2. Repère de temps. Le système de référence est tout simplement l addition d un solide de référence et d un repère de temps.

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1 Modélisaion des sysèmes mécaniques LA CINÉMATIQUE DU POINT Dae : Inroducion : La cinémaique es la parie de la mécanique qui éudie le mouvemen des corps, indépendammen des effors qui les produisen. Les grandeurs éudiées son les mouvemens, les déplacemens, les rajecoires, les viesses, les accéléraions. Remarque : En cinémaique, les solides éudiés son supposés indéformables. Un solide peu êre défini comme un ensemble de poins don les disances respecives resen inchangées au cour du emps. 1/ Référeniel. 1. Repère e solide de référence : 0 Le mouvemen d un solide ne peu êre défini que par rappor à un aure solide choisi comme référence e es appelé solide de référence. 1 On associera souven un repère de référence (O ; x r, y r, z r ) au solide de référence, permean de repérer avec précision la posiion e le mouvemen du solide. 2. Repère de emps. 2 En mécanique le emps es considéré comme absolue e uniforme. Chaque fragmen de emps es idenique au suivan. On le schémaise par une droie orienée de droie gauche, du passé vers le fuur. Si une origine es nécessaire elle sera nommée : 0 pour = n L unié de emps es la seconde (s). à 3. Sysème de référence. Le sysème de référence es ou simplemen l addiion d un solide de référence e d un repère de emps. 2/ Mouvemens absolus e relaifs. 1. Mouvemen absolu. Un mouvemen es di absolu s il es défini par rappor à un repère ou un référeniel absolu. Un repère absolu es un repère qui es au repos absolu dans l univers. La erre es en mécanique indusrielle un bon repère absolu. 2. Mouvemen relaif. Un mouvemen es di relaif s il es défini par rappor à un repère ou un référeniel relaif. Un repère relaif es un repère qui bouge dans l univers. Page 1 / 8

2 Modélisaion des sysèmes mécaniques LA CINÉMATIQUE DU POINT Dae : Exemple : Prenons le cas d un rain qui se déplace à une viesse consane de 4 Km/h par rappor au sol. Ici le sol donc la erre es un repère absolu. Mainenan, un voyageur se déplace à une viesse consane de 4 Km/h par rappor au rain e dans le même sens que celui du rain. Ici le ain es un repère relaif. Le rain à une viesse absolue par rappor à la erre e dans un sens «posiif». Le voyageur à une viesse relaive par rappor au rain. Le voyageur à donc une viesse absolue par rappor à la erre de 8 Km/h. 3. Ecriure du Mouvemen. Noaion : Mouvemen du solide 1 par rappor solide de référence 0. Mouvemen Apparenan au solide M v 1/0 Solide de référence Par rappor au 3/ Principaux mouvemens plans de solides. Un solide exécue un mouvemen plan lorsque ous les poins qui le consiue se déplace dans des plans parallèles enre eux. Par commodié, le plan reenu pour définir le mouvemen sera celui qui conien le cenre de gravié G e le solide sera assimilé à une fine feuille. Cee schémaisaion perme de rassembler dans une même caégorie la plupar des mouvemens de solides renconrés en echnologie. Mouvemen Propriéés Exemple : Translaion reciligne Translaion curviligne A A B B Roaion Posiion 1 Posiion 2 Le solide ourne ou es animé d un mouvemen angulaire auour d un axe fixe perpendiculaire au plan du mouvemen. Les poins du solide décriven des cercles ou des porions de cercle cenrés sur l axe de roaion. Toues les lignes du solide ournen du même angle θ à chaque insan considéré. Page 2 / 8

3 Modélisaion des sysèmes mécaniques LA CINÉMATIQUE DU POINT Dae : 4/ Poins coïncidens e rajecoire. 1. Noion de poins coïncidens. Les poins coïncidens son poins qui peuven apparenir plusieurs solides en même emps. On peu à ou insan considérer un poin comme lié à un solide ou à un aure e ces mouvemens par rappor à solide de référence. 2. Trajecoire d un poin. des à éan suivre un La rajecoire d un poin es la race de ses posiions successives laissées dans l espace par son déplacemen au cour du emps. Noaion : Trajecoire A Trajecoire A apparenan au solide 1 par rappor solide de référence 0. Exemple : roue avan de bicyclee. apparenan au solide T A 1/0 par rappor solide de référence au A es le poin de conac enre la roue (1) e le sol (0). B es le cenre du moyeu enre le cadre e la roue. C es un poin apparenan à une poignée de frein. Le vélo se déplace en ranslaion reciligne. Pour un our de roue : T C 2/0 = segmen de droie CC T B 2/0 = segmen de droie BB T A 2/0 = segmen de droie AA T A 1/2 = cercle de cenre B e de rayon AB. T A 1/0 = courbe pariculière appelée cycloïde. Vocabulaire : Pour un mouvemen de ranslaion reciligne, la rajecoire es une droie. Pour un mouvemen de ranslaion circulaire, la rajecoire es une courbe quelconque. Pour un mouvemen de roaion, la rajecoire es circulaire. Page 3 / 8

