Nombres complexes. Chapitre 2. Objectifs. Plan

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1 Chapitre 2 Nombres complexes Objectifs Connaître une définition des complexes, une interprétation géométrique. Savoir faire des calculs sur les complexes et résoudre les équations du second degré. Connaître les notions de conjugaison, de module et d argument d un complexe. Savoir calculer les racines n-ièmes d un complexe. Connaître la fonction exponentielle complexe. Connaître les applications géométriques : affixes, distances, angles, transformations (similitudes directes)... Plan 2 Nombres complexes 9 I) Construction de l ensemble des complexes ) Définition ) Opérations sur les complexes ) Notation algébrique des complexes II) Module d un nombre complexe ) Conjugué d un nombre complexe ) Module d un complexe ) Équation du second degré III) Nombres complexes de module ) Le groupe unité ) Notation exponentielle ) Formules d Euler et de Moivre IV) Argument d un nombre complexe ) Forme trigonométrique ) Exponentielle complexe ) Racines n-ièmes d un nombre complexe V) Représentation géométrique des complexes, applications ) Affixe

2 10 Chapitre 2 : Nombres complexes 2) Distances ) Angles orientés ) Transformations du plan complexe VI) Annexe ) Notion de corps ) Morphisme de corps ) Injection (ou application injective) ) Surjection (ou application surjective) ) Bijection (ou application bijective) ) Notion de groupe VII) Exercices I) Construction de l ensemble des complexes 1) Définition Définition 2.1 Un nombre complexe est un couple de réels. L ensemble des nombres complexes est donc l ensemble R 2. On peut alors écrire C = {(x, y) / x, y R}, ou encore, z C, x, y R, z = (x, y), de plus les réels x et y sont uniques. Le réel x est appelé partie réelle de z, noté Re(z), et le réel y est appelé partie imaginaire de z, noté Im(z). 2) Opérations sur les complexes Nous allons définir dans C, deux opérations (ou lois de composition internes), une addition et une multiplication. Soient z = (x, y) et z = (x, y ) deux complexes. On définit la somme z + z en posant : z + z = (x + x, y + y ). On vérifie que cette loi possède des propriétés analogues à celles de l addition des réels, à savoir : l associativité : z, z, z C, (z + z ) + z = z + (z + z ). la commutativité : z, z C, z + z = z + z. il y a un élément neutre qui est le complexe (0, 0) : z C, z + (0, 0) = (0, 0) + z = z. tout complexe z possède un opposé (noté z) : z = (x, y) C, z = ( x, y) et z + ( z) = ( z) + z = (0, 0). On définit le produit z z (ou plus simplement zz ), en posant z z = (xx yy, xy + x y). On vérifie que cette loi possède des propriétés analogues à celles de la multiplication des réels, à savoir : l associativité. la commutativité.

3 Construction de l ensemble des complexes 11 existence d un élément neutre, c est le complexe (1, 0). tout complexe z non nul (ie z (0, 0)) admet un inverse (noté z 1 ou 1 ), et si z = (x, y), z alors : z 1 x = ( x 2 + y 2, y x 2 + y 2 ) et z z 1 = z 1 z = (1, 0). distributivité sur l addition : z, z, z C, z (z + z ) = z z + z z. On résume l ensemble des propriétés de ces deux lois, on disant que (C, +, ) est un corps commutatif. On remarquera que (R, +, ) et (Q, +, ) sont également deux corps commutatifs. 3) Notation algébrique des complexes théorème 2.1 Plongement de R dans C. La fonction f : R C, définie par x R, f(x) = (x, 0), est un morphisme de corps. En identifiant tout réel x avec son image f(x) (ie (x, 0)), on peut considérer que R est inclus dans C. On dit que l on a plongé R dans C et on dira dorénavant que R est un sous - corps de C. Par exemple, le complexe (1, 0) sera noté simplement 1 car (1, 0) = f(1), de même, le complexe (0, 0) est noté simplement 0. Définition 2.2 Les complexes de la forme (0, y) sont appelés imaginaires purs, en particulier, le complexe (0, 1) est noté i. On pose donc i = (0, 1). L ensemble des imaginaires purs est noté ir. théorème 2.2 On a l égalité remarquable i 2 = 1. De plus tout complexe z s écrit sous la forme z = x + iy où x est la partie réelle de z et y la partie imaginaire. C est la notation algébrique de z. Quelques propriétés : Re(z) = Re(z ) a) z = z et Im(z) = Im(z ) b) z R Im(z) = 0.. c) z ir Re(z) = 0. d) Re(z + z ) = Re(z) + Re(z ) et Im(z + z ) = Im(z) + Im(z ). e) Si α est un réel, alors Re(αz) = αre(z), et Im(αz) = αim(z). f) Formule du binôme de Newton 1 : n n z, z C, n N, (z + z ) n = C k nz k z n k = C k nz n k z k. 1 NEWTON Isaac ( ) : mathématicien et physicien anglais.

