Soit E un ensemble. On appelle classe de parties de E un sous-ensemble non vide de P(E).

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1 Chapitre 1 Tribus 1.1 Défiitios Soit E u esemble. O appelle classe de parties de E u sous-esemble o vide de P(E). Défiitio Ue tribu A sur E est u sous-esemble o vide de P(E) tel que : (i) la partie vide appartiet à A, (ii) le complémetaire d u élémet de A est das A, (iii) A est stable par réuio déombrable. Notos immédiatemet quelques propriétés satisfaites par les tribus. Si A est ue tribu alors E A, A est stable par itersectio déombrable, A est stable par différece : A, B A A\B A, A est stable par différece symétrique : A, B A A B A. Exemple La plus petite tribu de E est A = {, E}, tadis que la plus grade est P(E). Défiitio O appelle espace mesurable tout couple (E, A) formé par u esemble E et ue tribu A sur E. Propositio L itersectio de tribus sur E est ecore ue tribu. Démostratio. Soit (A i ) i I ue famille de tribus sur E. Notos A = i I A i l itersectio de ces tribus. Alors, l esemble vide appartiet à chaque tribu A i et doc à A. Soit A A. Pour tout i I, A A i doc A c A i : A c A. La réuio déombrable s établit de même. Propositio (tribu egedrée). Soit E u sous-esemble de P(E). Il existe ue plus petite tribu (au ses de l iclusio) coteat tous les élémets de E. Elle est appelée tribu egedrée par E, et est otée σ(e). Démostratio. Soit X l esemble de toutes les tribus M sur E coteat E. L esemble X est pas vide puisqu il cotiet la tribu P(E). Posos A = M = {A E, M X, A M}. M X Il est clair que E A. De plus, A est ue tribu comme itersectio (quelcoque) de tribus et, par défiitio, elle est coteue das toute tribu coteat E. Remarque Si A est u sous-esemble de E, alors σ({a}) = {, A, A c, E}. 1

2 CHAPITRE 1. TRIBUS 2 Remarque Si A est ue tribu sur E, alors σ(a) = A. Propositio (image réciproque d ue tribu). Soit E et F deux esembles, f ue applicatio de E das F et A ue tribu sur F. Alors f 1 (A) = { f 1 (A), A A } est ue tribu sur E, appelée tribu image réciproque de A par f. Démostratio. La classe f 1 (A) cotiet l esemble vide puisque = f 1 ( ). Soit B f 1 (A). Alors il existe A A tel que B = f 1 (A). Puisque A est ue tribu, A c A. Efi, remarquos que f 1 (A) c = f 1 (A c ). La stabilité par réuio déombrable s établit de même. Propositio Soit f ue applicatio de E das F, E u sous-esemble de P(F ). Alors f 1 (σ(e)) = σ ( f 1 (E) ). E d autres termes, l image réciproque de la tribu egedrée par E est la tribu egedrée par l image réciproque de E. Démostratio. Comme E σ(e), o a f 1 (E) f 1 (σ(e)) qui est ue tribu et aisi σ(f 1 (E)) est iclus das f 1 (σ(e)). Motros l iclusio iverse. Notos B l esemble des parties B F telles que f 1 (B) appartiee à σ(f 1 (E)). Alors B est ue tribu. De plus, B cotiet E doc cotiet σ(e). Il e résulte que f 1 (σ(e)) f 1 (B). Comme, par défiitio, f 1 (B) σ(f 1 (E)), o obtiet l iclusio souhaitée : f 1 (σ(e)) σ(f 1 (E)). Défiitio (tribu iduite). Soit B u sous-esemble de E et A ue tribu sur E. O appelle tribu trace, ou tribu iduite, par A sur B la tribu A B = {A B, A A}. Défiitio (tribu produit). Soit A ue tribu sur E et B ue tribu sur F. O appelle tribu produit, et l o ote A B, la tribu sur E F egedrée par l esemble des parties de E F qui s écrivet sous la forme A B avec A A et B B. 1.2 Tribu boréliee Rappelos que pour la topologie usuelle de R, u esemble O de R est ouvert si O ote O l esemble des ouverts de R. Soit O u ouvert de R. Notos Alors I est déombrable et x O, a, b O, x ]a, b[ O. I = { (ρ, r) Q Q +, ]ρ r, rho + r[ O }. O = (ρ,r) I ]ρ r, ρ + r[. O voit aisi que tout ouvert de R peut s écrire comme réuio déombrable d itervalles ouverts (o peut même se limiter à des itervalles à extrémités ratioelles). Défiitio La tribu σ(o) egedrée par O est appelée la tribu boréliee de R. O la ote B(R). Ses élémets sot appelés les borélies.

3 CHAPITRE 1. TRIBUS 3 Remarque Même si cela est pas évidet, o peut motrer que B(R) est strictemet iclus das P(R) : il existe des parties de R qui e sot pas boréliees. Propositio Sur R, mui de sa topologie usuelle, la tribu boréliee est egedrée par 1. la classe des itervalles ouverts borés, 2. la classe des itervalles de la forme ], a[ avec a R, 3. la classe des itervalles de la forme ], a] avec a R, Démostratio. Prouvos le poit 1. Notos E la classe des itervalles ouverts borés. O a E O, doc σ(e) σ(o). D autre part, tout ouvert de O est réuio fiie ou déombrable d itervalles ouverts borés, d où O σ(e) et par suite σ(o) σ(e). Prouvos le poit 2. Soit E la classe des itervalles de la forme ], a[. O a σ(e ) σ(o). Pour établir l iclusio iverse, il suffit de motrer que E σ(e ) (puisque la tribu egedrée par E est la tribu boréliee). Soit ]a, b[ E. O a ]a, b[ = ], b[ ]a, + [ = ], b[ ], a] c = ], b[ ( N ], a + 1/[) c σ(e ). Tout itervalle ]a, b[ appartiet doc à la tribu egedrée par E et doc σ(e) σ(e ). Le poit 3 s établit de maière aalogue. Remarque Nous auros aussi à cosidérer la droite achevée R = R {+ } { }. Rappelos que sa topologie est défiie par la base d ouverts formés des itervalles ouverts de la forme ]a, b[, ]a, + ] et [, b[ avec a, b R. O démotre de faço aalogue que la tribu boréliee de R est egedrée par les classes { [, a[, a R } ou { [, a], a R } par exemple. Propositio La tribu boréliee de R d est égale à la tribu egedrée par la classe des ouverts de la forme d ]a i, b i [ avec < a i < b i < +. i=1 Il existe ue otio d espace topologique abstrait. Rappelos que O P(E) est ue topologie (l esemble des ouverts) sur E si (i) et E appartieet à O, (ii) O est stable par itersectio fiie, (iii) O est stable par réuio quelcoque. Il est aturel de muir u espace topologique (E, O) (où O désige l esemble des ouverts de E) d ue tribu compatible e u certai ses avec la structure topologique préexistate. Défiitio Soit (E, O) u espace topologique. La tribu σ(o) egedrée par O est appelée la tribu boréliee de E. O la ote B(E). Ses élémets sot appelés les borélies.

