Planche n o 12. Trigonométrie circulaire : corrigé

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1 Exercice n o Planche n o Trigonométrie circulaire : corrigé x = 0 x Z De plus, S 0,] = {0,, x = x { +Z De plus, S 0,] = x = x +Z De plus, S 0,] = cosx = x Z De plus, S 0,] = {0, { 5 cosx = x +Z De plus, S 0,] = { 6 cosx = 0 x { +Z De plus, S 0,] =, 7 tanx = 0 x Z De plus, S 0,] = {0,, 8 tanx = x +Z De plus, S 0,] = {, 5 Exercice n o x = { 5 x 6 +Z 6 +Z De plus, S 0,] = 6, 5 6 x = x +Z { 5 +Z De plus, S 0,] =, 7 tanx = x { { +Z De plus, S 0,] = et S 0,] =, 7 tanx = x { { 6 +Z De plus, S 0,] = et S 0,] = 6 6, cosx = x 6 +Z 6 +Z De plus, S 0,] = 6 cosx = x { 6, 6 +Z +Z De plus, S 0,] = {, 5 Exercice n o x = 5 5 x 6 +Z 6 +Z x +Z +Z De plus, S 0,] = x = x Z +Z x +Z +Z De plus, S 0,] = tan5x = 5x +Z x 0 + { 5 Z De plus, S 0,] = 0,, 9 0, 0, 7 0 {, 5,, 7 cosx = cos x cosx = +cosx cosx = x Z x Z De plus, S 0,] = {0,, { 5, 7 5 cos x cosx+ = 0 cosx cosx = 0 cosx = ou cosx = x +Z +Z Z De plus, S 0,] = {0,, 5, 6 cosnx = 0 nx +Z x n + n Z 7 cosnx = nx Z x n Z 8 nx = 0 nx Z x n Z 9 nx = nx +Z x n + n Z 0 x = tanx x cosx cosx = 0 x = 0 ou cosx = x Z De plus, S 0,] = {0,, http ://wwwmaths-francefr c Jean-Louis Rouget, 0 Tous droits réservés

2 ère solution x+x = 0 x = x+ k Z/ x = x++k ou k Z/ x = x++k k Z/ x = +k ou k Z/ x = k De plus, S 0,] = {0,,,, ème solution x+x = 0 xcosx+x = 0 xcosx+ = 0 x = 0 ou cosx = k Z/ x = k ou k Z/ x = +k ou k Z/ x = +k De plus, S,] = cos x 8 x = 6cos x cos x = cos x = cosx = ou cos = x +Z +Z x + Z {,,, Exercice n o Pour x,], cosx x, ] Pour x R, x x k Z Pour x 0,], ], +k, 5 +k ] cosx > cos x x cos cos x > 0 cos x + cos x > 0 cos x + < 0 et cos x ] +k, +k cos x < x k Z x k Z ] +k, 8 +k x ] ], Pour x,], cos x cosx +cosx cosx cosx x,] 5 Pour x 0,], cos x cosx x, ] 5, 7 ] 6 Pour x 0,], cos x x x cos x x 0 0 k Z/ k x +k k Z/ +6k x + +6k x Exercice n o 5 cos 8 = +cos = + 8 = + et donc, puisque cos 8 > 0, cos 8 = + http ://wwwmaths-francefr c Jean-Louis Rouget, 0 Tous droits réservés

3 De même, 8 = cos = 8 et donc, puisque 8 > 0, 8 = Exercice n o 6 De même, cos = cos = = cos cos + 6+ = = cos 6 = cos = 6+ et 6 = Exercice n o 7 Pour n entier naturel non nul, on pose S n = e i±a ±±a n S = e ia +e ia = cosa Soit n Supposons que S n = n cosa cosa n et montrons que S n+ = n+ cosa cosa n cosa n+ S n+ = e i±a ±±a n+ = e ia n+ e i±a ±±a n +e ia n+ e i±a ±±a n = cosa n+ S n = n+ cosa cosa n+ par hypothèse de récurrence On a montré par récurrence que : n, S n = n cosa cosa n Ensuite, pour n, cos±a ± ± a n = ReS n = n cosa cosa n on obtient aussi ±a ± ± a n = ImS n = 0 Exercice n o 8 Si a est dans ]0, alors, pour tout entier naturel non nul k, a a a k = k cos k, on a : n k= a cos k = a k N, cos k > 0 car a ] k est dans 0, Maintenant, k= lim n + a n ln cos k = ln k= n k= a n x a = lim = et donc, x 0 x n a k a = k a k est dans ]0, et donc a 0 De plus, puisque k n n k= a k a k a = a produit télescopique n n a cos k = ln a n a n a a = ln ln n a a n http ://wwwmaths-francefr c Jean-Louis Rouget, 0 Tous droits réservés