4 12 Chapitre 2 : Nombres complexes II) Module d un nombre complexe 1) Conjugué d un nombre complexe Définition 2.3 Soit z = x + iy un complexe, on appelle conjugué de z, le complexe noté z et défini par z = x iy. On a donc Re(z) = Re(z) et Im(z) = Im(z). théorème 2.3 Soient z, z C, on a : i) z + z = z + z ii) zz = zz iii) z = z. À connaître : z + z = 2Re(z); z z = 2iIm(z); z R z = z; z est un imaginaire pur ssi z = z. 2) Module d un complexe Soit z = x + iy un complexe, on a z z = x 2 + y 2 et cette quantité est un réel positif. Définition 2.4 Soit z C, on appelle module de z, le réel positif noté z et défini par : z = zz. Propriétés du module : a) z = 0 z = 0. b) Re(z) z et Im(z) z. c) Si z est réel, alors son module coïncide avec sa valeur absolue. d) zz = z z, en particulier, n N, z n = z n (ceci reste valable pour n Z si z 0). e) z = z. f) z z z z z + z (inégalité triangulaire). g) Pour mettre le complexe z z sous forme algébrique, il suffit de multiplier en haut et en bas par z. théorème 2.4 Soient z et z deux complexes non nuls, z + z = z + z ssi il existe un réel strictement positif α tel que z = αz.

5 Nombres complexes de module ) Équation du second degré théorème 2.5 Soit a C, l équation z 2 = a admet dans C deux solutions opposées (toutes deux nulles lorsque a = 0). théorème 2.6 Soient a, b, c C avec a 0, l équation az 2 + bz + c = 0 admet deux solutions complexes qui sont z 1 = b + δ et z 2 = b δ avec δ C tel que δ 2 = = b 2 4ac (discriminant). De plus, 2a 2a lorsque les coefficients a, b, c sont réels et que le discriminant b 2 4ac est strictement négatif, ces deux solutions sont complexes non réelles et conjuguées. La somme et le produit de ces deux solutions, sont donnés par les relations : z 1 + z 2 = S = b a et z 1 z 2 = P = c a. De plus on a la factorisation : z C, az2 + bz + c = a(z z 1 )(z z 2 ). III) Nombres complexes de module 1 1) Le groupe unité Définition 2.5 On note U l ensemble des complexes de module 1 : U = {z C / z = 1}, c est une partie de C. Il est facile de vérifier que l ensemble U : est stable pour la multiplication : z, z U, zz U. est stable pour le passage à l inverse : z U, z 0 et z 1 U. contient 1. De plus, la multiplication dans U est associative (elle l est dans C), on dit alors que (U, ) est un groupe multiplicatif. Comme la multiplication est en plus commutative, on dit que (U, ) est un groupe abélien (ou commutatif), ce groupe est parfois appelé groupe unité de C. 2) Notation exponentielle Notation : Pour tout réel x, on pose e ix = cos(x) + i sin(x). On a alors les propriétés suivantes : x R, e ix = cos( x) + i sin( x) = cos(x) i sin(x) = e ix. x R, e ix = cos(x) 2 + sin(x) 2 = 1, donc e ix U. x, y R, e ix e iy = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) + i[cos(x) sin(y) + sin(x) cos(y)] = cos(x + y) + i sin(x + y) = e i(x+y), propriété analogue à celle de l exponentielle réelle. Soit z = x + iy un complexe de module 1, on a x 2 + y 2 = 1, donc il existe un réel θ (unique à 2π près) tel que x = cos(θ) et y = sin(θ), c est à dire z = e iθ.