4 Chapitre 2 Applicatios mesurables 2.1 Défiitios et critères de mesurabilité Défiitio Soit (E, A) et (F, B) deux espaces mesurables et f ue applicatio de E das F. O dit que f est mesurable de (E, A) das (F, B) si l image réciproque par f de tout élémet de B est u élémet de A. O dira plus simplemet que f est mesurable s il y a pas d ambiguïté sur les tribus cosidérées. Autremet dit, f est mesurable si f 1 (B) A. Lorsque E et F sot des espaces topologiques et A et B désiget leurs tribus boréliees respectives, ue applicatio mesurable est ecore appelée boréliee. Exemple Soit (E, A) u espace mesurable. Pour toute partie A de E o ote 1 A la foctio idicatrice de l esemble A (valat 1 sur A et 0 sur so complémetaire). La foctio 1 A est mesurable de (E, A) das R (mui de sa tribu boréliee) si et seulemet si A A. Propositio Soit (E, A) et (F, B) deux espaces mesurables, f ue applicatio de E das F et E ue classe sur F telle que σ(e) = B. Alors f est mesurable si et seulemet si l image réciproque de tout élémet de E appartiet à A. Démostratio. La coditio est évidemmet écessaire. Réciproquemet, si A cotiet l image réciproque de E, elle cotiet égalemet la tribu egedrée par l image réciproque de E qui est ecore l image réciproque de la tribu egedrée par E, c est-à-dire l image réciproque de B par hypothèse. Corollaire Soit E et F deux espaces topologiques muis de leurs tribus boréliees respectives. Toute foctio cotiue f de E das F est mesurable. Démostratio. Soit O E (resp. O F ) la classe des ouverts de E (resp. de F ). Par défiitio de la cotiuité de f, o a f 1 (O F ) O E B(E). La tribu boréliee B(E) de E cotiet doc σ(f 1 (O F )) = f 1 (σ(o F )) = f 1 (B(F )) et f est mesurable. Corollaire Soit f ue applicatio mesurable de (E, A) à valeurs das R mui de sa tribu boréliee. Alors f est mesurable si et seulemet si l ue des coditios suivates est vérifiée : (i) a R, {x E, f(x) < a} A, (ii) a R, {x E, f(x) a} A, (iii) a R, {x E, f(x) > a} A, (iv) a R, {x E, f(x) a} A. Démostratio. E effet, l ue quelcoque des classes suivates de parties de R {], a[ ; a R} ; {], a] ; a R} ; {]a, + [ ; a R} ; {[a, + [ ; a R} egedre la tribu boréliee de R. 4

5 CHAPITRE 2. APPLICATIONS MESURABLES Propriétés de stabilité La mesurabilité est stable par compositio. Propositio Soit (E, A), (F, B), (G, C) trois espaces mesurables, f ue applicatio mesurable de (E, A) das (F, B) et g ue applicatio mesurable de (F, B) das (G, C). Alors l applicatio f g est mesurable de (E, A) das (G, C). Propositio Soit (F 1, B 1 ) et (F 2, B 2 ) deux espaces mesurables et p 1 et p 2 les projectios de F 1 F 2 sur F 1 et F 2 respectivemet. O muit F 1 F 2 de la tribu produit B 1 B 2. (i) les projectios p 1 et p 2 sot mesurables ; (ii) soit (E, A) u espace mesurable et f ue applicatio de E das F 1 F 2. Alors f est mesurable si et seulemet si les composées p 1 f : E F 1 et p 2 f : E F 2 sot mesurables. Démostratio. Prouvos le poit (i). Pour tout B 1 B 1, o a p 1 1 (B 1) = B 1 F 2 B 1 B 2. Doc p 1 est mesurable. O procède de même pour p 2. Prouvos le poit (ii). Si f est mesurable, il est clair que p 1 f et p 2 f le sot. Réciproquemet, supposos que p 1 f et p 2 f soiet mesurables. Alors, pour tout B 1 B 1, l esemble f 1 (B 1 F 2 ) est autre que (p 1 f) 1 (B 1 ) qui appartiet à A. De même, pour tout B 2 B 2, o a f 1 (F 1 B 2 ) appartiet à A. Il e résulte que f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 ((B 1 F 2 ) (F 1 B 2 )) = f 1 (B 1 F 2 ) f 1 (F 1 B 2 ) A. Comme B 1 B 2 est la tribu egedrée par les parties de la forme B 1 B 2, avec B 1 B 1 et B 2 B 2, la propositio permet de coclure que f est mesurable. Corollaire Pour qu ue foctio à valeurs complexes soit mesurable, il faut et il suffit que ses parties réelle et imagiaire soiet mesurables. Si f et g sot des foctios mesurables de (E, A) das C, alors f + g, fg, f,... sot mesurables. Avat d étudier la stabilité de la otio de mesurabilité par passage à la limite, rappelos quelques défiitios cocerat les suites à valeurs das R. Défiitio Soit (u ) N ue suite à valeurs das R. La plus grade (resp. petite) valeur d adhérece de la suite (u ) est otée lim sup u (resp lim if u ). Leurs défiitios sot doées par lim sup u = if sup u k et lim if u = sup if u k. 0 k k Remarque Les limites supérieure et iférieure sot a priori des élémets de R. Remarque O a toujours lim if u lim sup u et la suite (u ) N coverge si et seulemet si lim if u = lim sup u. Remarque Si (f ) est ue suite d applicatios de E das R, o ote lim sup f la foctio qui à x E associe lim sup f (x) R. Propositio La mesurabilité est stable par passage à la limite. (i) Soit (f ) N ue suite de foctios mesurables sur (E, A) à valeurs das R. Les foctios sup f, if f, lim sup f et lim if f sot mesurables. (ii) Soit (f ) N ue suite de foctios mesurables sur (E, A) à valeurs das C telle que, pour tout x E, la limite lim f (x) = f(x) existe. Alors f est mesurable. 0

6 CHAPITRE 2. APPLICATIONS MESURABLES 6 Démostratio. Établissos tout d abord le poit (i). Par hypothèse, pour tout a R, l esemble {f a} appartiet à A. Or, {sup f a} = {f a}. D après le corollaire 2.1.5, sup f est mesurable. Comme if f = sup( f ), if f est mesurable. Efi, lim sup f = if (sup k f k ) et lim if f = sup (if k f k ) sot mesurables d après ce qui précède. Pour prouver le poit (ii), quitte à cosidérer les parties réelle et imagiaire des foctios f, o peut supposer que f est réelle. Mais alors f = lim if f = lim sup f est mesurable d après (i). Propositio Soit f et g deux applicatios mesurables de (E, A) das R + (mui de sa tribu boréliee). Alors {f < g} et {f g} sot des élémets de A. Démostratio. E décomposat ces esembles de la faço suivate : {f < g} = q Q {f < q < g} = q Q ({f < q} {q < g}), {f g} = 1 {f < g + 1/}, o obtiet leur apparteace à la tribu A. 2.3 Approximatio des foctios mesurables L objet de ce paragraphe est d établir u résultat d approximatio relativemet élémetaire mais fodametal pour la costructio de l itégrale de Lebesgue : toute foctio mesurable à valeurs das R + est limite croissate de foctios élémetaires, appelées foctios étagées. Défiitio O otera M (resp. M + ) l esemble des foctios mesurables (resp. mesurables positives) sur (E, A) à valeurs das R (resp R + ). Défiitio Ue foctio mesurable sur (E, A) à valeurs das C est dite étagée si elle pred seulemet u ombre fii de valeurs distictes. O otera E + (resp. E) l esemble des foctios étagées sur (E, A) à valeurs das R + (resp. C). Ue foctio étagée e peut predre que des valeurs fiies (das C) cotrairemet aux foctios mesurables à valeurs das R. Soit f ue foctio étagée et le ombre de valeurs distictes prises par f. Notos α 1,..., α ces valeurs et posos, pour i = 1...,, A i = {f = α i }. Alors les parties (A i ) i=1,..., sot mesurables et f peut ecore s écrire f = α i 1 Ai. i=1 Réciproquemet, toute combiaiso liéaire à coefficiets réels ou complexes de foctios caractéristiques d esembles mesurables est ue foctio étagée. Remarquos de plus que les foctios étagées sur (E, A) formet u espace vectoriel. Théorème Soit f ue foctio mesurable sur (E, A) à valeurs das R +. Il existe ue suite croissate (f ) N de foctios étagées positives qui coverge simplemet vers f. De plus, la covergece est uiforme sur tout esemble B A sur lequel f est borée.