4 Exercice n o 9 Soit x R lim n + k= a ln cos k = lim n + a ln ln a n a a a = ln a n cos x+ +6 x = 0 cos x+ +6 cos x = 0 cos x 0+6 cos x = 0 cos x 0+ 6 cos = 0 x 0 cos x +6 = 0 cos x Exercice n o 0 Tout d abord, d après la formule de Moivre, cos x est solution de l équation X 0X+6 = 0 cos x = ou cos x = 8 cos x = ou cos x = cosx = ou cosx = ou cosx = ou cosx = x 6 + Z + Z cosθ+i θ = cosθ+i θ = cos θ cosθ θ+icos θ θ θ, et par identification des parties réelles et imaginaires, θ R, cosθ = cos θ cosθ θ et θ = cos θ θ θ Ensuite, tanθ et tanθ existent θ / +Z et θ / +Z θ / +Z θ / 6 + Z Soit donc θ / 6 + Z tanθ = θ cosθ = cos θ θ θ cos θ cosθ θ = tanθ tan θ tan θ, après division du numérateur et du dénominateur par le réel non nul cos θ θ R\ 6 + Z, tanθ = tanθ tan θ tan θ Soit a ± ère méthode a est bien sûr racine de l équation proposée, ce qui permet d écrire : x x x = a a a x x a = x a a car ± ne sont pas solution de l équation a x a a x a x+a a = 0 x a a x +8ax a + = 0 Le discriminant réduit du trinôme a x +8ax a + vaut : L équation proposée a donc trois racines réelles : = 6a a a + = a +6a + = a + > 0 { S = a, a a + a, a+ a + a http ://wwwmaths-francefr c Jean-Louis Rouget, 0 Tous droits réservés

5 ] ème méthode Il existe un unique réel α de ± ], il existe un unique réel θ, { \ 6, tel que a = tanα et de même, si x est un réel distinct { 6 6, tel que x = tanθ à savoir α = Arctana et θ = arctanx 6, Comme ± ne sont pas solution de l équation proposée, on a : \ x x x = a a a tanθ tan θ tan = tanα tan α θ tan tanθ = tanα α θ α+z θ α+ Z Ceci refournit les solutions x = tanα = a, puis x = tan α+ tanα+tan = = a+ tanα tan a = a+ + a a = a+ a + a, et x = tanα = a a + a Exercice n o Pour x 0,], posons fx = tanx+tanx+tanx+tanx f est définie et continue sur fx existe tan x, tanx, tanx et tanx existent x / +Z, x / +Z, x / +Z et x / +Z x / +Z, x / + Z, x / 6 + Z et x / 8 + Z { x / 8, 6,, 8,, 5 8,, 5 6, 7 8 0, ] 8 8, ] 6 6, ], ] 8 8, ], 5 ] 5 8 8, ], 5 ] 5 6 6, 7 ] ] 7 8 8, Sur chacun des dix intervalles précédents, f est définie, continue et strictement croissante en tant que somme de fonctions strictement croissantes La restriction de f à chacun de ces dix intervalles est donc bijective de l intervalle considéré sur l intervalle image, ce qui montre déjà que l équation proposée, que l on note dorénavant E, a au plus une solution par intervalle et donc au plus dix solutions dans 0,] Sur I = 0, ] ] 7 ou I = 8 8,, puisque f0 = f = 0, E a exactement une solution dans I Ensuite, dans l expression de somme f, une et une seule des quatre fonctions est un infiniment grand en chacun des nombres considérés ci-dessus, à l exception de En chacun de ses nombres, f est un infiniment grand L image par f de chacun des six intervalles ouverts n ayant pas pour borne est donc ],+ et E admet exactement une solution dans chacun de ces intervalles Ceci porte le total à 6+ = 8 solutions En, tanx et tanx tendent vers + tandis que tanx et tanx tendent vers 0 f tend donc vers + en, et de même f tend vers en L image par f de chacun des deux derniers intervalles est donc encore une fois ],+ + et finalement, L équation E admet exactement dix solutions dans 0,] Exercice n o cos x = +cosx et une primitive de x cos x sur R est x D après les formules d Euler, x+ x http ://wwwmaths-francefr 5 c Jean-Louis Rouget, 0 Tous droits réservés

