Fiche 3 : Exponentielles, logarithmes, puissances

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1 Fich Ercics Fich 3 : Eponntills, logarithms, pissancs Opérations élémntairs t fonction ponntill on appliq ls égalités rmarqabls pis ls propriétés ds ponntills L prodit ds ponntills d d réls st égal à l ponntill d lr somm Ercic 1 Simplifir : B = ( + ) ( ) Opérations élémntairs t fonction logarithm On commnc par simplifir ponntills : ls règls d calcl sont mêms q por ls posants Ercic Simplifir : a) A = ln(3) ln(3) ln() b) B = ln(5) ln(3) c) C = ln(5) + ln(3) Fonction ponntill t cntr d symétri Por provr l istnc d n cntr d symétri, on pt aminr la corb por conjctrr ls coordonnés d c point s il n st pas précisé dans l énoncé Ercic 3 8 On pos por tot rél : f () = 1+ a) Vérifir l égalité f ( ) = 8 f () b) En dédir q la corb rprésntativ d f présnt l point A(0,4) comm cntr d symétri Parité La fonction f doit êtr défini sr n domain symétriq par rapport à 0 t doit vérifir f ( ) = f () por tot appartnant à c domain La propriété sovnt tilisé dans c gnr d rcic st la sivant : si a t b sont d nombrs strictmnt positifs, l n a = ln b b a

2 Fich Ercics Effctivmnt : ln a = ln(a) ln(b) b ln b = ln(b) ln(a) a Ercic 4 f st la fonction défini sr ] 3, 3[ par f () = Etdir la parité d f 3 l n 3 + Fonction logarithm népérin t cntr d symétri Ls formls d changmnt d rpèr par changmnt d origin sont = X + 0 y = Y + y où ( 0, y 0 ) st l copl ds coordonnés d 0 la novll origin, (,y) l copl ds coordonnés d point M dans l ancin rpèr t (X,Y) l copl d ss coordonnés dans l nova rpèr Ercic 5 On considèr la fonction f défini sr ] ; 1[ ]1 ; + [ par f () = ln + 1 Montrr q l point A(0,) st n cntr d symétri d la corb Eqations, ponntill népérinn, logarithm népérin On tilis ls propriétés conjoints ds fonctions ponntill t logarithm népérins, n prnant n compt ls conditions d istnc En particlir, lorsq ls réls a t b sont strictmnt négatifs, ln(ab) ist, mais pas ln a ni ln b Ercic 6 Résodr dans ls éqations sivants : a) = 7 b) = 1 c) ln( + 3) + ln( + ) = ln( + 11) d) ln(² ) = ln( + 11) Eqations t fonction ponntill d bas a On tilis ln(a) a = pis ls propriétés d la fonction ponntill népérinn Ercic 7 Résodr dans l nsmbl ds nombrs réls l éqation + 3 = 3 7

3 Fich Ercics Eqation d scond dgré t ponntill Il s agit d éqations qi sont d scond dgré après l changmnt d variabl q : X > 0! On st sovnt amné à tilisr la propriété = ( ) Ercic 8 Résodr dans l nsmbl ds nombrs réls : = X = Il st fondamntal d gardr présnt à l sprit Eqation d scond dgré t logarithm Il s agit d éqations qi sont d scond dgré après l changmnt d variabl X = ln() avc > 0 Attntion à n pas confondr (ln())² t ln(²) Ercic 9 Résodr l nsmbl ds nombrs réls (ln())² 4 ln() 77 = 0 Inéqation simpl t ponntill Utilisr la strict croissanc ds fonctions ponntill t logarithm népérin Ercic 10 Résodr dans l nsmbl ds nombrs réls l inéqation 1 Inéqation simpl t logarithm Détrminr l nsmbl sr lql l prssion st défini, résodr l inéqation sr ct nsmbl n tilisant la strict croissanc ds fonctions p t ln Ercic 11 Résodr dans l nsmbl ds nombrs réls l inéqation ln(1 ) 1 Inéqation d scond dgré t ponntill Il s agit d inéqations qi sont d scond dgré après l changmnt d variabl X = l sprit q : X > 0! On tilis l d sign d trinôm a² + b + c Il st fondamntal d gardr présnt à

4 Fich Ercics Ercic 1 Résodr dans l nsmbl ds nombrs réls l inéqation + 0 Inéqation d scond dgré t logarithm Il s agit d inéqations qi sont d scond dgré après l changmnt d variabl X = ln() avc > 0 On tilis l sign d trinôm a² + b +c Ercic 13 Résodr dans l nsmbl ds nombrs réls strictmnt positifs l inéqation (ln())² + ln() 6 > 0 Dérivation d fonctions tilisant la fonction p Si st n fonction dérivabl sr n intrvall I, la fonction st ll assi dérivabl sr I t( ) = ' Ercic 14 Détrminr la fonction dérivé d : f : Dérivation d fonctions tilisant la fonction ln Fonctions slls Appliqr ls formls slls sr ls dérivés S sovnir q si > 0 alors ln () = 1 Ercic 15 Détrminr la fonction dérivé d f : (ln())² avc rél strictmnt positif Fonctions composés La fonction logarithm st dérivabl sr tot intrvall où ll st défini Ercic 16 Détrminr la fonction dérivé d chacn ds fonctions sivants f : ln(²) por tot rél strictmnt positif g : ln( ) por tot rél strictmnt négatif

5 Fich Ercics Limits t croissancs comparés Il convint tot d abord d détctr si l on a affair à n form indétrminé Si c st l cas, on réorganis l prssion d la fonction d manièr à povoir tilisr ls résltats ds croissancs comparés Mttr n factr ls trms «ls pls pissants» st sovnt jdici Ercic 17 a) Soit la fonction f : ( + )² Etdir la limit d f n + t n b) Soit la fonction g : ² Etdir la limit d g n + t n Ercic 18 a) Soit f : 5 ln() Etdir l comportmnt d f qand tnd vrs b) Soit g : ² ln() Etdir l comportmnt d g qand tnd vrs +