Concours CCP, épreuve 1, filière PSI, 2007 PARTIE I : Les suites α et β

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1 Cocours CCP, épreuve, filière PS, 27 PARTE : Les suites α et β.. Étude de la suite α... α = ; α = ; α 2 = ; α 3 = 2 ; α 4 = Par récurrece immédiate, α est u etier relatif pour tout. Les ombres α et α sot etiers aturels et o motre par récurrece que α pour tout 2 : l iégalité est vraie pour = 2 et, si elle est vraie pour u etier 2 doé, alors.2. Étude de la suite β α + = ( + α + ( + ( + α 3 = β = ; β = ; β 2 = O a β = ( k!.2.3. β + ( + β = ( +! ( + = ; β 3 = 2 ; β 4 = 9. 2 et, pour tout k [[, ]], divise!, doc β Z. ( + ( k ( k = ( Les suites α et β ot le même premier terme α = β = et vérifiet la même relatio de récurrece x + = ( + x + ( +, doc α = β d après le pricipe de récurrece..3. Étude de ρ (.3.. La suite est décroissate et ted vers zéro, et ρ est le reste d ordre de la série! alterée (. Cette série vérifiat les hypothèses du critère spécial, o peut affirmer! que ρ est du sige du premier terme égligé ( + ( +!, doc est du sige de ( Toujours par le critère spécial des séries alterées, ρ est majoré e valeur absolue par le premier terme égligé, soit ρ ( +!, doc! ρ +. Motros par l absurde que l iégalité est stricte : si, pour u doé, o avait ρ = ( +!, soit ρ = ( + ( +!, o aurait alors ρ + =, c est-à-dire ρ +2 = ( + ( + 2!, mais ceci est absurde puisqu o doit aussi avoir ρ +2 ( + 3! O a e = ( k = β! + ρ, doc e! β =! ρ < + 2, doc β est l etier le plus proche de e!.4. Étude d ue foctio.4.. La foctio x y Cauchy y( = x x x x y = l équatio différetielle y = est cotiue sur l itervalle =] ; [, doc le problème de admet ue uique solutio sur cet itervalle. La résolutio de ( x y doe y = A exp ( l( x x = A e x x, puis la coditio iitiale impose A =. Fialemet, f(x = e x x.

2 .4.2. C est évidet!.4.3. O part de la relatio ( x f(x = e x et o dérive + fois par la formule de Leibiz : d + ( x f(x = ( + dx + e x, soit + [ + d k ] k dx k ( x f (+ k (x = ( + e x, ou ecore (seuls les termes pour k = et k = apportet ue cotributio : ( x f (+ (x ( + f ( (x = ( + e x E évaluat la relatio ci-dessus pour x =, o a f (+ ( (+f ( ( = ( +. Comme par ailleurs f ( ( = f( =, la suite ( f ( ( a le même premier terme et N vérifie la même relatio de récurrece que la suite β, doc β = f ( ( pour tout etier aturel. PARTE : La suite γ Pour abréger les otatios, posos E = [[, ]]. Pour la culture, les permutatios de S sas poit fixe sot appelées déragemets... O a S = {id E }, doc γ =. Puis S 2 = {id E2 ; ( 2 }, le seul élémet de S 2 sas poit fixe est la traspositio ( 2, doc γ 2 =..2. Le groupe symétrique S 3 cotiet 3! = 6 élémets qui se répartisset de la faço suivate : - l idetité id E3 qui a 3 poits fixes ; - les trois traspositios ( 2, ( 3, ( 2 3 qui ot chacue u poit fixe ; - les deux cycles de logueur 3 (ou 3-cycles otés ( 2 3 et ( 3 2 qui sot sas poit fixe. Doc γ 3 = Ce sot les traspositios ; elles sot au ombre de = 6 puisqu il faut choisir 2 quels sot les deux élémets parmi 4 que l o permute. Listos-les : ( 2, ( 3, ( 4, ( 2 3, ( 2 4, ( Ce sot les 3-cycles : ils sot au ombre de 8 puisqu il y a 4 faços possibles de choisir le support (esemble de 3 élémets parmi 4 et, le support état choisi, il y a deux ses possibles. E voici ue liste : ( 2 3, ( 3 2, ( 2 4, ( 4 2, ( 3 4, ( 4 3, ( 2 3 4, ( O a Card(S 4 = 4! = 24. Aucue permutatio das S 4 e peut avoir trois poits fixes exactemet (quelle serait l image du seul poit o fixe?, oublios pas l idetité id E4 qui a 4 poits fixes. Par soustractio, le ombre d élémets de S 4 sas poit fixe est γ 4 = = 9. Remarque. Les déragemets das S 4 sot : - les cycles de logueur 4, il y e a 6 :