6 14 Chapitre 2 : Nombres complexes Soit x, y R, e ix = e iy cos(x) = cos(y) sin(x) = sin(y) x = y (2π). On peut donc énoncer le théorème suivant : théorème 2.7 La fonction f : R U, définie par x R, f(x) = e ix, est une application surjective qui vérifie pour tous réels x et y : f(x + y) = f(x) f(y). De plus, f(x) = f(y) x = y (2π), en particulier f(x) = 1 x 2πZ. Ce théorème permet de retrouver les formules trigonométriques. 3) Formules d Euler et de Moivre Formule de Moivre 2 : n Z, x R, e inx = [e ix ] n = [cos(x) + i sin(x)] n. On en déduit que : cos(nx) = Re([cos(x) + i sin(x)] n ) et sin(nx) = Im([cos(x) + i sin(x)] n ). A l aide du binôme de Newton ces formules permettent d exprimer cos(nx) et sin(nx) sous forme d un polynôme en cos(x) et sin(x). Formules d Euler 3 : x R : cos(x) = eix + e ix et sin(x) = eix e ix. 2 2i Ces formules permettent la linéarisation de cos(x) n et sin(x) n. IV) Argument d un nombre complexe 1) Forme trigonométrique Soit z U, on sait qu il existe un réel θ (unique à 2π près) tel que z = e iθ. Si maintenant z est un complexe non nul quelconque alors z U et donc il existe un réel θ (unique à 2π près) tel que z z z = eiθ, c est à dire z = z e iθ. Définition 2.6 Soit z un complexe non nul, on appelle argument de z tout réel θ tel que z = z e iθ, cette égalité est appelée forme trigonométrique de z. L ensemble des arguments de z est noté arg(z), on a donc arg(z)={θ R/ z = z e iθ }, et si θ 0 est un argument de z, alors arg(z)={θ 0 + 2kπ/ k Z }. Définition 2.7 Soit z C, z possède un unique argument dans l intervalle ] π; π], par définition cet argument est appelé argument principal de z et noté Arg(z). 2 MOIVRE Abraham DE ( ) : mathématicien français, il s expatria à Londres à l age de dix-huit ans. 3 EULER Léonhard ( ) : grand mathématicien suisse.

7 Argument d un nombre complexe 15 Propriétés : Soient z, z C avec θ = Arg(z) et θ = Arg(z ) : a) z = z z = z. θ = θ (2π) b) z R θ = 0 (π). c) z = z e iθ donc Arg(z) = θ (2π). d) z = z e i(θ+π) donc Arg( z) = θ + π (2π). e) zz = zz e i(θ+θ ) donc Arg(zz ) = θ + θ (2π). f) z z = z z ei(θ θ ) donc Arg( z z ) = θ θ (2π). g) n Z, z n = z n e inθ donc Arg(z n ) = nθ (2π). Remarque : Soient a,b deux réels non tous deux nuls et soit xinr, en posant z = a + ib = z e iθ on obtient : a cos(x) + b sin(x) = Re(ze ix ) = z cos(x θ) = a 2 + b 2 cos(x θ). 2) Exponentielle complexe Définition 2.8 Soit z = x + iy un nombre complexe, on appelle exponentielle de z le complexe noté exp(z) et défini par : exp(z) = e x [cos(y) + i sin(y)]. Remarques : a) Si z est réel (ie y = 0), alors l exponentielle de z correspond à l exponentielle réelle de z. D autre part on peut écrire (pour x et y réels) exp(x + iy) = e x e iy, en particulier exp(iy) = e iy. b) exp(0) = 1. c) exp( z) = 1 exp(z). d) Re(exp(z)) = e Re(z) cos(im(z)) et Im(exp(z)) = e Re(z) sin(im(z)). e) exp(z) = e Re(z) et Arg(exp(z)) = Im(z) (2π). f) exp(z) = exp(z). théorème 2.8 La fonction exp : C C est 2iπ-périodique, surjective, et vérifie : z, z C, exp(z + z ) = exp(z) exp(z ). La propriété fondamentale de l exponentielle complexe (exp(z + z ) = exp(z) exp(z )) est la même que celle de l exponentielle réelle. Par analogie, exp(z) sera noté e z. La propriété s écrit alors : e z+z = e z e z, et on peut écrire désormais e x e iy = e x+iy.

