TS Exercices sur la fonction exponentielle (1)

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1 TS Ercics sur la fonction ponntill () 4 a. 4 4 b. Simplifir ls prssions suivants : p( ) a. A = p () p () b. B = p () p ( ) c. C p( ) d. D p( ) (on pourra posr X ) 4 Simplifir ls prssions suivants, pour : a. A p( ) 5 p b. B p( ) p( ) Simplifir ls prssions suivants : 4 a. A b. 4 Simplifir ls prssions suivants : a. A c. 5 5 B C 4 b. B 5 Établir, pour, ls égalités suivants : a. b. 6 Vérifir qu la fonction f défini sur par f ( ) st constant. 7 8 a. b. 5 9 a. b. 4 Étudir l sign ds prssions suivants : A ; B ; ; D C ; E 7 Démontrr qu la fonction f : 8 Factorisr ls prssions suivants : st impair (voir pag 4). 4 Calculr la dérivé d la fonction f défini sur. a. f : b. f : 4 c. f : a. A b. B c. C 4 4 d. D Dans ls rcics 9 à, résoudr dans ls équations ou inéquations donnés. 9 a. p () = b. p () = c. p () = a. p ( ) = b. p ( ) = c. p ( ) = a. b. a. b. c. 4 5 Calculr la dérivé d la fonction f défini sur. Donnr ls résultats sous form factorisé. a. f : b. f : 6 Calculr la dérivé d la fonction f défini par : a. f ( ) sur * b. c. f : 5 f ( ) 7 Étudir l sns d variation d la fonction f défini sur. a. f : b. f : sur * c. f ( ) sur c. f :

2 8 On considèr la fonction f : t l on not C sa courb rprésntativ dans l plan muni d un rpèr O, i, j. ) Détrminr un équation d la tangnt T a à C au point d absciss a (a rél qulconqu). ) Détrminr l absciss du point A d C n lqul la tangnt pass par l point B( ; ). On rédigra ainsi «B Ta si t sulmnt si». Tracr ctt tangnt. 9 Démontrr qu, pour tout rél, on a : + n étudiant ls variations d la fonction f :. On considèr la fonction f : défini sur t l on not C sa courb rprésntativ dans l plan muni d un rpèr O, i, j. ) Étudir l sns d variation d f sur. ) Écrir un équation d la droit T tangnt à C au point A d absciss. ) Soit g la fonction défini sur par g( ) f ( ). 4 a) Calculr g '( ) (donnr l résultat sous form factorisé). b) Détrminr l sns d variation d g. c) Calculr g (). d) En déduir la position d C par rapport à T. Vérifir l résultat n utilisant un calculatric graphiqu ou un logicil d tracé d courb. On considèr la fonction f : ( ) défini sur. ) Calculr f '( ) t f ''( ). ) Étudir ls variations d f '. ) En déduir l sign d f '( ) pour tout rél puis l sns d variation d f. Résoudr dans ls équations suivants. a. 4 b. c. d. Résoudr dans ls inéquations suivants.. f. a. 7 b. c. 4 Résoudr dans l systèm y 5. y 5 > 8 5 g. Définition : Fonctions pairs, fonctions impairs f st un fonction défini sur un domain D cntré n zéro (c st-à-dir qu D D). On dit qu un fonction f st pair pour primr qu D f f. On dit qu un fonction f st impair pour primr qu D f f. Empls : Ls fonctions «valur absolu», «carré» sont pairs. Ls fonctions linéairs, «invrs» t «cub» sont impairs. Un qustion : tout fonction st-ll pair ou impair? Un fonction put-êtr ni pair ni impair (mpls : fonction «racin carré», fonction «parti ntièr», fonction ). Propriété graphiqu (propriété d symétri) : Un fonction f st pair si t sulmnt si sa rprésntation graphiqu dans un rpèr orthogonal admt l a ds ordonnés pour a d symétri. La rprésntation graphiqu d un fonction impair dans un rpèr qulconqu admt l origin du rpèr pour cntr d symétri. Intérêt (application) : La parité d un fonction prmt d limitr l étud à la «moitié» du domain D. Propriété admis sans démonstration : Tout fonction s écrit d manièr uniqu comm somm d un fonction pair t d un fonction impair. La sul fonction à la fois pair t impair st la fonction constant égal à, applé fonction idntiqumnt null. On notra qu la domain d définition st important pour la parité d un fonction.