6 cos x = e ix +e ix = 6 eix +e ix +6+e ix +e ix = 6 cosx+8cosx+6 = 8 cosx+cosx+ Donc, une primitive de x cos x sur R est x 8 x+x+x D après les formules d Euler, x = e ix e ix = i 6 eix e ix +6 e ix +e ix = 6 cosx 8cosx+6 = 8 cosx cosx+ Donc, une primitive de x x sur R est x 8 x x+x cos x x = x = 8 cosx et une primitive de x cos x x sur R est x 8 5 D après les formules d Euler, x x 6 x = e ix e ix 6 = e 6ix 6e ix +5e ix 0+5e ix 6e ix +e 6ix i 6 = 6 cos6x cosx+0cosx 0 = cos6x+6cosx 5cosx+0 Donc, une primitive de x 6 x sur R est x 6 6x+ x 5 x+0x 6 cosx 6 x = x 6 x et une primitive de x cosx 6 x sur R est x 7 7 x 7 cos 5 x x = cosx x x = x x x x+ x 6 x et une primitive de x cos 5 x x sur R est x x 5 5 x+ 7 7 x 8 cos x = x x x et une primitive de x cos x est x x x Exercice n o Pour x réel, on a : cos x 6 x = e ix +e ix e ix e ix 6 i = 0eix +e ix +6+e ix +e ix e 6ix 6e ix +5e ix 0+5e ix 6e ix +e 6ix = 0e0ix e 8ix e 6ix +8e ix +e ix +e ix +8e ix e 6ix e 8ix +e 0ix = 9cos0x cos8x cos6x+8cosx+cosx 6 = 5 cos0x cos8x cos6x+8cosx+cosx 6 Remarque La fonction proposée était paire et l absence de us était donc prévisible Cette remarque guidait aussi les calculs intermédiaires : les coefficients de e ix, e ix, étaient les mêmes que ceux de e ix, e ix, Par suite, 0x I = 5 0 = 5 8x 6x + = ] / +x+x 6 /6 6 http ://wwwmaths-francefr 6 c Jean-Louis Rouget, 0 Tous droits réservés

7 Pour x réel, on a cos x 7 x = cos x 6 x x = cos x cos x x = cos x x cos 6 x x+cos 8 x x cos 0 x x Par suite, Exercice n o tan x ] / J = cos5 x + cos7 x cos9 x + cos x 5 7 /6 = = = existe si et seulement si x / +Z et cosx x Pour tout réel x, ou, bien mieux, cosx x existe si et seulement si x / Z Pour x / Z, x = x x = tan cos x x +x+x+ = x cosx+x x+ x tan x, tan +x et cosx = 0, + x+ x+ = Im e ix +e ix +e ix+ = Im e ix j ++j = 0 équivaut à x / + Z Donc, pour x / + Z, cosx existent si et seulement si x, +x et x ne sont pas dans +Z, ce qui tan x + tan +x = tanx +tanx + +tanx tanx = cosx x cosx+x + cosx+x cosx x = cosx x +cosx+x cos x x = cos x+ x cosx = cosx Pour x / Z, Exercice n o 5 cosx tanx = tanx x x cosx = cos x x = cosx = xcosx x tanx Pour tout réel x, k cosx+k = k cosx + x 0 De plus, ce qui est exclu Donc, k cosx+k = 0 k cosx = x = 0 x Z et k = cosx k {,, k R\{,, x R, k cosx+k > 0 f k est donc définie sur R, dérivable sur R en vertu de théorèmes généraux, impaire et -périodique On l étudie dorénavant sur 0,] Pour x 0,], on a : http ://wwwmaths-francefr 7 c Jean-Louis Rouget, 0 Tous droits réservés

8 f kx = cosx k cosx+k / xk x k cosx+k / = k cosx+k / cosx k cosx+k k x = k cosx+k / k cos x++k cosx k = k cosx+k / k cosx k cosx x R, f k k cosx k cosx x = k cosx+k / er cas : k < et k 0 f 0 x = x Pour tout réel x, k cosx+k / k cosx < 0 car k cosx < et f k x est du signe de cosx k car f k Arccosk = k k +k = x 0 Arccos k f x + 0 f 0 0 ème cas : k > Pour tout réel x, k cosx+k / k cosx > 0 et f k x est du signe de k cosx x 0 Arccos k car f k Arccos = k k = +k k f x + 0 f k 0 0 ème cas : k < Pour tout réel x, k cosx+k / k cosx < 0 et f k x est du signe de k cosx x 0 Arccos k f x + 0 car f k Arccos = k k = +k k f k 0 0 Pour k R\{,, posons I k = Si k = 0, I k = 0 x dx = Sinon, I k = k 0 0 f k x dx k x k cosx+k dx = k cosx+k ] k 0 = k +k+k k+k = k k+ k http ://wwwmaths-francefr 8 c Jean-Louis Rouget, 0 Tous droits réservés