3 ( ; ( ; ( ; ( ; ( ; ( ; - les produits (commutatifs de deux traspositios à supports disjoits, il y e a 3 :.4. Relatio etre les γ k.4.. Card(S =! ( 2 ( 3 4 ; ( 3 ( 2 4 ; ( 4 ( Pour déombrer ( les élémets de S ayat exactemet k poits fixes, o raisoe de la faço suivate : il y a faços de choisir les k poits fixes parmi les élémets de E k et, ceux-ci état choisis, la permutatio cosidérée iduit u déragemet sur l esemble des k poits restats (γ k ( choix possibles. Le ombre d élémets de S ayat exactemet k poits fixes est doc γ k k Le ombre de poits fixes d u élémet de S état évidemmet u etier etre et, il résulte de la questio précédete que! = Card(S = γ k k = γ k k = γ k k par symétrie des coefficiets biomiaux, puis réidexatio O a γ = γ!! ; or, la série etière x a pour rayo de covergece. Par comparaiso, la série etière γ! x a u rayo de covergece au mois égal à Les foctios g et x e x sot développables e série etière sur ], [ ; il e est doc de même de la foctio produit h et so développemet e série etière est le produit de Cauchy des deux précédets, à savoir h(x = = = ( + p= = = γ ( + p p! xp ( x. q= γ k ( x q = q! x = ( = p+q= = ( γ p x p! q! ( k γ k x!.5.3. O viet de motrer que, pour tout x ] ; [, o a h(x =. O a doc x g(x = e x, soit g = f sur ] ; [. O a alors lim g(x = +, doc le rayo de x x

4 covergece R de la série etière γ! x est exactemet : si o avait R >, alors g serait cotiue sur ] R; R[ et e pourrait avoir ue limite à gauche ifiie au poit O a alors γ = g ( ( = f ( ( = β (questio.4.4., doc β = γ et.5.6. O sait que γ = β est l etier le plus proche de e!, o a doc e! 2 < γ < e! + 2, d où l o tire facilemet que γ e!, ou ecore γ = e γ. Les séries umériques et ( γ e peuvet coverger!!! lim + puisque leur terme gééral e ted pas vers zéro. L esemble de défiitio de la foctio g est doc exactemet ] ; [ Le ombre γ 8 = β 8 est l etier le plus proche de 8! e. Ue calculatrice (autorisée à cette épreuve doe 8! e 4832, 899. O a doc γ 8 = PARTE : Sur δ = e! β.. La série v... O a J e x dx = e +, doc lim J = (théorème d ecadremet La suite (J est décroissate (e effet, pour tout x [, ], o a x + e x x e x, doc J + J et ted vers zéro ; la série v coverge doc par applicatio du critère spécial des séries alterées..2. Estimatio itégrale de δ.2.. C est la formule de Taylor avec reste itégral dot je rappelle l éocé : si f est ue foctio de classe C + sur u segmet [a, b], o a alors (b a k b f(b = f (k (b t (a + f (+ (t dt.! O peut aussi démotrer la relatio demadée par récurrece sur e effectuat ue itégratio par parties O applique la formule ( avec x =, o multiplie par!, o fait le chagemet de variable u = + t das l itégrale et o assaisoe avat de servir : e! = β + O a doc δ = e v. ( t e t dt = β + a ( u e u du = β + ( + e u e u du = β + e v.

5 .3. Sur la série δ La série v est covergete (..2., il e est doc de même de la série δ. O a δ = e J et ue itégratio par parties doe J = e J +. Comme o sait + que lim J =, o e déduit l équivalet J e +, puis δ, la série δ est doc divergete..4. Sur la série δ.4.. O a δ ( + 2 (cf...., doc la série δ coverge La foctio ϕ : x e x l( x est cotiue sur = [, [, positive, et ϕ(x e l( x, cette derière foctio état itégrable sur [, [ puisque x l x x est itégrable sur ], ] d après le cours. La foctio ϕ est doc aussi itégrable sur [, [, d où la covergece de l itégrale impropre A Sur = [, [, o a ϕ = = ϕ avec ϕ (x = x e x. Les foctios ϕ sot cotiues et itégrables sur et la série ϕ coverge simplemet sur vers la foctio cotiue ϕ ; par ailleurs, la série ϕ = ϕ = J = e δ est covergete doc (théorème d itégratio terme à terme la foctio ϕ est itégrable sur (o le sait déjà et ( + δ A = ϕ = ϕ = ϕ = e. Doc = δ = e A. = =.4.3. La covergece (absolue de la série (!( + 2 Avec le chagemet de variable t = x, o a ( + A = e e t ( t l t dt = e! = = est immédiate. l t dt. E posat u (t = ( t l t, chaque foctio u est cotiue et itégrable sur ], ], la!

6 série u coverge simplemet sur ], ] vers ue foctio cotiue sur ], ] et u =! t l t dt =! ( [ t + l t ] t dt =!( + 2 (terme gééral d ue série covergete doc le théorème d itégratio terme à terme permet d affirmer que ( + ( A = e u (t dt = e u (t dt = e!( + 2. Doc = = = (!( + 2 = δ e A =. =.4.4. l s agit de trouver ue valeur approchée à = + 6 près de la somme S = = δ = (. E utilisat cette derière expressio, o voit que c est la somme d ue!( + 2 = série alterée vérifiat les hypothèses du critère spécial. l suffit doc (majoratio e valeur absolue du reste d ordre par le terme d idice + de trouver u etier tel que ( +! ( + 2 2, c est vérifié pour = 3 (il y alors égalité. E posat 6 3 ( s 3 =!( + 2, alors s 3 est u ombre ratioel tel que S s 3. O explicite efi s 3 = = 229 = O a doc la répose avec 6 = 288 p q = Si o demade à MAPLE ue valeur approchée (evalf de la somme S, o trouve (avec dix décimales et o vérifie que S p.467 q 685 < 6.