CCP Filière MP Corrigé de l épreuve Mathématiques I

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1 CCP Filière MP Corrigé de l épreuve Mthémtiques I Dmie Broizt & Nicols Bsbois Lycée Jules Ferry - Istitut Stisls, Ces EXERCICE I. I.1. Pr défiitio, l foctio géértrice g X de l vrible létoire X qui pred ici ses vleurs ds N est l somme de l série etière : g X z = = P X = z = = λ λ e! z. O recoît là le développemet e série etière de l expoetielle qui u ryo de covergece ifii : z C, g X z = e λ e λz = e λz λ. L restrictio de g X à R est doc de clsse C et se dérive terme à terme : x R, g Xx = E évlut e x = 1, o obtiet l espérce de X : EX = =1 =1 P X = x 1. P X = = g X1 = d e λx λ dx = λ. x=1 Pour clculer le momet d ordre 2 de X, o dérive ue secode fois et o évlue e x = 1 : doc D où g X1 = =2 x R, g Xx = 1P X = = =2 = P X = 1x 2, 1P X = = EX 2 EX. EX 2 = EX + g X1 = λ + d2 dx 2 e λx λ x=1 = λ + λ2, et o déduit l vrice de X vec l formule de Huyges : V X = EX 2 EX 2 = λ + λ 2 λ 2 = λ. EXERCICE II. II.1. Pour tout N, l foctio f : x e x 2e 2x est cotiue sur I =]; + [ et se prologe cotiûmet e, doc elle est itégrble sur tout segmet [, X] vec X >. E outre, pour tout réel p >, l foctio positive x e px est itégrble sur [; + [ cr elle est cotiue et X >, X e px dx = 1 e px p 1 X + p.

2 Corrigé CCP MP Mth I 2/9 Pr combiiso liéire, l foctio f est doc itégrble sur I pour tout N, et L série =1 f xdx = e x dx 2 e 2x dx = =. f xdx est doc covergete puisque so terme géérl est ul, et o =1 f xdx =. II.2. Pour tout x >, les séries géométriques e x et e 2x sot covergetes cr leurs 1 1 risos e x et e 2x pprtieet à ]; 1[. Pr combiiso liéire, o e déduit que l série f x 1 coverge, et =1 f x = =1 e x 2 =1 e 2x = e x 1 e 1 e 2x. x 2e 2x Ceci motre que l série de foctios 1 f coverge simplemet sur l itervlle I vers l foctio S : x e x 1 e 1 e 2e 2x e x = x 2x 1 e x 2e 2x 1 e x 1 + e x = e x 1 + e x. Etudios l itégrbilité de S sur I. Tout d bord, S est cotiue sur I, et se prologe cotiûmet e, doc S est itégrble sur tout segmet [, X] vec X >. Esuite : =1 Sx x + e x, et l foctio positive x e x est itégrble u voisige de +, doc S ussi. Ceci motre que S est itégrble sur I. Efi, o + + X e x [ f x dx = Sxdx = lim dx = lim X e x l1 + e x ] X = l2. X + II.3. L série + f x dx est divergete. E effet, si elle étit covergete, lors o pourrit 1 ppliquer le théorème d itégrtio terme à terme cr l série f coverge simplemet vers ue 1 foctio S cotiue pr morceux sur I, et o urit lors Sxdx = =1 ce qui est ps le cs d près l questio précédete. f xdx =, PROBLEME. Prtie 1 : Exemples et cotre-exemples III.1. Supposos qu il existe ue suite P de polyômes qui coverge uiformémet vers h : x 1 x sur ]; 1]. Vu que les polyômes P possèdet tous ue limite ds R lorsque x +, o peut ppliquer le théorème de l double limite, ce qui pour coséquece que h possède ue limite ds R doc fiie! e +, et cel est cotrdictoire. Ue telle suite de polyômes existe doc ps. Ce résultt illustre le fit qu o e peut ps se psser de l hypothèse de compcité du domie [, b] ds le théorème de Weierstrss l pproximtio polyomile uiforme de l foctio cotiue h : x 1 x est impossible sur ], 1] pr exemple. Dmie Broizt & Nicols Bsbois Lycée Jules Ferry - Istitut Stisls, Ces

