AL1 Complexes FC - Exercices -
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- Bertrand Guérard
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1 AL Complexes FC - Exercices - CALCULS TRANSFORMATIONS D ÉCRITURES TRIGONOMÉTRIE 4 4 POLYNÔMES 4 5 EXERCICES DE TESTS 5 Page sur 9
2 Calculs. Additions.. ( i) ( 4i) Mathématiques AL - Complexes i + 5 i + 6i. Multiplications.. ( + i)( + 4i).. ( 6 5i )( 4 + i ).. i ( 5 6i)..4 ( x + iy)( y + ix)..5 ( a + ib)( a ib). Divisions.... i i 5 + 6i 5i..4 7 i 7 + i 5 + i.. + i i..5 i.4 Puissances entières.4. calculer i, i, i 4, i 5.4. calculer i 4k, i 4k+, i 4k+, i 4k+.4. ( x + iy).4.4 z =, (polaires).5 Racines z e i = 7 i e 8 z = i i.5. + i.5.4 i.5.5 i i 4i.5.7 z = (, ) ( polaires ).5.8 z i = e.5.9 z = e 5 i Page sur 9
3 Transformations d écritures On emploiera «polaire» pour désigner indifféremment un couple (, ) ρ θ ou une forme ρ e iθ.. Représentation cartésienne vers représentation polaire.. z =.. z =.. z = i..4 z = 6 i..5 z = + i..6 z = + i..7 z = i..8 z = i. Représentation polaire vers représentation cartésienne.. z = cos + i sin z = cos i sin z i 6 = 5e..4 z = 0, 6..5 z = 5, 6..6 z = e i z =,..8 z = e i. Effectuer les multiplications en passant par la forme polaire.. z = + i que multiplie z = i.. z = + i que multiplie z = i.. z = + i que multiplie z = i.4 Rotation Dans chaque cas, déterminer les coordonnées cartésiennes de B, image de B par la rotation de centre A et d angle θ..4. A(, -), B(5, ), θ = z A = e i, z B = + i, θ = z A = 7-i, B(5, ), θ = rad A(, -), z B = - + i, θ = 5 6 rad Page sur 9
4 Trigonométrie. Écrire en fonction de sinθ, cosθ, tanθ (grâce à la formule de Moivre).. cos ( θ ) et sin ( θ ).. tan ( θ ). Linéariser.. sin θ.. cos 4 θ.. sin θ. Calculs de lignes trigonométriques sin, cos,sin, cos..4 cos( 4θ ) et sin ( 4 θ ) Retrouvez ces valeurs à partir du calcul des racines cubiques de l unité. 4 Polynômes 4. Résoudre dans C les équations suivantes 4.. z² - 6z + 0 = z² - 6z + = 0 4. Calculs polynomiaux 4.. GIN FC z² - iz + i = z² = iz 4..5 z² - iz + 0 = 0 On donne les nombres complexes z et Z suivants : z = + i et Z = z² - 6z Factorisation Soit le polynôme complexe P(z) = z z² + ( i)z + (- + i). ) Montrer que + i est une racine de ce polynôme. ) Factoriser ce polynôme par (z i) ) Déterminer alors les deux autres racines de ce polynôme Page 4 sur 9
5 5 Exercices de tests 5. QCM ) Le module du nombre complexe - i est : 5 7 ) Le module du nombre complexe a + ia (a positif) est : a a a a ) L argument du nombre complexe - + i est : ) La différence entre les arguments des nombres complexes + i et + i vaut : 0 6 e i 5) L écriture cartésienne de est : i - -i 6) Le nombre complexe i peut s écrire : e i i.e i e i 7) Soient deux nombres complexes conjugués ; leur produit est : i.e i nul égal à un réel positif un imaginaire pur 8) La division d un nombre complexe d argument 4 par son conjugué a pour résultat : - i -i 9) Soit le nombre complexe z = a + ib. Le module et l argument de e z sont : a et b e a et b a et e b e a et e b 0) La division du nombre complexe + i par le complexe i a pour résultat : - i - + i - i + i ) Soient deux nombres complexes conjugués ; leur produit est : nul de module un réel positif un imaginaire pur ) Les deux nombres complexes iθ ρe et ρe iθ : sont conjugués sont opposés ont une somme imaginaire pure ont le même carré 5. GI FA 0 Test calcul et rotation On se place dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal ( O; u, v) Soient les points A et B d affixes respectives : z A = et zb = i. On considère la fonction f de C dans C définie par : f ( z ) = iz + i Pour alléger les écritures, on notera z = f ( z), direct. Page 5 sur 9
