es un élémen qui doi êre considéré sérieusemen, car il influe considérablemen sur les coûs e l accessibilié aux soins de sané. Un élémen clef qui es relié aux coûs des soins de sané es le processus de réclamaion pour négligence ou faue d un professionnel de la sané. Ce dernier peu êre représené par une suie de décisions emporelles par les agens impliqués. La personne qui nécessie des soins de sané doi déerminer si elle a à renconrer un professionnel de la sané. Ensuie, le raiemen évenuel résulan de cee renconre peu s avérer posiif ou abouir à une faue professionnelle. Le paien peu alors décider de poursuive ou non le professionnel de la sané en cas de faue, ce qui peu engager les paries impliquées dans des négociaions plus ou moins laborieuses. Si ces négociaions achoppen, ces dernières peuven alors générer un procès. Dans le cas où un procès a lieu, le résula final es déerminé par la cour, processus qui es rès variable en ous aspecs (p.ex. il es souven difficile de déparager l aléa de la faue, voir Bha (00) e Acerbo-Kozuchowsi & Ashon (007) pour plus de déails). Figure Pour qu il y ai négligence ou faue d un professionnel de la sané, le paien doi avoir subi un préjudice relaivemen imporan. Plus précisémen, le juge peu émere un consa défavorable au praicien selon les rois crières suivans: un fai généraeur, une Il es à noer qu une grande proporion des sinisres pour la responsabilié civile médicale es réglée hors cours. Néanmoins, cela engendre ou de même des frais d avocas souven imporans.

12 faue ayan causé dommage e l exisence d un lien de causalié enre ces derniers. De plus, il y a plusieurs ypes de faues possibles : ace echnique fauif, ace non fauif (aléa), infecion nosocomiale, affecion iarogène, acciden dû à la prescripion ou à la délivrance de produis de sané, ec. Aussi, plusieurs causes peuven jouer un rôle déerminan en ce qui a rai aux professionnels de la sané impliqués dans une réclamaion pour négligence ou faue : l environnemen de ravail, l absence de proocoles, une communicaion inadéquae enre les professionnels de la sané, imporance de la charge de ravail, ec. Aux fins du présen documen, le concep de négligence ou faue d un professionnel de la sané es défini comme sui : «[ ] afin de pouvoir éablir qu il y a eu négligence de la par d un médecin, un paien demandeur doi prouver, à la saisfacion de la cour, que le préjudice a éé causé parce que le médecin ne s es pas conformé à une norme de praique raisonnable e accepable. Afin de déerminer s il y a eu négligence ou faue professionnelle, les ribunaux appliquen non pas une norme de praique visan la perfecion, mais pluô la norme de praique qu aurai uilisée un collègue dans des circonsances similaires.» (Associaion canadienne de proecion médicale) 3 En praique, la plupar des professionnels de la sané (p.ex. infirmière, médecin) peuven êre responsables de négligence. De plus, les aces de négligence peuven survenir dans différens endrois, par exemple, dans des hôpiaux, des bureaux de médecins, ec. Il es à noer que le concep de négligence ou de faue d un professionnel de la sané a éé inrodui dès 375! En réalié, un besoin de proecion conre les aléas de la cour a «oujours» éé présen pour les professionnels de la sané e fu comblé pour la première fois en 47 par l inroducion d un regroupemen d assurance obligaoire en Angleerre (American college of legal medecine (007))! Sans grande surprise, des mécanismes de ransfer de risque exisen oujours sous différenes formes (p. ex. assureurs, muuelles, sysème sans égard à la faue). Pour que ces mécanismes de ransfer de risque foncionnen adéquaemen, il fau déerminer des méhodes d éablissemen des coûs. Cee dernière âche serai difficilemen réalisable sans On considère que la définiion es valable pour ou professionnel de la sané même si le erme médecin es uilisé. 3 hps://

13 connaissance des caracérisiques principales de l environnemen des professionnels de la sané. Environnemen des professionnels de la sané L environnemen des professionnels de la sané a beaucoup évolué duran les dernières décennies. De nombreuses crises, qui on noammen eu lieu aux Éas-Unis, on provoqué des changemens imporans. Comme les crises on un impac sur le processus des coûs e sur les mécanismes de ransfer de risque, par le biais des réformes qu elles génèren, beaucoup de enaives on éé effecuées pour rouver des soluions, néanmoins sans résulas rès probans (Gilmour (006)). En oure, chacune de ces crises a éé provoquée par des faceurs différens (p.ex. plus grande facilié des paiens à poursuivre, déclin dans la valeur des acifs financiers, voir Dalon e coll. (008) ). En général, une crise peu êre décrie par une période où les professionnels de la sané se débaen pour obenir une couverure d assurance (Dalon e coll. (008)). Lors de ces périodes de crise, les couverures son moins disponibles e les coûs de ces couverures deviennen exorbians. Cela es pariculièremen vrai pour les spécialiés qui son les plus risquées (p.ex. obsériciens, neurochirurgiens). Suie aux crises, plusieurs modificaions on éé apporées à l environnemen de l assurance pour les professionnels de la sané, noammen par la formaion de nouveaux mécanismes de ransfer de risque e par la modificaion de ceraines disposiions législaives, ceci afin de ener de conrôler les coûs liés aux poursuies. Les principales modificaions à l environnemen législaif on éé l imposiion de limies sur les conras pour le nombre de poursuies e pour la sévérié des sinisres, la resricion des drois de la vicime pour le sysème judiciaire e pour le sysème d assurance (Sloan e Chepe (008)). Il es à noer que les changemens législaifs affecen généralemen l ensemble des conras e ces derniers peuven compliquer la âche des acuaires (Tvergerg (005)), car ils inroduisen une dépendance enre ous les risques d un porefeuille. Égalemen, les réformes législaives on de l impac sur plusieurs agens du marché d assurance des professionnels de la sané (p.ex. assureurs, avocas). De plus, les modificaions législaives alèren l expérience des mécanismes de ransfer de risque e ajouen de l inceriude supplémenaire, car il es difficile de modéliser le momen de réalisaion e l impac de ces dernières. Finalemen, les modificaions législaives ne règlen pas nécessairemen ce qui semble êre la vraie naure du problème : la négligence de cerains professionnels de la sané. Un des élémens qui es foremen lié aux crises es le cycle d assurance qui représene une oscillaion des condiions de marché (Baer (005 a)). De fai, le marché de 3

14 l assurance pour les professionnels de la sané évolue à ravers des périodes «hard» e «sof». Les périodes «hard» son caracérisées par une augmenaion des primes, une arificaion compéiive, une offre de couverure plus resricive e par le dépar d assureurs du marché. Les périodes «sof» son caracérisées par une augmenaion relaivemen faible de la prime, une arificaion peu compéiive, une offre de couverure «généreuse» e une compéiion peu prononcée enre les mécanismes de ransfer de risque. De fai, les lignes d assurance couvran la responsabilié civile pour les professionnels de la sané son caracérisées par un cycle d assurance rès volaile. Les causes de cee volailié semblen êre le délai pour régler les réclamaions ainsi que leur sévérié (GAO (003)). De plus, le délai enre le momen de récepion de la prime e le paiemen du sinisre es généralemen grand. Cela implique que pendan la période inérim, le mécanisme de ransfer de risque peu sous-esimer ou suresimer le passif des polices, ce qui peu avoir un impac sur les cycles d assurance (e les primes). En résumé, les cycles d assurance on un impac sur l accessibilié des couverures e conséquemmen, sur le processus des coûs. Couverure d assurance En praique, plusieurs ypes de couverures s offren aux professionnels de la sané : «claims-made», «claims-paid», «occurrence», «prior acs coverage», «ail coverage», «deah, disabiliy and reiremen (DDR)» e «hybrid». De plus, la période de couverure varie d un conra à l aure e d un mécanisme de ransfer à l aure. Des périodes de couverure ypiques son un e rois ans. Il va sans dire que les clauses d un conra affecen direcemen les coûs qui son reliés à ce dernier. La couverure d un conra di «claims-made» proège le iulaire de police que si le sinisre es déclaré par ce dernier duran la période de couverure. Ce ype de conra semble êre le plus populaire sur le marché. Égalemen, la couverure du ype de conra «claims-paid» n enre en vigueur que si le sinisre es payé duran la période de couverure (Baes e Winch (004)). Par ailleurs, la couverure d un conra di «occurrence» n enre en vigueur que si le sinisre es survenu duran la période de couverure définie dans le conra. Pour clarifier, supposons que rois assurés différens on acheé respecivemen un conra «claims-made», «claims-paid» e un conra «occurrence» pour l année 0. Si un sinisre survien en 0, mais qu il es déclaré au mécanisme de ransfer de risque en 03, seul le roisième assuré serai indemnisé, car le sinisre n a pas éé déclaré ni 4

15 payé en 0. Ainsi, la couverure de ype «occurrence» couvre un plus grand ensemble d évènemens que les conras «claims-made» e «claims-paid». Similairemen, le ype de conra «claims-made» couvre un plus grand ensemble d évènemens que le ype de conra «claims-paid». Hisoriquemen, la couverure de ype «claims-made» a éé inroduie pour diminuer la difficulé de projecion des coûs fuurs que pose le ype de conra «occurrence (Born & Boyer (0)). Égalemen, le ype de conra «claims-paid» a éé inrodui pour diminuer le risque des conras «claims-made». Finalemen, les commenaires s appliquan à la relaion enre le ype de conra «occurrence» e «claims-made» s appliquen aussi à la relaion enre le ype de conra «claims-made» e «claims-paid». En admean que le délai enre le paiemen de la prime e le paiemen du sinisre es généralemen plus élevé pour les conras de ype «occurrence», une évidence apparaî : les revenus d invesissemen son généralemen plus élevés pour les acifs qui son appariés à ce dernier, ce qui représene des avanages e inconvéniens liés à la gesion des acifs. La couverure d un conra di «prior acs coverage» es un ype de couverure complémenaire aux «claims-made» qui es acheé par l assuré lorsqu il change de mécanisme de ransfer de risque. Cee couverure couvre les sinisres qui son survenus avan le changemen (GAO (003)). Or, dans cerains cas, cela es problémaique, car la prime de cee couverure peu êre subsanielle, ce qui peu représener une conraine non négligeable lorsque l assuré veu changer de mécanisme de ransfer de risque. La couverure d un conra di «ail coverage» es un ype de couverure qui es complémenaire aux «claims-made» e qui es acheé pour couvrir les sinisres qui surviennen après l arrê d une couverure de ype «claims-made» ( GAO (003)). La couverure d un conra di «deah, disabiliy and reiremen (DDR)» es complémenaire aux «claims-made» (Forray (00)). Cee couverure donne une proecion au professionnel de la sané, en cas de la survenance des rois évènemens cihau menionnés, généralemen sans prime addiionnelle. Cerains ypes de conra qu on dénomme «hybrid» permeen à un professionnel de la sané de rapporer (verbalemen) le sinisre avan même que la déclaraion (officielle) du sinisre soi faie à l assureur (Pulis (00)). Ce ype de conra génère un mixe d expérience enre le ype de conra «claims-made» e «occurrence». 5

16 Enfin, pour les conras d assurance pour les professionnels de la sané, il n y a généralemen pas de franchise e il y a généralemen des limies (Zeiler e coll. (007)). Ces limies peuven s appliquer sur la somme des sinisres e des frais. Figure Éablissemen de la prime Par voie de conséquence, une prime doi êre éablie à parir d une couverure donnée. Ainsi, à l aide des différens ypes de conras menionnés précédemmen, une prime peu êre calculée. De façon générale, une prime es basée sur la valeur anicipée des coûs fuurs des réclamaions, les dépenses reliées aux réclamaions, les revenus d invesissemen, la nécessié de consruire un surplus e la nécessié de générer des profis. Tel que menionné précédemmen, les primes peuven avoir une influence sur le processus des coûs par l inermédiaire des crises e des cycles d assurance. Lors du processus d éablissemen de la prime, plusieurs méhodes peuven êre uilisées en assurance de dommage. Une méhode populaire es «l experience raing». Néanmoins, cee méhode, pour l assurance des professionnels de la sané, semble peu uilisée puisque cee dernière ligne d affaires a une faible fréquence e une sévérié élevée, ce qui implique que cerains professionnels de la sané pourraien ne pas pouvoir 6

17 obenir de couverure (coûs) 4. De plus, ceraines variables de arificaion, qui ne son pas basées sur l expérience individuelle des assurés, son uilisées pour classifier les risques. Lorsque le mécanisme de ransfer de risque évalue les primes, ce dernier doi enir compe du coû de réassurance. La réassurance es essenielle pour les mécanismes de ransfer de risque associés aux professionnels de la sané. Par exemple, éan donné que cee ligne d affaires es rès volaile, la réassurance joue un rôle imporan pour les peis assureurs ou les assureurs qui n on qu une seule ligne d affaires, car leur risque d insolvabilié es peu êre élevé. Au cours des dernières années, les primes chargées aux assurés semblen avoir augmené pour plusieurs raisons : les revenus d invesissemen des assureurs on diminué, le monan des réclamaions e le coû de réassurance on augmené (GAO (003)). Or, c es l augmenaion des peres des mécanismes de ransfer de risque qui semble êre le faceur décisif (GAO (003)). En addiion, le processus juridique de règlemen des sinisres n appore en général que de l informaion limiée sur les effes qui causen la négligence. Ce manque d informaions peu rendre la arificaion des sinisres difficile. Finalemen, au meilleur des connaissances de l aueur de ce documen, il semble que peu d informaions soien disponible quan aux méhodes de calcul de prime pour l assurance des professionnels de la sané dans la liéraure spécialisée. Les coûs d une réclamaion Les coûs d une réclamaion pour un mécanisme de ransfer de risque peuven êre séparés en deux composanes principales: monan des sinisres e monan des frais. Le monan des sinisres es généralemen composé de dommages économiques e non économiques. Nous enendons par dommages économiques, les coûs médicaux associés à la réclamaion ainsi que les peres de revenus, de déplacemen, ec. De plus, nous enendons par dommages non économiques les dommages résulans de la souffrance psychologique e physique (p.ex. dommage corporel, dommage moral, ec.). Ces dommages son rès difficiles à quanifier de par leur naure subjecive e de par leur grande variabilié qui es liée au jury. Souven, une échelle de gravié qui perme de déerminer la sévérié des sinisres es uilisée. En général, les paiemens son plus élevés pour le «pain and suffering» que pour les dommages économiques. 4 Ce résula es éviden si des mahémaiques bayesiennes, qui iennen compe de l expérience des assurés, son uilisées pour l exercice de arificaion des conras. 7

18 En oure, le monan des sinisres peu êre payé en un monan forfaiaire ou sous la forme d une rene 5. Le même consa peu êre fai pour les frais liés aux réclamaions. Il y a cerains avanages e désavanages aux deux ypes de paiemens. Par exemple, si un assureur effecue des paiemens périodiques aux vicimes, il s expose au risque de longévié (moralié). Une alernaive, qui semble promeeuse, serai de mere sur le marché des conras d assurance qui procure les services aux vicimes à l insar de paiemens monéaires (voir Sloan & Chepe (008) ). Plusieurs faceurs peuven avoir un impac sur la disribuion des sinisres, par exemple, la spécialié des professionnels de la sané ainsi que leur locaion géographique (Danzon (986), Jena e coll. (0)). Cela s explique par le fai que la spécialié du professionnel de la sané enraîne des services différens e par le fai que la législaion e le conexe social varien d une région à une aure. Qui plus es, le monan des sinisres pour cee ligne d affaires es rès variable (Blac e coll. (007)). Égalemen, plusieurs sinisres son réglés sans paiemens, cela découle du fai qu une grande parie des professionnels de la sané impliqués lors de négligence son poursuivis (Baer (005 b)). Un aure élémen qui affece le processus des coûs es l effe «haircu» (Hyman e coll. (007)). En effe, les poursuies dans ceraines zones géographiques ne dépassen généralemen pas le monan de la couverure de la police d un professionnel de la sané, car les vicimes n apprécien pas obenir du «blood money» (acifs personnels d un professionnel de la sané). De plus, les avocas on endance à concenrer leurs effors sur les grosses réclamaions, ce qui implique que les peies réclamaions obiennen moins d aenion e cela peu avoir un impac sur le processus des coûs (Schroeder (005)). La plupar des sinisres son réglés avan d aeindre la cour. Or, cela n implique pas que les frais d avocas son éliminés pour auan. De surcroî, quand il y a des limies sur les dommages dans ceraines régions, les médecins représenan des mauvais risques von généralemen dans ces dernières pour évier de perdre leurs licences (Schroeder 005), créan un effe d anisélecion. Finalemen, les mécanismes de ransfer de risque peuven uiliser une sraégie d aene pour diminuer les coûs e décourager les vicimes. Le monan des frais alloués es généralemen composé de frais d avoca, de frais d expers en sinisres médicaux, de copies de rappors médicaux e des frais de la cour. Généralemen, les frais d avocas consiuen l élémen dominan du monan des frais alloués. De plus, le monan des frais alloués e des sinisres peu varier significaivemen d un mécanisme de ransfer à un aure éan donné l experise présene dans ces derniers (Lei & Schmi (00)). 5 L assureur procure direcemen une rene ou en achèe une avec un monan forfaiaire. Une rene peu, dans cerains cas, procurer un meilleur appariemen enre l acif e les passifs d un mécanisme de ransfer de risque. 8

