Partie commune (3 heures)

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1 TS Contrôl du mardi févrir (4 hurs) Parti commun ( hurs) ) Voici ls résultats fournis par l algorithm modifié, arrondis au millièm. n u n,697,674,658,647,68,6,66,58,578,578,577 I. ( points) Parti A On considèr la fonction f : ln ( + ) défini sur l intrvall I = ] ; + [. ) Calculr f '(). ) Drssr l tablau d variation d f sur I sans ls limits. En déduir qu pour tout appartnant à I on a : f () (). Parti B Pour tout ntir strictmnt positif n, on pos ) On considèr l algorithm suivant. un... ln n. n Variabls : i t n sont ds ntirs naturls u st un rél Entré : Saisir n Initialisation : u prnd la valur Traitmnt : Pour i allant d à n Fair u prnd la valur u i FinPour Sorti : Affichr u Donnr, sans pliqur ni détaillr ls calculs, la valur act affiché par ct algorithm lorsqu l utilisatur ntr la valur n =. La programmation sur calculatric n st pas dmandé. ) Rcopir t complétr l algorithm précédnt afin qu il affich la valur d u n lorsqu l utilisatur ntr la valur d n. À l aid d c tablau, formulr ds conjcturs sur l sns d variation d la suit ( u n ) t son évntull convrgnc. Parti C ) Démontrr qu pour tout ntir strictmnt positif n, on a : un un f n. En déduir l sns d variation d la suit u. ) a) Soit k un ntir strictmnt positif. En appliquant l inégalité () à k, démontrr qu ln (k + ) ln k k. n b) Écrir ls inégalités obtnus n rmplaçant succssivmnt k par,,, n t démontrr qu pour tout ntir strictmnt positif n, on a : ln (n + ).... n c) En déduir qu pour tout ntir strictmnt positif, on a : u n. ) Démontrr qu la suit ( u n ) st convrgnt. On n dmand pas d calculr sa limit. II. (8 points) L plan compl st rapporté à un rpèr orthonormé dirct (O, u, v ). iz i À tout point M du plan d affi z, on associ l point M ' d affi z '. z On appll A, B t C ls points d affis rspctivs 4 + i, 4 i, i. Aucun figur n st dmandé sur la copi. ) Détrminr ls affis ds points A', B', C' associés au points A, B t C. On donnra ls résultats sous form algébriqu simplifié. L détail ds calculs n st pas dmandé sur la copi. ) Vérifir qu A', B', C' appartinnnt à un crcl ' dont l cntr st l point d affi i t dont on détrminra l rayon. ) Soit S l point d affi. On not l crcl d cntr S t d rayon 5. a) Soit M un point d affi z appartnant au crcl. Démontrr qu l on a z ' i 5. b) En déduir à qul nsmbl appartinnnt ls points M ' associés au points M du crcl.

2 III. (7 points) Soit ABCD un tétraèdr. On not I l miliu d [AB], J l miliu d [CD], K l point défini par l égalité BK BC t L l point défini par l égalité AL AD où désign un rél fié. On rapport l spac au rpèr (A, AB, AC, AD ). Aucun figur n st dmandé sur la copi. ) Détrminr ls coordonnés ds points I, J, K, L dans c rpèr (n justifiant brièvmnt). ) Démontrr à l aid ds coordonnés qu l on a : IL IK IJ (). Qu put-on n déduir pour ls points I, J, K, L? Justifir la répons. ) On not M l miliu d [KL]. Démontrr à l aid d l égalité () sans utilisr ls coordonnés qu l point M appartint à la droit (IJ). V. (6 points) On justifira chaqu résultat avc précision. ) On considèr la fonction f : ln ( + ). Détrminr lim f ) On considèr la fonction g :. Détrminr lim g.. ) On considèr la fonction h :. Détrminr lim h. IV. (7 points) Parti A Un nquêt portant sur un grand nombr d clints d un grand surfac spécialisé n informatiqu a montré qu 8 % ds clints avaint bénéficié ds consils d un vndur. D plus, 7 % ds clints qui ont bénéficié ds consils d un vndur ont ffctué un achat alors qu % sulmnt ds clints qui n ont pas bénéficié ds consils d un vndur ont ffctué un achat. Donnr ls résultats ds du qustions d ctt parti sans justifir. ) On intrrog au hasard un ds clints sur lsquls a porté l nquêt t on admt qu il y a équiprobabilité. Qull st la probabilité qu il ait ffctué un achat? Donnr l résultat sous form décimal. ) On intrrog au hasard un ds clints qui ont ffctué un achat t on admt qu il y a équiprobabilité. Qull st la probabilité qu il ait bénéficié ds consils d un vndur? Donnr l résultat sous la form d un fraction irréductibl. Parti B L magasin annonc dans sa publicité qu 9 % ds clints sont satisfaits. Lors d un nquêt auprès d 54 d ss clints, 55 s sont déclarés satisfaits. ) Sous l hypothès p =,9, détrminr un intrvall d fluctuation d la fréqunc ds clints satisfaits au suil d 95 % (écrir ls borns sous form fractionnair). Qu put-on n déduir sur la publicité d ctt grand surfac? ) Mêm qustion avc un suil d 99 %.