3 Corrigé ds rcics On put vérifir ls résultats ds rcics à 4 grâc à un logicil d calcul forml. Simplifications d prssions a. b. 6 Vérifions qu la fonction f défini sur par f ( ) st constant. a. A = p () p () = p ( + ) = p (5) b. B = p () p ( ) = p( ) = p () = p( ) c. C p( ) = p ( ) = p ( ) D p( ) d. = p () f ( ) = + = 4 Simplification d prssions On n déduit qu la fonction f st constant sur. a. A p( ) 5 p = p (5) p( 4) = p () B p( ) p( ) b. = p ( + ) p() = p () = 7 Démontrons qu la fonction f : st impair. La fonction f st défini sur (n fft, pour tout rél, on a : donc ). L domain d définition st donc cntré n. Simplifications d prssions 4 a. A = b. 5 5 B = c. C 6 7 f ( ) f 4 Simplifications d prssions 4 a. A 4 4 b. B = On n déduit qu la fonction f st impair (on n dit pas «impair sur»). On put vérifir qu la courb rprésntativ d la fonction f st symétriqu par rapport à l origin O du rpèr n la traçant sur l écran d la calculatric. 8 Factorisations d prssions a. A b. B c. C 4 4 d. D 5 Égalités «établir» signifi «démontrr». On part du mmbr d gauch pour arrivr au mmbr d droit.

4 Autr façon pour l prssion A : A S Résolutions d équations d la form p() = a Autr façon un pu tordu pour l B : B Autr façon un pu tordu pour l C : C C Résolutions d équations d la form p() = a Ls équations t inéquations doivnt toujours êtr «équilibrés» n p ( ponntills d chaqu côté). C st comm pour ls équations n cos t/ou sin. Il st intérssant égalmnt d vérifir ls résultats avc un logicil d calcul forml. a. Résolvons dans l équation p () = (). () p () = p l nsmbl ds solutions d (). S b. Résolvons dans l équation p () = (). () p () = p () l nsmbl ds solutions d (). S c. Résolvons dans l équation p () = (). Un ponntill st toujours strictmnt positiv. l nsmbl ds solutions d (). a. Résolvons dans l équation p ( ) = (). Un ponntill st toujours strictmnt positiv. l nsmbl ds solutions d (). S b. Résolvons dans l équation p ( ) = (). () p( ) = p() (puisqu p() = par définition d la fonction p) = = l nsmbl ds solutions d (). S c. Résolvons dans l équation p ( ) = (). () p( ) = p() (puisqu p() = par définition) = = l nsmbl ds solutions d (). S a. Résolvons dans l équation () = = l nsmbl ds solutions d (). S ().

5 b. Résolvons dans l équation (). () (puisqu l nsmbl ds solutions d (). S c. Résolvons dans l équation () p par définition d la fonction p) 4 l nsmbl ds solutions d (). S (). a. Résolvons dans l équation (). () = = l nsmbl ds solutions d (). S b. Résolvons dans l équation (). () (impossibl) Un ponntill st toujours strictmnt positiv. l nsmbl ds solutions d (). S 4 a. Résolvons dans l équation 4 () = 4 4 l nsmbl ds solutions d (). S 4 (). 4 b. Résolvons dans l équation () (). = ou = 4 (résolution d l équation du scond dgré) l nsmbl ds solutions d (). S ; 4 4 Résolvons dans l équation (). On pos () s écrit : X X (changmnt d inconnu). () X Or Donc : X = X = X. () = X ().

6 l nsmbl ds solutions d (). S Autr méthod : () = l nsmbl ds solutions d (). S 5 Résolvons dans l équation 4 (). On pos () s écrit : X X (changmnt d inconnu). () X = ou X = 4 X 4 (). On n écrit pas l nsmbl d solutions d (). Or Donc : X. () ou 4 (impossibl car un ponntill st toujours strictmnt positiv) = l nsmbl ds solutions d (). S Autr méthod : () 4 ou 4 (impossibl) = 6 Résolvons dans l équation (). Rédaction similair. S 7 Résolvons dans l équation On pos X (changmnt d inconnu). () s écrit : X X (). (). () X = (racin évidnt) ou X = (obtnu par produit) On n écrit pas l nsmbl d solutions d (). Or Donc : X. () ou = ou = l nsmbl ds solutions d (). S 8 ; a. Résolvons dans l inéquation (). () < l nsmbl ds solutions d (). S ; b. Résolvons dans l inéquation (). () > <