19 Le monan des frais non alloués, quan à lui, es généralemen composé des salaires des employés, des frais de loyer, des frais du sysème informaique, des frais de pose e des frais de éléphone. Figure 3 Dépendance dans le processus des coûs Nous définissons généralemen la fréquence comme le nombre de réclamaions par professionnel de la sané. Plusieurs faceurs peuven avoir un impac sur la fréquence des réclamaions, par exemple, la spécialié des professionnels de la sané (p.ex. aneshésie, chirurgie plasique, chirurgie eshéique, obséricien, sages-femmes, chirurgien-denise, pharmaciens, inésihérapeue, ec.) ainsi que leur locaion géographique (p.ex. régions, éas, pays). Un effe que le mécanisme de ransfer de risque ne devrai pas négliger, mais qui es rès difficile à modéliser, es qu il peu y avoir un lien enre la fréquence e la sévérié lors de modificaions législaives. Par exemple, s il y a une réforme législaive (noion de sinisre caasrophique) e qu une limie es imposée aux dommages non économiques, il es for probable que moins de vicimes von inener des poursuies. De plus, l inflaion a de l impac sur la sévérié des sinisres ainsi que sur les frais. De plus, plusieurs éudes (Saud (00), Blac e coll. (007)) semblen corroborer l hypohèse qu il exise une dépendance posiive enre : le délai séparan la déclaraion 9

20 du paiemen des sinisres, le monan effecivemen payé à l assuré e le monan des frais encourus. Ces observaions on du sens sous considéraion de l inerpréaion qui sui. Plus une réclamaion implique des monans élevés, plus la réclamaion devrai prendre du emps à se régler. Si une réclamaion prend plus de emps à se régler, elle devrai impliquer un monan plus élevé de frais alloués. Il va sans dire qu ignorer cee dernière srucure de dépendance pourrai résuler en une sous-esimaion du risque du processus des coûs. Figure 4 Taux d acualisaion Pour enir compe des coûs agrégés, il fau enir compe du aux d acualisaion. Or, le aux d acualisaion pour les sinisres e les frais n es pas nécessairemen le même. En effe, il es possible que le salaire des avocas n ai pas le même aux d inflaion que le monan des paiemens alloués aux sinisres. De plus, il n es pas nécessairemen garani que les deux aux d acualisaion sous considéraion soien indépendans (conjoncure économique). 0

21 Élémens de endance dans la sinisralié En ce qui a rai à la sinisralié, les élémens de endance prospecifs semblen êre difficiles à déerminer éan donnée la complexié du processus des coûs de cee ligne d affaires. Par exemple, dans ceraines régions, la fréquence des sinisres semble sable dans le emps. Néanmoins, cela peu cacher des effes de double endance : une diminuion du nombre de sinisres grâce à l amélioraion des echniques médicales, mais une augmenaion du nombre de sinisres qui es liée à l augmenaion de la propension des vicimes de faue ou négligence de professionnel de la sané à effecuer des poursuies (voir Bras e coll. (007)). Aussi, il a éé observé que les monans des réclamaions son rès variables d une année à l aure e d une base de données à l aure, ce qui rend difficile l idenificaion claire d élémens de endance. Néanmoins, ceraines hypohèses seron émises lors du raiemen mahémaique. Figure 5 Objecifs du mémoire En résumé, le processus des coûs, en ce qui a rai aux professionnels de la sané, es un processus complexe e présene un faible volume de données qui son rès variables (base de muualisaion réduie). Malgré ou, ceraines caracérisiques inrinsèques aux lignes d affaires d assurance pour responsabilié civile des professionnels de la sané semblen consanes à ravers le emps (p. ex. processus de réclamaion), ce qui perme

22 de croire en la validié de l hypohèse suivane : le processus de réclamaion possède assez de symérie pour êre décri adéquaemen par un modèle mahémaique, hypohèse qui semble êre corroborée par Maréchal e coll. (006). Dans ce mémoire, un modèle qui perme le calcul des coûs agrégés, pour un mécanisme de ransfer de risque qui assure proecion à des professionnels de la sané pour un ype de conras «claims made», es présené. Des condiions pour obenir un modèle adéqua pour le processus des coûs agrégés pour les professionnels de la sané on éé suggérées dans la liéraure e son menionnées ci-dessous : «Pour appréhender convenablemen le phénomène, il convien, selon les chercheurs, de se concenrer sur les frais hisoriques des sinisres médicaux e sur l évoluion hisorique des sinisres. Dans ce cadre, un sinisre doi êre décri selon quare crières : () le momen où se produi le fai provoquan des dommages, () le momen où les dommages se manifesen, (3) le momen de la plaine e (4) le momen où la plaine peu êre considérée comme réglée.» (MARSH & IMA (004)) Dans ce documen, nous considérons une simplificaion de ces dernières condiions, c es-à-dire que les rois premiers crières numéroés seron regroupés en un seul. De plus, ne nous aardons pas à savoir si un sysème sans égard à la faue es considéré. Néanmoins, un sysème sans égard à la faue peu générer une expérience différene, car les processus de règlemen des sinisres ne son pas nécessairemen semblables, ce qui peu affecer le processus des coûs résulan. Précisémen, le modèle présené dans ce mémoire ien compe de l ineracion enre les différens élémens suivans : monans payés (c.-à-d. monan payé pour la réclamaion e les frais alloués) ainsi que les aux d acualisaion qui son liés, le délai enre la déclaraion e le paiemen des sinisres, la fréquence de déclaraion des réclamaions agrégées e la période de emps sur laquelle les couverures son offeres. À l aide des différenes ineracions décries précédemmen, le modèle considère la valeur acualisée agrégée des sinisres payés e des frais qui leur son alloués, pour chaque sinisre déclaré dans un inervalle de emps donné. Il es à noer que le modèle présené dans ce mémoire pourrai possiblemen s appliquer à d aures lignes d affaires en responsabilié civile. Au chapire, les conceps héoriques préalables au modèle son présenés : processus de renouvellemen, copules, force d inérê e méhodes de calculs. Au chapire 3, la

23 secion processus des coûs raie des hypohèses du modèle mahémaique proposé pour le calcul des coûs agrégés e en calcule les premiers momens. Au chapire 4, de muliples applicaions du modèle son exhibées : momens avec force d inérê sochasique, effes de la dépendance, calculs de prime e esimaion de mesures de risque. Finalemen, le chapire 5 résume les résulas obenus e présene de fuures direcions de recherche. 3

24 Chapire Conceps héoriques préalables au modèle Dans ce chapire, les conceps héoriques préalables à l élaboraion du modèle d assurance proposé dans ce mémoire son présenés. Nous définissons d abord le processus de renouvellemen ordinaire e éablissons ses principales propriéés, nous examinons ensuie la noion de dépendance à ravers les copules, nous fixons nos modèles pour les forces d acualisaion sochasique e nous présenons les principales méhodes numériques e les principales méhodes de simulaion uilisées pour évaluer les quaniés reliées à nore modèle.. Processus de renouvellemen ordinaire Dans cee secion, nous présenons le processus de dénombremen qui sera uilisé lors de l élaboraion du modèle mahémaique proposé dans ce mémoire, soi le processus de renouvellemen ordinaire. Relié à ce processus de dénombremen, nous revoyons aussi les principaux résulas éablis par Léveillé & Garrido (00) e Léveillé & Adéambi (0) pour les momens des sommes de renouvellemen avec réclamaions escompées... Définiions Nous définissons d abord les variables aléaoires qui généreron le processus de dénombremen considéré dans ce mémoire. Nous examinons ensuie les principales quaniés qui nous seron uiles, don la foncion de renouvellemen. Ainsi soien les variables aléaoires suivanes :. τ : es le délai enre le ( ) ième e le. { τ, } ième événemen, = {,,... } es une suie de variables aléaoires posiives i.i.d.. T : τ, 0 = T T T0 = τ0 =, es le momen où se produi le Alors le processus de dénombremen N= { N, 0}, défini par N = sup{, T }, es di êre un processus de renouvellemen ordinaire. ième événemen. 4

25 Les définiions précédenes nous permeen de faire le lien enre le nombre d évènemens sur un inervalle de emps donné e la variable aléaoire qui définie les momens où les réclamaions son effecuées. Ainsi, nous avons ( ) PN = PT = F. T De cee dernière idenié, nous définissons la foncion de renouvellemen m () c.-à.-d. l espérance mahémaique du processus de dénombremen. Ainsi, nous avons ( ) T τ, m () = EN [ ()] = P N = F = F = = = où * * Fτ Fτ () = (). Noons que cee foncion saisfai une équaion die de ype renouvellemen. Ainsi en condiionnan sur le premier évènemen réalisé au emps τ = x, nous obenons que + E N x, x E N( ) τ x = = 0, x> En uilisan la dernière expression, la foncion de renouvellemen sera soluion de l équaion de renouvellemen suivane τ [ ] m() = E[ N() = x] df ( x) = + m( x) df ( x) = F () + m( x) df ( x). τ τ τ τ En répéan iéraivemen ce dernier argumen, nous obenons facilemen l idenié précédene, c.-à-d. * m = F (). τ = La foncion de renouvellemen n es généralemen pas simple à obenir, si nous uilisons l idenié précédene. Un des ouils privilégiés pour idenifier m sera la ransformée de Laplace, que nous définissons comme sui dans le cas des disribuions : s ( s) e F fˆ = d. τ La ransformée de Laplace de la foncion de renouvellemen, quan à elle, sera noée 0 0 s mˆ () s = e m() d. τ 5

26 En uilisan l équaion de renouvellemen e les propriéés de la ransformée de Laplace, nous obenons la ransformée de Laplace de m en foncion de celle de ˆf τ, soi : mˆ s fˆ () s = τ s fˆ τ () s. Cee dernière expression es rès uile, car elle perme d obenir dans cerains cas des expressions analyiques pour les foncions de renouvellemen. La foncion de renouvellemen liée aux processus Erlang sera considérée dans ce mémoire. Dans ce cas, si nous uilisons direcemen l expression de la ransformée de Laplace pour la foncion de renouvellemen nous obenons, pour le cas où τ Erlang (, λ) : mˆ s λ λ + s = λ s λ + s λ λ = = + s s 4 s 4 s ( + λ) ( + λ) exp( λ) λ m = Un aure résula imporan, relié au processus de renouvellemen, nous servira à effecuer d imporanes simplificaions lors des calculs mahémaiques des momens de nore processus de risque. Ainsi, dans le héorème suivan, la disribuion marginale des emps où se produisen les réclamaions condiionnelle au nombre de ces réclamaions es présenée (voir Léveillé & Adéambi (0) pour la preuve). Théorème. Considérez le processus de renouvellemen el que défini précédemmen. Alors, nous avons () pour 0 < x e n : f T N ( xn) = T ( = ) P N( ) = n f x P N x n e.q. () () pour 0 < x< y e < j n : f T, Tj N() ( xyn, ) = ( ) = ( y) PN ( y n j) f x f PN ( = n) T j T e.q.() 6

27 .. Sommes de renouvellemen avec réclamaions escompées Dans cee secion, nous présenons des résulas sur les momens des sommes de renouvellemen avec réclamaions escompées, obenus par Léveillé & Garrido (00a,b) e Léveillé & Adéambi (0). Le processus des réclamaions escompées éudié par les aueurs précédens se décri comme sui : où N Z = DT X = Z( ) es le monan agrégé acualisé des coûs. réclamaion es déclarée à l assureur, e { } ième T es le momen où la τ, forme une suie de variables aléaoires coninues posiives i.i.d. elle que T = τ. i= réclamaion (sans inflaion), les { } X es le monan de la ième X, forman une suie de variable aléaoire posiives i.i.d., indépendanes de la suie T,. { } {, 0} N forme un processus de renouvellemen ordinaire. D( u) = exp δ u d es un faceur d acualisaion déerminise ou 0 sochasique, où δ ( ) es une force d inérê ne (d inflaion). Nous sommes mainenan en mesure de présener des héorèmes sur les momens du processus précéden, quand la force d inérê ne es consane ou sochasique. 7

28 ... Taux d acualisaion consan Dans cee secion, nous présenons des résulas sur les momens (récursifs) simples e conjoins qui on éé obenus dans le cas d une force d inérê ne consane pour le processus des réclamaions escompées précéden. Théorème. Pour le processus de coû présené à la secion précédene, e pour une force consane d inérê ne, nous avons pour nm, n n n n n v E Z E X e E Z v dm v = 0 0 δ = ( ) ( n) n+ m min, n m n m E Z ( ) Z ( ) = E X [ ] i i = i= m + ( n+ m) δ v n i m i e E Z v Z h v dm v 0 + Preuve : Voir Léveillé & Adéambi (0). Corollaire. Du héorème précéden, nous obenons les deux premiers momens simples e le momen conjoin suivans : δ v = [ ] E Z E X e dm v 0 v δ v δ [ ] [ ] v+ u = E Z E X e dm v E X e dm u dm v + h v δ [ ] [ ] v+ u + = + 0 v E Z Z h E Z E X e dm u dm v Preuve :Voir Léveillé & Adéambi (0). 8

29 ... Taux d acualisaion sochasique Dans cee secion, nous présenons des résulas qui on éé obenus par Léveillé & Adéambi (0) dans le cas où la force d inérê es sochasique. Ces derniers résulas seron uilisés pour démonrer les ideniés héoriques pour le processus des coûs proposé dans ce mémoire. Théorème.3 Pour le processus des coûs considéré à la secion précédene, e pour une force d inérê ne sochasique, nous avons = [ ] E Z E X E D v dm v 0 v = [ ] + [ ] ( + ) E Z E X D v dm v E X E D v D u v dm u dm v h v ( + ) = + [ ] ( + ) E Z Z h E Z E X E D v D u v dm u dm v 0 v Preuve Voir Léveillé & Adéambi (0).. Dépendance Tel que discué précédemmen, plusieurs caracérisiques essenielles du processus des coûs des assurances pour les professionnels de la sané semblen êre dépendans en probabilié. Nous pourrions considérer une dépendance foncionnelle enre les variables aléaoires, mais celle-ci serai peu-êre un peu fore. Nous pourrions aussi uiliser les modèles avec chocs, mais la naure des variables (délais e coûs) ne s y prêe pas bien. Une roisième façon, plus commode, de enir compe de cee dépendance es d uiliser les copules, ouil qui perme d inroduire de la dépendance enre plusieurs variables aléaoires en permean de faire un lien enre les foncions de répariion marginales e la foncion de répariion conjoine des variables aléaoires sous considéraion. Il es à noer que l uilisaion des copules n es pas absolumen nécessaire pour éudier le processus de coû considéré dans ce mémoire. Néanmoins, les copules présenen plusieurs avanages praiques e c es pourquoi ces dernières seron considérées. 9

30 .. Copule À noer que la sous-secion.. e la première parie de la sous-secion.. son calquées sur Leblanc (000). Une copule es une foncion de répariion conjoine mulivariée pour des veceurs de nombres uniformes u,..., u dans n [0,] n. Auremen di, pour oues copules C nous avons où [ ] (,..., ) = (,..., ) Cu u PU u U u n n n u 0,, i =,..., n. Une propriéé imporane des copules es qu elles permeen i d engendrer des lois mulivariées avec foncions de répariions arbiraires F, i =,..., n en posan (,..., n) (,..., n( n) ) F x x = C F x F x. Ce dernier résula es connu dans la liéraure sous le héorème de Slar. De plus, supposons que F soi une foncion de répariion avec marginales F, i n, X,..., Xn alors il es possible de démonrer qu il exise une copule C (unique lorsque coninue) elle que : (,..., ) = (,..., ) =,..., F x x P X x X x C F x F x n n n n n i i F es X,..., Xn pour ous x,...,. xn Enfin, les copules doiven saisfaire les propriéés suivanes :. C( u,..., ui,0, ui+,..., un) = 0, quels que soien i {,..., n}. (,..., n ) ui i 3. C(,...,, ui,,...,) = ui, pour ou ui [ 0,] e i =,..., n; 4. ( a,..., a ),( b,..., b ) [ 0,] n avec a b, i,..., n e u,..., u ; n C u u es croissane pour chacune des variables, =,..., n ; n n i =, nous avons i + + in n ( ) C( ui u ) i n i = i =...,, 0, n j où u = a j e u j = bj, j =,..., n. La quarième propriéé garani que la somme imbriquée es non-négaive, propriéé nécessaire éan donné que cee dernière perme d évaluer des probabiliés. i 0