3 I. (6 points) Parti pour ls élèvs n ayant pas choisi la spécialité mathématiqus ( hur) Pour tout l rcic on pourra utilisr l égalité suivant valabl pour tout rél : Résoudr dans ls équations suivants : () ln ln ln () ln ln ln ln (). III. ( points) On désign par f la fonction défini sur par f ( ). On not C sa courb rprésntativ dans un rpèr orthonormé O, i, j ) Calculr f ( ) f ( ) pour tout nombr rél. ) Détrminr ls limits d f n + t n. Intrprétr graphiqumnt ls résultats obtnus. ) Drssr l tablau d variations d f complt avc ls limits. 4 ) Fair un tablau d valurs pour allant d à avc un pas d,. Tracr C ainsi qu ss asymptots. 5 ) Détrminr un équation d la tangnt T à la courb C au point A d absciss. Tracr T sur l graphiqu précédnt. (unité graphiqu : 4 «gros» carrau). II. ( points) On dmand d répondr sans justifir ls réponss. ) Pour tout rél strictmnt positif, parmi ls cinq prssions suivants, qulls sont clls qui sont égals? ln ln B ln ln A C ln ln D ln ) Parmi ls quatr réls suivants, détrminr clui qui st différnt ds autrs. ln 9 7 ln A ln B ln C E ln ln lnln D ln lnln 4

4 Parti pour ls élèvs ayant choisi la spécialité mathématiqus ( hur) I. (6 points) Soit a, b, c trois ntirs naturls. On suppos qu a t b sont prmirs ntr u. L but d l rcic st d démontrr qu PGCD(a ; bc) = PGCD (a ; c). ) Soit d un divisur commun à a t à bc. Démontrr qu d st un divisur d PGCD(ac ; bc). En déduir qu d st un divisur commun à a t à c. ) Réciproqumnt, démontrr qu si d st un divisur commun à a t à c, alors d st un divisur commun à a t à bc. ) Conclur. II. (4 points) On pos a n t b nn où n st un ntir naturl supériur ou égal à. On pos d = PGCD(a ; b). ) Démontrr qu a t n sont prmirs ntr u. ) En déduir qu l on a : d = PGCD(a ; n ). On pourra utilisr l résultat d l rcic I. ) Donnr un combinaison linéair à cofficints ntirs d a t n indépndant d n. En déduir ls valurs possibls d d. 4 ) Détrminr la valur d d suivant la parité d n.

5 I. Parti A Corrigé du contrôl du -- Parti B un )... ln n (n * ) n f : ln ( + ) défini sur l intrvall I = ] ; + [ ) Calculons f '(). I ) f '( ) Drssons l tablau d variation d f sur I. + Sign d + Variabls : i t n sont ds ntirs naturls u st un rél Entré : Saisir n Initialisation : u prnd la valur Traitmnt : Pour i allant d à n Fair u prnd la valur u i FinPour Sorti : Affichr u Sign d + déno + + f Sign d Variations d f f ' + Déduisons-n qu pour tout appartnant à I on a : f () (). Donnons la valur act affiché par ct algorithm lorsqu l utilisatur ntr la valur n =. On déroul l algorithm pour n =. On obtint 6 n sorti. ) Rcopions t complétons l algorithm précédnt afin qu il affich la valur d n u lorsqu l utilisatur ntr la valur d n. D après l tablau d variation, f admt un maimum global sur I égal à (obtnu pour = ). Donc I f ().