4 Modélisaion des sysèmes mécaniques LA CINÉMATIQUE DU POINT Dae : 5/ Translaion des solides. Lorsqu un solide es en ranslaion, chaque ligne de celui-ci se déplace parallèlemen à sa posiion iniiale au cours du emps. 1. Propriéés. Tous les poins du solide en ranslaion on des rajecoires ideniques. Tous les poins du solide on même viesse. Tous les poins du solide on même accéléraion. Le mouvemen de ranslaion d un solide es complèemen défini par le mouvemen de n impore quel poin. 2. Différens cas. a) Translaion reciligne : Les rajecoires des poins son des segmens de droies parallèles. b) Translaion circulaire : Les rajecoires des poins son des courbes géomériques quelconques ideniques du plan. 3. Mouvemens de ranslaions recilignes. x 0 = la disance à l insan 0. 0 = le emps à l insan 0. x 1 = la disance à l insan 1. 1 = le emps à l insan 1. x = la différence de disance enre deux oins. = la différence de emps enre deux insans. 4. Viesse moyenne. L unié de disance es le mère (m). L unié de emps es la seconde (s). La viesse moyenne de A enre les insans e es égale à la disance parcourue divisée par le emps mis pour parcourir cee disance. La viesse moyenne se mesure en mère par seconde (m/s). 0 =0 2 = 1 + v moy = x A 0 x 1 A 1 x 2 x A 2 Exemple : sur un ronçon d auoroue parfaiemen reciligne, un véhicule parcour 5 km en 3 minues e 20 secondes. Déerminez la viesse moyenne du véhicule : Réponse : 5. Accéléraion. Les accéléraions raduisen les variaions de la viesse (ralenissemen, accéléraion). L accéléraion moyenne a moy enre les insans e es égale à la variaion de la viesse v divisée par. Page 4 / 8

5 Modélisaion des sysèmes mécaniques LA CINÉMATIQUE DU POINT Dae : 6/ Mouvemens reciligne uniforme. C es le mouvemen le plus simple, sans accéléraion (a = 0) e avec une viesse consane au cours du emps. Equaions de mouvemen : Allure ypique des graphes : x x = v + x 0 0 a = 0 v = v 0 = consane x = v 0. + x 0 v v = v 0 a x 0 : déplacemen iniiale à = 0 v 0 : viesse du mouvemen x : déplacemen à l insan. a = 0 Déplacemen Le déplacemen x augmene en foncion du emps viesse La viesse v es consane, elle n'augmene pas en foncion du emps. 7/ Mouvemens reciligne uniformémen varié. Accéléraion L'accéléraion a es nulle e le rese ou au long du emps. L'accéléraion uniforme de la viesse es l'augmenaion, ou la diminuion, de cee dernière d'une quanié consane de viesse à chaque fracion de emps qui se succède. Elle se mesure en mère par seconde par seconde auremen di en mère par seconde au carré (m/s 2 ). Equaions de mouvemen : Allure ypique des graphes : a = Consane v = a + v 0 x = 1/2 a 2 + v 0 + x 0 Formule uile : v 2 = v a (x x 0 ) x 0 : déplacemen iniiale à = 0 v 0 : viesse du mouvemen x : déplacemen à l insan. : le emps de déplacemen. a a = Consane v v = a + v0 x + x0 v x = / a 2 Accéléraion L'accéléraion a es consane, elle n'augmene pas en foncion du emps. viesse La viesse v augmene d'une valeur consane a en foncion du emps. Déplacemen Le déplacemen x augmene en foncion du emps. La courbe es une parabole. Page 5 / 8