7 CHAPITRE 2. APPLICATIONS MESURABLES 7 Démostratio. Pour N et k = 0, 2, , posos { k A = {f } et A,k = 2 f < k + 1 } 2. O défiit alors la foctio f par : f = 2 1 k=0 k 2 1 A,k + 1 A. Par défiitio, f est ue foctio étagée positive telle que f f. D autre part, o vérifie que si x A,k, 2k 2k + 1 f (x) si f(x) < f +1 (x) = f (x) si 2k + 1 2(k + 1) 2 +1 f(x) < De même, si x A, + 1 si f(x) + 1 f +1 (x) = + l 2 +1 si + l l + 1 f(x) < , 0 l Aisi, pour tout N et tout x E, f (x) f +1 (x) : la suite (f ) est croissate. De plus, (A ) est ue suite décroissate d élémets de A doc si x A c 0, alors pour tout 0, x A c ou ecore 0 f(x) f (x) 1 2. Ceci implique que (f (x)) coverge vers f(x). Aisi, la suite (f ) coverge sur l esemble A c qui est autre que {f < + }. D autre part, si x {f = + } alors, pour tout N, f (x) = qui ted vers + quad ted vers +. Soit à préset B A tel que f soit borée sur B. Il existe 1 tel que, pour tout x B, f(x) < 1. Alors B A 1 = et aisi, La covergece est doc bie uiforme sur B. 1, x B, 0 f(x) f (x) 1 2. Corollaire Toute foctio f mesurable sur (E, A) à valeurs das R (ou C) est limite simple d ue suite (f ) de foctios étagées à valeurs das R (ou C). Démostratio. Si f est à valeurs das R, o peut l écrire f = f + f avec f + = sup(f, 0) et f = if(0, f). Comme f + et f sot mesurables à valeurs das R +, il existe des suites (g ) et (h ) de foctios étagées positives tedat simplemet vers f + et f respectivemet. La suite (f ), où f = g h, est formée de foctios étagées et coverge simplemet vers f. Si f est à valeurs complexes, o l écrira comme combiaiso de ses parties réelle et imagiaire.

8 Chapitre 3 Mesures positives 3.1 Défiitios et propriétés élémetaires Défiitio Soit (E, A) u espace mesurable. O appelle mesure positive sur (E, A) ue applicatio µ de A das R + telle que (i) µ( ) = 0, (ii) si (A ) N est ue suite d élémets deux à deux disjoits d élémets de A, alors µ( A ) = µ(a ). O peut parfois préciser le terme de mesure positive Si µ(e) < +, o dit que la mesure µ est fiie (ou borée). Si µ(e) = 1, la mesure µ est appelée mesure de probabilité. S il existe ue suite (A ) N d élémets de A telle que A = E et, pour tout N, µ(a ) est fii, o dit que µ est ue mesure σ-fiie. Défiitio O appelle espace mesuré tout triplet (E, A, µ) où (E, A) est u espace mesurable et µ est ue mesure positive sur (E, A). Aalysos à préset les propriétés satisfaites par ue mesure e commeçat par les propriétés faisat iterveir u ombre fii d esembles. =0 Propositio Soit (E, A, µ) u espace mesuré. (i) Si A 1,..., A sot des élémets de A deux à deux disjoits alors µ(a 1 A 2 A ) = µ(a 1 ) + + µ(a ). (ii) Si A et B sot deux élémets de A tels que A B, alors µ(a) µ(b). De plus, si µ(a) < +, alors µ(b\a) = µ(b) µ(a). (iii) Soiet A et B deux élémets de A, µ(a B) + µ(a B) = µ(a) + µ(b). Démostratio. Le poit (i) s établit à partir du poit (ii) de la défiitio d ue mesure e choisissat A k = pour k 1,...,. Pour (ii), si A B, o écrit B = A (B\A). Comme A et (B\A) sot disjoits, µ(b) est égal à µ(a) + µ(b\a) µ(a). Pour établir le poit (iii), distiguos deux cas. Si µ(a B) = + alors µ(a) ou µ(b) vaut aussi +. Sio, il faut remarquer que A B s écrit comme la réuio disjoite de (A\(A B)), A B et B\(A B). E utilisat le poit (i), il viet : µ(a B) = µ(a\(a B)) + µ(a B) + µ(b\(a B)). 8

9 CHAPITRE 3. MESURES POSITIVES 9 Puisque A B est bie etedu iclus das A et das B le poit (ii) fourit le derier argumet : ce qui est le résultat attedu. µ(a B) = µ(a) µ(a B) + µ(a B) + µ(b) µ(a B) = µ(a) + µ(b) µ(a B), Doos ue défiitio équivalete de la otio de mesure (positive). Propositio Ue applicatio µ de A das R + est ue mesure si et seulemet si (i) µ( ) = 0 ; (ii) si A et B sot deux élémets disjoits de A, µ(a B) = µ(a) + µ(b), (iii) pour toute suite croissate (B ) N d élémets de A, µ( B ) = lim µ(b ). Démostratio. Supposos que les poits (i), (ii) et (iii) de la propositio soiet vrais. Par récurrece sur le poit (ii), o obtiet que, si A 1,..., A sot des élémets de A deux à deux disjoits alors µ(a 1 A 2 A ) = µ(a 1 ) + + µ(a ). Soit (A ) N ue suite d élémets deux à deux disjoits de A. Pour tout N, posos B k = k A. O a µ(b k ) = k =0 µ(a ). De plus, (B k ) k N est ue suite croissate et k=0 B k coïcide avec =0 A. Par hypothèse, o obtiet µ( =0A ) = µ( k=0 B k) = lim µ(b k) = lim µ(a k ) = µ(a k ). k Réciproquemet, supposos que µ soit ue mesure. Soit (B ) N ue suite croissate d élémets de A. Posos A 0 = B 0 et, pour tout 1, A = B \B 1 A. Alors (A ) N est ue suite d élémets de A deux à deux disjoits et, pour tout 0, B = k=0 A k. Il e résulte que µ( =0B ) = µ( k=0 A k) = et la propositio est démotrée. µ(a k ) = lim k=0 k=1 k=1 k=0 µ(a k ) = lim µ(b ), Propositio Soit (E, A, µ) u espace mesuré. (i) Si (B ) N est ue suite d élémets de A, alors µ( =0 B ) =0 µ(b ). (ii) Si (A ) N est ue suite décroissate d élémets de A telle qu il existe 0 avec µ(a 0 ) fii, alors la suite (µ(a )) N coverge e décroissat vers µ( A ). Démostratio. Démotros (i). Posos A 0 = B 0 et, pour tout 1, A = B \( k< B k ). Les esembles (A ) N sot deux à deux disjoits et B = k A k. Il e résulte que µ( =0B ) = µ( k=0 A k) = µ(a k ) k=0 µ(b ), puisque A B pour tout N. Démotros (ii). Pour i 0, posos B k = A 0 \A k. La suite (B k ) k 0 est croissate et o a k 0 B k = A 0 \( k 0 A k ). Puisque k 0 A k A 0 et A k A 0, o a d où µ(a 0 \( k 0 A k )) = µ(a 0 ) µ( k 0 A k ) et µ(b k ) = µ(a 0 ) µ(a k ), µ(a 0 ) µ( k 0 A k ) = µ( k 0 B k ) = lim k µ(b k) et doc µ( k 1 A k ) = lim k µ(a k ). =0 = lim k (µ(a 0 ) µ(a k )) = µ(a 0 ) lim k µ(a k),