7 l nsmbl ds solutions d (). Résolvons dans l inéquation 4 (). S ; On pos X (changmnt d inconnu). 9 () s écrit : X X 4 (). 5 a. Résolvons dans l inéquation (). () + 5 > > 5 5 l nsmbl ds solutions d (). 5 S ; b. Résolvons dans l inéquation () ( ) * (). (règl du sign d un trinôm**) l nsmbl ds solutions d (). S ; * On pourrait aussi fair du «options» : ou ** L trinôm ( ) a pour racins t. L sign du cofficint d dévloppmnt mntal). (méthod cpndant maladroit à évitr). L trinôm ( ) st donc négatif ou nul pour ntr ls racins soit pour ; st positif (il st égal à par. () X < 4 ou X > (on utilis la racin évidnt ) On n écrit pas l nsmbl d solutions d (). Or Donc : X. () 4 (impossibl) ou > l nsmbl ds solutions d (). S ; Résolvons dans l inéquation On pos X (changmnt d inconnu). () s écrit : X X (). () X ou X (cf.. 7 ) On n écrit pas l nsmbl d solutions d (). Or Donc : X. () ou ou l nsmbl ds solutions d (). ; ; S ().

8 Résolvons dans l inéquation (). On pos X (changmnt d inconnu). () s écrit : X (). X () X X X X X X X X + Sign d X Sign d X + + Sign d X X + + () (car > ) (toujours vrai) Étuds d signs d prssions Étudions l sign d l prssion A suivant ls valurs d. L prssion st la somm d un nombr positif t d un nombr négativ. On n put pas connaîtr son sign. On st obligé d résoudr un équation t du inéquations (l équation donnrait uniqumnt la valur charnièr). Pour détrminr l sign d ctt prssion, on résout du inéquations t un équation. < () () < < > () () > > Nous somms n msur d drssr l tablau d sign d l prssion. = () () = = Donc () X > On n écrit pas l nsmbl d solutions d (). Or X. + Sign d A + Donc : () > (toujours vrai) l nsmbl ds solutions d (). S = Autr méthod : Étudions l sign d l prssion B suivant ls valurs d. Attntion : B n st pas égal à. On n a pas. t B > On put n pas utilisr d changmnt d inconnu.

9 Étudions l sign d l prssion C suivant ls valurs d. b. f : 4 < () > () = () f '( ) 4 4 () < () > () = c. f : f '( ) Étudions l sign d l prssion D t Donc D >. suivant ls valurs d. Étudions l sign d l prssion E suivant ls valurs d. t Donc E >. Sign d C Calculs d dérivés a. f : f '( ) b. f : f '( ) c. f : 5 4 f '( ) On put vérifir ls résultats ds rcics 4 à 6 grâc à un logicil d calcul forml. 6 Calculs d dérivés 4 Calculs d dérivés Ls fonctions proposés n sont pas ds fonctions polynôms. Ells sont touts dérivabls sur par ls règls d opérations sur ls fonctions dérivabls (somms, produits). a. f : f '( ) Ls fonctions proposés n sont pas ds fonctions rationnlls. a. f ( ) sur * * f '( )

10 b. f ( ) sur * * f '( ) c. f ( ) sur f '( ) 7 Étuds d sns d variation d fonctions a. f : f '( ) Ls racins du polynôm sont t. + Sign d + Sign d Sign d f '( ) + Variations d f 6 b. f : f '( ) d où f '( ) Donc f st strictmnt croissant sur. c. f : f '( ) + SGN d f '( ) + + Variation d f 8 f : C : courb rprésntativ d f dans l plan muni d un rpèr O, i, j ) Détrminons un équation d la tangnt T a à C au point d absciss a (a rél qulconqu). f ' f ( a) a f '( a) a Un équation d a a T s écrit y a. (On put aussi écrir ctt équation sous la form équivalnt : y a a a.) ) Détrminons l absciss du point A d C n lqul la tangnt pass par l point B( ; ). B a Ta yb B a a a a (impossibl) ou a = a = La tangnt à C au point d absciss pass par l point B (t c st la sul tangnt qui possèd ctt propriété).