6 On associe au vecteur MM l'affixe z z. ) Placer A et B sur une figure que l on complètera au fur et à mesure de l exercice. ) Dans cette question, on considère un point M, différent de A, donc d affixe z. z a. Déterminer le complexe Z =. z b. Déterminer le module Z et un argument arg(z) de Z. c. Exprimer l'affixe de AM en fonction de celle deam AM, AM. d. En déduire la nature de la fonction f. f z. Remarque? ) a. Calculer ( ) A b. Calculer f ( zb ) et placer sur la figure le point B' d'affixe ( B ). En déduire l angle ( ) f z. 4) Soit C le point dont l image par la fonction f est le point C d affixe zc = i. Déterminer, par le calcul, l affixe z C du point C. Placer C et C' sur la figure. 5. GI FC4 05 Test cube On souhaite étudier les conditions sur un nombre complexe z pour lesquelles z est réel. ) Utiliser exclusivement la forme cartésienne de z pour cette étude. ) Utiliser exclusivement la forme exponentielle de z pour cette étude. 5.4 GI FC86 04 Test complexes et géométrie On considère deux barres de même longueur L, attachées ensemble en un point A. La barre [OA] est liée au point O, fixe, origine de notre repère, et peut tourner librement autour de ce point (angle α ). La seconde barre, [AB], est liée à la première au point A et peut tourner librement autour de celui-ci (angle β ). On considérera, pour simplifier nos raisonnements à venir, que α B β A est pris entre 0 et. ) Questions diverses a. Que remarque-t-on si β = α? b. Que remarque-t-on si β = α? c. Si α est fixé, quelle est la zone que peut parcourir B? ) Exemple numérique Prenons, uniquement pour cette question, L =, α = et β =. 6 O α a. Donner les coordonnées cartésiennes du point A. b. O étant l image de B par rotation de centre A et d angle β, déterminer une relation entre les affixes z A et z B des points A et B. c. En déduire les coordonnées cartésiennes exactes du point B. Page 6 sur 9
7 ) Vérification de la réponse b Reprenons ici le cas général : longueur L, angles α et β. a. Donner l écriture exponentielle du complexe z A affixe du point A. Mathématiques AL - Complexes b. O étant l image de B par rotation de centre A et d angle β, déterminer une relation entre les affixes z A et z B des points A et B et donc une expression de z B en fonction de z A. c. Montrer alors que si β = α, alors z B est imaginaire pur. 5.5 GI FA 0 Test inversion de cercle Les questions,, et 4 sont largement indépendantes. * Dans l ensemble C des complexes z non nuls, on définit la fonction f par : f ( z) =. z On désigne par z le conjugué de z, par z le module de z, et enfin par i le complexe de partie imaginaire positive tel que i² = -. On nomme P le plan complexe associé à l ensemble des nombres complexes. ) a. Déterminer tous les complexes z vérifiant f(z) = z. b. Déterminer tous les complexes z vérifiant f(z) = z. c. Déterminer le module et un argument de f(z) en fonction de ceux de z. d. Déterminer les parties réelle et imaginaire de f(z) en fonction de celles de z. ) a. Montrer que f(z) = ( z ). En déduire que si z =, alors f(z) = f(z). z b. Dans le plan P (figure page suivante), tracer l ensemble C des points représentant les complexes z qui vérifient z = (justifier brièvement). i ) Soit A le point d affixe α = + i et B le point d affixe β = + e. a. Placer les points A et B dans le plan P. b. Vérifier par le calcul que α et β sont éléments de l ensemble C défini en question. c. Déterminer les écritures cartésiennes des complexes f(α) et f(β) puis placer leurs points images A et B dans le plan P. 4) Soit M un