31 Plusieurs familles de copules pourraien êre uilisées pour inroduire de la dépendance dans le processus de coû considéré dans ce mémoire. Nous nous resreignons à une copule de la famille Archimédienne qui permera d inroduire de la dépendance posiive... Copules Archimédiennes Avan de définir la classe des copules Archimédiennes, nous devons inroduire la noion de généraeur d une copule. Une foncion ϕ es un généraeur d une copule si ϕ : ( 0,] [ 0, ) elle que alernen en signe, c es-à-dire ϕ = 0 e don les n premières dérivées exisen e ( ) i i d ϕ 0, i n. i d n Alors, nous avons que la foncion C :[0,] [0,] définie par C( u,, un ) = ϕ ϕ( ui ) i= es une copule de la classe Archimédienne. Une faiblesse de ces copules es qu elles inroduisen une dépendance qui es symérique, par exemple, pour ous couples ui, uj, i j, ce qui n es pas nécessairemen réalise pour des copules de plus de deux dimensions. Néanmoins, avan d avoir fai une éude sérieuse sur des données pour le processus des coûs considéré dans ce mémoire, il es difficile de dire quelles caracérisiques précises devraien posséder une copule appropriée pour bien représener nos données, mise à par la dépendance posiive (observaions empiriques présenées au chapire ). Les copules Archimédiennes jouissen de propriéés mahémaiques inéressanes cependan e c es pourquoi cee famille es considérée dans ce mémoire.... Copule de Joe n Nous considérons la copule de Joe pour inroduire de la dépendance dans le processus des coûs pour les professionnels de la sané. Pour plus de déails sur cee copule, voir Nelsen (006) e Joe (993). Précisémen, nous nous aendons à ce que les réclamaions élevées soien pariculièremen liées aux monans des frais élevés ainsi qu aux délais de règlemen élevés. Ce dernier riple sera modélisé à l aide d une copule e c es pourquoi nous examinons les propriéés de cee dernière en deux e rois dimensions. À noer

32 que plusieurs copules pourraien êre uilisées dans ce conexe pourvu que ces dernières permeen d inroduire une fore dépendance posiive (spécifiquemen dans la queue des disribuions (Saud (00)). Il va sans dire que la copule de Joe semble pariculièremen inéressane pour ce problème, car cee dernière rempli les condiions susmenionnées comme il sera démonré. La copule de Joe se défini donc comme sui n θ Cθ ( u,, un ) = ( ui ) i= = θ ( ),, = 0 i= θ n θ ( ( ui ) ) θ [ ) Cee copule es une copule Archimédienne. Le généraeur de cee copule es donné par l expression suivane : θ ( θ ) ( ) ln ( ) ϕ =. De plus, nous avons l idenié suivane, qui sera nécessaire à l algorihme de simulaion de la copule, soi ϕ () θ θ ( ) = ( ) ( ) θ θ. La foncion inverse du généraeur es donnée par l expression suivane : ce qui enraîne que ϕ θ = e θ, e ϕ θ ϕ θ ( ) = e θ θ e θ θ e e e e ( ) = θ θ θ.

33 Ces dernières ideniés seron aussi uilisées dans l algorihme de simulaion de la copule. De plus, la densié de cee copule peu êre exprimée comme sui : n cθ u u u u = 0 i= n n θ θ (,, n ) = θ ( ) θ ( i) ( i). Cee dernière expression nous sera pariculièremen uile d un poin de vue numérique, pour évaluer des mesures de dépendance qui son en lien avec la copule de Joe. De plus, pour les cas pariculiers où n =,3, nous pouvons aussi écrire e θ θ cθ ( u, u) = θ ( ui) ( ui) i= i= θ θ θ θ θ ( ui ) ( ui) ( ( ui) ) + ( θ ) ( ) i= i= 3 3 θ θ θ ( i) cθ ( u, u, u3) = θ ( ui) u i= i= 3 3 θ θ θ θ ( ui ) ( ( ui) )( ui) i= i= + 3θ( θ ) ( ) θ θ θ θ ( ui ) ( ( ui) ) ( ui) + ( θ 3θ + ) ( ). i= i= Ces dernières ideniés son uilisées dans les calculs numériques d inégraion pour évaluer différenes quaniés qui son en lien avec le modèle proposé dans ce ouvrage. L élémen imporan qu il fau noer de cee copule es que plus le paramère θ augmene, plus la copule indui une dépendance posiive prononcée enre les variables aléaoires, pariculièremen dans la queue de la disribuion. Pour corroborer ce dernier fai, nous inroduirons rois mesures principales de dépendance dans la prochaine secion. De plus, afin d illusrer l impac du paramère θ sur la dépendance inroduie par la copule, des graphiques obenues par simulaion ainsi que des courbes de niveau son présenés à l annexe pour plusieurs valeurs du paramère θ de la copule de Joe. 3

34 ..3 Mesures de dépendance Dans la liéraure, il y a plusieurs noions de dépendance (p.ex. corrélaion, concordance, dépendance dans la queue des disribuions). Dans ce documen, nous n examinerons surou les mesures de concordance e des mesures de «ail dependence». Trois mesures son présenées : la Spearman Rho mulivariée, la Kendall Tau mulivariée e une mesure de «upper ail dependence». Ces rois dernières mesures son examinées pour le cas bidimensionnel e ridimensionnel pour différenes valeurs du paramère de la copule. Cela nous aidera à saisir le comporemen de la dépendance inroduie par la copule en foncion de son paramère...3. Mesure de Spearman Rho mulivariée Dans cee secion, nous présenons la mesure de concordance Spearman Rho mulivariée. Cee mesure es simple à inerpréer : plus sa valeur augmene, plus la dépendance (posiive) inroduie enre les variables aléaoires sera fore. La mesure de Spearman Rho mulivariée es définie comme sui : ρ n, c ( θ) = n Cθ ( u,, u ) u du du n min ( u,, u ) u du du n i n i= n i n i= =,,, n + n n Cθ ( u un) du dun n où θ es un veceur de paramères. Cee mesure de dépendance peu êre inerpréée comme une mesure d écar sandardisée enre la copule d inérê e la copule indépendane (Schmid & Schmid (007) e Wolff (980)). De cee définiion, nous avons ρnc, ( θ) n n ( n+! ) n+, car e n max ui n +, 0 du dun = i= ! ( n + ) min ( u,, un) du dun =, n + 4

35 ce qui implique que ρ ( θ) e ρ ( θ), c 3, c. 3 Noons qu il y a une pere de symérie lorsque le nombre de dimensions augmene, ce qui n es pas le frui du hasard, mais élaborer sur ce poin dépasserai le cadre de ce mémoire. À noer que ρ,c θ correspond à la définiion du Spearman s Rho bidimensionnel donné dans Nelsen (006). De plus, lorsque le nombre de dimensions end vers l infini, la borne inférieure du Spearman s Rho mulivarié es 0. Pour la copule de Joe, nous avons j (,, ) = θ ( ) ( ) j θ j + n θ + = θ θ. = 0 C u un du du θ n 0 0 = 0 j= 0 Ainsi, nous obenons pour n > : n θ + n + n ρnc, ( θ) =. n θ θ ( n ) + = 0 Cee foncion es rapide à évaluer numériquemen. Elle nous perme aussi d avoir une relaion enre le nombre de dimensions e la valeur du Spearman s rho mulivarié. Si nous faisons varier le paramère de la copule, nous obenons le ableau ci-dessous.,c Tableau, : ρ,c ( θ ), 3,c ρ θ. θ, 5,5 3 5 ρ θ 0 0,30 0,504 0,6 0,700 0,854 3,c ρ θ 0 0, 68 0, 440 0,557 0,640 0,84 Nous remarquons que plus le paramère de la copule augmene, plus la mesure de concordance indique que la dépendance inroduie par la copule es fore. De plus, nous remarquons que la dépendance diminue quand le nombre de dimensions de la copule n 5

36 augmene. Finalemen, les résulas présenés dans le ableau, on éé corroborés par la méhode de Cuhre, méhode numérique qui sera présenée à la secion Mesure de Kendall Tau mulivariée Dans cee secion, nous présenons la mesure de concordance Kendall Tau mulivariée. Cee mesure es simple à inerpréer : plus sa valeur augmene, plus la dépendance (posiive) inroduie enre les variables aléaoires sera fore. Avan de donner son expression analyique, nous devons inroduire une noion nécessaire à sa consrucion. Définiion. Une disribuion mulivariée es posiive d ordre deux si e seulemen si pour ou x, x e y,, y dans n n nous avons ( ) F x,.., x F y,.., y F max x, y,.., max x, y F min x, y,..,min x, y. n n n n n n Nous ne discuons pas les propriéés des disribuions mulivariées posiives d ordre deux, car à nouveau cela dépasse le cadre de ce mémoire. La définiion précédene es à la base de la mesure de Kendall Tau mulivariée que nous définissons comme sui pour n > : τn, c( θ) = c ( s ) ( sn n n) c s sn θ n 0 0 c s s c d d ds ds ( max,,, max, ) θ ( min (, ),, min (, )) n = C ( u,, ud) dc ( u,, ud) n θ θ 0 0 θ (,, n) θ (,, n) n n} où θ es un veceur de paramères. Le Kendall Tau mulivarié es une mesure posiive d ordre deux. Pour plus de déails sur cee mesure, veuillez consuler Gaisser (00) e Nelsen (996). De plus, nous pouvons démonrer que τ n nc, θ. Dans le cas bidimensionnel e ridimensionnel, nous obenons respecivemen que τ ( θ), τ ( θ), c 3, c. 3, n 6

37 Cela démonre que la mesure de Kendall Tau mulivariée n a pas des bornes qui son complèemen symériques sauf en deux dimensions. Encore, une fois, cela dépasse le cadre de ce mémoire e n es pas le frui du hasard. À noer que τ,c θ correspond à la définiion du Kendall Tau bidimensionnel donné dans Nelsen (006). De plus, lorsque le nombre de dimensions end vers l infini, la borne inférieure du Kendall Tau mulivarié es 0. Ceraines ideniés mahémaiques doiven êre inroduies avan de présener l expression mahémaique pour le Kendall Tau de la copule de Joe. Premièremen, nous avons (,, ) (,, ) = (,, ) C u u c u u c u u θ n θ n θ n n j j n n θ θ θ ( ) θ ( ui) ( ( ui) ). = 0 j= 0 i= j Ainsi, nous obenons,,,,. j n j C ( u un) dc ( u un) θ θ θ θ + = = 0 j= 0 + j Finalemen, nous obenons l expression suivane pour la mesure de Kendall Tau mulivariée de la copule de Joe n n + j τnc, ( θ) = n θ θ + = 0 j= 0 j + j. En deux e rois dimensions, nous avons respecivemen j ( ) θ τ, c ( θ) = 3 4 θ hypergeom, j+, j+,, [, j+, j+ ], = 0 j θ ( j ) θ τ ( θ) = θ 3 3 j θ + j ( ) ( j ) 3, c 3 = 0 θ hypergeom,, j+, j+, j+,,[,, j+, j+, j+ ],. θ 7

38 Si nous faisons varier le paramère de la copule, nous obenons le ableau suivan : Tableau, : τ,c ( θ ), 3,c τ θ. θ, 5,5 3 5 τ,c ( θ ) 0 0, 9 0,355 0, 449 0,57 0,677 τ3,c ( θ ) 0 0, 9 0,355 0, 449 0,57 0,677 Selon la mesure de Kendall Tau mulivariée, la dépendance augmene lorsque le paramère θ augmene. Pour le cas de la copule de Joe, cee mesure n es pas sensible au nombre de dimensions. À nouveau, les résulas présenés dans le ableau, on éé corroborés par la méhode de Cuhre, méhode numérique qui sera présenée à la secion Mesure de «Upper ail dependence» Dans cee secion, nous examinons une mesure du «upper ail dependence», mesure qui a éé présenée dans De Luca & Rivieccio (0) pour les copules Archimédiennes e qui es définie comme sui : λ ( ) = lim P U > u,, U > u U > u,, U > u hh + n U u h h+ n = lim u n h = lim i= n h i= n i n ( ) ( i ( u) ) n i ϕθ ϕθ i n h ( ) ϕθ ( iϕθ ( u) ) n h i i= 0 n i n ( ) i ϕ ( i) θ n i. i n h ( ) i ϕ θ ( i) n h i i= Cee mesure es la probabilié d observer des évènemens dans la queue de la disribuion, sachan que d aures évènemens s y son déjà produis. Ainsi, si la probabilié d obenir un évènemen dans la queue de la disribuion es élevée sachan que d aures évènemens s y son déjà produis, cela indique une dépendance enre les évènemens de la queue de la disribuion. Précisémen, plus la mesure de dépendance hh + n λ U augmene, plus cela indique qu il y a une fore dépendance dans la queue de 8

39 la copule. De surcroî, cee mesure de dépendance es une probabilié condiionnelle. Ce dernier fai implique qu elle peu prendre des valeurs enre 0 e. Dans le cas de la copule de Joe, nous avons pour h< n, hh + n i= λ U = + 0 n h n n i i i i ( e θ ) e n i lim. n h i i i i ( e θ ) e i= n h i En évaluan direcemen cee dernière limie, nous obenons le ableau suivan :,3, 3 Tableau,3 : λ, U λ, U λ. U θ, 5,5 3 5 λ U 0 0,43 0,586 0,68 0,740 0,85,3 λ U 0 0,38 0, 489 0,593 0,66 0,799, 3 λ U 0 0,770 0,836 0,87 0,895 0,939 Nous remarquons que même pour de peies valeurs de θ, la dépendance inroduie dans la queue de la disribuion par la copule de Joe semble élevée. Aussi, nous observons que dans ous les cas, plus le paramère θ augmene, plus la dépendance dans la queue de la disribuion augmene..3 Force d inérê Nous présenons dans cee secion les noaions e conceps qui seron uilisés pour représener les forces d inérês reliées à nore modèle de risque. Deux ypes de force d inérê son considérés dans ce mémoire : force d inérê consane e force d inérê sochasique. Les deux ypes de force d inérê peuven êre considérés lors de l évaluaion d un processus de coû par un acuaire. La force d inérê consane engendre des expressions mahémaiques plus simples à calculer que pour la force d inérê sochasique, mais la première es évidemmen moins réalise que la deuxième. 9

40 .3. Force consane d inérê ne Dans cee secion, nous définissons ce que nous enendons par une force consane d inérê ne. De plus, nous présenons le lien enre la force d inérê, le aux d inflaion e la force d inérê ne dans le cas consan. Définiion. Nous définissons une force consane d inérê ne δ comme éan la différence enre la force d inérê brue (du marché) δ e la force d inflaion δ, que nous supposerons ous deux consanes, posiives e el que δ > δ. Ainsi, nous posons e le faceur d escompe sera donc dans ce cas δ = δ δ, e δ D =. Pour la force d inérê sochasique, nous aurons besoin préalablemen de ceraines noions de calcul sochasique (calcul d Iô) sur lesquelles nous nous baserons pour définir ce concep. Ainsi, nous rappelons quelques définiions sur le mouvemen Brownien, le processus d Iô e quelques propriéés uiles..3. Lemme d Iô Définiion.3 Nous définissons{ X, 0} comme un mouvemen Brownien de paramère de endance μ e de paramère de variance σ si 30. X ( 0) = 0. {, 0} X a des accroissemens indépendans e saionnaires 3. X () N( µ, σ ) Si { B, 0} es un mouvemen Brownien sandard c.-à-d. B( ) N( 0, ) pouvons poser X = σ B + µ. L exension au cas mulivarié es naurelle e n es pas présenée., alors nous

41 Définiion.4 Soi { B, 0} un mouvemen Brownien unidimensionnel. Un processus d Iô unidimensionnel es un processus sochasique { X, 0} de forme = ( 0) + + X X u s ds v s db s 0 0 où v( ) es carré inégrable sur un ensemble de probabilié. De plus, u( ) es absolumen inégrable sur ( ) 0,, avec probabilié. Remarque : L équaion inégrale précédene es soluion de l équaion différenielle sochasique dx ( ) = u ( ) d + v( ) db ( ) L exension au cas mulivarié es naurelle e n es pas présenée. Théorème.4 Soi X () un processus d Iô régi par l équaion différenielle sochasique suivane Soi gx (, ) C ([0, ) ) où es aussi un processus d Iô e où dx ( ) = ud + vdb ( ) C es la classe des foncions fois dérivables. Alors ( ) Y () = gx, ( ) ( ) ( () ) gx, gx, gx, dy ( ) = d + dx ( ) + dx x x dx () = dx () dx () es calculé en uilisan les règles suivanes d d d db ( ) db ( ) d 0 = = = e Preuve Voir Osendal (007). db db = d. L exension au cas mulivarié es naurelle e n es pas présenée., 3