9 Plus précisément, si k ],\{0, I k = k + k k =, ce qui reste vrai pour k = 0 Si k >, I k = k +k k = k, et enfin, si k <, I k = En résumé, k Si k ],, I k = et si k ], ],+, I k = k Exercice n o 6 Soient n N et x R Posons S n = ère solution coskx et S n = kx n S n +is n = coskx+i kx = e ikx = e ix k Maintenant, e ix = x Z Donc, er cas Si x Z, on a immédiatement S n = n+ et S n = 0 ème cas Si x/ Z, alors e ix et S n +is n = ein+x e ix n+x inx/ = e x = ein+x/ e ix/ e in+x/ e in+x/ e in+x/ +e n+x = einx/ i in+x/ i x Par identification des parties réelles et imaginaires, on obtient nx n+x cos coskx = x si x / Z et kx = n+ si x Z nx n+x x si x / Z 0 si x Z ème solution x et donc, si x / Z, coskx = = x n coskx = = Soient n N et x R Posons S n = et n+ = n+x k+ x + x k+ x k x x k x x somme télescopique = n+x cos nx n cos kx et S n = kx On a : S n +S n = cos kx+ kx = n S n S n = cos kx kx = = n+, coskx http ://wwwmaths-francefr 9 c Jean-Louis Rouget, 0 Tous droits réservés

10 D après, si x Z, on trouve immédiatement, et si x / Z, cos kx = n+ et kx = 0, de sorte que S n = S n +S n = n+ et S n S n = cosnxn+x, x n++ cosnxn+x et S n = n+ cosnxn+x x x Soient n N et x R D après la formule du binôme de Newton n C k n coskx+i C k n kx = C k ne ikx = Par identification des parties réelles et imaginaires, on obtient alors n N, x R, C k n e ix k n k = +e ix n = e ix/ +e ix/ n e inx/ = n cos n x C k n coskx = n cos n x nx n cos et C k n kx = n cos n x cos nx nx nx +i Exercice n o 7 { cosa+cosb+cosc = 0 a+b+c = 0 cosa+cosb+cosc+ia+b+c = 0 e ia +e ib +e ic = 0 e ia +e ib = e ic = e ia/ e ib/ e ia b/ +e ia b/ = a b cos = a b +Z +Z a b +Z +Z k Z, ε {,/ b = a+ε +k Par suite, nécessairement, e ib = je ia ou e ib = j e ia Réciproquement, si e ib = je ia ou encore b = a+ +k, e ia +e ib +e ic = 0 e ic = e ia +e ib = +je ia = j e ia k Z/ c = a +k, et si e ib = j e ia ou encore b = a +k, e ia +e ib +e ic = 0 e ic = e ia +e ib = +j e ia = je ia k Z/ c = a+ +k S = { a,a+ε +k,a ε +k, a R, ε {,, k,k Z Exercice n o 8 http ://wwwmaths-francefr 0 c Jean-Louis Rouget, 0 Tous droits réservés

11 cos 8 + cos cos cos 8 = cos 8 + cos = cos = cos cos 8 = 8 = = Exercice n o 9 Soit x R cosx = x cosx = cos x k Z/ x = 0 + k 5 S 0,] = k Z/ x = x+k ou ou k Z/ x = +k { 0,, 9 0, 0,, 7 0 k Z/ x = +x+k cosx = Ree ix = Recosx+i x = cos x cosx x = cos x cosx cos x = cos x cosx x R, cosx = cos x cosx Par suite, cosx = x cos x cosx = xcosx cosxcos x x = 0 cosx x x+ = 0 cosx = 0 ou x+x = 0 D après, l équation x+x = 0 admet entre autres pour solutions et car, dans chacun des deux 0 0 cas, cosx 0, ou encore, l équation X +X = 0 admet pour solutions les deux nombres distincts X = 0 et X = 0, qui sont donc les deux solutions de cette équation Puisque X > 0 et que X < 0, on obtient Donc, puisque 0 = 0, X = = + 5 Ensuite, 0 = cos = cos, et donc 0 5 et X = 5 et 0 = + 5 cos 5 = + 5 Enfin, cos 0 = 0 = 0+ 5 et de même 5 = 0 5 = cos 0 Exercice n o 0 La fonction f est définie sur R, -périodique et paire On l étudie sur 0,] La fonction f est dérivable sur 0,] et pour tout x de 0,] http ://wwwmaths-francefr c Jean-Louis Rouget, 0 Tous droits réservés