6 Variabls : i t n sont ds ntirs naturls u st un rél Entré : Saisir n Initialisation : u prnd la valur Parti C ) Démontrons qu pour tout ntir strictmnt positif n, on a : un un f n. un un... ln n... ln n n n n ) Traitmnt : Pour i allant d à n Fair u prnd la valur u i FinPour v prnd la valur u ln n Sorti : Affichr u Or ln n ln n n ln n ln n n f ln n n n n ln n n ln n ln n n n u n,697,674,658,647,68,6,66,58,578,578,577 Formulons ds conjcturs sur l sns d variation d la suit ( u ) t son évntull convrgnc. n D après l tablau, on put conjcturr qu : - la suit ( u n ) st décroissant ; - la suit ( u n ) convrg. Ds élèvs ont écrit qu la suit ( u n ) st décroissant pour n compris ntr 4 t, c qu l on puyt pas vraimnt voir car il maqu ds valurs ntr t, ni ntr t. La conjctur st formulé d un manièr global. D mêm crtains, élèvs ont dit qu l on pouvait formulr st qu la limit d la suit st,577 (c qui st fau) ou qu la limit d la suit st nviron égal à,577 (c qui st n fft plausibl). Déduisons-n l sns d variation d la suit u. D après (), n *. n Donc n * f. n Donc n * u n u. n n On n déduit qu la suit u st strictmnt décroissant à partir d l indic. ) a) k * Démontrons qu ln (k + ) ln k k. Appliquons l inégalité () à k (on a k ). On a : f k. On a donc ln. k k D où ln (k + ) ln k k. n

7 b) Écrivons ls inégalités obtnus n rmplaçant succssivmnt k par,,, n t démontrr qu pour tout ntir strictmnt positif n, on a : ln (n + ).... n k = ln ln k = ln ln k = ln 4 ln k = n ln (n + ) ln n En ajoutant touts ls inégalités mmbr à mmbr, on obtint : soit : ln (n + ).... n ln (n + ) ln... n II. iz i À tout point M du plan d affi z, on associ l point M ' d affi z '. z A(4 + i) B(4 i) C( i) ) Détrminons ls affis ds points A', B', C' associés au points A, B t C. z A' i 4 i i 4 i 4i i 4 i i 9 i i 9 i i i z B' i 4 i i 4 i 4i i i i i i i i i 4i 8 9i 4i i 4 4 5i 5i i 4 i z C' i i i i i i i i i i i 4i 4 5i 5 i 4 c) Déduisons-n qu pour tout ntir strictmnt positif, on a : u n. * La fonction ln st strictmnt croissant sur donc ln n < ln (n + ). Pa conséqunt : ln n... d où... ln n. n n L point A' a pour affi 4 i. L point B' a pour affi 4 + i. L point C' a pour affi 4 + i. D où n * u n. ) Vérifions qu A', B', C' appartinnnt à un crcl ' ayant pour cntr (i). ) Démontrons qu la suit ( u n ) st convrgnt. On a démontré qu la suit ( u n ) était strictmnt décroissant t minoré par. Donc d après l théorèm sur ls suits strictmnt décroissants t minorés, on put dir qu la suit ( u n ) convrg. Sa limit st applé la constant d Eulr t st noté assz souvnt. Ctt constant st nviron égal à,577. On n sait malhurusmnt rin sur c nombr, ni s il st rationnl, ni s il st irrationnl. A' za' z 4 i i 4 i 4 5 B' z 4 i i 4 i 5 B' C' z C' z 4 i i 4 i 5 z On n déduit qu A', B', C' appartinnnt au crcl ' d cntr (i) t d rayon 5. ) Dans tout ctt qustion, on n rpass pas par l écritur algébriqu (on n pos pas z iy avc t y réls). On voit mal n fft c qu un tll écritur apportrait pour traitr ls qustions. : crcl d cntr S() t d rayon 5

8 a) M(z) Démontrons qu z ' i 5. M(z) donc z 5 iz i z ' i i z iz 5 i iz i z z b) Déduisons-n à qul nsmbl appartinnnt ls points M' associés au points M du crcl. z ' i 5 M ' 5 I BK BC (coordonnés du miliu d un sgmnt) K B C B d où yk yb yc yb z z z z donc K K B C B AL AD d où AL AB AC AD On n déduit qu L. K soit yk zk J y z K K K (idm) On n déduit qu ls points M ' associés au points M du crcl appartinnnt au crcl '. ) Démontrons à l aid ds coordonnés qu l on a : IL IK IJ (). III. ABCD : tétraèdr I : miliu d [AB] J : miliu d [CD] BK BC AL AD On rapport l spac au rpèr (A, AB, AC, AD ). ) Détrminons ls coordonnés ds points I, J, K, L dans c rpèr. IJ IK IJ IL donc IL IK IJ (). IL A B C D Déduisons-n un propriété pour ls points I, J, K, L. D après l égalité (), ls vcturs IJ, IK t IL sont coplanairs. Par suit ls points, I, J, K, L sont alignés.