42 Théorème.5 Supposons que (, ) ω. Alors nous avons Preuve Voir Osendal (007). f sw es coninue e es à variaion bornée pour s [ 0, ] = f () s db s f () B B s df () s 0 0 pour presque ou Les deux héorèmes précédens permeen d effecuer des calculs liés au modèle de aux d acualisaion coninu qui es présené dans la prochaine secion. Noammen, les deux derniers héorèmes permeen d idenifier les deux premiers momens du processus d acualisaion. Dans ce mémoire, un cadre héorique pariculier pour les équaions différenielles sochasiques es considéré. Tel que menionné précédemmen, le modèle Vasice a éé sélecionné pour modéliser le processus de aux d acualisaion..3.3 Vasice Avan d inroduire le processus de Vasice (bivarié), nous devons définir ce que nous enendons par loi normale bivariée. Nous définissons la densié de la loi normale bivariée, noée ( ),,,, f N µ µ σ σ ρ, comme sui : ( x, x ) πσσ ρ ( x u )( x u ) x u x u ρ + σ σ σσ exp ( ρ ) = Nous uiliserons le processus de Vasice (bivarié) pour représener les aux d escompe de nore modèle de risque. Ce processus présene la possibilié d obenir des expressions exaces pour les momens simples e conjoins de nos aux d escompe. Par exemple, supposons que deux aux d acualisaion suiven un Vasice don les équaions différenielles sochasiques son d dδi = αi βi δi( ) d + σi Bi, i =,. 3

43 Les soluions analyiques à ces équaions différenielles sochasiques son données par Ainsi nous avons : β ( 0 i βi v δi = αi + δi ) αie + σi e dbi( v). x δi( 0) αi β i βi x v δi x dx αi e = + + σi e dbi( v) dx β 0 i 00 δi( 0) αi β i βi x v = αi + e + σi e dbi( v) dx β i 0 v δ ( 0) α β σ β ( v) = α + e + e db v i i i i i i β i β i 0 ce qui donne, par les propriéés de l inégrale d Iô : où e 0 ( x) dx ~ N ( ), ( ) 0 δ µ σ i i i i i ( 0) δ i α i ( ) β µ e ii i i = α i i + β i σ i β ( ) e ii β σ e ii i i = + β β i β i i Pour enir compe évenuellemen d une dépendance enre les forces d inérê, nous considérons un processus de Vasice bivarié avec coefficien de corrélaion ρ enre les B ( ), i =,. i Nous résolvons ci-dessous l équaion différenielle bivariée. Soi Zi ( ), i =, des lois normales sandard indépendanes. Alors nous pouvons écrire db dz ( ) + ρ. = db ρdz dz i 33

44 Avec cee dernière expression, l équaion différenielle bivariée peu êre résolue direcemen, car les dzi ( ), i =, son indépendans, ce qui es possible grâce à la décomposiion. Ainsi, nous avons δ( 0) α β σ β ( v) δ α = x dx e e dz v β β 0 e δ( 0) α β σ β ( v) δ( x) dx α e ρ e = + + dz v β 0 β 0 σ β ( v) + ρ e dz ( v) β 0 démonran que les aux d escompe sochasiques suiven une normale bivariée comme sui : δ ( x) dx µ (, ) 0 σ ρσ ~ N, µ ( ) ρσ (, ) σ ( δ ) ( x) dx 0 où (, ) σ = σ β e β e σ β e β e β + + β β β β β Nous dirons qu un modèle sui un Vasice (,,,,,, δ( 0), δ( 0), ) α α β β σ σ ρ si le processus de aux d acualisaion bivarié es décri par le processus présené ci-hau..4 Méhodes numériques uilisées Dans cee secion, nous présenons deux méhodes numériques pour résoudre les inégrales muliples qui se présenen dans le cadre de l éude du modèle proposé dans ce mémoire. Plusieurs méhodes pour résoudre de elles inégrales exisen (voir Holz (00) e Krommer & Ueberhuber (994)). En complémen, nous présenons aussi 34

45 l algorihme de simulaion qui a éé uilisé pour simuler les nombres uniformes provenan d une copule Archimédienne..4. Méhodes de quadraure Dans ce mémoire, nous avons à résoudre des inégrales muliples de dimension 6 ou moins. Conséquemmen, des méhodes numériques pour résoudre ce problème s avèren nécessaires. Précisémen, nous présenons des méhodes qui permeen de résoudre l inégrale suivane où f ( x x ) 0 0 f x,, xd dx dxd,,, d es une foncion mulivariée de dimension d à inégrer. Il n y pas de pere de généralié à se resreindre au domaine d inégraion précéden, car ces méhodes peuven s appliquer à d aures domaines d inégraion bornés en effecuan les changemens de variables appropriés 6. Pour résoudre ce problème, nous uiliserons des méhodes de quadraure. Celles-ci permeen de discréiser le problème d inégraion pour permere la calculabilié. À noer qu une simple discréisaion du problème en uilisan une somme de Riemann serai possible pour approximer l inégrale, mais ne serai praiquemen pas calculable e c es pourquoi des méhodes de quadraure on éé développées. De plus, dans cerains cas, les méhodes de quadraure son aussi difficilemen calculables, ce qui a forcé le développemen des méhodes de quadraure adapaives. Ces dernières obiennen de l informaion sur l inégrale par divers moyens, ce qui perme d augmener l efficacié de la méhode numérique. Deux méhodes de quadraure adapaives seron uilisées dans ce mémoire, mais avan de les présener, il fau définir ce que nous enendons par une méhode de quadraure. Une méhode de quadraure perme d approximer une inégrale sur le domaine[ 0,] d, où d es le nombre de dimensions, comme sui : 0 0 (,, ) (,, ) (,, ) f x x dx dx w i i f i i où i [ 0, ], j =,..., d e où j quadraure. d d d d i,, id wi,..., id son des poids déerminés par la méhode de f y dy b a f ( a b a x) dx. Ce dernier 6 Dans le cas univarié, nous avons que = ( ) + ( ) résula se généralise facilemen au cas mulivarié. b a 0 35

46 Plusieurs méhodes de quadraures exisen, par exemple les méhodes de Gauss- Legendre, Newon-Coes, Gauss-Konrod, la méhode de Mone Carlo, ec, (voir Holz (00) e Krommer & Ueberhuber (994)). Dans cerains cas, il peu êre démonré, sous ceraines hypohèses de régularié, que plus le nombre de poins d évaluaion de la foncion augmene, plus la méhode de quadraure va bien approximer la valeur de l inégrale sous considéraion. Néanmoins, ce ne son pas oues les méhodes de quadraure qui possèden cee propriéé, par exemple la méhode de Newon-Coes. De plus, il ne fau pas confondre les algorihmes d inégraion numérique e les méhodes de quadraure. En fai, les algorihmes d inégraion numérique fon généralemen appel à des méhodes de quadraure (déerminise ou sochasique)..4. Algorihmes d inégraion numérique Dans cee secion, nous présenons les algorihmes d inégraion numérique que nous allons uiliser dans ce mémoire ainsi que cerains conceps héoriques qui leurs son liés. Le foncionnemen des algorihmes d inégraion numérique peu êre résumé dans les quare modules suivans, raduis de Krommer & Ueberhuber (994):. Un module de base d inégraion reçoi des argumens (les valeurs de la foncion à inégrer, évaluées à cerains poins du domaine d inégraion) e calcule des valeurs approximaives de l inégrale ainsi que des ermes d erreurs (p.ex. en uilisan une méhode de quadraure).. Un module d idenificaion es responsable d obenir de l informaion du module de base e es responsable de raier cee informaion (valeur approximaive de l inégrale ainsi que les ermes d erreurs pour oues les sous-régions du domaine d inégraion s il y en a). Finalemen, ce module procure de l informaion sur la procédure après le raiemen de l informaion qui sera uilisée par le module de décision. 3. Un module de décision es responsable de prendre des décisions pour implaner les srucures de conrôle de l algorihme adapaif selon l informaion donnée par le module d idenificaion. Les décisions qui son prises par ce module von permere de modifier les paramères du module de base d inégraion de façon inelligene pour obenir une meilleure approximaion de l inégrale. 36

47 4. Enfin, un module d inervenion es responsable d implémener la sraégie de conrôle e d effecuer les différenes modificaions des paramères nécessaires. De plus, plusieurs algorihmes d inégraion numérique exisen e proposen une srucure spécifique pour chacun des quare modules précédens. Par exemple, il exise plusieurs façons de pariionner les domaines d inégraion (p.ex. pariion inelligene des régions selon le poids dans la valeur de l inégrale), d évaluer les ermes d erreurs (différences enre méhodes de quadraure, «null rules», ec.), d évaluer la valeur de l inégrale dans une sous-région du domaine d inégraion (différenes méhodes de quadraure), ec. Dans ce mémoire, nous nous resreignons à deux méhodes, Cuhre e Vegas (voir Hahn (005)), qui donnen de bons résulas pour le ype de problème considéré. Néanmoins, il n es pas di que d aures méhodes auraien pu êre uilisées, par exemple, les algorihmes Adap, Suave ou Divonne discués dans Hahn (005)..4.. Algorihme de Cuhre Dans cee sous-secion, nous présenons brièvemen l algorihme de Cuhre qui es un algorihme déerminise. Pour plus de déails sur ce algorihme, veuillez consuler Bernsen e coll. (99 a, 99 b), Dooren & Ridder (976), Genz & Mali (980) e Hahn (005). L algorihme de Cuhre a éé décri pour la première fois dans Dooren & Ridder (976) sous le nom de Half. Ensuie, il a éé amélioré à plusieurs reprises, noammen par Genz & Mali (980). L algorihme de Cuhre qui es uilisé dans ce mémoire provien du «pacage» Cuba qui es décri dans Hahn (005). En résumé, voici les grandes lignes de l algorihme de Cuhre :. Approximer le volume d une ou de plusieurs régions à l aide d une méhode de quadraure e évaluer un erme d erreur;. Choisir la région avec le plus gros erme d erreur s il dépasse un cerain crière; 3. Diviser la région choisie en deux paries par rappor à la dimension avec la plus grande mérique de difficulé d inégraion (p.ex. en uilisan les «divided difference»); 4. Appliquer la méhode de quadraure dans les deux sous-régions; 37

48 5. Fusionner les régions dans la lise de régions e mere à jour la valeur de l approximaion de l inégrale; 6. Répéer les éapes à 5 jusqu à ce que l algorihme converge (erme d erreur ou nombre d évaluaions de la foncion, par exemple, La figure qui sui es exraie de Dooren & Ridder (976) e monre la façon don l algorihme aurai pariionné le domaine d inégraion des deux foncions présenées sur la figure. Dans ce cas, l algorihme de Cuhre va évaluer l aire de chaque région par une méhode de quadraure e va addiionner le ou. Dans la première figure, il y a une concenraion de la division des régions d inégraion dans le côé supérieur gauche, ce qui es logique xy, 0, f xy,, ce qui crée plus de difficulé pour la méhode de car lorsque quadraure. Ainsi, l algorihme de Cuhre va chercher à pariionner cee région pour obenir une meilleure précision. Pour le deuxième graphique, le commenaire es idenique, car nous avons une singularié lorsque x. 38

49 .4.. Algorihme Vegas Dans cee sous-secion, nous présenons brièvemen l algorihme de Vegas. Pour plus de déails sur ce algorihme, veuillez consuler Lepage (978) e Hahn (005). L algorihme de Vegas qui es uilisé dans ce mémoire provien du «pacage» Cuba qui es décri dans Hahn (005). L algorihme de Vegas es une méhode de Mone Carlo adapaive. À noer qu une méhode de Mone Carlo es une méhode de quadraure à la différence que les poins d inégraion son simulés e ne son pas donnés de façon déerminise. Quelques noions d inégraion Mone Carlo son présenées avan d inroduire l algorihme. Premièremen, nous avons l idenié suivane, qui es une généralisaion des méhodes de Mone Carlo classique : où (,, d ) (,, x ) f x x If = f x,, x dx dx = p x,, x dx dx d d d d p x d p ( x,, x ) dx dx =, 0 0 Alors, si nous simulons des x, d à parir de p( x x ), xd l esimaeur suivan de nore inégrale : d p x,, 0 x d >.,, d, nous pouvons obenir S M (, i,, di, ) (,, ) M f x x = M i= p x, i x di,. Il es facile de démonrer, en uilisan la loi des grands nombres, que lorsque le nombre de simulaions end vers l infini, SM If. De plus, nous pouvons obenir une esimaion de la variance de l inégrale lors des simulaions comme sui σ ( S ) M SM. M L algorihme de Vegas uilise la disribuion de probabilié qui minimise la variance de l esimaeur S, qui es un résula bien connu : M 39

50 (,, x ) p x = d 0 0 (,, ) f x x (,, ) f x x dx dx d d d. Pour complémen d informaion, nous présenons l algorihme de Vegas pour le cas univarié, car la généralisaion au cas mulivarié es naurelle. L algorihme de Vegas se résume comme sui :. Nous posons p( x ) j comme éan une foncion de probabilié discrèe don le suppor conien N j valeurs, 0= xj,0 < < xjn, =, avec où N j x = x x, x =, ji, ji, ji, ji, i= p( x) =, xji, x xji,, i,, N j < = j, N x j ji, e où j représene l indice d iéraion de l algorihme. À noer que les N valeurs du suppor de p( x ) peuven êre choisies de façon arbiraire, ce qui ne devrai pas affecer la convergence de l algorihme en général.. Générer une première approximaion de If avec une méhode de Mone Carlo avec M simulaions. Pour cee fin, uiliser p( x ) el que défini précédemmen pour simuler les poins auxquels la foncion à inégrer sera évaluée. 3. Ensuie, p( x) j es ajusée pour accélérer la viesse de convergence de la méhode de Mone Carlo à chaque iéraion. Pour expliquer le foncionnemen de ce ajusemen, nous définissons ceraines quaniés d inérê : m ji, = K f N j i= x ji, ji, f x ji, ji,, où K es une consane arbiraire e où 40

51 f ji, = f x. x xji, xji,, xji, ) À chaque iéraion, ous les inervalles de la disribuion de probabilié p( x ) j seron subdivisés en m ji, + poins. Auremen di, nous divisons ou les x ji en, m ji, + poins. À noer qu il y d aure façon de définir ji, m pour évier une subdivision rop rapide des inervalles, ce qui peu rendre insable l algorihme numérique. En praique, une valeur adéquae de K es 000. En résumé, cee méhode essaie d effecuer un pariionnemen où la foncion à inégrer prend les plus grandes valeurs en moyenne. Auremen di, l algorihme va chercher à obenir une esimaion de l inégrale la plus précise possible dans les régions qui conribuen le plus à la valeur de l inégrale, en ajusan la probabilié que celui-ci survienne en foncion de sa conribuion à chaque iéraion. Plus la conribuion d un inervalle es grande dans la valeur de l inégral, plus ce inervalle devrai survenir souven dans la simulaion. 4. Ensuie, l inégrale es réévaluée à l aide de simulaions provenan de la densié ajusée. 5. Répéer éape 3 e 4 jusqu à convergence de l algorihme. Par exemple, des crières de convergence de l algorihme pourraien êre une esimaion de l erreur de l inégrale ou un nombre d évaluaions de la foncion à inégrer (p.ex évaluaions). Précisémen, nous pouvons obenir des esimaions de la qualié de l approximaion de ième l inégrale à l aide des foncions définies ci-après à la T iéraion: I I = σ, σ T I j= j j σ T I = σ j j= où I j es la valeur esimée de l inégrale à la l «écar-ype» de l inégrale à la ième j iéraion. ième j iéraion e σ es une esimaion de j 4

52 Ainsi, nous avons T ( I j I ) χ ( T ). j= σ j Lepage (978) menionne que la valeur de T ( I ) j I j= σ ne devrai pas beaucoup dépasser T, sous faue de quoi l algorihme pourrai ne pas donner une réponse précise en général..4.3 Méhodes de simulaion de la copule j Nous présenons un algorihme pour simuler des copules Archimédiennes (voir Wu e coll. (007)). À noer que plusieurs algorihmes pour simuler des nombres aléaoires provenan des copules exisen. Éan donné la simplicié d implémenaion de l algorihme de Wu e coll. (007), ce dernier es plus populaire. Ce dernier nécessie l uilisaion de la foncion suivane, définie pour le cas d une copule Archimédienne à n dimensions : F () = T n = 0 = + ( ) ( ) n =! ( ) ( )! Dans le cas à rois dimensions, nous obenons θ () θ ( ) ( ) θ θ ( θ ( ) ) θ ( ) ϕ ϕ ϕ ( θ ( ) ) θ ( ) ϕ ϕ ϕ ( ( ) ) ( ) () ϕ ϕθ ϕθ ϕθ FT () = +, ϕ. car ϕ θ ( ϕθ ( ) ) =. ϕ () θ ( ) 4

