MT22 - Corrigé du Final P002

Transcription

1 MT - Corrigé du Final P Problème ( points) On considère le volume de R 3 défini par (x,y,z) R 3 : x + y x y +, z x + y } et la courbe d équation x + y x y + x + y z. (description géométrique,.5 points) (a) Le bord du volume est formé : i. d une surface cylindrique (axe x, y, rayon ) limitée en hauteur par z et z x + y ; ii. d un disque dans le plan z (centre (,) et rayon ); iii. d une portion de paraboloïde de révolution d axe x, y, dont le bord est la courbe. (b) a pour équation : x + y x y + x + y z z x y + x + y z appartient donc au plan d équation x + y z dont un vecteur normal est.. (Intégrales doubles, 3 points) ans cette question, désigne le disque de centre O et de rayon de R. (a) (x,y) x est continue sur R (c est la première projection canonique!) et est un domaine borné régulier. Le théorème de Fubini s applique donc et : xdxdy ( ) x xdy x dx x x dx [ ] 3 ( x ) 3/ Remarque : Le par raison de symétrie ne suffit pas en lui-même. On définit + x } et x } de sorte que +. Il vient xdxdy xdxdy + xdxdy + x + x + + en effectuant le changement de variable dans la première intégrale de la somme. Φ : + (x,y) Φ(x,y) ( x,y)

2 (b) Par le changement de variable (c) dont le jacobien est on obtient directement où la somme Φ : (x,y) Φ(x,y) (y,x) detj Φ (x,y) (x + y)dxdy. ((x + ) + (y + ) )dxdy ydxdy et par le changement de variable polaire habituel,... π xdxdy (x + x + + y + y + )dxdy (x + y + )dxdy (puisque (r + )rdrdθ π 3. (Intégrales triples, 4 points) (a) On désigne par P la projection de sur le plan z. [ r r ] 5π (x,y) P z R tel que (x,y,z) z R x + y x y + z x + y x + y x y + P est donc le disque de centre (,) de rayon. (b) On désigne par C z la coupe de par le plan z z. (x,y,z) C z (x,y,z) et z z z z x + y x y + z x + y z z x + y x y + z x + y (x + y)dxdy ) z z (x,y) (disque centre (,), r ) \ (disque centre (,), r z ) La coupe est vide pour z < et pour z > + (faire un dessin!). (c) Le (a) suggère une méthode des batonnets ( ) x +y f(x,y,z)dxdydz f(x,y,z)dz dxdy tandis que le (b) suggère une méthode des tranches f(x,y,z)dxdydz P (+ ) ( ) f(x,y,z)dxyd dz C z

3 (d) Pour calculer le volume de, on intègre f(x,y,z) sur. dxdydz P (x + y )dxdy (u + ) + (v + ) dudv 5π en faisant le changement de variable Φ : P (u,v) Φ(u,v) (u +,v + ) 4. (Flux, 6 points) (a) Utilisons le paramétrage Φ : S (θ,z) Φ(θ,z) + + sin θ z où (θ,z) R : θ, z ( + ) + ( + sin θ) }. }} 3+(+sin θ) θ z sin θ Il s agit donc d une normale dirigée vers l extérieur de. + n ds + sin θ sin θ S z (b) Utilisons le paramétrage π 3+(+sin θ) π π π dθdz sin θ ( + ) + ( + sin θ) sin θ dθ }} ++sin θ (3 + ( + sin θ))( + + sin θ)dθ 5dθ (développer, utiliser Φ : [,] [,π] S r θ (r,θ) Φ(r,θ) sin θ r sin θ r π dθ ) + r + r sin θ r 3

4 Il s agit donc d une normale dirigée vers les z > donc ici vers l intérieur de. + r n ds + r sin θ dθdz S [,] [,π] r (c) Utilisons le paramétrage Φ : S 3 (x,y) Φ(x,y) où est le disque de centre (,) et de rayon. x y x y x y x + y x y Il s agit donc d une normale dirigée vers les z > donc ici vers l extérieur de. x x n ds y y dxdy S 3 x + y (x + y )dxdy 5π en utilisant la question 3.(d). (d) La somme des 3 flux précédents donne 5π n ds π 5π Comme ce flux est calculé pour la normale choisie est orientée vers l extérieur de, le théorème de la divergence donne aussi ( est de classe C et est régulier) n ds div d 3dxdydz On retrouve ainsi 5π pour le volume de. 5. (potentiels, 3 points) (a) rot sur R 3 donc dérive d un potentiel scalaire f : R 3 R. (b) f x x () f y () y f z (3) z C L intégration de () donne f(x,y,z) x +C(y,z). On reporte dans () pour obtenir y y qui s intègre en C(y,z) y + (z). On reporte enfin dans (3) pour obtenir z, qui s intègre en (z) z z + cte. On a donc obtenu la forme générale des potentiels f(x,y,z) (x + y + z ) + cte 4

5 et la condition f(,,) fixe la constante à. Finalement (c) On a donc f(x,y,z) (x + y + z ) dl gradf dl puisque est une courbe fermée (donc de bord vide, d où le résultat par le théorème du gradient). Pour retrouver ce résultat directement on paramètre par dl π φ : [,π] θ φ(θ) + + sin θ 3 + (sin θ + ) développer! + + sin θ 3 + (sin θ + ) sin θ ( sin θ + ) (d) Comme div 3 (non nul!), ne dérive pas d un potentiel vecteur. 6. (circulation,.5 points) (a) rot W dθ n est pas nul donc W ne dérive pas d un potentiel scalaire. Par contre div W sur R 3 donc W dérive d un potentiel vecteur. (b) On réutilise le paramétrage φ de donné à la question 5.(c). W dl ( π π π π( + sin θ 3 + (sin θ + ) + ) ( sin θ + 4 cos θ)dθ développer! ( ) 3π sin θ ( sin θ + ) ) + dθ linéariser! dθ (c) On utilise le théorème du rotationnel. est le bord de S 3 mais les calculs seront plus simples si on considère comme le bord d une surface plane (ici c est possible puisque est une courbe plane, question.(b)). Cette surface est définie par } S (x,y,z) R 3 : x + y x y +, z x y + On la paramètre par Φ : S (x,y) Φ(x,y) 5 x y x + y

6 où est le disque de centre (,) et de rayon. x y L orientation de cette normale est bien cohérente avec le sens de parcours de. Le théorème du rotationnel conduit donc à W dl rot W n ds S dxdy 3 dxdy 3π (3 fois l aire d un disque de rayon ) 6