10 CHAPITRE 3. MESURES POSITIVES 10 Remarque Das l éocé (ii), l hypothèse de l existece d u etier 0 tel que µ(a 0 ) est fii e peut être supprimée. E effet, si µ est la mesure de comptage sur N et A = {, + 1,...} alors µ(a ) = + et A =. 3.2 Mesures discrètes Les premiers exemples de mesures que l o va cosidérer sot à la fois élémetaires et fodametaux. Ils correspodet à l idée ituitive de masses poctuelles : il va s agir d affecter des poids à des poits de l espace. L exemple le plus aïf cosiste à affecter u poids à u seul poit. Défiitio (Mesure de Dirac). Soit (E, A) u espace mesuré et a E. Posos, pour tout A A : { 1 si a A, δ a (A) = 0 si a / A. L applicatio δ a est ue mesure de probabilité, appelée mesure (ou masse) de Dirac au poit a. Remarque Si A A, δ a (A) = 1 A (a). Pour motrer que δ a est ue mesure, utilisos par exemple la défiitio alterative d ue mesure fourie par la propositio Il est clair que δ a ( ) est ul. Soit A et B deux esembles disjoits apparteat à A. Alors δ a (A B) = 1 A B (a) = 1 A (a) + 1 B (a) = δ a (A) + δ a (B). Soit à préset ue suite croissate (B ) N d élémets de A. Alors a B 0 0, a B 0 0 0, 0, a B Doc, si a B alors δ a ( B ) = 1 et la suite (δ a (B )) N (à valeurs das {0, 1}) vaut 1 à partir d u certai rag. De même, si a / B alors δ a ( B ) = 0 et la suite (δ a (B )) N est la suite ulle. Défiitio (Mesure de Beroulli). Soit p ]0, 1[. La mesure de Beroulli de paramètre p est défiie par µ = (1 p)δ 0 + pδ 1. C est ue mesure de probabilité. Défiitio (Mesures discrètes). Soit (E, A) u espace mesurable. Soit (a ) N ue suite de poits de E et (α ) N ue suite de réels positifs. Posos pour tout A A, µ(a) = α δ a (A). =0 L applicatio µ : A R + est ue mesure positive. Tout poit a tel que α > 0 est appelé atome de µ. Remarque Si (a k, ) k, N est ue suite de ombres positifs, alors l égalité ayat lieu das R +. k=0 =0 a k, = =0 k=0 a k,,

11 CHAPITRE 3. MESURES POSITIVES 11 Motros que l applicatio µ = α δ a défiie sur A est ue mesure. Clairemet, µ( ) = 0. Soit (A k ) k N ue suite d élémets disjoits de A. Alors µ( k A k ) = = α δ a ( k A k ) = =0 k=0 =0 α 1 Ak (a ) = α 1 k A k (a ) = =0 k=0 =0 α 1 Ak (a ) =0 α δ a (A k ) = k=0 µ(a k ). Exemple La mesure de Poisso de paramètre λ > 0 est u exemple très classique de mesure discrète. Elle est défiie par µ = + k=0 λ λk e k! δ k. Remarquos de plus que c est ue mesure de probabilité. 3.3 Mesure de Lebesgue Théorème Il existe ue uique mesure λ sur (R, B(R)) telle que (i) λ([0, 1]) = 1, (ii) Pour tout a R et tout B B(R), λ(a + B) = λ(b). Elle est appelée mesure de Lebesgue sur R. Remarque La mesure de Lebesgue est la seule mesure ivariate par traslatio qui affecte la mesure 1 à l esemble [0, 1]. Remarque Ce théorème est dificile. Nous verros lors de la costructio de mesures produit les argumets clé de l uicité. Ue démostratio de ce théorème sera présetée das le cours F2 au secod semestre. Cette mesure coïcide avec la otio ituitive de logueur comme le motre le résultat suivat. Propositio Pour tous a < b réels, k=0 λ([a, b]) = λ(]a, b]) = λ([a, b[) = λ(]a, b[) = b a. Si I est u itervalle o boré alors λ(i) = +. Démostratio. Soit α = λ({0}). Alors, d après l ivariace par traslatio de λ, pour tout x R, λ({x}) = λ(x + {0}) = λ({0}) = α. Aisi, pour tout 1, α = λ({1/k, k = 1,..., }) λ([0, 1]) = 1. Ceci assure doc que α = 0. O dit que λ e charge aucu sigleto. La mesure des itervalles e déped pas du fait qu ils cotieet ou o leurs extrémités (o utilisera cette remarque das la suite sas le rappeler systématiquemet). Soit 1. Découpos ]0, 1] e itervalles disjoits égaux. 1 = λ([0, 1]) = λ(]0, 1]) = λ( k=1 ](k 1)/, k/]) = λ((k 1)/+]0, 1/]) = λ(]0, 1/]). k=1

12 CHAPITRE 3. MESURES POSITIVES 12 Aisi, pour tout 1, λ(]0, 1/] = 1/. Soit à préset 1 et k 1 k 2 Z. Alors λ(]k 1 /, k 2 /]) = λ( k 2 k 1 l=1 ](k 1 + l 1)/, (k 1 + l)/]) = k 2 k 1.. Aisi, pour tous ratioels r r, λ(]r, r [) = r r. Soit a < b R. il existe deux suites (u ) et (v ) de ratioels strictemet décroissate pour la première et strictemet croissate pour la secode telles que u v pour tout et qui coverget respectivemet vers a et b. O obtiet alors λ(]a, b[) = λ( ]u, v [) = lim λ(]u, v [) = lim (v u ) = b a. Soit efi I u itervalle o boré. Supposos-le de la forme [a, + [. Alors, pour tout N, I cotiet [a, a + ] et aisi, λ(i). Ceci assure que λ(i) = +.

13 Chapitre 4 Costructio de l itégrale de Lebesgue Das ce chapitre, o se doe u espace mesuré (E, A, µ). L idée est de costruire l itégrale pour des foctios de plus e plus géérales grâce à des passages à la limite. 4.1 Itégratio des foctios étagées positives Défiitio Soit f ue foctio étagée positive, preat les valeurs distictes α 1,..., α. O pose A i = f 1 ({α i }) pour 1 i. O appelle itégrale de f par rapport à µ, et o ote f dµ, le ombre fii ou ifii (élémet de R+ ) défii par f dµ = α i µ(a i ), avec la covetio usuelle e théorie de la mesure : 0 = 0. i=1 Propositio L itégrale de foctios étagées positives vérifie les propriétés suivates. (i) Si f et g sot deux foctios étagées positives et λ R +, alors (λf + g) dµ = λ f dµ + g dµ. (ii) Si f et g sot deux foctios étagées positives telles que f g, alors f dµ g dµ. Démostratio. Motros la propriété (i) das le cas où λ = 1. Le cas gééral s e déduit immédiatemet. Posos m f = α i 1 Ai et g = β j 1 Bj i=1 où les (α i ) i (resp. les (β j ) j ) sot disticts. Notos γ 1,..., γ l les valeurs (distictes) prises par f + g et C k = (f + g) 1 (γ k ) = (A i B j ), (i,j) I k où I k = {(i, j), α i + β j = γ k }. Puisque les esembles (A i B j ) i,j sot deux à deux disjoits, µ(c k ) = µ(a i B j ). (i,j) I k 13 i=1