9 ) M : miliu d [KL] Démontrons qu l point M appartint à la droit (IJ). () donn succssivmnt : IL IK IJ IM ML IM MK IJ IM ML MK IJ IM IJ () D après (), ls vcturs IM t IJ sont colinéairs. On n déduit qu l point M appartint à la droit (IJ). ) Calculons P (V / A). P V / A P 4 P V / A 5 V P A A,8, 7, Parti B III. Parti A Un nquêt portant sur un grand nombr d clints d un grand surfac spécialisé n informatiqu a montré qu 8 % ds clints avaint bénéficié ds consils d un vndur. D plus, 7 % ds clints qui ont bénéficié ds consils d un vndur ont ffctué un achat alors qu % sulmnt ds clints qui n ont pas bénéficié ds consils d un vndur ont ffctué un achat. A : «l clint a ffctué un achat» V : «l clint a bénéficié ds consils d un vndur» ) Calculons P (A). Ls événmnts V t V constitunt un systèm complt d événmnts. Donc d après la formul ds probabilités totals, on a : A A V A V PV PA/V PV PA/V P P P,8,7,,,6 L magasin annonc dans sa publicité qu 9 % ds clints sont satisfaits. Lors d un nquêt auprès d 54 d ss clints, 55 s sont déclarés satisfaits. ) Sous l hypothès p =,9, détrminons un intrvall d fluctuation d la fréqunc ds clints satisfaits au suil d 95 %. Soit X la variabl aléatoir qui suit la loi binomial B (54 ;,9). On chrch l plus ptit ntir naturl a tl qu P (X a) >,5. On chrch l plus ptit ntir naturl b tl qu P (X b),975. a = 484 b = Donc un intrvall d fluctuation d la fréqunc ds clints satisfaits au suil d 95 % st ; Il n y a pas bsoin d simplifir ls fractions. La fréqunc ds clints satisfaits obsrvé, 55, appartint à l intrvall d fluctuation au suil d 95 % donc 54 on n rjtt pas l annonc du magasin au risqu d 5 % (on n put pas pnsr qu la publicité st mnsongèr). ) Sous l hypothès p =,9, détrminons un intrvall d fluctuation d la fréqunc ds clints satisfaits au suil d 99 %. On chrch l plus ptit ntir naturl a ' tl qu P (X a ') >,5. On chrch l plus ptit ntir naturl b ' tl qu P (X b '),995. a ' = 48 b ' = 5

10 48 5 Donc un intrvall d fluctuation d la fréqunc ds clints satisfaits au suil d 99 % st ; La fréqunc ds clints satisfaits obsrvé, 55, appartint à l intrvall d fluctuation au suil d 99 % donc 54 on n rjtt toujours pas l annonc du magasin au risqu d %. Ls du qustions dans ct ordr n avaint pas trop d intérêt ; il aurait miu valut intrvrtir l ordr. En fft, la répons à la prmièr qustion donnait tout d suit la répons à la duièm qustion. ) h : Détrminons lim h h. La limit d un fonction rationnll n + st égal au quotint simplifié d ss monôms d plus haut dgré donc lim h lim lim. V. ) f : ln ( + ) Détrminons lim f. X lim X lim ln X lim donc par limit d un composé, f. ) g : Détrminons lim g On opèr un changmnt d variabl. X X X. g X X lim X X (limit d référnc) X Donc lim g.

11 I. Corrigé d la parti pour ls élèvs n ayant pas choisi la spécialité mathématiqus Résultat admis : Résolvons dans l équation (). On pos X. () s écrit X X X ('). (') X X X Or X ou X ou X X. S ; ; Résolvons dans l équation ln ln ln ln Conditions d istnc : On doit avoir : (toujours vrai) 5 5 ou 5 (). Donc () (impossibl) ou ou ou ln S ; ln Résolvons dans l équation On pos X ln. ln ln ln (). On résout l équation () dans l intrvall () ln ln ou ou 5 ;. () s écrit X X X ('). Suls ls solutions t convinnnt. (') X X X X ou X ou X S ; Or X ln. Donc () ln ou ln ou ln ou ou