3 Corrigé CCP MP Mth I 3/9 III.2. Ds l espce vectoriel ormé E = C [, b], R,, l esemble P N = V ectx x N est u sous-espce vectoriel de dimesio fiie N + 1, doc c est ue prtie fermée de E. Si ue foctio f E est limite uiforme de polyômes de degré iférieur ou égl à u etier N fixé, lors o ue suite P de vecteurs de P N qui coverge vers f u ses de l orme sur E, doc s limite f reste ds P N puisqu il s git d ue prtie fermée, elle est stble pr pssge à l limite. Cette foctio f est doc elle-même u polyôme de degré iférieur ou égl à N. III.3. III.3.. L pplictio N 1 est bie défiie cr tout polyôme P R[X] est cotiu, doc boré sur le segmet [ 2, 1], et cliremet positive. De plus : Si N 1 P =, lors sup [ 2, 1] P =, ce qui sigifie que l foctio positive P est ulle sur le segmet [ 2, 1]. Le polyôme P possède lors ue ifiité de rcies, ce qui etrîe P =. Pour tout λ, P R R[X], o N 1 λp = sup λp x = x [ 2, 1] sup x [ 2, 1] λ P x = λ cr l costte λ est positive. Doc N 1 λp = λ N 1 P. Pour tous polyômes P, Q et pour tout x [ 2, 1], o sup x [ 2, 1] P + Q x = P x + Qx P x + Qx N 1 P + N 1 Q, P x puisque P x N 1 P et Qx N 1 Q. Le réel N 1 P + N 1 Q est u mjort de l esemble { P + Q x, x [ 2, 1]}, il est doc plus grd que l bore supérieure de cet esemble, i.e. N 1 P + N 1 Q sup{ P + Q x, x [ 2, 1]} = N 1 P + Q. L pplictio N 1 est doc bie ue orme sur l espce vectoriel R[X]. III.3.b. Voici l représettio grphique de f : L foctio f étt cliremet cotiue sur [ 2; 2], il existe, d près le théorème de Weierstrss, ue suite de polyômes P qui coverge uiformémet vers f sur [ 2; 2]. Cel sigifie que P x fx. + sup x [ 2;2] E outre, e cosidért l foctio polyomile f 1 : x x 2 qui coïcide vec f sur [ 2; 1], o N 1 P f 1 = sup x [ 2; 1] P x fx sup x [ 2;2] P x fx, doc o ussi N 1 P f 1, ce qui prouve que ds l espce ormé R[X], N 1, l suite + P coverge vers le polyôme X 2. De fço similire, ds l espce ormé R[X], N 2, l même suite P coverge vers le polyôme X 3 puisque l foctio f 2 : x x 3 coïcide vec f sur [1; 2]. Dmie Broizt & Nicols Bsbois Lycée Jules Ferry - Istitut Stisls, Ces

4 Corrigé CCP MP Mth I 4/9 Prtie 2 : Applictio : u théorème des momets Remrque Il fut supposer que < b, même si l éocé e le précise ps! E effet, si = b, lors le théorème des momets est bie etedu fux. III.4. III.4.. Pr liérité de l itégrle sur u segmet, l hypothèse etrîe que P xfxdx = pour tout polyôme P. N, x fxdx = III.4.b. Cosidéros ue suite de polyômes P qui coverge uiformémet vers f sur [, b] ue telle suite existe d près le théorème de Weierstrss puisque f est cotiue. D près l questio précédete, o N, Or, P xfxdx P xfxdx + f 2 xdx f 2 xdx, puisque O e déduit doc, e fist tedre +, que P xfxdx =. b P x fx fx dx fx dx P f,[,b]. }{{}}{{} + cste sur [, b] puisque f 2 est cotiue et positive, et doc l ullité de f. f 2 xdx =. Cel etrîe l ullité de f 2 Remrque L idictio fourie est iutilemet compliquée, puisqu elle demde d utiliser deux "boîtes oires" : l covergece uiforme sur [, b] du produit P f vers f 2 ; l iterversio "limite-itégrle" e cs de covergece uiforme sur u segmet. III.5. L esemble F est formé des foctios f C [, b], R qui vérifiet P xfxdx = pour tout foctio polyomile P. D près l questio précécédete, seule l foctio ulle f = vérifie cette coditio. O doc F = { E }, doc F F = F. Vu que F E il existe des foctios cotiues sur [, b] o polyomiles, pr exemple x e x!, o doc F F E. III.6. III.6.. Soit N. L foctio x x e 1 ix est cotiue à vleurs complexes sur [, + [, et o x e 1 ix = x e x x, doc lim x + x2 e 1 ix = lim x + x+2 e x = pr croissce comprée, ce qui motre que x e 1 ix est égligeble devt 1 x u voisige de +, doc 2 itégrble. Ceci motre que l itégrle I est bsolumet covergete, doc covergete. Esuite, o fit ue itégrtio pr prties à prtir de I +1, e dérivt x x +1 et e itégrt x e 1 ix : N, I +1 = [ e x +1 e 1 ix 1 ix dx = 1 i x+1 ] i [ ] e 1 ix X e 1 ix et ceci du ses cr lim X + 1 i x+1 = lim X + 1 i X+1 existe e effet, e 1 ix 1 i X+1 = X+1 e X. 2 X + O obtiet doc l reltio de récurrece : N, I +1 = i I. x e 1 ix dx, Dmie Broizt & Nicols Bsbois Lycée Jules Ferry - Istitut Stisls, Ces

