Les Nombres Complexes

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1 Les Nombres Complexes 1. Définition On appelle nombre complexe toute expression de la forme a+bi où a et b sont deux nombres réels et i représente un nouvel élément tel que i 2 = Notations On note C l ensemble des nombres complexes. L écriture z = a+bi avec a et b réels est appelée la forme algébrique de z. a est la partie réelle de z et on note a = Re(z). b est la partie imaginaire de z et on note b = Im(z) 3. Egalité Soit z = a+bi avec a et b réels et z = a +b i avec a et b réels. Alors : z = z si et seulement si a = a et b = b 4. Propriété Un nombre complexe z est un réel si et seulement si Im(z) = Définition Un nombre complexe z est un imaginaire pur si et seulement si Re(z) = Opérations dans C L addition et la multiplication dans C sont définies comme dans R en tenant compte de i 2 = 1. Plus précisément, si z = a+bi avec a et b réels et w = c+di avec c et d réels : z +w = (a+c)+(b+d)i z w = ac bd+(ad+bc)i z w = a+bi c+di c di c di = ac+bd+(bc ad)i c 2 +d 2 Les propriétés de ces opérations dans C sont les mêmes que dans R. 7. Exemple Si z = 3+2i et w = 4+3i, z +w = 7+5i,z w = 6+17i et z w = i 8. Représentation Géométrique Le plan est muni d un repère orthonormé direct (O; u, v). A tout point M du plan de coordonnées (a;b) est associé le nombre complexe z = a + bi appelé affixe du point M. Le point M de coordonnées(a;b) est appelé image du nombre complexez = a+bi. On notem(a+bi) On dit aussi que le nombre complexe z = a+bi est l affixe du vecteur w de coordonnées (a;b) et que w est le vecteur image de z. 9. Propriétés (a) Si A et B sont deux points du plan d affixes respectives z A et z B alors le vecteur AB a pour affixe z B z A. On écrit : Affixe( AB) = z AB = z B z A (b) Soit w 1 et w 2 deux vecteurs quelconques d affixes respectives z 1 et z 2 et k un réel. Alors : Affixe( w 1 + w 2 ) = z 1 +z 2 Affixe(k w 1 ) = kz 1 1

2 (c) Soit I le milieu de [AB], z A,z B et z I les affixes respectives de A,B et I alors : z I = z A +z B Conjugué d un nombre complexe Soit z = a+bi avec a et b réels. Le conjugué de z, noté z, est le nombre complexe défini par : z = a bi 11. Propriétés Soit z et w deux nombres complexes quelconques. (a) z +w = z +w (b) z w = z w ( z (c) Si w 0, = w) z w (d) Pour tout naturel n,z n = (z) n (e) Un complexe z est un réel z = z (f) Un complexe z est un imaginaire pur z = z (g) z = z (h) Re(z) = 1 2 (z +z) et Im(z) = 1 (z z) 2i (i) Si z = a+bi avec a et b réels, z z = a 2 +b Module d un nombre complexe Le module du nombre complexe z = a+bi avec a et b réels est le réel positif, noté z, défini par : 13. Interprétation géométrique Le module de z est la distance entre l origine O du repère et le point M(z) OM = z = a 2 +b 2 z = a 2 +b 2 = z z 14. Propriétés Soit z et w deux nombres complexes quelconques. Alors on a : (a) z w = z w (b) Si w 0, z = z w w (c) Inégalité triangulaire : z + w z + w (d) Si A et B sont deux points du plan d affixes respectives z A et z B alors : AB = z B z A 2

3 15. Argument d un nombre complexe non nul Le plan est muni d un repère orthonormé direct (O; u, v). Soit z un nombre complexe non nul de point image M de coordonnées (a;b).on appelle argument de z et on note arg z toute mesure en radians de l angle orienté ( u; OM) Remarque Un nombre complexe non nul z a une infinité d arguments. Si θ est l un d entre eux, les autres sont de la forme θ+2πk avec k Z. On note arg z = θ [mod 2π]. On lit "θ modulo 2π" Le réel 0 n a pas d argument. 16. Forme trigonométrique d un complexe non nul L écriture : z = r(cosθ + isinθ) avec r = z et arg z = θ [mod 2π] est appelée forme trigonométrique de z 17. Lien entre forme algébrique et forme trigonométrique z est un complexe non nul qui s écrit z = a + bi avec a et b réels. On note : r = z et θ un argument de z. Si on connaît r et θ alors : a = rcosθ et b = rsinθ Si on connaît a et b alors : r = z = a 2 +b 2 et θ défini par : cosθ = a r sinθ = b r 18. Égalité entre deux complexes écrits sous forme trigonométrique Si z = r(cosθ+isinθ) avec r = z et arg z = θ [mod 2π] et z = r (cosθ +isinθ ) avec r = z et arg z = θ [mod 2π] alors : z = z r = r et θ = θ [mod 2π] 19. Théorème Si z = r(cosθ+isinθ) avec r > 0 alors z = r et arg z = θ [mod 2π] Démonstration z 2 = r 2 cos 2 θ +r 2 sin 2 θ = r 2 z = r Soit θ un argument de z. On a : r(cosθ +isinθ) = r(cosθ +isinθ ) θ = θ [mod 2π] 20. Argument d un produit Soit z et w deux complexes non nuls avec : z = r(cosθ+isinθ) avec r = z et arg z = θ [mod 2π] et w = r (cosθ +isinθ ) avec r = w et arg w = θ [mod 2π] On a : z w = rr (cosθ+isinθ)(cosθ +isinθ ) = rr ((cosθcosθ sinθsinθ )+i(cosθsinθ +sinθcosθ ) = rr (cos(θ+θ )+isin(θ+θ )) Comme rr > 0, alors arg(z w) = θ+θ Propriété Soit z et w deux complexes non nuls. Alors : 3

4 21. Propriétés Pour tous nombres complexes z et w non nuls : ( ) 1 (a) arg = arg (z) [mod 2π] z ( z (b) arg = arg (z) arg (w) [mod 2π] w) arg(z w) = arg(z)+arg(w) [mod 2π] (c) Pour n N : arg (z n ) = n arg z [mod 2π] (d) arg z = arg z [mod 2π] Démonstration Exercice 22. Angles orientés et arguments Soit A et B sont deux points du plan muni d un repère orthonormé direct (O; u, v) d affixes respectives z A et z B et M est le point d affixe z M tel que : OM = ( AB. On sait que : z M = z B z A et d autre part : arg(z M ) = u; AB ). On obtient donc : arg(z B z A ) = ( u; ) AB 23. Conséquence Soit A,B,C et D 4 points du plan d affixes respectives z A,z B,z C et z D avec z A z B et z C z D. Alors : ( ) ( ) zd z C AB; CD = arg z B z A 24. Notation exponentielle Soit f la fonction qui à tout réel θ associe le complexe f(θ) = cosθ+isinθ Pour tous réels θ et θ, on a vu que : f(θ + θ ) = f(θ) f(θ ) et f(0) = 1 : f vérifie une relation fonctionnelle analogue à celle de la fonction exponentielle. Notation Pour tout nombre réel θ, on note e iθ = cosθ+isinθ 25. Définition Une forme exponentielle d un nombre complexe z non nul d argument θ est : z = z e iθ 26. Propriétés Pour tous nombres réels θ et θ et n entier naturel : (a) e iθ = 1 et arg(e iθ ) = θ[2π] (b) e iθ e iθ = e i(θ+θ ) (c) eiθ e iθ = e i(θ θ ) (d) ( e iθ)n = e iθn (formule de Moivre) (e) e iθ = e iθ C Gerlein Maths Outils

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