53 Précisémen, l algorihme de simulaion va comme sui :. Générer n nombres aléaoires U ( 0,) indépendans, que nous noons w,..., w ; n. Pour =,,..., n, poser s 3. Poser F ( w ) = ; T n = w ; n = θ i θ, n θ ( n θ ) e, pour =,..., n, i= 4. Poser u ϕ sϕ ( ) u = ϕ ( s ) ϕ ( ). n θ s i θ i= poser u = ϕ ( ) s ϕ Ce algorihme général perme de simuler facilemen des nombres provenan de copules Archimédiennes. Ensuie, il suffi de remplacer les foncions par leurs ideniés héoriques en considéran une hypohèse, dans nore cas, la copule de Joe. Avec les conceps présenés précédemmen, nous sommes mainenan en posiion pour éudier le modèle de coûs qui es présené dans ce mémoire. Figure 6 43

54 Chapire 3 Processus des coûs Avec la revue de la liéraure sur le «Medical malpracice» présenée au chapire, e les prérequis mahémaiques exposés au chapire, nous sommes en mesure de proposer un modèle pour le processus des coûs de l assurance pour faue ou négligence des professionnels de la sané. Dans cee secion, la définiion mahémaique de ce dernier processus agrégé ainsi que les quaniés héoriques qui y son liées son présenées. 3. Hypohèses Moivé par les ravaux de Léveillé & Garrido (00a, 00b), Léveillé & Adéambi (0), Maréchal e coll. (006) 7, Peere (006) e les observaions empiriques présenées au chapire, le processus agrégé des réclamaions escompées suivan es considéré pour des conras de ype «claims-made»: où, N () N () = + = ( + τ ) + ( + τ ) Z Z Z D T X D T Y = = Z () es le monan agrégé acualisé des coûs de l assurance pour faue ou négligence pour un professionnel de la sané. Z () e Z () son respecivemen la valeur acualisée du processus du paiemen des sinisres e la valeur acualisée du processus des frais alloués. T es le momen où la ième réclamaion es reçue par l assureur, e { τ, } forme une suie de variables aléaoires coninues posiives indépendanes e ideniquemen disribuées (i.i.d.) el quet = τi. i= ième τ es le délai pris pour régler la réclamaion (à parir du momen où elle es reçue par l assureur), les { τ, } forman une suie de variables aléaoires coninues posiives i.i.d. e indépendanes de la suie des { T, }. 7 Dans Maréchal e coll. (006), une approche fréquence sévérié es proposée pour modéliser le processus de coû pour les professionnels de la sané. 44

55 X es le monan de la ième réclamaion (sans inflaion), les { X, } forman une suie de variables aléaoires posiives i.i.d., indépendanes de la suie { T, }. Y es le monan des frais alloués encourus par l assureur (enquêes, avocas, ) ième en rappor avec la réclamaion (sans inflaion), indépendanes de la suie { T, }. Les variables aléaoires X, Y e τ son dépendanes (en probabilié). { N( ), 0} forme un processus de renouvellemen ordinaire. D ( ) = exp δ i Z où à () i i u du es le faceur d escompe à = 0 correspondan 0 δ es la force d inérê, ne d inflaion, qui peu êre déerminise i (en pariculier consane) ou sochasique, pour i =,. De plus, nous {, 0} { δ, 0} son des supposerons (dans le cas sochasique) que δ e processus généralemen dépendans (p.ex. conjoncure économique, inflaion). Aux fins de calculs, nous supposerons que chacun des ( ) δ i obéi à une équaion différenielle sochasique de Vasice e qu ils son disribués conjoinemen suivan une loi normale bivariée (avec corrélaion non nulle posiive). Auremen di, nous supposerons que le couple des aux d acualisaion sochasique suivra un Vasice bivarié, processus qui sera défini dans ce documen. De plus, le modèle de Vasice peu générer des forces coninues négaives, ce qui, dans cerains cas, n es pas réalise. Or dans le cas qui nous inéresse, il es possible que le aux d inflaion, dans les monans des réclamaions e des frais, dépasse le aux d inérê, généran ainsi à l occasion une force d inérê ne négaive. De plus, le modèle de Vasice incorpore un élémen de reour à la moyenne que nous considérons comme une propriéé désirable, car cela es en lien avec les cycles économiques e les cycles d assurance. Ainsi, le modèle de Vasice, pour nore applicaion, es un modèle qui end à s approcher de la réalié. À noer que d aures foncions d acualisaion sochasiques pourraien êre considérées, ce qui ne sera pas le cas dans ce ouvrage. 45

56 En mos, Z( ) représene la valeur acualisée des monans des réclamaions ainsi que des frais alloués dans le cas d un ype de conra «claims-made», ce qui es une srucure (simplifiée) des coûs encourus par un mécanisme de ransfer de risque. De plus, ce modèle es une généralisaion des modèles classiques de fréquence-sévérié avec inroducion d un faceur d acualisaion sochasique, ce qui perme une meilleure approximaion de la réalié. Il va sans dire que l approche fréquence-sévérié es réalise : un mécanisme de ransfer de risque va débourser des monans pour un nombre de sinisres auxquels un coû sera associé à chacun de ces derniers. De surcroî, le modèle considéré a une srucure mahémaique générale e souple : nous n avons émis aucune hypohèse fore sur les disribuions de probabilié e proposons d éudier la dépendance dans le riple ( XYτ,, ) à l aide de copules. Cela augmene les chances de succès d applicaion de ce modèle sur des données réelles (même pour d aures lignes d affaires avec des caracérisiques similaires). Finalemen, au chapire 4, nous allons uiliser ce modèle pour calculer des primes e évaluer des mesures de risque, quaniés qui son d inérê pour les acuaires. Cela démonre que le modèle es applicable e calculable, sous des hypohèses raisonnables. Les hypohèses qui seron uilisées pour effecuer les calculs dans ce chapire son présenées ci-après. Premièremen, une des hypohèses imporanes uilisées sera de supposer que les paiemens des réclamaions e les frais alloués suiven ous deux des lois de Pareo( βθ, ) (la disribuion du monan des réclamaions e des frais alloués on des queues lourdes, ce qui es une hypohèse réalise) don la foncion de répariion es donnée par : F x θ β = β + x, x > 0, β > 0, θ >. Nous posons la condiion θ > pour permere l exisence du deuxième momen de la disribuion des coûs agrégés. Pour les calculs numériques, nous supposerons que. X ~ Pareo( β = 3, θ = 3), Y ~ Pareo( β = 4, θ = 5). τ ~ Erlang (, ), ~ Erlang (, 5) τ. Les paramères pour les lois de Pareo son des choix arbiraires, mais pourraien représener les coûs en milliers ou millions de dollars. De plus, les hypohèses 46

57 concernan les emps d aene son arbiraires. Néanmoins, considérer que le emps enre les déclaraions de sinisres sui une Erlang (, ) au lieu d une Erlang (, ) perme d enrichir l analyse qui sera effecuée (effes mahémaiques). Aussi, cela démonre que nore modèle es calculable pour des cas de disribuion du emps enre les réclamaions plus complexes qu une exponenielle 8. De plus, pour une loi Erlang (, ), nous avons exp( 4 ) = + m ( ) exp( 4) m 4 4 =. Nous considérerons aussi les valeurs suivanes pour les aux d acualisaion, soien δ = 0,05 e δ = 0, 03, qui son aussi des choix arbiraires, mais réalises. Finalemen, le paramère de la copule de Joe es posé comme éan θ =. Ce choix de paramère es égalemen arbiraire, mais perme d inroduire une dépendance posiive significaive dans la queue des disribuions el que démonré au chapire précéden, ce qui es conforme aux observaions faies dans les éudes empiriques présenées au chapire. 3. Calculs des deux premiers momens Dans cee secion, des formules analyiques pour le premier e le deuxième momen de Z () son présenées. Pour ce faire nous uiliserons les lemmes e héorèmes du chapire, e nous illusrerons nos résulas par des exemples numériques pour des forces d inérê consanes. Les exemples reliés aux forces d inérê sochasiques seron pluô donnés au chapire 4, éan donné la quanié de calculs à exécuer. Théorème 3. Considérons le processus des coûs el que défini dans la secion précédene. Alors, pour une force d inérê ne sochasique, le premier momen de Z () es donné par = [ τ = ] ( + ) () τ 0 0 E Z E X w E D v w dm v df w 0 [ τ ] + E Y = w E D v + w dm() v dfτ w. 0 e.q. (3) 8 Ce dernier fai es inéressan, car en praique, nous pouvons approximer des disribuions de probabiliés avec des lois Erlang éan donné que ces disribuions son denses. En approximan une disribuion de probabilié par combinaison de lois Erlang, nous pouvons obenir des expressions analyiques pour les foncions de renouvellemen, foncions qui son for possiblemen calculables à l aide des méhodes numériques uilisées dans ce documen. 47

58 Preuve Pour ou parcours échanillonnal de la force d inérê ne sochasique δ ( u), nous avons δ δ δ δ E Z u, u, u [0, ] = E Z + Z u, u, u [0, ]. Ainsi, en condiionnan sur N( ), nous obenons δ δ E Z u, u, u [0, ] n= n= = δ δ = E E Z + Z N, u, u, u [0, ] n, δ, δ, [0, ] = E Z + Z N = n u u u P N = n N() = E D( T + τ) X + D( T + τ) Y N( ) = n P N( ) = n n= = ( τ ) ( τ ) N( ) = E D T + X + D T + Y N = np = n= ( = n) = E D( T + τ) X + D( T + τ) Y N( ) = np N( ) = n. En condiionnan sur T, e en uilisan l équaion du héorème., nous aurons : δ δ E Z u, u, u [0, ] = n= 0 ( τ ) ( τ ) = E D T + X + D T + Y N = n, T = v = n= 0 = 0 ( τ ) ( τ ) = E D v+ X + D u+ Y * ( τ) ( τ) = E D v + X + D v + Y dfτ v ( ) P N = n df v n T N ( ) T P N v = n df v 48

59 0 ( τ) ( τ) = E D v + X + D v + Y dm v { D( v w) E [ X τ w] D( v w) E [ Y τ w] } dm( v) df τ ( w) = + = + + = 00 e donc, δ, δ, [0, ] = [ τ = ] ( + ) τ E Z u u u E X w D v w dm v df w 0 0 [ τ ] + E Y = w D v + w dm() v df w. 0 0 Comme ces dernières inégrales son des variables aléaoires, le résula sui en prenan l espérance mahémaique de la dernière expression e, par le héorème de convergence dominé, en permuan l espérance e l inégrale dans chaque erme. Ce résula analyique nous perme de voir clairemen l impac des différenes hypohèses sur le premier momen de la disribuion. τ Ainsi, nous pouvons inerpréer ce résula comme sui : le premier momen de la disribuion des coûs agrégés es la somme (en référence à l inégrale de Riemann) du produi enre le nombre moyen de réclamaions sur un pei inervalle de emps, disons dm v, e la somme des valeurs moyennes des sur [,v h] ν + e représené par le erme paiemens e des frais encourus qui son escompés (respecivemen avec des aux d escompe moyens) du emps du règlemen de ces coûs, soi v+ w, à = 0. Ce dernier résula es donc plus inuiif qu il n y paraî e son inerpréaion démonre bien la cohérence enre nore approche de la réalié e la formule qui a éé obenue. À l aide de cee dernière formule, nous pouvons obenir une expression analyique dans le cas d un aux d inérê consan, obje du prochain corollaire. Corollaire 3. Considérons le processus des coûs el que défini dans la secion précédene. Alors, pour une force d inérê ne consane, le premier momen de Z () es donné par δτ δv δτ δ = + v E Z E Xe e dm() v E Ye e dm(). v 0 0 e.q.(4) 49

60 À noer que dans le cas où τ ~ Erlang (, ), cee dernière foncion n es pas nécessairemen concave sur ou son domaine. En fai, la dérivée de E Z( ) es croissane sur un domaine e décroissane par la suie. Cela démonre que la concavié de E Z( ) n es pas garanie sauf asympoiquemen. En considéran des aux d inérê ne consans, nous obenons le ableau suivan à l aide des hypohèses menionnées précédemmen e en uilisan l équaion 3. Tableau 3, : E Z( ) E[ Z( )],809 4,07 6,30 8,4444 0,48 Nous remarquons que l espérance des coûs agrégés augmene bien en foncion du emps, ce qui es aendu, e que ces sommes pourraien êre imporanes si nous changions nos uniés e nous pensions en erme de milliers de dollars. Nous présenons mainenan le momen d ordre, qui nous servira par la suie à évaluer la variance, la covariance e ceraines primes. Théorème 3. Considérons le processus des coûs el que défini dans ce chapire. Alors, pour une force d inérê ne sochasique, le deuxième momen de Z () es donné par () = τ = τ = () 00 v E Z E X w E D v w dm v df τ w E Y w E D v w dm v df w [ τ ] + E XY = w E D v + w D v + w dm v dfτ w [ τ ] [ τ ] ( ) + EY = wey = w E D v+ wd u+ v+ w τ ( ) dm u dm v df w df w τ τ 50

61 v [ τ ] [ τ ] + E X = wey = w v ( ) ( ) E D v + w D v + u + w dm u dm v df τ w df τ w [ τ ] [ τ ] + E X = w EY = w v ( ) dm df ( w) df ( w ) E D u+ v+ w D v+ w dm u v [ τ ] [ τ ] ( ) + E X = w E X = w E D v+ w D u+ v+ w dm u dm v df τ τ w df τ ( w ) τ. e.q. (5) Preuve Pour ou parcours échanillonnal de la force d inérê ne sochasique δ ( u), nous avons δ δ ( ) δ δ E Z u, u, u [0, ] = E Z + Z u, u, u [0, ] Ainsi, δ δ = E Z u, u [0, ] + E Z u, u [0, ] δ + E Z Z u, u [0, ] N( ) N( ) E Z( ) δ( u), δ( u), u [0, ] = E D( T + τ) X + E D( T + τ) Y = = N( ) N( ) + E D( T + τ) X D( T + τ) Y. = = Pour le premier erme, en développan le carré e en condiionnan sur N( ), nous obenons E D T X E D T X D T X N( ) N() N() ( + τ ) = ( + τ) ( j + τ j) j = = j= N N () N = E D( T + τ) X + E D( T + τ) D( Tj + τ j) XX j = = j= + 5

62 n n= = n n= = j= + ( τ ) ( ) = E D T + X N = n P N = n n ( τ ) ( j τ j) j ( ) + E D T + D T + X X N = n P N = n E X τ w D u w m( u) df τ w 0 0 = = + n n n= = j= + d ( τ ) ( j τ j) j ( ) + E D T + X D T + X N = n P N = n. En condiionnan sur T e T, en uilisan l équaion e les hypohèses de nore j processus, nous obenons, pour ce dernier erme n n n= = j= + e donc, n n n= = j= + ( + τ) ( j + τ j) j = ( = ) E D T X D T X N n P N n = j= + n= j v = j= + n= j 0 0 ( τ ) ( j τ j) j ( ) = E D T + X D T + X N = n P N = n ( τ ) ( τ ) = E D T + XD Tj + j X j N = nt, j = ut, = v ( + τ) ( j + τ j) j = ( = ) E D T X D T X N n P N n v = j= v = j= * j * ( ) τ τ P N u = n j df u df v * j * ( τ ) ( τ ) = E D v + X D u + j X j dfτ u dfτ v = E D v+ τ XD u+ τ j X j τ = w, τ j = w v = j= [ τ ] = EX = we X j τ j = w * j * dfτ u dfτ v df τ w df w τ j * j * ( ) ( ) D v + w D u + v + w df u df v df w df w τ τ τ τ j 5

63 v [ τ ] [ τ ] ( ) = E X = w E X = w D v+ w D u+ v+ w ( u) ( v) F ( w ) dm dm df w d Similairemen, pour le deuxième erme de nore somme iniiale, nous obenons N( ) E D T Y E Y w D u w m u df = 0 0 ( + τ ) = τ = ( + ) d ( w) v [ τ ] [ τ ] ( ) + EY = wey = w D v+ wd u+ v+ w + E N N() j= = j+ τ τ τ ( ) dm u dm v df w df w Pour le roisième erme de nore somme iniiale, nous avons N( ) N( ) () () N N E D( T + τ) X D( Tj + τ j) Yj = E D( T + τ) D( Tj + τ j) XY j = j= = j= N() = E D( T + τ) D( T + τ) XY = Pour le premier erme de l idenié précédene, nous avons N N() + E D( T + τ) D( Tj + τ j) XY j = j= + τ τ D( T+ τ ) D( T+ τ ) XY j j j... N() N() E D( T + τ) D( T + τ) XY = E E D( T + τ) D( T + τ) XY N () = = = n= = n= 0 N = E D( T + τ) D( T + τ) XY N( ) = n P N( ) = n n= = ( τ ) ( τ ) = E D T + D T + XY N = np N = n = E D T + τ ( τ ) D T + XY N = nt, = u ( ) T P N u = n df u 53