14 CHAPITRE 4. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE LEBESGUE 14 O a doc par défiitio de l itégrale de f + g (f + g) dµ = l γ k µ(c k ) = k=1 = = = l k=1 (α i + β j )µ(a i B j ) (i,j) I k m m α i µ(a i B j ) + β j µ(a i B j ) i=1 j=1 α i µ(a i ) + i=1 m β j µ(b j ) j=1 f dµ + g dµ. j=1 i=1 Pour établir (ii), il suffit d appliquer (i), e remarquat que g f est ue foctio étagée positive, pour obteir f dµ f dµ + (g f) dµ = (f + (g f)) dµ = g dµ. Ceci achève la preuve. Remarque Soit la foctio f = i α i1 Ai où les (α i ) e sot pas écessairemet disticts et les (A i ) écessairemet disjoits. O a ecore f dµ = i α iµ(a i ). 4.2 Itégratio des foctios mesurables positives Défiitio Soit f ue foctio mesurable à valeurs das R +. O appelle itégrale de f par rapport à µ, et o ote f dµ l élémet de R + défii par { f dµ = sup } u dµ, u E + telle que u f. Remarque Si f est ue foctio étagée positive alors les deux défiitios de so itégrale coïcidet car le supremum est atteit pour u = f. Propositio (Croissace de l itégrale). Pour toutes foctios f et g mesurables positives telles que f g, f dµ g dµ. Démostratio. C est ue coséquece immédiate de l iclusio et de la défiitio de l itégrale. {u E +, u f} {u E +, u g} Voici le premier des grads théorèmes d itervertio limite-itégrale qui fot toute la puissace de la théorie de la mesure. Théorème (de covergece mootoe ou de Beppo Levi). Soit (f ) N ue suite croissate de M +. Alors f = lim f (= sup f ) est aussi das M + et f dµ = f dµ. lim +

15 CHAPITRE 4. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE LEBESGUE 15 Démostratio. O sait déjà que le supremum d élémets de M + est ecore das M + d après la propositio Comme f f, o a f dµ f dµ. La croissace de l itégrale assure que la suite ( f dµ) est elle aussi croissate et doc covergete das R +. O obtiet doc lim f dµ f dµ. Démotros l iégalité opposée. Soit u ue foctio positive étagée iférieure à f et λ ]0, 1[. Posos E = {x E, f (x) λu(x)}. La suite (E ) N est doc croissate (au ses de l iclusio). Soit x E. Si u(x) = 0 alors x E pour tout N. Si u(x) > 0 alors lim f (x) = f(x) u(x) > λu(x), et aisi x E pour assez grad et doc E = E. D autre part, par défiitio de E, f λu1 E et doc, pour tout N, par croissace de l itégrale, f dµ λu1 E dµ, La foctio λu1 E est étagée positive. O sait doc calculer so itégrale. Si u = k i=1 α i1 Ai alors k k u dµ = α i µ(a i ) et u1 E dµ = α i µ(a i E ). i=1 Or, pour tout i = 1,..., k, µ(a i E ) coverge e croissat vers µ(a i ), doc, u1 E dµ coverge vers u dµ. O a doc établi que, pour tout u E + tel que u f et tout λ ]0, 1[, lim f dµ lim λ i=1 u1 E dµ = λ u dµ. O obtiet doc, e faisat tedre λ vers 1, que, l itégrale de toute foctio étagée positive u majorée par f est iférieure à la limite des itégrales des foctios f. Il e est doc de même pour l itégrale de f : { f dµ = sup et l égalité est doc établie. } u dµ, u E +, telle que u f lim Corollaire Si f et g sot deux foctios mesurables positives, alors (f + g) dµ = f dµ + g dµ. f dµ, Démostratio. D après le théorème 2.3.3, il existe des suites (f ) N et (g ) N croissates de foctios étagées positives qui coverget simplemet vers f et g respectivemet. Alors la suite (f + g ) N est ue suite croissate de foctios étagées positives qui coverge simplemet vers f + g. La liéarité de l itégrale de foctios étagées assure alors, pour tout, (f + g ) dµ = f dµ + g dµ. Le théorème de Beppo Levi permet de coclure e passat à la limite.

16 CHAPITRE 4. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE LEBESGUE 16 Corollaire (Itervertio du sige somme et du sige itégrale). Si (f ) N est ue suite de foctios mesurables positives, o a l égalité ayat lieu das R +. ( ) f dµ = =0 f dµ, Démostratio. Posos g = k=0 f k. La suite (g ) N est ue suite croissate de foctios mesurables doc o peut ( ) f dµ = =0 =0 ( ) lim g dµ = lim ( ) f k dµ = = lim k=0 grâce au théorème de covergece mootoe. 4.3 Itégratio de foctios mesurables k=0 g dµ ( ) f k dµ, Défiitio Ue foctio f défiie sur E à valeurs das R ou C est dite itégrable (par rapport à µ) si elle est mesurable et si f dµ < +. Nous oteros L 1 R (µ) (resp L1 C (µ)) l esemble des foctios itégrables à valeurs réelles (resp. complexes). Pour être plus précis, ous utiliseros (e cas d évetuelles cofusios) les otatios L 1 R (E, A, µ) et L1 C (E, A, µ). Propositio Soit f ue foctio mesurable à valeurs das R. Alors f est itégrable si et seulemet si f + et f le sot. Démostratio. Rappelos que f + = sup(f, 0) et f = if(f, 0) = sup( f, 0). O a alors La propositio découle de ces relatios. f = f + + f, f f, f + f. Défiitio Soit f L 1 R (µ). O appelle itégrale de f, et o ote f dµ, le ombre réel f dµ = f + dµ f dµ. Remarque O pourra oter ecore f dµ = f(x) µ(dx). Certais mathématicies adoptet quat à eux la otatio f(x) dµ(x) que ous éviteros d employer. Ceci dit, il e s agit que d ue otatio, i plus i mois arbitraire qu ue autre. Propositio L esemble L 1 R (µ) est u espace vectoriel sur R et l applicatio qui à f associe f dµ est ue forme liéaire sur cet espace. De plus, o a (i) l itégrale coserve la positivité (si f L 1 R (µ) et f 0, alors f dµ 0), (ii) l itégrale coserve les iégalités (si f, g L 1 R (µ) et f g, alors f dµ g dµ), (iii) si f L 1 R (µ), f dµ f dµ.

17 CHAPITRE 4. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE LEBESGUE 17 Démostratio. O sait déjà que l esemble des foctios réelles mesurables est u espace vectoriel sur R. De plus, si f, g L 1 R (µ) et λ R, alors λf + g λ f + g. O e déduit que λf + g dµ λ f dµ + g dµ < +. L esemble L 1 R (µ) est doc u espace vectoriel sur R. Soiet f, g L 1 R (µ). O a { f + g = (f + g) + (f + g) f + g = f + f + g + g, d où (f + g) + + f + g = (f + g) + f + + g +. O itègre cette égalité par rapport à µ e remarquat que tous les termes sot des foctios mesurables positives. Il viet doc (f + g) + dµ + f dµ + g dµ = (f + g) dµ + f + dµ + g + dµ. Toutes ces quatités sot fiies doc o obtiet (f + g) + dµ (f + g) dµ = f + dµ f dµ + g + dµ g dµ, ce qui établit la liéarité de l itégrale. O motre de même que (λf) dµ = λ f dµ. Pour prouver (i), o remarque que, si f L 1 R (µ) est positive, alors so itégrale est celle qui a été défiie das la défiitio Elle appartiet à R +. Le poit (ii) se déduit du poit (i) e cosidérat la foctio positive et itégrable g f. Pour motrer (iii) o écrit tout simplemet, f dµ = f + dµ f dµ f + dµ + f dµ = f dµ, ce qui assure la commutatio aocée de la valeur absolue et de l itégrale. Propositio Soit f ue foctio mesurable à valeurs das C. Alors f est itégrable si et seulemet si Re f et Im f le sot. Défiitio Soit f L 1 C (µ). O appelle itégrale de f, et o ote f dµ, le ombre complexe f dµ = Re f dµ + i Im f dµ. Propositio L esemble L 1 C (µ) est u espace vectoriel sur C et l applicatio qui à f associe f dµ est ue forme liéaire sur cet espace. De plus, f dµ f dµ. Démostratio. Soit α C tel que f dµ = α f dµ. O peut toujours choisir α de module 1 et f dµ = αf dµ = Re (αf) dµ + i Im (αf) dµ Re (αf) dµ + Im (αf) dµ αf dµ = f dµ.