8 16 Chapitre 2 : Nombres complexes 3) Racines n-ièmes d un nombre complexe Définition 2.9 Soit a, z 0 deux complexes et n N, on dit que z 0 est une racine n-ième de a lorsque z n 0 = a. théorème 2.9 Soit n un entier supérieur ou égal à 2, et a un complexe non nul. L ensemble des racines n-ièmes de a (que l on note R n (a)) est un ensemble fini de cardinal n, et pour tout argument θ de a on a : + 2kπ R n (a) = { n iθ a e n / 0 k n 1}. Cas particuliers : racines n-ièmes de l unité : Définition 2.10 Soit n un entier supérieur ou égal à deux, on note U n l ensemble des racines n-ièmes de l unité, on a donc : U n = {z U / z n = 1} = {e i2kπ n / 0 k n 1}. Soit a un complexe non nul et soit z 0 une racine n-ième de a. L équation z n = a équivaut à z n = z n 0, ou encore [ z ] n = 1. On est ainsi ramené aux racines n-ièmes de l unité, on en déduit que z = z 0 e i2kπ n z 0 avec 0 k n 1. V) Représentation géométrique des complexes, applications Le plan complexe est un plan P muni d un repère orthonormé direct R = (O, u, v ). 1) Affixe Chaque point M du plan complexe est repéré par ses coordonnées : une abscisse x et une ordonnée y, c est à dire par le couple de réels (x, y). Autant dire que M est repéré par le complexe z = x + iy. Par définition, ce complexe est l affixe du point M.

9 Représentation géométrique des complexes, applications 17 y M(x, y) v O u x Réciproquement, tout complexe z est l affixe d un point M du plan que l on appelle image de z. Les axes (O, u ) et (O, v ) sont appelés respectivement axes des réels et axe des imaginaires. Par exemple, l image de z est le symétrique de l image de z par la réflexion d axe (O, u ). De la même façon, chaque vecteur du plan a des coordonnées dans la base ( u, v ). Si w a pour coordonnées (x, y), cela signifie que w = x u + y v, là encore le vecteur w peut être représenté par le complexe x + iy, ce complexe est appelé affixe du vecteur w. Réciproquement, tout complexe z est l affixe d un vecteur du plan. On remarquera que l affixe d un point M n est autre que l affixe du vecteur OM. ) L affixe de la somme de deux vecteurs est la somme des affixes. Si α R et si w est le vecteur d affixe z, alors l affixe du vecteur α w est αz. ) Soit M d affixe z et M d affixe z, l affixe du vecteur MM est z z. 2) Distances Le module d un complexe z représente dans le plan complexe la distance de l origine O au point M d affixe z, c est à dire z = OM = OM. Si w est un vecteur d affixe z, alors la norme de w est w = z. Soit M d affixe z et M d affixe z, la distance de M à M est MM = MM = z z. Définition 2.11 Soit ainc et R > 0, on définit dans le plan complexe : le disque fermé de centre a et de rayon R : {M P / z a R}. le disque ouvert de centre a et de rayon R : {M P / z a < R}. le cercle de centre a et de rayon R : {M P / z a = R}. 3) Angles orientés Soit z un complexe non nul et M le point du plan d affixe z, l argument principal de z est une mesure de l angle orienté ( u, OM ), ce que l on écrit ( u, OM ) = Arg(z) (2π).