12 f x = x x = x xcosx = x+cosx La fonction us s annule en 0 et et est strictement positive sur ]0, Donc la fonction f est du signe de cosx sur ]0, Ensuite, pour x ]0,, cosx = 0 cosx = x =, et cosx > 0 cosx < x > par stricte décroissance de la fonction cos sur 0,] ] Ainsi, la fonction f est strictement négative sur 0, ], strictement positive sur, et s annule en 0, On en déduit le tableau de variations de la fonction f : et x 0 f x f Graphe de f Pour tout réel x, cosx 0 et donc, la fonction f est définie sur R, -périodique et impaire On l étudie sur 0,] La fonction f est dérivable sur 0,] et pour tout x de 0,] f cosx cosx xx x = cosx = cosx cosx La fonction f est du signe de cosx sur 0,] Ensuite, pour x 0,], et cosx = 0 cosx = x =, cosx > 0 cosx > x < par stricte décroissance de la fonction cos sur 0,] Ainsi, la fonction f est strictement positive sur 0, ] ], strictement négative sur, et s annule en On note que http ://wwwmaths-francefr c Jean-Louis Rouget, 0 Tous droits réservés

13 f = = On en déduit le tableau de variations de la fonction f : = 0,57 x 0 f x + 0 f 0 0 Graphe de f f est définie sur D = R\ +Z On étudie f sur 0, ], ] Si x, paire et -périodique f est continue sur D en vertu de théorèmes généraux 0, ] ], f x = tanx+cosx et si x,, f x = tanx+cosx Etude en lim tanx = + et lim cosx = 0 Donc, lim fx = + La courbe représentative de la fonction f x / x / x / admet la droite d équation x = pour droite asymptote Dérivabilité et dérivée f est dérivable sur 0, ] ], en vertu de théorèmes généraux et pour x 0,, f x = ] ] cos x x et pour x,, f x = cos x x f est dérivable à droite en 0 et f d 0 = Par symétrie, f est dérivable à gauche en 0 et f g0 = f n est pas dérivable en 0 De même, f est dérivable à gauche et à droite en avec f g = et f d =, et n est donc pas dérivable en Variations f est strictement décroissante sur ],] en tant que somme de deux fonctions strictement décroissantes sur ],] Puis, pour x élément de ]0,, f x = cos x > = 0 x La fonction f est strictement positive sur ]0, et donc f est strictement croissante sur 0, Graphe http ://wwwmaths-francefr c Jean-Louis Rouget, 0 Tous droits réservés

14 6 y = f x La fonction f est -périodique On l étudie sur,] Pour x,], cosx+ = 0 cosx = x = ou x = Pour x,], f x existe si et seulement si x et x On étudie la fonction f sur D = ], ] ],, Etude en Quand x tend vers par valeurs inférieures, cosx+ tend vers 0 par valeurs supérieures et quand x tend vers par valeurs supérieures, cosx+ tend vers 0 par valeurs inférieures D autre part, quand x tend vers, x+ tend vers + qui est strictement positif On en déduit que lim f x = + et x lim f x = x + Etude en Quand x tend vers par valeurs inférieures, cosx+ tend vers 0 par valeurs inférieures et quand x tend vers par valeurs supérieures, cosx+ tend vers 0 par valeurs supérieures D autre part, quand x tend vers, x+ tend vers + qui est strictement négatif On en déduit que lim f x = + et x Dérivée La fonction f est dérivable sur D et pour tout x de D, lim f x = x + f x = cosxcosx+ x+ x cosx+ = +cosx+x cosx+ + cosx+ x + x+ = cosx+ = cosx+ Pour tout x de D, + x+ > 0 et donc la fonction f est strictement positive sur D La fonction f est donc strictement croissante sur, ] et sur, ] ] et sur, mais pas sur, ], ] ], http ://wwwmaths-francefr c Jean-Louis Rouget, 0 Tous droits réservés

15 Graphe y = f x http ://wwwmaths-francefr 5 c Jean-Louis Rouget, 0 Tous droits réservés