18 CHAPITRE 4. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE LEBESGUE Mesures discrètes Soit (E, A) u espace mesurable, (a k ) k N ue suite de poits de E telle que, pour tout k N, {α k } A et (α k ) k N ue suite de réels positifs. O défiit ue mesure µ sur (E, A) µ = α k δ ak. O souhaite étudier l esemble L 1 (µ) et compredre l objet f dµ pour f L 1 (µ). Propositio Avec les otatios du début du paragraphe. (i) Soit f mesurable de (E, A) das R +. Alors, das R +, f dµ = (ii) Ue foctio f mesurable de (E, A) das C est µ-itégrable ssi ce cas, f dµ = α k f(a k ). k=1 k=1 α k f(a k ). k=1 α k f(a k ) < +. Das Démostratio. Démotros le poit (i). O procède e trois étapes. Supposos que f = 1 A avec A A. Alors f dµ = µ(a) = α k 1 A (a k ) = α k f(a k ). k=1 Supposos à préset f étagée positive, alors f = i=1 β i1 Ai. Par liéarité de l itégrale, f dµ = β i µ(a i ) = β i α k 1 Ai (a k ) = β i 1 Ai (a k ) = α k f(a k ). i=1 i=1 k=1 k=1 α k k=1 i=1 Efi, si f est mesurable positive, il existe ue suite croissate de foctios étagées positives (f ) N qui coverge simplemet vers f. Par le théorème de covergece mootoe, f dµ = lim f dµ = lim α k f (a k ) = α k lim f (a k ) = α k f(a k ), k=1 ce qui achève la preuve du poit (i). Démotros à préset le poit (ii). Soit f mesurable à valeurs das C. Appliquos le poit (i) à f : f est µ-itégrable ssi f dµ est fii c est-à-dire ssi k α k f(a k ) est fii. Si tel est le cas, o écrit f = (Re f) + (Re f) + i(im f) + i(im f). Les quatre foctios mesurables positives (Re f) +,...,(Im f) sot itégrables par rapport à µ (puisqu elles sot toutes majorées par f ). D après (i) et la liéarité de l itégrale, o obtiet la relatio souhaitée. Exemple Soit µ la mesure Beroulli de paramètre p ]0, 1[ : µ = pδ 1 + (1 p)δ 0. Alors, 2 x µ(dx) = (1 p) 0 + p 1 et cos(πx/4) µ(dx) = 1 p + p 2. Exemple Soit µ = k=1 p(1 p)k 1 δ k. Alors f L 1 si et seulemet si p(1 p) k 1 f(k) < + et das ce cas, k=1 f dµ = k=1 p(1 p) k 1 f(k). k=1 k=1 k=1 k=1

19 CHAPITRE 4. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE LEBESGUE Mesures à desité État doé u espace mesuré (E, A, µ), o peut costruire de ombreuses mesures à partir de µ comme le motre la propositio suivate. Propositio Soit (E, A, µ) u espace mesuré et g ue foctio mesurable positive sur (E, A). Soit ν l applicatio de A das R + défiie par ν(a) = 1 A g dµ = g dµ. Alors ν est ue mesure sur (E, A). Démostratio. O a évidemmet ν( ) = 0. Soit (A ) ue suite d élémets de A deux à deux disjoits. Posos A = A. O a ν(a) = 1 A g dµ = 1 A g dµ = 1 A g dµ = ν(a ), grâce au théorème de covergece mootoe. Défiitio La mesure ν est appelée mesure de desité g par rapport à µ. O la ote souvet g.µ. La foctio g est appelée la desité de ν par rapport à µ. Propositio (Itégratio par rapport à ue mesure à desité). Avec les otatios de la propositio (i) Soit f ue foctio mesurable positive sur (E, A). Alors, das R +, f dν = (f g) dµ. (4.1) A (ii) Soit f ue foctio mesurable à valeurs complexes sur (E, A). Alors f est itégrable pour ν si et seulemet si fg est itégrable pour µ et o a alors f dν = (fg) dµ. Démostratio. Pour démotrer le poit (i), o procède e trois étapes. Si f = 1 A avec A A, la relatio (4.1) découle de la défiitio de ν. Si f est étagée et positive, l égalité se déduit de la liéarité de l itégrale. Supposos efi que f soit simplemet mesurable et positive. Soit (f ) N ue suite croissate de foctios étagées et positives qui coverge simplemet vers f. Par le théorème de covergece mootoe, f dν = lim f dν = lim (f g) dµ = (fg) dµ. Démotros à préset le poit (ii). Soit f mesurable à valeurs das C. Appliquos le poit (i) à f : f est ν-itégrable ssi f g dν est fii c est-à-dire ssi fg est µ-itégrable. Si tel est le cas, o écrit f = (Re f) + (Re f) + i(im f) + i(im f). Les quatre foctios mesurables positives (Re f) +,...,(Im f) sot itégrables par rapport à ν (puisqu elles sot toutes majorées par f ). D après (i) et la liéarité de l itégrale, o obtiet la relatio souhaitée.

20 CHAPITRE 4. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE LEBESGUE Itégratio par rapport à ue mesure image Propositio (Défiitio d ue mesure image). Soit (E, A) et (F, B) deux espaces mesurables et ϕ ue applicatio mesurable de E das F. Soit µ ue mesure sur (E, A). L applicatio ν qui à B B associe ν(b) = µ(ϕ 1 (B)) défiit ue mesure sur (F, B) appelée mesure image de µ par ϕ. O la otera µ ϕ. Démostratio. Comme ϕ 1 ( ) =, o a µ(ϕ 1 ( )) = 0. Soit (B ) N ue suite d élémets de B deux à deux disjoits. La suite (ϕ 1 (B )) est ue suite d élémets de A deux à deux disjoits et ϕ 1 ( B ) = ϕ 1 (B ) doc ν( B ) = µ(ϕ 1 ( B )) = µ( ϕ 1 (B )) = µ(ϕ 1 (B )) = ν(b ), ce qui achève la preuve. Propositio Avec les otatios de la propositio (i) Soit f ue foctio mesurable positive défiie sur (F, B). Alors (l égalité a lieu das R + ) f dµ ϕ = f ϕ dµ. (4.2) F (ii) Soit f ue foctio mesurable à valeurs complexes défiie sur (F, B). Alors f est itégrable par rapport à µ ϕ si et seulemet si f ϕ est itégrable par rapport à µ. Das ce cas, f dµ ϕ = f ϕ dµ. F Démostratio. Démotros le poit (i) e trois étapes. Si f est la foctio idicatrice de B B, l égalité µ ϕ (B) = µ(ϕ 1 (B)) qui défiit la mesure image s écrit ecore 1 B dµ ϕ = 1 ϕ 1 (B) dµ = 1 B ϕ dµ. Y X Si f est étagée positive, la relatio (4.2) se déduit du cas précédet par liéarité. Efi, si f est mesurable positive, d après le théorème d approximatio 2.3.3, il existe ue suite (f ) N croissate de foctios étagées positives qui coverge simplemet vers f. Alors (f ϕ) N est ue suite croissate de foctios étagées positives qui coverge simplemet vers f ϕ. D après ce qui précède, o a, pour tout N, f dµ ϕ = f ϕ dµ, Y et l égalité souhaitée est coséquece du théorème de covergece mootoe. Démotros à préset le poit (ii). Soit f mesurable à valeurs das C. Le poit (i) appliqué à f motre que f est itégrable par rapport à µ ϕ si et seulemet si f ϕ l est par rapport à µ. Supposos doc f itégrable et écrivos alors f = (Re f) + (Re f) + i(im f) + i(im f). Les quatre foctios mesurables positives (Re f) +,...,(Im f) sot itégrables par rapport à µ ϕ (puisqu elles sot toutes majorées par f ). D après (i) et la liéarité de l itégrale, o obtiet la relatio souhaitée. X E E X