10 18 Chapitre 2 : Nombres complexes x + iy = re iθ avec r = OM = x 2 + y 2 y M(x, y) v θ O u x Soient w et w deux vecteurs non nuls d affixes respectifs z et z. Désignons par M et M les points d affixes respectifs z et z, l angle orienté entre les deux vecteurs w et w est : ( w, w ) = ( OM, OM ) = ( OM, u ) + ( u, OM ) = ( u, OM ) + ( u, OM ) = Arg(z) + Arg(z ) (2π) = Arg( z z ) (2π) Conséquence : Soient A, B et C trois points distincts d affixes respectifs Z A, Z B et Z C. L affixe du vecteur AB est Z B Z A et celui du vecteur AC est Z C Z A, par conséquent l angle ( AB, AC ) est donné par : Rappels : ( AB, AC ) = Arg( Z C Z A Z B Z A ) (2π). Produit scalaire : soient z = x + iy = re iθ et z = x + iy = r e iθ deux complexes non nuls, soient w et w vecteurs est : deux vecteurs d affixes respectives z et z, alors le produit scalaire entre ces deux w w = xx + yy = Re(zz ) = Re(zz ) = rr cos(θ θ). Ce produit scalaire est nul ssi θ θ = π 2 (mod π) ce qui revient à dire que ( w, w ) = π 2 ou encore : les deux vecteurs sont orthogonaux. (mod π) Déterminant : soient z = x + iy = re iθ et z = x + iy = r e iθ deux complexes non nuls, soient w et w deux vecteurs d affixes respectives z et z, alors le déterminant entre ces deux vecteurs est : det( w, w ) = xy x y = Im(zz ) = rr sin(θ θ). Ce déterminant est nul ssi θ θ = 0 (mod π) ce qui revient à dire que ( w, w ) = 0 (mod π) ou encore : les deux vecteurs sont colinéaires.

11 Annexe 19 4) Transformations du plan complexe L image du point M(z) par la translation de vecteur V (z 0 ) est le point d affixe z = z + z 0. L image du point M(z) par l homothétie de centre C(z 0 ) et de rapport λ R est le point d affixe z = λ(z z 0 ) + z 0. L image du point M(z) par la rotation de centre C(z 0 ) et d angle θ est le point d affixe z = e iθ (z z 0 ) + z 0. Quelques transformations de P dans P : L application f : M(z) M (z) est l identité du plan, notée id P. L application f : M(z) M (z) est la réflexion (ou symétrie orthogonale) par rapport à l axe réel. C est une involution. Soient a C, b C, et f : M(z) M (az + b) : Lorsque a = 1 fest la translation de vecteur w (b). Lorsque a 1, f est la similitude directe de centre C(z 0 ) avec z 0 = b 1 a d angle Arg(a) et de rapport a, c est à dire : (point fixe de f), CM = a CM, et ( CM, CM ) = Arg(a) (mod 2π). Comme az + b = a(z z 0 ) + z 0, cette transformation est la composée (commutative) entre l homothétie de centre C(z 0 ), de rapport a et la rotation de centre C(z 0 ), d angle Arg(a). C est une bijection et sa réciproque est la similitude directe de centre C(z 0 ), de rapport 1 a et d angle Arg(a). VI) Annexe 1) Notion de corps Un corps est un ensemble E muni de deux opérations (ou deux lois de composition), une addition et une multiplication. Ces deux opérations doivent vérifier les propriétés suivantes : Pour l addition : elle doit être interne : x, y E, x + y E (on parle alors de loi de composition interne). elle doit être associative : x, y, z E, (x + y) + z = x + (y + z). elle doit être commutative : x, y E, x + y = y + x. elle doit posséder un élément neutre : e E, x E, e + x = x + e = x. Cet élément est en général noté 0 E et appelé zéro de E. tout élément de E doit avoir un opposé : x E, x E, x + x = x + x = 0 E. L opposé de x est en général noté x. Pour la multiplication : elle doit être interne : x, y E, xy E. elle doit être associative : x, y, z E, (xy)z = x(yz).

12 20 Chapitre 2 : Nombres complexes elle doit posséder un élément neutre : e E, x E, ex = xe = x. Cet élément est en général noté 1 E et appelé un de E. tout élément non nul de E doit avoir un inverse : x E \ {0 E }, x E, xx = x x = 1 E. L inverse de x est en général noté x 1. elle doit être distributive sur l addition : x, y, z E, x(y + z) = xy + xz et (y + z)x = yx + zx. Lorsque toutes ces propriétés sont vérifiées, on dit (E, +, ) est un corps. Si de plus la multiplication est commutative ( x, y E, xy = yx) alors on dit que (E, +, ) est un corps commutatif. Par exemple, (R, +, ), (Q, +, ), (C, +, ) sont des corps commutatifs, mais (Z, +, ) n est pas un corps. Quelques propriétés : Si (E, +, ) est un corps : a) x E, 0 E x = x0 E = 0 E. b) x, y E, xy = 0 E = x = 0 E ou y = 0 E. 2) Morphisme de corps Soient (E, +, ) et (F, +, ) deux corps commutatifs, et soit f : E F une application. On dit que f est un morphisme de corps lorsque : x, y E, f(x + y) = f(x) + f(y) et f(xy) = f(x)f(y). f(1 E ) = 1 F. Quelques propriétés : Soit f : E E est un morphisme de corps : a) f(0 E ) = 0 F. b) x E, f( x) = f(x). c) x E, f(x 1 ) = f(x) 1. 3) Injection (ou application injective) Soient E et F deux ensembles et soit f : E F une application (tout élément de E a une et une seule image), on dit que f est une injection (ou une application injective) lorsque : x, y E, x y = f(x) f(y), ie des éléments distincts ont des images distinctes. Ce qui peut s écrire encore en prenant la contraposée : x, y E, f(x) = f(y) = x = y. Quelques propriétés : a) Un morphisme de corps est nécessairement injectif. b) f : E F est injective ssi tout élément de F a au plus un antécédent dans E par f. c) La composée de deux injections est une injection.

