DM 2 SUR LES SUITES ADJACENTES, VERS LE NOMBRE e TS. n! = n si n 1 et 0! = 1

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1 DM SUR LES SUITES ADJACENTES, VERS LE NOMBRE e TS. Fctorielle d'u etier turel. Soit. O ppelle fctorielle de l'etier oté défii pr : = 3... si et 0 = Pr exemple, 3 = 3 = 6. Le but de cette première prtie est de se fmiliriser vec les fctorielles. (Les qutre questios sot idépedtes). Clculer 4, 5 et 6. Démotrer que 6 7 = 0 (ss clculer 0 et ss utiliser de clcultrice) b. Simplifier ( + ). c. Démotrer, pr récurrece, que pour tout k *, o : k k d. Détermier, à l'ide de l clcultrice, le plus petit etier tel que : 0 7. Étude d'ue suite. O cosidère l suite (u ) défiie pr : u =. Clculer u 0, u, u et u 3. b. Démotrer que l suite (u ) est strictemet croisste. c. Le but de cette questio est de prouver que (u ) est mjorée. (i) Démotrer que : u + k = (ii) Démotrer que : = k = (iii) E déduire que (u ) est mjorée pr 3. d. E déduire que l suite (u ) coverge. (O e demde ps de clculer s limite) 3. Étude de deux suites djcetes. Ds cette prtie, o prouve que deux suites sot djcetes puis que leur limite est u ombre irrtioel. O cosidère l suite (v ) défiie pr : L suite (u ) est celle défiie ds l prtie. v = u +. Clculer v 0, v, v et v 3. Démotrer que l suite ( v ) est strictemet décroisste. E déduire que les suites ( u) et ( v ) sot djcetes. O ote leur limite commue. b. Doer ue vleur pprochée, pr défut, de à 0 7 près (justifier). (O pourr utiliser l questio.d.) TS DM : suites djcetes. Vers le ombre e Pge G. COSTANTINI

2 c. Ds cette questio, o suppose. Autremet dit : il existe des etiers p et q ( 0) tels que = p q. (i) Démotrer que pour tout etier, o : u < < v O doc, e prticulier : u q < p q < v q (ii) Démotrer qu'il existe u etier tel que : q < p q < q + q (ii) Démotrer que : < p(q ) < + (iv) E déduire ue cotrdictio et coclure. Iformtio : o motrer plus trd ds l'ée, que l limite des suites (u ) et (v ) 'est utre que le ombre e = exp() où "exp" désige l foctio expoetielle. TS DM : suites djcetes. Vers le ombre e Pge G. COSTANTINI

3 DM SUR LES SUITES ADJACENTES, VERS LE NOMBRE e : CORRIGÉ TS. Fctorielle d'u etier turel.. 4 = 4 ; 5 = 0 et 6 = = = ( 3) = ( 4) (3 3) (5 ) = D'où : 6 7 = = 0 ( + ) b. = ( + ) = + c. O cosidère l propriété, défiie pour k *, pr : (k) : k k Comme = et = 0 =, o (). Doc est iitilisée u rg. Motros que est héréditire à prtir du rg. Soit m *. Supposos (m) : m m E multiplit pr (m + ), o obtiet : m (m + ) (m + ) m (m + ) (m + ) m Et comme m + : (m + ) m (m + ) m D'où (m + ). L propriété est doc héréditire à prtir du rg. Du pricipe de risoemet pr récurrece, o e déduit que l propriété est vrie à tout rg k *. D'où le résultt. d. O 0 = et = L'etier recherché est =.. Étude d'ue suite. O cosidère l suite (u ) défiie pr : u =. u 0 =, u =, u = 5 et u 3 = u + 3 = = 8 3. b. Pour tout etier, o : u + u = > 0 ( + ) Doc (u ) est strictemet croisste sur. c. (i) O vu (prtie, questio c) que pour tout k * : k k Pr décroissce de l foctio t t sur +, o e déduit : k TS DM : suites djcetes. Vers le ombre e Pge 3 G. COSTANTINI

4 E sommt ces iéglités pour k llt de à, ous obteos : E joutt, il viet : k k = k = u + k = (ii) L qutité est l somme de termes cosécutifs d'ue suite géométrique de riso. k = O doc (le premier terme de l somme étt égl à ) : = k = = (iii) D'près (i) et (ii), o déduit déjà que pour tout : Et comme u +, il viet : u 3 L suite (u ) est mjorée pr 3. d. L suite (u ) est (strictemet) croisste et mjorée, doc elle coverge. 3. Étude de deux suites djcetes.. v 0 = u 0 + =, v = u + = 3, v = u + = 3 et v 3 = u = 7 6,86 à 0 près. Pour tout, o : v + v = u + + ( ) + u = ( + ) = ( + ) = ( + ) + ( + ) Et comme, o : v + v < 0 L suite ( v ) est strictemet décroisste sur, +. Pr illeurs, o vu ds l prtie que l suite (u ) est strictemet croisste sur. De plus, pour tout, o : v u = D'où, pr compriso : lim (v u ) = 0 + O e déduit que les suites ( u ) et ( v ) sot djcetes. Elle coverget doc vers ue limite commue. b. D'près le théorème des suites djcetes, o pour tout : u v TS DM : suites djcetes. Vers le ombre e Pge 4 G. COSTANTINI

5 Doc : 0 u E choisisst =, o ur (d'près.d.) : 0 u 0 7 L distce etre et u est bie iférieure à 0 7. Comme u, u est ue vleur pprochée de à 0 7 près. L clcultrice doe : u = = k = 0,7888 à 0 7 près pr défut c. Ds cette questio, o suppose. Autremet dit : il existe des etiers p et q ( 0) tels que = p q. (i) L mootoie des suites (u ) et (v ) est stricte. D'près le théorème des suites djcetes, o doc pour tout : D'où, pour tout etier : u < u + v + < v u < < v E prticulier, pour = q, et vec l'hypothèse = p, cel doe : q u q < p q < v q (ii) O sit que : u q = q = q k = 0 Les déomiteurs de toutes les frctios diviset q. E réduist u même déomiteur, u q s'écrit bie u q = q où est u certi etier. Et comme v q = u q + q q < p q < q + q, il viet : (ii) Il suffit de multiplier chque membre de l'ecdremet ci-dessus pr q pour obteir : < p(q ) < + (iv) D'ue prt, p(q ) est u etier. D'utre prt, et + sot deux etiers cosécutifs. Or, il e peut ps y voir d'etier strictemet compris etre deux etiers cosécutifs. L'ecdremet < p(q ) < + est doc impossible. E coséquece, l'hypothèse de déprt, à svoir, est fusse. Doc est u irrtioel. Pour l suite des évéemets, se souveir de ce résultt : L suite (u ) défiie pr u = coverge vers u ombre eviro égl à,7888. Ce ombre est u irrtioel. TS DM : suites djcetes. Vers le ombre e Pge 5 G. COSTANTINI