21 CHAPITRE 4. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE LEBESGUE Itégrale de Lebesgue et itégrale de Riema Rappelos brièvemet les pricipes fodametaux de l itégrale de Riema Itégrale sur u itervalle compact Soit f ue foctio réelle borée sur [a, b]. Soit σ : a = x 0 < x 1 < < x +1 = b ue subdivisio de [a, b]. O appelle pas de la subdivisio le ombre δ(σ) = max 1 k +1 (x k x k 1 ). Posos m k = if {f(t), t [x k, x k+1 ]} et M k = sup {f(t), t [x k, x k+1 ]}. Les sommes de Darboux associées à la subdivisio σ sot s(σ) = m k (x k+1 x k ) et S(σ) = k=1 M k (x k+1 x k ). Défiitio O dit que f est itégrable au ses de Riema sur [a, b] s il existe u ombre réel I tel que les sommes s(σ) et S(σ) tedet vers I quad δ(σ) ted vers 0 : ε > 0, η > 0, σ t.q. δ(σ) η, S(σ) I ε et s(σ) I ε. Le ombre I est alors appelé l itégrale de Riema de f sur [a, b] et o le ote b a f(t) dt. Cosidéros à ouveau la subdivisio σ et, pour tout k, choisissos ξ k [x k 1, x k ]. La somme de Riema défiie par σ et ξ = (ξ 1,..., ξ ) est par défiitio S(σ, ξ) = k=1 f(ξ k )(x k x k 1 ). k=1 Si f est itégrable au ses de Riema, les sommes de Riema coverget vers b a f(t) dt lorsque δ(σ) ted vers 0, uiformémet par rapport au choix de ξ. Plus précisémet, ε > 0, η > 0, σ t.q. δ(σ) η, ξ associé à σ, S(σ, ξ) I ε. Théorème Toute foctio f cotiue par morceaux sur [a, b] est itégrable au ses de Riema. De plus, si f est cotiue, la foctio x F (x) = x a f(t) dt est dérivable sur [a, b] de dérivée F = f Itégrale gééralisée Soit f : [a, b[ R, où b peut être égal à +, localemet itégrable au ses de Riema ; c est-à-dire itégrable au ses de Riema sur tout itervalle compact [a, c] [a, b[. O dit que f admet ue itégrale gééralisée sur [a, b[ si la foctio x x a f(t) dt admet ue limite lorsque x ted vers b (avec x < b). O pose alors b a f(t) dt = lim x b x a f(t) dt. Das ce cas, o dit ecore que l itégrale b a f(t) dt est covergete. O dit que l itégrale gééralisée b a f(t) dt est absolumet covergete si l itégrale b a f(t) dt est covergete. Remarque La covergece absolue etraîe la covergece, mais la réciproque est fausse comme le motre l exemple classique si t dt. t 1

22 CHAPITRE 4. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE LEBESGUE Comparaiso des itégrales de Riema et Lebesgue pour ue foctio borée sur u itervalle compact Propositio Soit f ue foctio cotiue sur [a, b]. Alors si λ désige la mesure de Lebesgue sur R, f1 [a,b] L 1 R (λ) et 1 [a,b] f dλ = R b a f(t) dt. Démostratio. Il est clair que f1 [a,b] est boréliee. Soit M = sup t [a,b] f(t). La foctio f état cotiue sur le compact [a, b], M est u réel positif et f1 [a,b] M1 [a,b] L 1 R (λ), ce qui assure que f1 [a,b] est Lebesgue-itégrable. De même, pour tout x [a, b], f1 [a,x] est Lebesgue-itégrable. Posos F (x) = f1 [a,x] dλ et motros que F est dérivable e tout poit x 0 de [a, b] de dérivée f(x 0 ). Soit h > 0. Comme o a d où 1 [a,x0 +h]f = 1 [a,x0 ]f + 1 ]x0,x 0 +h]f, F (x 0 + h) F (x 0 ) h F (x 0 + h) F (x 0 ) h = 1 h f(x 0 ) = 1 h 1 ]x0,x 0 +h]f dλ, 1 ]x0,x 0 +h](f f(x 0 )) dλ. Soit ε > 0. Puisque f est cotiue e x 0, il existe η > 0 tel que pour tout x tel que x x 0 η, o ait f(x 0 ) f(x) ε. Si 0 < h < η alors F (x 0 + h) F (x 0 ) f(x 0 ) h 1 ε1 h ]x0,x 0 +h] dλ = ε. Le cas h < 0 se traite de même. Aisi, F est dérivable sur [a, b] de dérivée f. Comme F (a) = 0 (car λ({a}) = 0), o a F (x) = x a f(t) dt pour tout x [a, b] (et otammet pour x = b). Remarque La propositio précédete s éted facilemet au cas d ue foctio f cotiue par morceaux. Elle coduit à oter [a,b] f dx l itégrale de Lebesgue f1 [a,b] dλ (et même b a f(x) dx). Cette otatio est souvet adoptée pour ue foctio f itégrable au ses de Lebesgue sur [a, b] sas hypothèse de cotiuité. Lorsque l o sort du cadre des foctios cotiues par morceaux, les lies etre itégrales de Riema et de Lebesgue sot assez subtils. Voici quelques résultats éclairats. Il existe des foctios itégrables au ses de Lebesgue qui e sot pas itégrables au ses de Riema. Par exemple la foctio f = 1 Q [0,1] est itégrable au ses de Lebesgue et so itégrale est ulle. E revache, pour toute subdivisio σ de [0, 1], o a S(σ) = 1 et s(σ) = 0. Les foctios itégrables au ses de Riema sur [a, b] sot coues. Théorème (Lebesgue). Ue foctio f : [a, b] R borée est itégrable au ses de Riema ssi il existe N [a, b] de mesure de Lebesgue ulle tel que f est cotiue e tout x [a, b]\n.

23 CHAPITRE 4. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE LEBESGUE Itégrale de Riema gééralisée et itégrale de Lebesgue Propositio Soit f : [a, b[ R ue foctio cotiue. Alors f1 [a,b[ L 1 R (λ) si et seulemet si b a f(t) dt est absolumet covergete et, das ce cas, o a b f1 [a,b[ dλ = f(t) dt. Démostratio. Supposos d abord f positive. Soit (b ) N ue suite croissate de poits de [a, b[ qui coverge vers b. Pour tout, f1 [a,b[ dλ = a b a f(t) dt. E utilisat le théorème de covergece mootoe (pour l itégrale de Lebesgue), o a f1 [a,b[ dλ = lim + f1 [a,b[ dλ = b lim + a f(t) dt R +. Or, par défiitio, f est itégrable au ses de Lebesgue si et seulemet si cette limite est fiie, doc si et seulemet si f est itégrable au ses de Riema. De plus les itégrales sot les mêmes. Das le cas gééral, o sait que f est itégrable au ses de Lebesgue si et seulemet si f l est, doc si et seulemet si b a f(t) dt est absolumet covergete. Si c est le cas, écrivos f = f + f. O a f + f et f f doc f + et f sot itégrables das les deux ses et f + 1 [a,b[ dλ = d où le résultat par liéarité. b a f + (t) dt, et f 1 [a,b[ dλ = b a f (t) dt,