12 II. ) Pour tout rél strictmnt positif, parmi ls cinq prssions suivants, qulls sont clls qui sont égals? ln ln B ln ln A C ln ln Ls suls prssions égals sont ls prssions C t E. C E D ln E ln ln III. f ( ) C : courb rprésntativ dans un rpèr orthonormé O, i, j ) Calculr f ( ) f ( ) pour tout nombr rél. ) Parmi ls quatr réls suivants, détrminr clui qui st différnt ds autrs. ln 9 7 A ln ln 7 ln = 8 ln 9 7 A ln ln ln 9 ln ln B C lnln D ln lnln 4 ) f ( ) f ( ) = ln ln9 B 9 C lnln lnln 4 ln 6 ln Détrminons ls limits d f n + t n. lim lim donc par limit d un quotint f La limit n + fait apparaîtr un FI. On st obligé d transformr l écritur d f (). f ( ) lim. D ln 8 lim donc par limit d un quotint lim lim f. L rél B st l sul différnt ds autrs.

13 Intrprétons graphiqumnt ls résultats obtnus. C admt l a ds abscisss pour asymptot horizontal n - t la droit d équation y = pour asymptot n +. ) Drssons l tablau d variations d f complt avc ls limits. On trac la droit asymptot à C. T f '( ) A O + Sign d f ' + 4 ) Traçons C. Variations d f 5 ) Détrminons un équation d la tangnt T à la courb C au point A d absciss. T a pour équation y f ' f soit y. 4,9,8,7,6,5,4,,, f (),,,4,5,7,8,,,,5,9,8,7,6,5,4,,, f (),7,9,,,5,8,4,4,45,48,,,,4,5,6,7,8,9 f (),5,5,55,57,6,6,65,67,69,7,,,,4,5,6,7,8,9 f (),7,75,76,78,8,8,8,85,86,87,88

14 I. Parti pour ls élèvs ayant choisi la spécialité mathématiqus ( hur) (a, b, c) PGCD(a ; b) = L but d l rcic st d démontrr qu PGCD(a ; bc) = PGCD (a ; c). ) Soit d un divisur commun à a t à bc. Démontrons qu d st un divisur d PGCD(ac ; bc). d st un divisur commun à a t à bc. Donc d st un divisur commun à ac t à bc. Par suit, d st un divisur d lur PGCD. Donc d PGCD(ac ; bc). Déduisons-n qu d st un divisur commun à a t à c. PGCD(ac ; bc) = c PGCD(a ; b) = c car a t b sont prmirs ntr u Donc d divis c. D plus, d divis a par hypothès. On n déduit qu d st un divisur commun à a t à c. ) Démontrons qu si d st un divisur commun à a t à c, alors d st un divisur commun à a t à bc. Considérons un ntir d divisur commun à a t à c. Démontrons qu alors d st un divisur commun à a t à bc. d c donc d bc. d a par hypothès Donc d st un divisur commun à a t à bc. ) Concluons. On a démontré qu : II. a n t b nn d = PGCD(a ; b). où n st un ntir naturl supériur ou égal à. ) Démontrons qu a t n sont prmirs ntr u. n n n. On a Comm t n sont ds ntirs rlatifs, on n déduit d après l théorèm d Bzout qu a t n sont prmirs ntr u. ) Déduisons-n qu l on a : d = PGCD(a ; n ). d = PGCD(a ; b) = PGCD n ; nn = PGCD(a ; n ) (on utilis l résultat d l rcic I car a t n sont prmirs ntr u) ) Donnons un combinaison linéair à cofficints ntirs d a t n indépndant d n. a n Déduisons-n ls valurs possibls d d. On sait qu d = PGCD(a ; n ). Donc d divis tout combinaison linéair à cofficints ntirs d a t d n. En particulir, d divis lur différnc donc d divis. Comm d > on n déduit qu d = ou d =. 4 ) Détrminons la valur d d suivant la parité d n. Si n st pair, alors n st pair donc n t n sont impairs donc n st pas un divisur commun d a t n. On n déduit qu d =. Si n st impair, alors n st impair donc n t n sont pairs donc st un divisur commun d a t n. On n déduit qu d =. d un divisur commun à a t à bc si t sulmnt si d st un divisur commun à a t c. Donc l nsmbl ds divisurs communs à a t à bc st égal à l nsmbl ds divisurs communs à a t c. Ls du nsmbls ont donc l mêm plus grand élémnt. On n déduit qu PGCD(a ; bc) = PGCD (a ; c).