13 Annexe 21 d) Si la composée g f est injective, alors f est injective. e) f : E F est injective ssi il existe h : F E telle que h f = id E. 4) Surjection (ou application surjective) Soient E, F deux ensembles et soit f : E F une application, on dit que f est une surjection (ou application surjective) lorsque tout élément de F a au moins un antécédent par f, ce qui peut s écrire de la manière suivante : y F, x E, f(x) = y. Quelques propriétés : a) Si la composée f g est surjective, alors f est surjective. b) La composée de deux surjections est une surjection. c) f : E F est surjective ssi il existe h : F E telle que f h = id F. 5) Bijection (ou application bijective) Soient E, F deux ensembles et f : E F une application, on dit que f est une bijection (ou application bijective) lorsque tout élément de F a un unique antécédent par f, ce qui peut s écrire de la manière suivante : y F,! x E, f(x) = y. Dire que tout élément de F a un unique antécédent revient à dire que tout élément de F a au moins un antécédent et au plus un antécédent. Par conséquent dire que f est bijective revient à dire que f est surjective et injective. On retiendra donc : f est bijective f est surjective et injective. Si f : E F est une bijection, alors on peut considérer l application qui va de F vers E et qui à tout élément x de F associe son unique antécédent par f, cette application est appelée bijection réciproque de f, on la note f 1 : f 1 : F E x y défini par f(y) = x. On peut aussi écrire (lorsque f est bijective) : x F, y E, f 1 (x) = y f(y) = x. Quelques propriétés : a) Si f : E F et g : F H sont deux bijections, alors la composée g f est une bijection de E vers H, de plus sa bijection réciproque est : (g f) 1 = f 1 g 1. b) Si f : E F est bijective, alors f 1 f = id E et f f 1 = id F.

14 22 Chapitre 2 : Nombres complexes Définition 2.12 Une involution est une application f d un ensemble E vers lui - même telle que f f = id E. Une telle application est bijective et elle est sa propre réciproque : f 1 = f. 6) Notion de groupe Un groupe est un ensemble non vide G muni d une opération (ou loi de composition) qui vérifie les propriétés suivantes : elle doit être interne : x, y G, x y G. elle doit être associative : x, y, z G, x (y z) = (x y) z. elle doit posséder un élément neutre : e G, x G, e x = x e = x. Si la loi est une addition l élément neutre sera noté 0 G et on parlera de groupe additif. Si la loi est une multiplication, l élément neutre sera noté 1 G et on parlera de groupe multiplicatif. Dans le cas général l élément neutre est souvent noté e G. tout élément de G doit avoir un symétrique dans G : x G, x G, x x = x x = e G. En notation additive, le symétrique de x est appelé opposé de x et noté x, en notation multiplicative on l appelle inverse de x et on le note x 1. Lorsque toutes ces conditions sont remplies, on dit (G, ) est un groupe. Si en plus la loi est commutative ( x, y G, x y = y x), alors on dit que (G, ) est un groupe abélien (ou groupe commutatif). Quelques propriétés : Soit (G, ) un groupe : a) Soient x, y G, le symétrique de x y est : (x y) = y x. b) Soient a, b G, l équation a x = b admet comme unique solution dans G, x = a b. VII) Exercices Exercice 2.1 Soit f : C C définie par : z C, f(z) = z + i. Montrer que f induit une bijection de z i C \ {i} sur C \ {1}, déterminer la bijection réciproque. Déterminer la forme algébrique de f(z), en déduire l image réciproque de R et de U. Exercice 2.2 Déterminer les complexes z tels que : a) z, 1 et 1 z aient le même module. z b) (z i)(z 1) R. c) (z i)(z 1) ir.