24 Chapitre 5 Théorèmes limites et applicatios 5.1 Lemme de Fatou Das le chapitre précédet, ous avos déjà établi u théorème limite fodametal : le théorème de covergece mootoe (ou théorème de Beppo Levi). Théorème Soit (f ) N ue suite croissate de M +. Alors f = lim f M + et f dµ = lim f dµ. + Toutefois, l hypothèse de croissace, très pratique puisqu elle assure l existece de la limite das R +, est iadaptée das bie des situatios. Nous avos besoi d u théorème valable pour ue suite de foctios géérique. Le prix à payer est que l o e sera plus assuré de l existece d ue limite. Par cotre la foctio lim if f est ecore défiie et c est elle qui remplacera avatageusemet la foctio lim f. Théorème (Lemme de Fatou). Si (f ) N est ue suite de foctios mesurables positives, alors lim if f dµ lim if f dµ. Démostratio. Posos g = lim if f. Par défiitio, g = lim if f k = sup if f k. + k k La foctio g = if k f k est ue foctio mesurable positive et la suite (g ) N coverge e croissat vers g. Le théorème de covergece mootoe assure doc : lim g dµ = lim if f dµ. D autre part, pour tout N, g f, d où, par croissace de l itégrale, g dµ f dµ. Le secod membre de cette iégalité a pas écessairemet de limite mais sa limite iférieure existe toujours. O obtiet doc (par passage à la limite iférieure ) : lim if N g dµ lim if f dµ. La limite iférieure du premier membre de l iégalité ci-dessus est e fait ue limite d après la première partie de la preuve, qui est rie d autre que l itégrale de la limite iférieure de la suite (f ) N. Cette remarque achève doc la preuve. 24

25 CHAPITRE 5. THÉORÈMES LIMITES ET APPLICATIONS Esembles et foctios égligeables Défiitio Soit (E, A, µ) u espace mesuré. (i) O dit qu ue partie N de E est égligeable pour µ (ou µ-égligeable) s il existe A A tel que N A et µ(a) = 0. (ii) O dit que la tribu A est complète pour µ si toute partie µ-égligeable appartiet à A. Défiitio Soit (E, A, µ) u espace mesuré. O dit qu ue propriété P sur E est vraie presque partout (e abrégé p.p. ou µ-p.p.) si l esemble des poits de E où elle est fausse est égligeable. Ue foctio f défiie sur E à valeurs réelles ou complexes est dite µ-égligeable si {f 0} est égligeable. Deux foctios f et g défiies sur E à valeurs das u même esemble F sot dites égales presque partout si {f g} est égligeable. O dit qu ue suite (f ) N de foctios défiies sur E à valeurs das C coverge vers f µ-presque partout s il existe u esemble µ-égligeable N tel que pour tout x / N, o ait lim f (x) = f(x). Le lemme suivat est très utile e pratique. Lemme (Iégalité de Markov). Soit f ue foctio mesurable positive sur (E, A). Alors pour tout λ > 0, o a µ({f λ}) 1 f dµ. λ Démostratio. Il suffit d itégrer la relatio λ1 {f λ} f qui est vraie puisque f est positive. Propositio Soit f ue foctio mesurable de (E, A) das R telle que f dµ < +. Alors f est fiie µ-presque partout. Démostratio. E effet, pour tout, o a 1 f dµ µ({ f }) µ({ f = + }). Comme f dµ est fii, e faisat tedre vers +, o obtiet µ({ f = + }) = 0. Remarque La réciproque de cette propositio est fausse : la foctio costate égale à 1 est fiie λ-p.p. mais est pas itégrable par rapport à la mesure de Lebesgue. Propositio Soit f ue foctio mesurable sur (E, A) à valeurs complexes. Alors f est égligeable si et seulemet si f dµ = 0. Démostratio. Supposos tout d abord que f est égligeable. Comme mi( f, ) 1 {f 0}, o a mi( f, ) dµ µ({f 0}) = 0, d où mi( f, ) dµ = 0 pour tout. D après le théorème de covergece mootoe, o a alors f dµ = lim mi( f, ) dµ = lim mi( f, ) dµ = 0. Réciproquemet, supposos que f dµ = 0. Alors, pour tout 1, o a ({ µ f 1 }) f dµ = 0.

26 CHAPITRE 5. THÉORÈMES LIMITES ET APPLICATIONS 26 L esemble { f 0} s écrit doc comme réuio déombrable d esembles de mesure ulle : { f 0} = { f 1 }. 1 Il est doc égalemet de mesure ulle. Propositio Soit (E, A, µ) u espace mesuré. (i) Soit f et g deux foctios mesurables positives telles que f g presque partout. Alors f dµ g dµ. (ii) Soit f et g deux foctios mesurables positives telles que f = g presque partout. Alors f dµ = g dµ. (iii) Soit f et g deux foctios mesurables complexes telles que f = g presque partout. Alors f est itégrable si et seulemet si g l est et, das ce cas, f dµ g dµ. Démostratio. Pour prouver (i), o écrit que l o itègre par rapport à µ : f dµ = f = f1 {f g} + f1 {f>g}, f1 {f g} dµ + f1 {f>g} dµ. Par hypothèse, f1 {f>g} est égligeable doc so itégrale est ulle. O a doc f dµ = f1 {f g} dµ. De même, o voit que g dµ = g1 {f g} dµ. Pour coclure, il suffit de remarquer que f1 {f g} g1 {f g}. Le poit (ii) se déduit de (i) par symétrie etre f et g. Démotros (iii). Si f = g µ-p.p., alors f = g µ-p.p., d où f dµ = g dµ par (ii). Par coséquet f L 1 C (µ) si et seulemet si g L1 C (µ). O obtiet la coclusio par égalité µ-p.p. des parties positives et égatives des parties réelles et imagiaires et e appliquat (ii). 5.3 Théorème de covergece domiée Théorème (de covergece domiée). Soit (f ) N ue suite de foctios mesurables sur (E, A) à valeurs das R ou C telle que : (i) (f ) N coverge µ-presque partout vers ue foctio f mesurable, (ii) il existe ue foctio g positive apparteat à L 1 R (µ) telle que 1, f (x) g(x) µ p.p. Alors les foctios (f ) N et f sot itégrables et lim f dµ = f dµ. O a même lim f f dµ = 0.

27 CHAPITRE 5. THÉORÈMES LIMITES ET APPLICATIONS 27 Démostratio. Supposos tout d abord que la covergece de (f ) N vers f ait lieu partout et que les iégalités (ii) soiet vraies pour tout x E. Posos g = 2g f f. Alors (g ) N est ue suite de foctios mesurables positives, et d après le lemme de Fatou, 2 g dµ = lim if g dµ lim if g dµ = 2 g dµ lim sup f f dµ. Puisque g dµ < +, o voit que lim sup f f dµ 0. O e déduit doc que lim f f dµ = 0. + Il e résulte que f dµ = lim f dµ. Passos à préset au cas gééral. Soit N A tel que, si x / N, lim f (x) = f(x) et µ(n) = 0. Choisissos de plus, pour tout N, u esemble N A tel que si x / N f (x) g(x) et µ(e ) = 0. Posos M = N ( N ) A. O a ecore µ(m) = 0. Posos h = f 1 M c et h = f1 M c. O a, pour tout x E et tout, lim h m(x) = h(x) et h (x) g(x). m + La première partie de la preuve assure doc que lim h h dµ = 0. Pour coclure, il suffit de remarquer que h = f µ-p.p. et h = f µ-p.p. Corollaire Soit (f ) N ue suite de foctios mesurables sur (E, A) à valeurs das R ou C telle que f dµ < +. Alors les foctios (f ) N sot itégrables, la série f coverge µ-p.p. et il existe f L 1 (µ) telle que f = f µ p.p., lim f f k dµ = 0, =1 k=1 f dµ = f dµ. Démostratio. Posos g = 1 f. D après le corollaire (itervertio série-itégrale pour des foctios positives), g dµ = f dµ < +. 1 =1 La foctio g état itégrable, elle est fiie µ-p.p. Posos { N = x E, + =1 f (x) = + C est u esemble égligeable de A, et si x / N, la série f (x) est absolumet covergete, doc covergete. Posos alors + f (x) si x / N, f(x) = =1 0 si x N. Cette foctio est mesurable comme limite simple de la suite (1 N c k=1 f k) N de foctios mesurables. De plus, comme }. x N c, f(x) + =1 f (x) = g(x),