64 = ( τ) ( τ) = E D u + D u + XY dfτ u ( τ) ( τ) = E D u + D u + XY dm u [ τ ] = E XY = w D u + w D u + w dm u df w Pour le deuxième erme de l idenié précédene, nous avons τ N N() E D( T + τ) D( Tj + τ j) XY j = j= + E donc, N( ) N() = E E D T + D Tj + j XY j N = j= + n= = j= + N( ) ( τ ) ( τ ) N = E D( T + τ) D( Tj + τ j) XYj N( ) = n P( N( ) = n) n= = j= + n n ( τ ) = E D T + = j= + n= j = j= + n= j 0 0 D ( Tj + τ j) XYj N( ) = n P N( ) = n ( τ ) ( j τ j) j ( ) = E D T + D T + X Y N = n P N = n v ( τ ) ( τ ) = E D T + D Tj + j XY j N = nt, j = vt, = u *( j ( ) ) * τ τ P N u = n j df u df v N N() E D( T + τ) D( Tj + τ j) XY j = j= + v = j= = j= = E D u+ τ D v+ τ j XY j τ = w, τ j = w v ( ) * j * dfτ u dfτ v df τ w df w τ j [ τ ] [ τ ] ( ) = E X = w E Y = w E D u+ v+ w D v+ w ( ) * j * dfτ u dfτ v df τ w df w τ j 54

65 v [ τ ] [ τ ] = E X = wey = w Similairemen, nous obenons ( ) ( ) D u + v + w D v + w dm u dm v df w df w N N() E D( T + τ) D( Tj + τ j) XY j = j= = j+ v E X wey w D v u v τ τ [ τ = ] [ τ = ] ( + w) D ( v + u + w ) dm dm df ( w) df ( w ). τ τ. Finalemen, le résula sui en addiionnan les ermes, en prenan l espérance de l expression e en permuan espérance e inégrale. Il es aussi à noer que lors du calcul de variance, seuls les quare derniers ermes du deuxième momen son affecés par [ ] E Z, ce qui représene de l informaion de premier ordre. Ainsi, le deuxième momen e la variance peuven êre décomposés en informaion du premier e deuxième ordre. Le corollaire suivan, qui es en lien avec les aux d acualisaion consan perme d approfondir l analyse du deuxième momen pour ce cas pariculier d inérê. Corollaire 3. Considérons le processus des coûs el que défini dans ce chapire. Alors, pour une force d inérê ne consane, le deuxième momen de Z () es donné par E Z () δτ δv δ τ δv = E e X e dm() v + E e Y e dm() v 0 0 v [ δ+ δ] τ [ δ+ δ] v δ τ δ u+ v v [ u v] E e τ δ + Y e dm( u) dm( v) 0 0 [ ] + E e XY e dm v E e X + e dm u dm v + 55

66 v ( ) v u u E Xe δ τ E Ye δ τ δ + δ e e δ δ e dm u dm v e.q.(6) Analyser le deuxième momen, en considéran un aux d inérê consan, nous perme de saisir quelle es l influence des ermes qui son en lien avec le riple ( XYτ,, ) pour ce cas pariculier. De plus, les observaions numériques du chapire 4 suggèren que le E e δτ X E e δτ Y paramère de la copule a beaucoup d influence sur les ermes [ ], [ ] ( δ+ δ) τ e E e XY, mais peu sur les ermes Ee [ δ τ X] e [ ] Ee δ τ Y. Cela aide à comprendre quel serai l impac, dans le cas d un aux d acualisaion consan, d une XYτ,,. À noer que cee modificaion sur la srucure de dépendance du riple analyse des ermes du deuxième momen doi êre compléée en considéran la valeur relaive de chaque expression inégrale. En uilisan les équaions 4 e 6, sous les hypohèses menionnées dans cee secion, nous obenons le ableau suivan pour l écar-ype e la variance de nore processus de risque. Tableau 3,: σ Z( ), Var Z ( ) σ Z Var Z 3,434 5,008 6,04 6,9548 7,6549,7930 5,08 37,7 48,369 58,5974 Comme aendu, nous noons que les valeurs de la variance (e de l écar-ype) son rès imporanes pour les plus peies valeurs de si nous les comparons (en milliers de dollars) aux valeurs correspondanes pour EZ [ ()], e augmenen aussi d une manière imporane avec le emps, ce qui démonre déjà rès bien la dangerosié de ce processus de risque. Nous avons aussi les résulas suivans pour le coefficien de variaion. Tableau 3,3 CV [ Z() ] CV Z,898, 93 0,9654 0,836 0,

67 Le coefficien de variaion de ce processus de risque monre bien le peu de représenaivié de la moyenne par rappor aux données, surou dans les premiers momens. Ce coefficien diminue aussi avec le emps, ce qui implique que le risque ou en demeuran imporan diminue quelque peu avec le emps. Ce dernier poin es approfondi à la secion 4,3. La secion suivane présene la foncion d auo-corrélaion e perme ainsi d obenir de l informaion supplémenaire sur nore processus de risque. 3.3 Calculs des foncions d auo-covariance e d auo-corrélaion Les calculs pour les foncions d auo-covariance e d auo-corrélaion son présenés ciaprès. Ces foncions son principalemen uilisées pour obenir des informaions supplémenaires sur la variabilié du processus sur un inervalle de emps donné, ainsi qu une ceraine mesure du degré de dépendance (linéaire) dans le emps. Théorème 3.3 Considérons le processus des coûs el que défini dans ce chapire Alors, pour une force d inérê ne sochasique, le premier momen conjoin enre Z () e Z ( + h) es donné par ( + ) = E Z Z h E Z [ τ ] [ τ ] ( ) 00 0 ( ) [ τ ] [ τ ] ( ) 00 0 ( ) [ τ ] [ τ ] ( + w) D ( u+ v+ w ) h v + E X = wey = w E D v+ wd v+ u+ w v + h v dm u dm v df w df w + E X = w E Y = w E D v+ w D u+ v+ w v dm u dm v df w df w + h v + E X = w E X = w E D v τ τ τ τ v τ τ ( ) dm u dm v df w df w [ τ ] [ τ ] ( ) h v + EY = wey = w E D v+ wd u+ v+ w v ( ) dm u dm v df w df w τ τ e.q. (7) Preuve Pour ou parcours échanillonnal de la force d inérê ne sochasique δ ( u), nous avons 57

68 δ δ δ δ E Z Z + h u, u, u [0, ] = E Z u, u, u [0, ] N() N( + h) + E D( T + τ) D( Tj + τ j) XY j = j= N( ) + N( ) N( + h ) + E D( Tj + τ j) D( T + τ) XY j = j= N( ) + N() N( + h) + E D ( T + τ ) D ( T + τ ) X X = j= N( ) + j j j N() N( + h) + E D( T + τ) D( Tj + τ j) YY j = j= N( ) + Similairemen aux méhodes employées dans les héorèmes précédens, nous avons donc pour le deuxième erme de cee somme : N() N( + h) E D( T + τ) D( Tj + τ j) XY j = j= N( ) + N() N( + h) = E E D( T + τ) D( Tj + τ j) XY j N( ), N ( + h) = j= N( ) + n m n= m= n+ = j= n+ = j= + m= jn= ( τ ) ( τ ), = E D T + D Tj + j XYj N = n N + h = m = j j = j= + m= jn= 00 (, ) P N = n N + h = m ( τ ) ( τ ), E D T + D Tj + j XYj N = n N + h = m (, ) P N = n N + h = m ( ), = E D T + w D Tj + w XYj N = n N + h = m (, ) τ τ ( ) P N = n N + h = m df w df w j j = j= + m= jn= 00 ( ), = E D T + w D Tj + w N = n N + h = m [ τ ] τ j (, ) τ τ ( ) E X = w E Y = w P N = n N + h = m df w df w j Similairemen, pour le roisième erme, nous obenons 58

69 N( ) N( + h ) E D( Tj + τ j) D( T + τ) XY j = = j= N( ) + + h v τ τ 00 0 v [ τ = ] [ τ = ] ( + ) ( + + ) ( ) E X w E Y w D v w D u v w dm u dm v df w df w puis, N() N( + h) E D( T + τ) D( Tj + τ j) XX j = = j= N( ) + + h v τ τ v [ τ = ] [ τ = ] ( + ) ( + + ) ( ) E X w E X w D v w D u v w dm u dm v df w df w e enfin, N() N( + h) E D( T + τ) D( Tj + τ j) YY j = = j= N( ) + + h v EY wey D v wd u v dm τ τ 00 0 v [ τ = ] [ τ = w ] ( + ) ( + + w ) ( u) dm( v) df ( w) df ( w ). Finalemen, comme précédemmen, le résula sui en prenan l espérance de chacun des ermes précédens. En uilisan l hypohèse d un aux d inérê ne consan e l équaion 7, nous obenons l équivalen du héorème précéden, expression qui permera d approfondir plus aisémen nore compréhension des foncions d auo-covariance e d auo-corrélaion. Corollaire 3.3 Considérons le processus des coûs el que défini dans ce chapire. Alors, pour une force d inérê ne consane, le momen conjoin enre Z () e Z ( + h) es donné par ( + ) = E Z Z h E Z + h v τδ τδ δ[ u+ v] δu E e X E e Y e dm u dm v + 0 v 59

70 + h v τδ τδ δ[ u+ v] δu E e X E e Y e dm u dm v + + h v τδ δ[ u+ v] E e X e dm u dm v + 0 v 0 v + h v τδ δ[ u+ v] E e Y e dm u dm v + 0 v e.q.(8) Pour la foncion d auo-covariance définie comme sui :, ( + ) = ( + ) ( + ) Cov Z Z h E Z Z h E Z E Z h, nous uilisons les hypohèses menionnées dans ce chapire e les équaions 6 e 8, pour obenir le ableau suivan : Tableau 3,4 : Cov Z( ), Z( + h). h (, ) ( + ) Cov Z Z h,558,54,5373,5503,566 (, ) ( + ) Cov Z Z h 4,7988 4,838 4,8533 4,895 4,9099 ( 3, ) ( 3+ ) Cov Z Z h 36, ,047 37, ,9 37,59 ( 4, ) ( 4+ ) Cov Z Z h 48,650 48, 89 48, ,336 48,356 ( 5, ) ( 5+ ) Cov Z Z h 58, , ,538 58, ,5854 Nous remarquons que, pour un fixé, la foncion d auo-covariance change peu lorsque le paramère h augmene. Par conre, pour un h fixé, l augmenaion de la foncion d auo-covariance es plus imporane lorsque augmene e ce à peu près dans le même ordre. En conreparie, la foncion d auo-corrélaion es beaucoup plus sensible au paramère h. Cela s explique par le fai que, en foncion de h, le erme Var Z ( + h) 60

71 évolue de façon significaive par rappor à la foncion d auo-covariance. Ainsi, pour la foncion d auo-corrélaion définie comme sui :, ρ Z Z + h =, ( + ) ( + ) Cov Z Z h Var Z Var Z h e.q.(9) e avec les hypohèses menionnées dans ce chapire, nous obenons le ableau suivan : Tableau 3,5 : ρ Z( ), Z( + h). h (, ) ( ) ρ Z Z + h 0,6695 0,5500 0,483 0,4394 0, 4084 (, ) ( ) ρ Z Z + h 0,86 0,77 0,6483 0,608 0,5683 ( 3, ) ( 3 ) ρ Z Z + h 0,876 0,797 0,7368 0,6949 0,663 ( 4, ) ( 4 ) ρ Z Z + h 0,9047 0,8409 0,793 0,7559 0,76 ( 5, ) ( 5 ) ρ Z Z + h 0,957 0,8730 0,83 0,7994 0,777 Nous remarquons que, pour un fixé, la foncion d auo-corrélaion diminue lorsque h augmene, ce qui correspond bien au fai auquel nous nous aendons c.-à-d. que le degré de dépendance linéaire diminue avec h. Nous remarquons aussi que, pour un h fixé, la corrélaion augmene lorsque augmene, ce qui aussi correspond bien au fai Z + h lorsque. que Z( ) s approche de plus en plus de 6

72 Chapire 4 Applicaions Dans ce chapire, des applicaions du modèle proposé au chapire 3 son présenées. Nous avons comme objecif principal de démonrer que le modèle es calculable. Le rese du chapire se libelle comme sui : incidences de la dépendance, principes de prime, momens simples e conjoin avec Vasice, e esimaion de mesures de risque. À noer que les secions du chapire 4 son présenées en ordre de difficulé pour facilier la présenaion. 4. Méhodes de simulaion des processus Dans cee secion, nous présenons l algorihme qui a éé uilisé pour simuler le processus, ainsi que des graphiques des foncions de densié («defecive») e de répariion qui permeen de mieux comprendre commen se compore le risque en foncion du emps. 4.. Algorihme de simulaion Nous présenons ci-dessous un exemple déaillé de l algorihme de simulaion pour le processus des coûs agrégés.. Nous choisissons un inervalle sur lequel les coûs son évalués, par exemple, l inervalle [ 0, ].. Nous simulons les τ jusqu à ce que T soi plus grand que à l aide d une loi Erlang ( αλ, ) inverse, e nous excluons le T qui es plus grand que. Ensuie, nous compons le nombre de réclamaions survenues dans l inervalle [ 0, ] que nous noerons par n. 3. Nous simulons n riples de nombres uniformes {,, } U U U provenan de la 3 copule en uilisan l algorihme décri au chapire. Nous uilisons ensuie ces nombres uniformes e l inverse des foncions de répariion pour simuler les X, Y e τ. Dans le cas des lois de Pareo e Exponenielle, nous avons des expressions analyiques explicies pour les foncions de répariion inverses, ce qui facilie le raiemen numérique : 6

73 Ainsi, e X = FX ( U) = β ( U) θ ( U ) = Y = β ( U ) θ, Y F ( U ) ln U 3 = F 3 =. τ λ 4. Dans le cas sochasique, nous simulons les aux d acualisaion en uilisan une loi normale bivariée e les foncions de moyenne e de variance obenues pour le modèle de Vasice. Nous noerons, pour i =,,. µ (, h) = µ ( + h) µ ( ) i i i i i i. σ (, h) = σ ( + h) σ ( ) i i i i i i i + h. δi ( i, h) = δi ( x) dx i e,, =,,.. σ (, h h ) σ ( h ) σ ( h ) À noer que les T,,, n = formen une pariion de l inervalle [ ] 0,. Ainsi, sur les inervalles T j, T j, j n,, nous avons δ ( Tj, hj) ~ δ ( Tj, hj) (, T ) (, T ) µ T, h σ, T, h ρ σ T, h, h N µ T, h ρ σ T, h, h σ T, h j j j j j j j j j j j j j j j j où hj = Tj Tj. Ainsi, nous simulons des lois normales bivariées sur chaque inervalle. 63

74 5. Nous addiionnons ous les ermes, mulipliés par leurs faceurs d acualisaion respecifs, ce qui donne la valeur des coûs agrégés simulés. Par exemple, nous muliplions les D ( T τ ) la somme. + par les X e les D ( T τ ) + par les Y e nous faisons 6. Nous recommençons la procédure un cerain nombre de fois, par exemple, , ce qui perme d obenir une approximaion de la disribuion des coûs agrégés. 4.. Simulaion de la disribuion du processus des coûs Dans cee secion, nous présenons les résulas obenus pour les différenes méhodes numériques considérées dans ce mémoire. Nous considérons les hypohèses du chapire 3, en ajouan que les aux d acualisaion sochasiques obéissen à la relaion suivane : Vasice δ δ ( ) ( ) ~ ( α = 0,05, β = 0,, σ = 0,005, δ( 0) = 0; α = 0,03, β = 0,5, σ = 0,009, δ( 0) = 0; ρ = ) Nous présenons les valeurs simulées de la densié e des foncions de répariion pour différens délais d observaion. En uilisan un noyau gaussien, nous obenons les esimaions de densiés présenées sur le graphique de la page suivane. Nous remarquons que, en foncion du emps, la densié du processus de risque évolue rapidemen e ajoue de plus en plus de masse dans les grandes valeurs. La courbe en bleu ressemble à la densié d une loi de Pareo, ce qui n es pas surprenan, car l effe du nombre de réclamaions ainsi que du aux d acualisaion n on pas un impac majeur sur le processus des coûs à =. Néanmoins, lorsque le emps d observaion augmene, le nombre de réclamaions augmene e les aux d acualisaion on plus d impac sur le processus des coûs, ce qui vien modifier la densié du processus (par un aplaissemen). Dans le même ordre d idées, il semble y avoir une forme de symérie qui es inroduie dans la foncion de densié lorsque le délai d observaion du processus 0,5. 64