5 Corrigé CCP MP Mth I 5/9! O e déduit pr récurrece sur que N, I = 1 i +1. E effet, c est vri pour = [ e puisque I = e 1 ix 1 ix dx = 1 i! pour N fixé, o I =, lors 1 i +1 I +1 = i I = i! + 1! = 1 i +1 1 i +2. Remrque L éocé e demdit l formule que pour 1. Curieux... III.6.b. Pour tout N, o x 4 e x x 3 sixdx = ] + Im x 4+3 e 1 ix dx = ImI 4+3. = 1, et si 1 i 4 + 3! 4 + 3! Or, d près les formules étblies précédemmet, I 4+3 = 1 i 4 = R, doc l prtie imgiire de I 4+3 est ulle. O e déduit l ullité de l itégrle cosidérée. III.6.c. Effectuos le chgemet de vrible u = x 4 ds l itégrle impropre covergete précédete. L pplictio x x 4 est ue bijectio de clsse C 1 de ]; + [ ds ]; + [, doc x 4 e x x 3 1 sixdx = du=4x 3 dx 4 u siu 1/4 e u1/4 du. E post fu = siu 1/4 e u1/4 pour tout u, o défiit ue foctio f C [; + [, R qui est o ulle f1 = si1e 1 pr exemple et dot tous les momets sot uls. Remrque Le théorème des momets motré à l questio III.4. e se géérlise doc ps ux itervlles o compcts. III.6.d. Supposos que f soit limite uiforme sur [; + [ d ue suite de polyômes P. Nous vos lors P f,[,+ [ 1 pour supérieur à u certi rg N N, ce qui implique N, x [; + [, P x 1 + fx Mis l foctio limite f est elle-même borée sur [; + [ cr elle est cotiue et ted vers e +, puisque fu e u1/4. O e déduit que pour tout N, le polyôme P est boré sur [; + [, doc costt puisqu u polyôme de degré 1 ue limite ifiie e +. Aisi, pour tout x [; + [, o pr covergece simple de P vers f : fx = lim P x = lim P = f, + + ce qui etrîe que f est costte, et ceci est cotrdictoire f1 f pr exemple. L foctio f est doc ps ue limite uiforme de polyômes sur [; + [. Prtie 3 : Exemple vi u théorème de Dii III.7. Ue étude rpide motre que l foctio polyomile g x : t t x t2 est strictemet croisste sur I =], x], et que g x I =], x] = I puisque g x x = x. Le premier terme u = est ds I puisque x, doc ue récurrece fcile motre que u I pour tout N. L suite u est doc mjorée pr x. D utre prt, u 1 = g x u = g x = x 2 u, doc l croissce de g x sur l itervlle I implique pr récurrece celle de l suite u, puisque pour tout N, u u +1 = g x u g x u +1 = u +1 u +2. Dmie Broizt & Nicols Bsbois Lycée Jules Ferry - Istitut Stisls, Ces

6 Corrigé CCP MP Mth I 6/9 L suite u est doc croisste et mjorée, ce qui etrîe s covergece vers u réel l tel que g x l = l pr cotiuité de g x, c est-à-dire tel que x l 2 =. Or, u e peut ps coverger vers x si x > cr l = sup u u =, doc elle coverge écessiremet vers x. N Filemet, l suite u coverge e croisst vers x. III.8. Pour N, o cosidère l foctio f : [, b] R défiie pr cette expressio étit ps exigée pr le sujet : f x = 2 2x b 2x b si x < + b 2 si + b 2 x < + b si + b x b f est ffie pr morceux, et so grphe est l réuio des segmets [AB ], [B C ], [C D], où A =,, B = + b 2, 1, C = + b,, D = b,. Voici le grphe de f pour [, b] = [, 1], et {1, 3, 5, 7, 9} : Les foctios f sot cliremet cotiues sur [, b] l suite f coverge simplemet vers l foctio ulle qui est cotiue, puisque f = pour tout N et si x ], b], f x = pour > b x. Mis l covergece vers est ps uiforme puisque sup f x = sup f x = 1, x [,b] x [,b] et cette qutité e ted ps vers qud +. III.9. III.9.. Pour x [; 1] fixé, l suite P x N est l suite u étudiée à l questio III.7., puisque P x = et N, P +1 x = g x P x. O doc lim P x = x. + Ceci étt vri pour tout x [; 1], l suite de polyômes P coverge simplemet vers l foctio x x sur l itervlle [; 1]. III.9.b. Les P et l foctio limite x x sot cotiues sur [; 1], et l suite de foctios P est croisste, puisque N, x [; 1], P +1 x P x = 1 x P x 2, 2 puisque d près III.7., o P x [; x] pour tout N. D près le théorème de Dii, l covergece des P vers x x est uiforme sur l itervlle [; 1]. Dmie Broizt & Nicols Bsbois Lycée Jules Ferry - Istitut Stisls, Ces