15 Exercices 23 Exercice 2.3 a) Soient u et v deux nombres complexes, montrer que u + v u + v + u v. b) Soient u et v deux nombres complexes, montrer que u + v 2 + u v 2 = 2 ( u 2 + v 2) (formule de parallèlogramme). c) Soient x, y, z, t des complexes, montrer que x y z t x z y t + x t z y (inégalité de Ptolémée). Exercice 2.4 Déterminer le module et l argument des complexes suivants : a) ( 1 + i ) 20 3 b) 1 + eiθ 1 i 1 e iθ. Exercice 2.5 a) Soit z un complexe tel que 1 + z < 1 2, montrer que 1 + z2 > 1. b) Soit z un complexe de module 1 tel que 1 + z < 1, montrer que 1 + z 2 > 1. c) Soient z 1 et z 2 deux complexes de même module supérieur à 1, montrer que z 1 + z 2 1 ou z1 2 + z Exercice 2.6 Résoudre dans C les équations suivantes : a) z + 3 z + i = 1 + i b) (1 + i)z + (z i)z = 2i c) z(z i) = 1 + i 1 i d) z 2 = z 2 e) 8z 2 = z f) 8z 2 = z 1 g) z 2 (2 + iω)z + iω + 2 ω = 0 h) z 4 3iz = 0 i) z 4 = 24i 7. j) z 6 = 1 + i 3 1 i 3 k) z 4 = 1 i 1 + i 3 l) z = z n+1 m) z 4 z 3 + z 2 z + 1 = 0 Exercice 2.7 Résoudre dans C les équations suivantes : a) 1 + 2z + 2z z n 1 + z n = 0 b) Arg(z) = Arg(z + 1) (2π) z = 1. c) 2Arg(z + i) = Arg(z) + Arg(i) (2π) d) (z + i) n = (z i) n Exercice 2.8 a) Résoudre dans C l équation (1 z) 2n = (1 + z) 2n et calculer le produit des solutions non nulles. b) Soient a R et n N, résoudre l équation (z + 1) n = e 2ina.

16 24 Chapitre 2 : Nombres complexes Exercice 2.9 a) Démontrer que n k=1 ki k 1 = i nin (n + 1)i n+1. 2 b) En déduire une simplification des sommes réelles : Exercice 2.10 S 1 = ( 1) p (2p + 1) et S 2 = ( 1) p+1 2p. Soit u = e 2i π 7, S = u + u 2 + u 4 et T = u 3 + u 5 + u 6. a) Montrer que S et T sont conjugués et que la partie imaginaire de S est positive. b) Calculer S + T et ST. En déduire S et T. Exercice 2.11 a) Calculer la somme puis le produit des racines n-ièmes de l unité. n b) Soit ε une racine n-ième de l unité, simplifier la somme : kε k 1. Exercice 2.12 Soit n N, calculer (1 + j) n, (1 + j 2 ) n et (1 + 1) n, en déduire une simplification de Exercice 2.13 Simplifier les sommes suivantes : n n a) C k n cos(x + ky) et C k n sin(x + ky) pour x et y réels. b) c) d) n k=1 cos(kx) cos(x) k et n n 1 2 k cos(k π 3 ). n n cos 2 (kx) et sin 2 (kx) Exercice 2.14 sin(kx) pour x réel et cos(x) 0. cos(x) k Déterminer dans le plan l ensemble des points M(z) tels que les trois points A(1), M(z) et B(1 + z 2 ) soient alignés. k=1 E( n 3 ) C 3k n. Exercice 2.15 Soient A, B et C trois points du plan d affixes respectives a, b et c. Montrer que le triangle (A, B, C) est équilatéral direct ssi a + bj + cj 2 = 0. Exercice 2.16 a) Soit ABCD un carré dans le plan complexe. Montrer que si A et B ont des coordonnées entières, alors il en va de même pour C et D. b) Peut-on trouver un triangle équilatéral dont les trois sommets ont des coordonnées entières?