75 augmene. Le ableau suivan perme de corroborer cee dernière observaion qui a éé obenue à parir des simulaions. Tableau 4, : S Z ( ), Ks Z ( ) S Z 8, 40 4,5067 3,3994 3,307,7643 Ks Z 79,85 5, , ,679,50 Nous remarquons que le coefficien d asymérie (c.-à-d. S Z ( ) ) diminue avec le emps. Nous remarquons aussi que le coefficien d aplaissemen (c.-à-d. Ks Z ( ) diminue avec le emps. ) Foncions de densié Densié Z(5) Z(4) Z(3) Z() Z() Monan Agrégé 0 De plus, combiné au fai que P N lorsque, nous noons aussi sur ce graphique que la masse près de 0 diminue lorsque augmene, ce qui vien ajouer au 65

76 consa que plus le délai d observaion du processus augmene plus la probabilié d obenir un coû agrégé nul diminue. Ce poin es aussi observé sur le graphique de la foncion de répariion ci-dessous. Dans le graphique des foncions de répariion en foncion du emps, présené à la page suivane, nous remarquons que la foncion de répariion diminue de façon significaive en foncion du emps. Cela monre bien le fai que la VaRp [ Z ( )] e la TVaRp [ Z ( )] son des foncions croissanes du emps, ce qui sera corroboré par les résulas de la secion 4.3. Cee dernière observaion démonre que la dangerosié du processus augmene avec le emps, ce qui confore à nouveau le fai que le modèle de risque proposé colle assez bien à la réalié. Foncions de répariion Probabilié Z(5) Z(4) Z(3) Z() Z() Monan Agrégé 4. Calculs de prime Une quanié imporane reliée au processus des coûs es la prime correspondane aux coûs du porefeuille. Dans cee secion, nous examinons rois méhodes de calcul de prime pour le processus des coûs agrégés : le principe de la valeur espérée, le principe 66

77 de l écar-ype e le principe de la ransformée PH. (voir Dicson (006)). De plus, de façon générale, nous définissons Π X comme éan la prime qui sera chargée au porefeuille de risque X. Ainsi, les résulas numériques présenés dans cee secion seron basés sur les hypohèses de la secion 4, (avec aux d acualisaion sochasique) e les résulas numériques des secions 4, e 4,5. - Principe de la valeur espérée Le principe de la valeur espérée propose la relaion suivane pour éablir une prime : Z() où α > 0 es un paramère à déerminer. Voici la prime obenue en posan α = 0,. ( α ) EZ [ ] Π = + (), Tableau 4, : Π Z () Cuhre, 530 5,988 8,45 0,9745 3,7697 Vegas, 580 5,08 8,5,64 3,9903 Simulaions, 408 5,073 8,80,0096 3, Principe de l écar-ype Le principe de l écar-ype propose la relaion suivane pour éablir une prime : () [ ] Π Z = EZ () + βvz [ ()] où β es un paramère à déerminer. Les primes obenues, en posan β = 0, (perme une «ceraine»comparaison des deux méhodes de primes), son présenées dans le ableau 4,. 67

78 Tableau 4,3 : Π Z () Cuhre,605 5,454 8,0997 0,6897 3,958 Vegas,605 5,44 8,0809 0,7646 3,335 Simulaions,583 5,40 8,0805 0,6950 3,846 Dans chacun des deux ableaux précédens, nous obenons des résulas similaires pour les rois méhodes numériques uilisées. De plus, nous remarquons que le deuxième principe de prime donne des valeurs plus élevées qu avec le premier principe pour pei e des valeurs plus peies lorsque augmene. Cela découle direcemen du fai que la moyenne de Z( ) évolue beaucoup plus rapidemen que son écar-ype dans le emps. - Principe de prime basé sur la ransformée PH Le principe de prime basé sur la ransformée PH propose la relaion suivane pour éablir une prime : Z() 0 ( ) Z α Π = F z dz. En uilisan les valeurs simulées du processus, nous obenons le ableau suivan en considéran α =. Tableau 4,4 : Π Z () Simulaions 7,0079 0,8983 4,385 7,90 0,796 Nous remarquons que cee prime donne approximaivemen les valeurs d une 0,90 [ ] VaR Z (voir prochaine secion). De plus, il n es pas surprenan que cee prime soi plus élevée en comparaison des deux principes précédens. La méhode de ransformaion PH modifie la foncion de survie de nore processus, qui a déjà une fore 68

79 dépendance dans la queue de la disribuion, ce qui vien caper encore plus sensiblemen la dangerosié du processus. 4.3 Mesures de risque VaR e TVaR Dans cee secion, nous nous proposons d esimer les mesures de risque p [ ] la p [ ] VaR Z e TVaR Z, qui son liées au processus des coûs agrégés, à l aide de simulaions sochasiques. Avan d analyser e de présener les résulas, nous proposons un coefficien de risque sandardisé qui es défini comme sui : ρ Z m Z( ) = E Z où ρ [ Z( ) ] es une mesure de risque sur le processus Z. Ce coefficien perme d esimer le risque par rappor aux coûs espérés. L inuiion derrière ce coefficien es la suivane : supposons que nous uilisons la mesure de risque ρ [ Z( ) ] prime chargée aux assurés, alors mz [ ] pour éablir la nous donne le coefficien de surcharge qu il fau appliquer à la valeur espérée du processus pour obenir la prime. Dans le cas du modèle éudié dans ce mémoire, nous allons monrer que mz [ ] peu varier de façon significaive avec le emps, en comparaison du coefficien qui a éé considéré à la secion 4.. Pour mere en applicaion ces affirmaions, nous avons effecué des simulaions sochasiques du processus des coûs agrégés. Ainsi, à l aide des hypohèses de la secion 4., nous obenons pour simulaions, le ableau 4,5 sur les mesures de risque VaRp [ Z ( )] e p [ ] TVaR Z. Dans ous les cas, nous observons que la TVaRp[ Z ( ) ] VaRp[ Z ( ) ] rivialemen aendu. De plus, nous consaons que les mesures de risque p [ ] p [ ], résula VaR Z e TVaR Z évaluen bien le risque présen dans la queue de la disribuion, au fur e à mesure que augmene. Éan donné que nous considérons la copule de Joe qui inrodui une fore dépendance dans la queue des disribuions, ainsi que des lois de Pareo qui on des queues épaisses, ce résula n es guère surprenan. 69

80 p Tableau 4,5 : VaRP Z ( ), TvAR p Z. p 90% 95% 99% 99,5% [ () ] VaR Z 5,56 7,785 5,8553 9,9977 p [ () ] TvAR Z 9,6883 3,6 3,809 9,9384 p [ ()] VaR Z 9,96 3,6083 3,76 9,846 p [ ()] TvAR Z 6,095 0,653 34,5735 4,99 p [ (3)] VaR Z 4,048 8,333 30, ,8 p [ (3)] TvAR Z, 06 6,537 4,5940 5,8497 p [ (4)] VaR Z 7,865, , ,3756 p [ (4)] TvAR Z 5,7873 3,643 49, ,343 p [ (5)] VaR Z, 98 6, ,33 47, 458 p [ (5)] TvAR Z 9, , ,76 63,043 Néanmoins, ce dernier fai es nuancé au ableau suivan, en examinan le coefficien de risque mz [ ], lorsque [ Z( ) ] TVaRp [ Z( ) ] ρ =. Nous remarquons que, pour un p fixé, le coefficien (de chargemen) diminue dans le emps. Cee dernière observaion fai du sens, car ce modèle considère la présence de faceurs d acualisaion (avec reour à la moyenne, dans le cas sochasique), ce qui perme de «sabiliser» le processus lorsque e donc d augmener de moins en moins le faceur de chargemen. Pour un fixé, le niveau d augmenaion de ce coefficien augmene en foncion de p plus rapidemen pour pei que pour grand c.-à-d. que, proporionnellemen à mz diminue. l augmenaion de [ ] E Z, [ ] 70

81 Tableau 4,6 : mz [ ]. p 90% 95% 99% 99,5% m Z 4,884 6,076,7505 5,039 m Z,709 3,7593 6,9673 8,899 ( 3) m Z,340,907 5, 96 6,6644 ( 4) m Z,807,4458 4,3679 5,466 ( 5) m Z,585,3 3,6398 4,5300 En complémen, supposons que nous demanderions une charge de capial égale à TVaR Z, pour un risque sur un horizon d un an. Alors, nous demanderions la [ ] 99,5 approximaivemen 6 fois la valeur acualisée espérée des coûs! Cela corrobore encore une fois l idée que le processus sous considéraion es un processus hauemen risqué. Cela suggère qu un principe de prime qui ien compe des caracérisiques du processus de coû doi êre choisi avec beaucoup de précauion. 4.4 Incidences de la dépendance sur le modèle Pour le cas déerminise consan, nous faisons varier le paramère de la copule afin d éudier l incidence de la dépendance sur les premiers momens du processus ainsi que sur la foncion d auo-corrélaion. Il es évidemmen plus simple d éudier le comporemen de la dépendance sur le modèle en considéran un aux d inérê déerminise, éan donné que ceraines simplificaions son possibles. Ces simplificaions permeen de comprendre l effe des ermes XY, e τ de nore modèle. Pour effecuer les calculs de ces derniers ermes, nous avons uilisé la méhode d approximaion numérique de Cuhre Incidence de la dépendance sur le premier momen Dans le ableau suivan, les valeurs du premier momen son obenues en faisan varier le paramère θ de la copule. Nous remarquons que plus la dépendance inroduie par la copule augmene, plus la valeur espérée du processus diminue. Cela peu s inerpréer comme sui : plus la dépendance inroduie par la copule es fore, plus les réclamaions 7

82 élevées seron associées à un aux d acualisaion élevé, ce qui fai diminuer la valeur espérée du processus de coû. Tableau 4,7 : E Z( ). θ, 5, E Z,834,8094,807,8053,7970,7764 E Z 4,6 4,069 4,09 4,0977 4,0789 4,03 ( 3) E Z 6,3344 6,304 6,37 6,3063 6, 774 6, 055 ( 4) E Z 8,465 8,4437 8,4334 8,449 8,3864 8,904 ( 5) E Z 0,5038 0, ,4678 0,467 0,4095 0,904 En résumé, la dépendance inroduie par la copule a un impac indirec sur le aux d acualisaion e conséquemmen, sur la valeur espéré des coûs. Ce qui démonre bien à nouveau l approche «réalise» de nore modèle Incidence de la dépendance sur la variance Dans le ableau suivan, les valeurs de la variance son obenues en uilisan les équaions e 5, e en faisan varier le paramère de la copule. Tableau 4,8 : Var Z ( ). θ, 5, Var Z,000,799,036,006, 43 0,5346 Var Z 3,5309 5,0808 5,687 5,5566 4, 859,340 ( 3) Var Z 34,888 37, 66 38, , ,058 33,375 ( 4) Var Z 45, 86 48, ,630 49,334 46, ,054 ( 5) Var Z 54, , ,99 59,575 56,7857 5,679 7

83 Nous remarquons que la variance augmene en foncion de θ e diminue par la suie. Cee dernière observaion n es pas le frui du hasard. Les ermes E Xe δτ E Ye δτ EYe δτ E X e δτ,, erme E XYe δ + δ τ, décroissen lorsque θ augmene. Néanmoins, le [ ] croî en θ sur un cerain inervalle e décroî par la suie. Ce résula peu êre inerpréé comme sui : lorsque θ augmene, les grandes valeurs de X s associen aux grandes valeurs de Y en probabilié. Éan donné que nous considérons un produi, cela provoque une augmenaion. Lorsque θ coninu à augmener, l effe d acualisaion prend le dessus e fai finalemen diminuer le erme. Le ableau suivan perme de visualiser ce effe. Tableau 4,9 θ E Xe δτ E X e δτ E Ye γτ EYe δτ [ + ] E XYe δ δ τ,485 8,7708 0,9940,6346,4763, 05,483 8,6558 0,9934,639,770,5,4805 8,530 0,996,6,363, 5,477 8,3948 0,995,5959,599, 5,479 8,54 0,990,5778 3,653, 75,4704 8,853 0,9893,5679 3,500,4688 8,7 0,9887,569 3,736,5,4666 8,0089 0,9879,554 3,943 3,4648 7,8093 0,9873,5373 4,043 3,5,468 7,5304 0,9863,533 4,048 4,4559 7,446 0,9848, ,974 4,5,448 6,858 0,989,489 3,8809 5,4375 6, ,975,3360 3,

84 Nous remarquons que la foncion aein un maximum pour une ceraine valeur de θ. À noer que nous observons le même résula pour les ermes [ ] E XY e δ + δ τ e [ ] E XYe δ + δ τ Incidence de la dépendance sur la foncion d auo-covariance. [ ] E X Ye δ + δ τ, Dans le ableau suivan, les valeurs de la foncion d auo-covariance son obenues en uilisan les équaions 4 e 8, e faisan varier le paramère de la copule. Nous remarquons que l effe observé pour la variance es aussi présen pour la foncion d auo-covariance. De plus, l effe décri précédemmen pour la relaion enre la foncion d auo-covariance e la variance es aussi présen si nous comparons le ableau suivan au ableau 4,6. Tableau 4,0 : Cov Z( ), Z( + ). θ, 5, (, ) Z Cov Z 0,8084,558,7430,737,368 0, 54 Cov Z (, ) Z ( 3) 3, 78 4,7988 5,3075 5, 459 3,977,039 ( 3, ) Z ( 4) Cov Z 34,594 36, ,85 37,667 36,767 3,8589 Cov Z ( 4, ) Z ( 5) 45,005 48,649 49,96 48, ,5958 4,7985 ( 5, ) Z ( 6) Cov Z 54, ,460 59,77 59, ,5445 5, Incidence de la dépendance sur la foncion d auo-corrélaion Dans le ableau suivan, les valeurs de la foncion d auo-corrélaion son obenues en uilisan l équaion 9 e en faisan varier le paramère de la copule. 74

85 Tableau 4, : ρ Z( ), Z( + ). θ, 5, (, ) Z ρ Z 0,6687 0,6695 0,6688 0,6688 0,6886 0,6684 (, ) Z( 3) ρ Z 0,804 0,86 0,806 0,806 0,803 0,800 ( 3, ) Z( 4) ρ Z 0,8703 0,875 0,8705 0,8704 0,8700 0,8699 ( 4, ) Z( 5) ρ Z 0,9034 0,9047 0,9040 0,9035 0,9033 0,903 ( 5, ) Z( 6) ρ Z 0,944 0,957 0,948 0,943 0,94 0,940 Tou comme pour la foncion d auo-covariance, la foncion d auo-corrélaion augmene dans le emps sur des périodes de mêmes longueurs. Nous noons aussi que la foncion d auo-corrélaion n es pas rès sensible au paramère θ pour les valeurs considérées. Néanmoins, le degré de dépendance linéaire es globalemen assez imporan. 4.5 Momens simples e conjoins avec Vasice Dans cee secion, nous présenons les résulas numériques pour les momens simples e conjoin de nore modèle, mais cee fois-ci en considéran un aux d inérê sochasique. Avan de présener les différens calculs numériques, nous inroduirons ceraines ideniés mahémaiques qui seron uilisées. Ainsi, sous l hypohèse d un modèle de Vasice bivarié, nous avons e pour i =,, ( u) + σ ( v) σ E D ( u) D ( v) = exp µ ( u) µ ( v) + + ρσ ( uv, ) σ. exp i u E D i u = µ i ( u) + σ i β e i u β e i u u + δ ( 0) i i exp i α i β e i u β β β = α i iu + β i 75

86 D i ( v+ max ( wu, + w )) ( + ) ( + + ) = ( + ( + )) D i ( v min ( wu, w + + )) D( max (, )) ( min (, i v+ wu+ w E D i v wu w = + + )) E D i ( v min ( wu, w + + )) = exp ( µ ( v+ min ( wu, + w )) + σ ( v min ( wu, w i i + + ))) exp µ ( v+ max ( wu, + w )) µ ( v+ min ( wu, + w )). E D i v w D i v u w E D i v min w, u w ( + ) ( + + ). E D i v w D 3 i v u w où Ainsi, nous obenons exp ( ( i i )) σ ( v+ max ( wu, + w )) σ ( v+ min ( wu, + w ) ) i min, ( min, 3 ) i(,,, ) i ( min (, )) ( min (, )) (,,, ) ( ) = E D i v+ wu+ w D v+ wu+ w f vu ww = E D i v+ wu+ w D 3 i v+ wu+ w E f i vu ww i ( + ) ( + + ) i ( + + ) ( + ) D v w, si u+ w w D i v u w f i ( vuww,,, ) =. D 3 v u w, si u+ w w D 3 i v w i (,,, ) = I { u w w} exp{ µ + µ } E f i v u w w i u w i v u w σ u w ( v u w) exp i + σ i + + exp{ µ ( ) µ } + I { } 3 i v+ u+ w 3 i u+ w u+ w w σ 3 v u w 3 ( u w) exp i + + σ i + 76