11 A + SGN d + f '( ) Variation d f D après l tablau d variation, f admt un minimum global sur égal à obtnu pour. C j O i B On n déduit qu f (). Autrmnt dit, d où +. Rmarqus :. Rédaction On vérifi à l aid d la calculatric ou à l aid d un logicil d géométri dynamiqu. 9 Démonstration d un inégalité à l aid d un fonction auiliair Démontrons qu, pour tout rél, on a : +. Étudions ls variations d la fonction f :. f '( ) Pour étudir l sign d f '( ), on résout un équation t du inéquations. > () < () = () () > () < () Pour parlr du maimum d un fonction, on put s primr d plusiurs manièrs. On put dir qu «f admt un maimum global sur égal à obtnu (ou attint) pour =» ou qu «st l maimum global d f sur obtnu (ou attint) pour».. Ctt inégalité traduit qu la courb d la fonction ponntill st situé au-dssus d la tangnt au point d absciss. f : C : courb rprésntativ d f dans l plan muni d un rpèr O, i, j La fonction f n st pas un fonction rationnll. ) Étudions l sns d variation d f sur. f '( ) t

12 Donc f '. On n déduit qu f st strictmnt croissant sur. ) Écrivons un équation d la droit T tangnt à C au point A d absciss. c) Calculr g(). g() d) Déduisons-n la position d C par rapport à T. f () t f '() 4 T a pour équation y f ' f ) g( ) f ( ) 4 a) Calculr g'( ). g '( ) f '( ) 4 4 soit b) Détrminons l sns d variation d g. y. 4 On plac l imag d dans l tablau d variation précédnt. Comm g st strictmnt croissant, on n déduit du mêm coup l sign d g. On mt donc un sign + à droit d t un sign à gauch d. * * g () > donc f. 4 Donc C st au-dssous d T sur l intrvall ] ; + [. * * g () < donc f. 4 Donc C st au-dssus d T sur l intrvall ] ; [. Enfin, g () = donc C t T sont sécants au point A d absciss. On vérifi l résultat à l aid d la calculatric graphiqu ou d un logicil d tracé d courb. A j On dit qu l point A st un point d inflion d la courb C. On dit qu la tangnt T st un tangnt d inflion. Par aillurs, on pourrait démontrr qu l point A st cntr d symétri d la courb C. f : ( ) O i C + SGN d + + SGN d SGN d g '( ) + + Variation d g + ) Calculons f '( ) t f ''( ). f '( ) ( ) ( ) f ''( ) ( ) ( )

13 ) Étudions ls variations d f '. c. Résolvons dans l équation (). + Sign d + + Sign d + Sign d f ''( ) + () + = ln = ln l nsmbl ds solutions d (). S ln Variations d f ' d. Résolvons dans l équation (4). (4) (impossibl) ) Déduisons-n l sign d f '( ) pour puis ls variations d f. D après l tablau d variations précédnt, C minimum st strictmnt positif (car < ). Donc f '( ). On n déduit qu f st strictmnt croissant sur Résolutions d équations avc ponntills a. Résolvons dans l équation 4 (). () = ln 4 l nsmbl ds solutions d (). S ln 4 f ' admt un minimum sur égal à. 4 l nsmbl ds solutions d (4). S4. Résolvons dans l équation (5). (5) ln 5 l nsmbl ds solutions d (5). S ln f. Résolvons dans l équation 5 (6). On put calculr un valur approché à la calculatric. Mais cla n a guèr d intérêt dans ct rcic où suls ls valurs acts présntnt un intérêt. b. Résolvons dans l équation (). () ln (6) = ln 5 ln 5 6 l nsmbl ds solutions d (6). ln5 S6 l nsmbl ds solutions d (). S ln

14 g. Résolvons dans l équation (7) ou ou = ou = ln (7). 4 Résolvons dans l systèm (I) L systèm (I) n st pas linéair. y 5. y 7 l nsmbl ds solutions d (7). S7 ; ln Résolutions d inéquations avc ponntills (I) y ln y ln (addition mmbr t division par ; soustraction mmbr t division par ) a. Résolvons dans l inéquation 7 (). () ln 7 l nsmbl ds solutions d (). S ; ln7 b. Résolvons dans l inéquation (). l nsmbl ds solutions d (I). S = {(ln ; ln )} Autr méthod : On ffctu l changmnt d inconnus On obtint alors un systèm linéair. X t Y y. On trouv ls valurs acts ds solutions. On n donn pas d valurs approchés. () ln < ln > l nsmbl ds solutions d (). S ; ln c. Résolvons dans l inéquation 5 8 (). () 5 > 8 5 > ln 8 ln8 5 l nsmbl ds solutions d (). S ln8 ; 5

15 Classification ds rcics sur la fonction ponntill () à 8 Propriétés algébriqus d la fonction ponntill 9 à Équations-inéquations avc ponntills Étud d signs d prssions avc ds ponntills 4 à 6 Calculs d dérivés 7, 9, Étud d variations d fonctions définis par ds prssions faisant intrvnir l ponntill. à 4 Utilisation du logarithm népérin

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