point parcourant le cercle C de centre G(, 0) et de rayon, hormis l origine du repère. On admet que son affixe z M peut s écrire + e iθ, où θ parcourt l intervalle ]-; [. sinθ a. Montrer que f(z M ) = i. + cosθ ( ) sinθ b. Étudier la parité de et en déduire un domaine d étude de cette fonction de θ. + cosθ sinθ c. Étudier les variations de puis en dresser un tableau de variation sur ]-; [. + cosθ sinθ On admettra, pour compléter ce tableau, que lim = ±. θ ± + cosθ d. Conclusion : lorsque M parcourt le cercle C, déterminer et tracer l ensemble décrit par les points M, images des complexes f(z M ). 5.6 GI FC4 0 Test complexe de fonctions Soit deux fonctions f et g d expressions f(x) = cos(x) et g(x) = 4sin(x + 4 ), pour lesquelles la variable x parcourt l intervalle [0 ; ]. Page 7 sur 9
8 ) Donner les valeurs exactes de f(x) et g(x) pour x = 0, puis x = et enfin x =. ) Justifier que f est maximale pour x = 0 et que g est maximale pour x = 4. (on utilisera les résultats connus sur le sinus et le cosinus, ou alors on pourra dériver f et g et étudier leurs variations sur [0 ; ]). ) On crée le nombre complexe z = f (x) + i.g(x). Lorsque x parcourt l intervalle [0 ; ], les points images de z dans le plan complexe forment la courbe ci-dessous. a. Sur cette figure, repérer les résultats demandés ou annoncés aux questions et. b. Montrer que la dérivée par rapport à x de z ² (carré du module de z) est : 9sin ( x) + 6sin x +. c. Sachant que sin(a + ) = cos a, dire pour quelle(s) valeur(s) de x cette dérivée s annule. d. Repérer sur la figure le(s) point(s) correspondant(s), expliquer. 5.7 GI FA 04 Test - Linéarisation À l aide d une formule d Euler, linéariser sin 4 x. Page 8 sur 9
9 5.8 GI FA 0 Test Euler et équation trigonométrique ) Linéariser, c'est-à-dire, à l'aide de la formule d'euler, exprimer en fonction de cosx et cos4x, l'expression : 4 cos 4 x + 4 sin 4 x ) En déduire les solutions de l'équation 4cos x + 4sin x =. ) Représenter sur un cercle trigonométrique les différentes familles de solutions GI FA 04 Test Polynôme, formes, rotation Dans cet exercice, les trois questions sont indépendantes ) Déterminer, dans l'ensemble C, les racines du polynôme : P ( z) = z i + iz + 4 ) Écrire + i et i sous forme exponentielle, puis simplifier l'expression : On donnera le résultat sous forme exponentielle et sous forme cartésienne. + i i ) On se place dans le plan (x, y). En utilisant les nombres complexes, déterminer les coordonnées cartésiennes du point C, image du point B( ; 5) par la rotation de centre A( ; ) et d'angle GI FA 0 Test polynôme de degré 4 On considère l'application f définie dans l'ensemble des nombres complexes par : 4 z f z = z z + z + ( ) Dans ce problème, on aura avantage à utiliser la formule de Moivre. ) Montrer que, si l'équation (): f ( z ) =0 admet pour racine le nombre complexe α, alors elle admet aussi pour racine le nombre α (complexe conjugué de α ). ) Montrer que les nombres + i et + i sont racines de l'équation (). ) Donner l'ensemble des solutions de l'équation (). En déduire une factorisation de f ( z ). 4) Écrire f ( z ) comme un produit de deux polynômes du second degré à coefficients réels. 5. GIN FA 0 Test trinôme à coefficients complexes. Résoudre, dans C, l équation d inconnue z : z + (8 i)z 8i = 0. On pourra vérifier que cette équation admet une racine imaginaire pure.. Utiliser le résultat précédent pour résoudre, dans C, l équation d inconnue z : z 6 + (8 i)z 8i = 0 Exprimer toutes les solutions sous forme algébrique et sous forme trigonométrique. Page 9 sur 9
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