87 e, i ( + ) 3 i ( + + ) = ( µ ( v+ ( wu+ w )) µ ( v+ ( wu+ w ))) E D v w D v u w exp i min, 3 i min, σ ( v min ( wu, w) ) 3 ( v min ( wu, w) ) exp i + + σ i ( v ( wu w )) ( v ( wu w )) exp min, ρ σ i + + σ 3 i + min, + σ ( u w) ( v u w) I exp { } ( ( u w v u w )) exp i + σ i + + µ w u w i + µ i > + σ exp exp i v+ u+ w σ i u+ w I µ v u w u w { u w w} i + + µ i + + > For heureusemen, la complexié analyique des expressions présenées dans ce mémoire ne consiue pas pour auan un obsacle à la calculabilié de nore modèle, ceci grâce aux méhodes de quadraures adapaives développées ces dernières années. De plus, selon les hypohèses considérées dans ce mémoire, il peu êre démonré que oues les foncions d acualisaion univariées e bivariées considérées dans cee secion son des foncions décroissanes de elle sore que lorsque, les deux premiers momens convergen vers des valeurs finies. - Résulas numériques Dans le ableau suivan, les valeurs du premier momen son obenues par rois méhodes numériques en uilisan l équaion 3 e l algorihme de simulaion décri dans ce chapire. 77

88 Tableau 4, : E Z( ) Cuhre,8775 4,334 6,76 9,454,4748 Vegas,887 4,340 6,7709 9, 637,6585 Simulaions,8673 4,3394 6,7650 9,747,4600 Nous remarquons que les rois méhodes donnen des résulas assez similaires, ce qui rassure quelque peu sur la cohérence de nos formules. Nous remarquons aussi que l espérance du processus des coûs augmene avec le emps. Quan au calcul de la variance, plus de difficulés se son présenées lors de l uilisaion des méhodes numériques Cuhre e Vegas, car enre aures le calcul du deuxième momen fai alors appel à plusieurs inégrales don 4 d enre elles son en 6 dimensions. Néanmoins, les rois méhodes considérées donnen des résulas d un ordre de grandeur similaire. Ainsi dans le ableau suivan, nous remarquons que l écar-ype du processus augmene avec le emps, ce qui es ou à fai logique, e nous noons que les valeurs obenues par la simulaion e la méhode de Cuhre corresponden un peu plus enre elles. Ces valeurs on éé obenues en uilisan les équaions 3 e 5. Tableau 4,3 : σ Z( ) Cuhre 3,6386 5,45 6,6879 7,79 8,6054 Vegas 3,604 5,3558 6,5499 7,5044 8,388 Simulaion 3,5797 5,309 6,5774 7,607 8,63 Nous remarquons que l écar-ype augmene aussi avec le emps dans le cas des aux d acualisaion sochasique. Aussi, le coefficien de variaion diminue par rappor au emps, ce qui implique que le risque du processus diminue avec le emps sous considéraion de cee mesure. 78

89 Tableau 4,4 : CV Z ( ) Cuhre,9380,499 0,9890 0,8443 0,7499 Vegas,954,339 0,9674 0,800 0,790 Simulaion,97,35 0,973 0,886 0,755 Dans les ableaux suivans, les valeurs des foncions d auo-covariance e d auocorrélaion son obenues par nos rois méhodes numériques, résulas assez près les uns des aures surou pour la foncion d auo-covariance. La covariance augmene avec le emps. Nous remarquons que l effe décri dans le cas déerminise es aussi observée dans le cas sochasique par rappor à l ordre enre e Cov Z ( ), Z ( + ) Var Z. Tableau 4,5 : Cov Z( ), Z( + ) Cuhre,99 7,595 4, ,644 7, 4094 Vegas, ,753 40,38 53, , 4306 Simulaions,0743 7,9677 4,565 56,9 73,6604 Tableau 4,6 : Var Z ( ) Cuhre 3,399 9,343 44,79 59,679 74,0543 Vegas,9898 8,6844 4,903 56,36 70, 77 Simulaions,844 8,876 43, 66 57, ,

90 Le ableau ci-dessous présene la foncion d auo-corrélaion en uilisan l équaion 9. Tableau 4,7 : ρ Z( ), Z( + ) Cuhre 0,6556 0,760 0,879 0,8670 0,8903 Vegas 0,6463 0,79 0,80 0,8770 0,976 Simulaions 0,65 0,8009 0,8505 0,8705 0,936 La corrélaion augmene avec l argumen, ce qui es logique. Encore une fois, les valeurs son similaires pour les rois méhodes numériques. 80

91 Chapire 5 Conclusion Dans ce mémoire, l environnemen de l assurance pour les professionnels de la sané a éé décri. À parir de cee descripion, un modèle simplifié a éé proposé pour évaluer les coûs agrégés d un porefeuille en lien avec une couverure «claims-made», en basan les hypohèses clés sur des observaions empiriques. À noer que le modèle qui a éé proposé pourrai évenuellemen s appliquer à d aures lignes d affaires en responsabilié civile possédan des caracérisiques similaires. À parir du modèle considéré, ceraines quaniés héoriques d inérê on éé obenues dans le cas de aux d inérê ne déerminise e sochasique, noammen les deux premiers momens du processus de risque ainsi que le premier momen conjoin, ce qui a permis de calculer des primes «exaces» selon rois méhodes. De plus, des simulaions on éé effecuées, ce qui a permis d esimer la disribuion du processus des coûs e ceraines mesures de risque. Ces simulaions on aussi permis de corroborer les calculs effecués par les méhodes de quadraure adapaive. Malgré la complexié de nore modèle, nous avons monré que ce dernier es calculable. À noer que le modèle proposé dans ce mémoire ien compe des frais alloués d une ligne d affaires de façon sochasique, ce qui, au meilleur de connaissance de l aueur de ce documen, n a pas beaucoup éé éudié dans la liéraure. Des exemples d applicaion du modèle on éé donnés avec un modèle de aux d acualisaion : Vasice bivarié e avec des aux d acualisaion consans. D aures modèles de aux d inérê pourraien êre uilisés pour rendre nore modèle plus réalise, ce qui pourrai résuler néanmoins en une complexificaion des calculs. Un des avanages du modèle de Vasice bivarié es qu il procure des expressions analyiques pour les deux premiers momens du aux d acualisaion coninu. De plus, une éude de l effe de la dépendance sur le modèle a éé effecuée pour plusieurs quaniés héoriques, ce qui perme de mieux saisir l ineracion enre ces derniers. Nous avons observé que pour ce modèle, le paramère de la copule a un impac non négligeable sur plusieurs quaniés héoriques. Finalemen, il va sans dire qu il exise plusieurs possibiliés de ravaux ulérieurs en ce qui a rai au modèle proposé dans cee hèse. Par exemple, il serai inéressan d appliquer le modèle pour différens ypes de conras, de développer des méhodes de primes spécialemen conçues pour le processus des coûs sous considéraion dans ce mémoire, de modéliser les réclamaions e les frais alloués avec des modèles linéaires 8

92 généralisés pour enir compe des caracérisiques des assurés, de faire une éude pour idenifier des modèles adéquas de aux d acualisaion pour le processus de coû agrégé, de calibrer le modèle sur une base de données, de calculer des momens d ordre supérieurs pour approximer la disribuion de probabilié du processus des coûs agrégés, de faire une éude numérique plus approfondie sur plusieurs hypohèses (p.ex. disribuions, copules), d analyser plus en profondeur le comporemen de la loi de probabilié simulée du processus de coû agrégé en foncion du emps, d inclure des noions d environnemen économique e de cycles d assurance, ec. Ce son les défis que je compe relever dans un proche avenir. 8

93 Bibliographie. Acerbo-Kozuchowsi, N. & Ashon, K. (007). Medical malpraice claims invesigaion, nd ed. Jones and Barle publishers. Unied Saes of America.. American college of legal medecine. (007). The medical malpracice survival handboo. Mosby Elsevier. Philadelphie, Unied Saes of America. 3. Baer, T. (005 a). Medical Malpracice and he insurance underwriing cycle. Universiy of Connecicu School of Law Aricles and Woring Papers. Paper 6. hp://isr.nellco.org/uconn_wps/6. 4. Baer, T. (005 b). The medical malpracice Myh. The Universiy of Chicago Press. Chicago, Unied Saes of America. 5. Baes, R. Kezirian, P. & Winch, T. (004) Claims-paid policy offers ris reenion groups a way o assess insurance coss on a real ime basis. The Ris Reenion Reporer. 6. Bernsen, J. Espelid, T. Genz, A. (99 a). Algorihm 698: DCUHRE-an adapive mulidimensional inegraion rouine for a vecor of inegrals. ACM Transacions on Mahmaical Sofware 7, Bernsen, J. Espelid, T. Genz, A. (99 b). An adapive algorihm for he approximae calculaion of muliple inegrals. ACM Transacions on Mahemaical Sofware 7, 4, Bha, V, N. (00). Medical malpracice : a comprehensive analysis. Auburn House, Connecicu, USA. 9. Blac, B., Hyman, D, A., Silver, C. & Sage, W. M. (008). Defense coss and insurer reserves in medical malpracice and oher personal injury cases: Evidence from Texas, , American Law and Economics Review 0, Born, P. & Boyer, M, M. (0). Claims-Made, Repored policies and insurer profiabiliy in medical malpraice. Journal of ris and insurance 78,,

94 . Bras, P-L. Auume, C. Roussile, B. & Sainoyan, V. (007). L assurance en responsabilié civile médicale. Rappor RM. /D_TELE/igas%0_assurance_007.pdf. Dalon, G. D., Samaropoulos, X. F. & Dalon, A. C. (008). Improvemens in he safey of paiens care can help end he medical malpracice crisis in he Unied Saes. Healh Policy, Danzon, P, M. (986). The frequency and severiy of medical malpracice claims : new evidence. Law and Conemporary Problems 49,, De Luca, G. & Rivieccio, G. (0). Mulivariae ail dependence coefficiens for Archimedian copulae, in Advanced Saisical Mehods for he Analysis of Large Daa- Ses, Springer Sudies in heoreical and applied saisics, Dooren, P, V. & Ridder, L. (976). An adapive algorihm for numerical inegraion over an n-dimensional cube. Journal of Compuaional and Applied Mahemaics, 3, Forray, S, J. (00). Reserving for Exended Reporing Endorsemen Coverage, Including he Deah, Disabiliy, and Reiremen Policy Provision. Casual Acuarial Sociey. -5. hp://publicaions.milliman.com/publicaions/pcpublished/pdfs/reserving-exended-reporing-endorsemen.pdf 7. Gaisser, S. C. (00). Saisics for copula-based measures of mulivariae associaion, Thèse de docora, -74, ups.ub.uni-oeln.de/364//disseraion SandraGaisser.pdf 8. GAO (003). Muliple facors have conribued o increased premium raes. Repor o congressional requesers. General accouning office. Unied Saes of America. 9. Genz, A. C., and Mali, A. A. (980). An adapive algorihm for numerical inegraion over an n-dimensional recangular region. J. Compu. Appli. Mah. 6, Gilmour, J, M. (006). Paien safey, medical error and or law : an inernaional comparison. Osgoode Hall Law School. Yor Universiy. Canada. 84

95 . Hahn T. (005) CUBA-a library for mulidimensional numerical inegraion. Compuer Physics Communicaions 68, Harringon, S, E., Danzon, P, M. & Epsein, A, J. (008). Crisis in medical malpracice insurance : Evidence of excessive price-cuing in he preceding sof mare. Journal of Baning & Finance 3, Hyman, D, A., Blac, B. Zeiler, K. Silver, C. & Sage, W, M. (007). Do defendans pay wha juries award? Pos-Verdic Haircus in Texas Medical Malpracice Cases, Journal of Empirical Legal Sudies, Holz Marus, (00). Sparse Grid Quadraure in high dimensions wih applicaions in finance and insurance. Springer. 5. Jena, A, B., Seabury, S., Ladawalla, D. & Chandra, A. (0). Malpracice ris according o physician specialy. The New England journal of medicine 365, Joe, H. (993). Parameric families of mulivariae disribuions wih given margins. J Mulivariae Anal. 46, Krommer, A. R. & Ueberhuber, C. W. (994). Numerical Inegraion on advanced compuer sysems. Springer-Verlag. Prined in Germany. 8. Leblanc, R. (000). Éude de l effe de la dépendance dans le modèle collecif du risque. Essai. Universié laval. 9. Lei, Y. & Schmi, J. (008). Facors influencing he demand for reinsurance in he medical malpracice insurance mare : a focus on organizaional form. American Ris and Insurance Associaion meeing. Wisconsin School of Business. Universiy of Harford. hp://poral.business.colosae.edu/projecs/aria /Shared%0Documens/3e_Lei_Facors%0Influencing%0he%0Demand%0fo r%0reinsurance.pdf 30. Lepage, G. P. (978) A new algorihm for adapive mulidimensional inegraion. J. Compu. Phys. 7,

96 3. Léveillé, G. & Garrido, J. (00a). Momens of compound renewal sums wih discouned claims, Insurance : Mahemaics and Economics 8, Léveillé, G. & Garrido, J. (00b). Recursive Momens of compound renewal sums wih discouned claims, Scandinavian Acuarial Journal, Léveillé, G. & Adéambi, F. (0). Covariance of discouned compound renewal sums wih a sochasic ineres rae, Scandinavian Acuarial Journal, Maréchal X, Denui M, Vinc I, Closon J-P. Éude relaive aux coûs poeniels liés à une évenuelle modificaion des règles du droi de la responsabilié médicale Phase III : affinemen des esimaions. Healh Services Research (HSR). Bruxelles : Cenre fédéral d experise des soins de sané (KCE); 006. KCE repors 35B («/006/0.37/7). 35. MARSH, IMA. Éude relaive aux coûs poeniels liés à une évenuelle modificaion des règles du droi de la responsabilié médicale (phase I). Bruxelles : Cenre fédéral d Experise des Soins de Sané (KCE). 004 juille. KCE repors B. Ref :PF04-6.0B. 36. Nelsen, R. B. (996). Nonparamerice measures of mulivariae associaion, in: Disribuion wih Fixed Marginals and Relaed Topics, IMS Lecure Noes Monograph Series 8, Nelsen, R, B. (006). An inroducion o Copulas, nd ed. Springer Series in Saisics, New-Yor, Unied Saes of America. 38. Peere, G & Kollo, T. (006). Modelling claim size in ime via copulas. In Proceedings, 8 h Inernaional Congress of Acuaries, Paris, France, 0pp. hp://papers.ica006.com/papiers/06/06.pdf 39. Pulis, R, S. (00). Pricing he hybrid. Casualy Acuarial Sociey hp:// 40. Schroder, J. (005). Idenifying Medical Malpracice 3 RD ed. Oaland, California. Unied Saes of America. 86

97 4. Schmid, F & Schmid, R. (007). Mulivariae condiional versions of Spearman s rho and relaed measures of ail dependence, The Journal of Mulivariae Analysis 98, Seabury, S., Chandra, A., Ladawalla, D. & Jena, A., B. (0). Defense Coss of Medical Malpracice Claims. The New England Journal of Medicine 366, Sloan, F, A. & Chepe, L, M. (008). Medical malpraice. Massachuses, Unied Saes of America. The MIT Press Cambridge, Massachuses Unied Saes of America. 44. Saud, A. (00). Tail ri, sysemic ris and copulas. hp:// 45. Tvergerg, G, E. (005). Pifalls in evaluaing proposed or reforms. Casualy Acuarial Sociey Forum hp:// forum /05wf5.pdf 46. Wolff, E.F. (980), N-dimensional measures of dependence, Sochasica 4, 3, Wu, F., Valdez, E. A. Sherris, M. (007). Simulaing exchangeable mulivariae Archimedean copulas and is applicaions. Communicaions in Saisics Simulaion and Compuaion 36, 5, Zeiler, K., Silver, C., Blac, B, Hyman, D, A. & Sage, W, M. (007). Physicians Insurance limis and malpracice paymens : evidence from Texas Closed Claims, Journal of Legal Sudies 36,,

98 Annexe 88

99 89

100 90

101 9