6 Modélisaion des sysèmes mécaniques LA CINÉMATIQUE DU POINT Dae : 8/ Mouvemen de roaion. 1. Propriéés. Tous les poins du solide en roaion on des rajecoires circulaires de même cenre. Tous les poins du solide on la même viesse angulaire. Tous les poins du solide on la même accéléraion angulaire. 2. Roaion de solides. La roaion d un solide es définie par son mouvemen angulaire. Pour un solide en roaion plane (roaion d axe O), il suffi de mesurer l angle de roaion θ d une droie quelconque (OA, OB, ec.) apparenan au solide pour repérer la roaion de celui-ci. Remarques : 1 our = 2π radian = 360 Si N es la viesse de roaion en ours par minue, alors : (en rad/s) 3. Viesse angulaire ou viesse de roaion ω. Viesse angulaire moyenne : ω moy ω = π.n 30 θ' θ θ = = ' Exemple : Un changeur d'ouils effecue une roaion de 30 en 1,5 seconde pour emmener un fore à la broche de la machine. Réponse : 4. Accéléraion Angle en rad/s = (30 x 2π) / 360 = 0,523 θ 0,523 ω moy = = 1,5 = 0,349 rad / s L'accéléraion es la variaion de la viesse, augmenaion ou diminuion. De la même manière que pour la viesse, on aura une accéléraion moyenne qui s'obiendra par la différence de viesse par rappor au emps e une accéléraion insananée qui se calculera à un insan, c'es à dire lorsque la variaion de emps sera rès proche de zéro. 5. Viesse linéaire d un poin dans son mouvemen de roaion. La rajecoire de A, T A, es le cercle de cenre O e de rayon OA = R r V A es angene en A au cercle (T A ) ; elle es égalemen perpendiculaire en A à OA. L inensié de r V A es égale au produi de OA par la viesse angulaire ω du solide : V A = ω. OA = ωr Page 6 / 8

7 Modélisaion des sysèmes mécaniques LA CINÉMATIQUE DU POINT Dae : 9/ Mouvemen de roaion uniforme. C'es le mouvemen le plus simple, sans accéléraion e avec une viesse consane. L'angle parcouru se calcule en foncion de la viesse de roaion e du emps de déplacemen. L accéléraion angulaire es nulle e les équaions de mouvemen son : Equaions de mouvemen : α = 0 ω = ω 0 = consane θ = θ 0 + ω. θ 0 = l'angle déjà parcourue à l'insan 0. = le emps de déplacemen. ω 0 = la viesse iniiale du mouvemen. θ = l'angle à l'insan. Remarque : Ces équaions de mouvemen son les mêmes que celles du mouvemen de ranslaion. x es remplacé par θ, v par ω e a par α. 10/ Mouvemen de roaion uniforme varié. L'accéléraion uniforme de la viesse es l'augmenaion, ou la diminuion, de cee dernière d'une quanié consane de viesse à chaque fracion de emps qui se succède. Elle se mesure en radian par seconde par seconde auremen di en radian par seconde au carré (rad /s 2 ). L accéléraion angulaire n es pas nulle e les équaions de mouvemen son : Equaions de mouvemen : θ = 1/2 α 2 + ω 0 + θ 0 ω = α + ω 0 α = Consane Remarque : Si α > 0, il y a accéléraion ; si α < 0 il y a décéléraion ou freinage. Exemple : Un arbre de urbine aein la viesse de 4000 r/mn en 8 minues. Déerminons les équaions de mouvemen si l'accéléraion es consane. Réponse : C'es un mouvemen de roaion uniformémen varié donc les équaions de mouvemen son : θ = 1/2 α 2 + ω 0 + θ 0 θ = 1/2 α 2 ω = α + ω 0 ω = α α = Consane Formule uile : ω 2 = ω α (θ θ 0 ) à = 0 θ 0 = 0. ω 0 = 0. θ 0 = l'angle déjà parcourue à l'insan 0. = le emps de déplacemen. ω 0 = la viesse iniiale du mouvemen. θ = l'angle à l'insan. Page 7 / 8

8 Modélisaion des sysèmes mécaniques LA CINÉMATIQUE DU POINT Dae : à = 8 mn = 8 x 60 = 480 secondes ω = α ω = α α = ω / = 418,87 / 480 = 0,872 rad / s 2 θ = 1/2 α 2 θ = 1/2 α 2 α = Consane Ce qui nous donne : ω = 0,872 θ = 0,436 2 Conclusion : On peu mainenan déerminer l'angle parcouru θ ou la viesse ω aeine par l'arbre à n'impore quel momen du cycle. Viesse e accéléraion d'un poin (dans un mouvemen de roaion uniformémen varié) Viesse La rajecoire de A, T A, es le cercle de cenre O e de rayon OA = R VA es angene en A au cercle (T A ) ; elle es égalemen perpendiculaire en A à OA. L'inensié de VA es égale au produi de OA par la viesse angulaire ω du solide. R V A = ω.oa = ω.r Accéléraion L'accéléraion a A A possède une composane normale a n (dirigée de A O) e une composane angenielle a (angene à T A ou perpendiculaire à OA) vers a A = n a + a a = α.r a n = ω 2.R = V A 2 / R = ω.v A Différens cas Page 8 / 8