7 Corrigé CCP MP Mth I 7/9 Prtie 4 : Démostrtio du théorème d pproximtio de Weierstrss III.1. III.1.. Puisque S suit l loi biomile B, x, l espérce de S est ES = x et s vrice est V S = x1 x. Appliquos lors l iéglité de Bieymé-Tchebychev : pour tout réel β >, P S ES > β V S β 2. E choisisst β = α vec α >, o obtiet isi : P S x > α x1 x x1 x 2 α 2 = α 2. Mis le polyôme x x1 x, qui pour rcies et 1, tteit so mximum e x = 1/2, et ce mximum vut 1/4. O doc l mjortio P S x > α 1 4α 2. III.1.b. D près l formule de trsfert, o, puisque S Ω = {, 1,, }, E f S = P S = f = Mis pr défiitio de l loi biomile, P S = = doc III.11. E f S = = x 1 x f. x 1 x pour tout {, 1,, }, = B fx. III.11.. Soit ε >. L foctio f est cotiue sur le compct [; 1], doc uiformémet cotiue c est le théorème de Heie. Il existe doc u réel α > tel que, b [; 1] 2, b α = f fb < ε. Pour tout etier {, 1,, }, o lors 1, doc e utilist l implictio précédete vec =, o e déduit x [; 1], x α = f fx < ε. III.11.b. D près l iéglité trigulire : f fx P S =, x >α, x >α f fx P S =, x >α 2 f P S = = 2 f P S =,, x >α Dmie Broizt & Nicols Bsbois Lycée Jules Ferry - Istitut Stisls, Ces

8 Corrigé CCP MP Mth I 8/9 l réuio étt disjoite. Mis pour tout évetulité ω Ω, o ω S =, x >α {,, }, Sω x > α et S ω = x > α ω S x > α, S ce qui fit que P S = = P x. > α, x >α L mjortio de l somme étudiée se réécrit doc S f fx P S = 2 f P x > α., x >α III.11.c. Soit ε >. Cosidéros le réel α > itroduit ds l questio III Fixos x [; 1]. Pour estimer l différece B fx fx, il suffit de réécrire fx sous l forme d ue somme : x [; 1], fx = x 1 x fx d près l formule du biôme. O lors : B fx fx = = = = = x 1 x f f fx = P S =. x 1 x fx Décomposos lors cette somme suivt les idices {, 1,, } tels que x α et suivt ceux tels que x > α : B fx fx = f fx P S = + f fx P S = x α x α f fx P S = + x >α x >α f fx P S =. D près l questio III.11. : o f fx ε pour tous les tels que x α. O e déduit ue mjortio de l première somme : f fx P S = ε P S = ε. x α } x α {{} P Ω Qut à l deuxième somme, o peut l mjorer e utilist le résultt de III.11.b : S f fx P S = 2 f P x > α. x >α Dmie Broizt & Nicols Bsbois Lycée Jules Ferry - Istitut Stisls, Ces

9 Corrigé CCP MP Mth I 9/9 S Or P x > α = P S x > α 1 d près III.1.., doc 4α2 f fx P S = f 2α 2. A ce stde, o motré : x >α ε >, α >, N, x [; 1], B fx fx ε + f 2α 2. Reste à choisir suffismmet grd : e post = E f 2α 2 + 1, o Filemet, o étbli que = x [; 1], B fx fx 2ε. ε >, N,, x [; 1], B fx fx 2ε, ce qui sigifie exctemet que l suite des polyômes de Berstei B f N coverge uiformémet vers f sur [; 1]. L foctio f étt ue quelcoque foctio cotiue de [; 1], o démotré le théorème de Weierstrss sur [; 1]. Dmie Broizt & Nicols Bsbois Lycée Jules Ferry - Istitut Stisls, Ces