Nombres complexes et trigonométrie
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- Ségolène Beauchamp
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1 Maths en PCSI Année Chapitre n 4 Nombres complexes et trigonométrie Dans tout ce chapitre, le plan est muni d un repère orthonormé direct (O; i, j ), le sens direct étant contraire à celui de rotation des aiguilles d une montre. Nombres complexes de module. Le cercle trigonométrique Rappels : Le cercle C de centre O et de rayon est appelé cercle trigonométrique. À tout réel θ, on associe le point M de C, obtenu par enroulement de la droite réelle dans le sens direct si θ 0, ou dans le sens indirect si θ < 0. Dans ce cas, l angle orienté ( i, OM) a pour mesure θ (en radians), mais aussi tout nombre θ s écrivant θ = θ + k, avec k Z. Un tel nombre θ est dit congru (ou égal) à θ modulo, ce que l on notera θ = θ ]. L abscisse de M est appelée cosinus de θ et notée cos(θ). L ordonnée de M est appelée sinus de θ et notée sin(θ). { x = cos(θ) M(x, y) appartient à C ssi il existe θ R tel que y = sin(θ) (paramétrage de C ). Le cercle C a pour équation cartésienne x + y =, et pour équation complexe z =. Définition. L ensemble des nombres complexes de module est noté U : U = {z C/ z = }. Conséquence : L image de U dans le plan est le cercle trigonométrique C. Ainsi, z U si, et seulement si, il existe θ R tel que z = cos(θ) + i sin(θ).. Notation exponentielle Définition. Pour tout réel θ, l exponentielle imaginaire de θ est définie par : e iθ = cos(θ) + i sin(θ). Propriété. Soit z C. Les assertions suivantes sont équivalentes : (i) z U ; (ii) il existe θ R tel que z = e iθ ; (iii) z 0 et z = z ; Lycée Jean Perrin Page /6 Marseille
2 Maths en PCSI Année Propriété. Soient θ, θ R et n Z. Alors, on a :. e iθ = e iθ θ = θ ] ;. e iθ = e iθ ;. e iθ e iθ = e i(θ+θ ) ; e iθ e iθ = e i(θ θ ) ; ( e iθ) n = e i(nθ). Exemple. Soient z = + i et z = + i.. Calculer Z = ( z z ).. Déterminer les racines carrées de z.. Applications en trigonométrie Propriété. (formule de Moivre) Soit θ R. Alors on a : pour tout n Z, cos(θ) + i sin(θ)] n = cos(nθ) + i sin(nθ). Application : Écrire cos(nθ) (resp. sin(nθ)) comme polynôme en cos(θ) (resp. sin(θ)). Exemple. Écrire cos(x) comme polynôme en cos(x). En déduire la valeur de cos ( 6 ). Propriété 4. (formules d Euler) Soit θ R. Alors on a : cos(θ) = eiθ + e iθ et sin(θ) = eiθ e iθ. i Application : Linéariser cos n (θ) sin m (θ) comme somme de termes de la forme cos(pθ) sin(qθ). Exemple. Linéariser cos (t). En déduire la valeur de l intégrale I = 0 cos (t)dt. Propriété 5. (factorisation par l angle moitié) Soit θ R. Alors on a : ( ) θ. + e iθ = cos e i θ ; ( ) θ. e iθ = i sin e i θ ; Application : Calculer les sommes trigonométriques C n (θ) = n cos(kθ) et S n (θ) = k= n sin(kθ). k= Lycée Jean Perrin Page /6 Marseille
3 Maths en PCSI Année Formulaire de trigonométrie Définition. Soit M un point du cercle trigonométrique d affixe e iθ, où θ R. Si la doite (OM) n est pas verticale, sa pente est encore appelée tangente de θ, et notée tan(θ). Propriété 6. (relations fondamentales). Pour tout θ R, cos(θ), sin(θ) et cos (θ) + sin (θ) =. { }. Pour tout θ R\ + k, k Z, tan(θ) = sin(θ) cos(θ) et + tan (θ) = cos (θ). Propriété 7. (lignes trigonométriques remarquables) θ 0 cos(θ) sin(θ) 0 tan(θ) non défini Propriété 8. (angles associés) Soit θ R. Alors on a :. cos(θ + ) = cos(θ) et sin(θ + ) = sin(θ) ;. cos( θ) = cos(θ) et sin( θ) = sin(θ) ;. cos( + θ) = cos(θ) et sin( + θ) = sin(θ) ; 4. cos( θ) = cos(θ) et sin( θ) = sin(θ) ; 5. cos( θ) = sin(θ) et sin( 6. cos( + θ) = sin(θ) et sin( θ) = cos(θ) ; + θ) = cos(θ). Propriété 9. (formules d addition) Soient θ, θ R. Si tout est défini, on a :. cos(θ+θ ) = cos(θ) cos(θ ) sin(θ) sin(θ ) et cos(θ θ ) = cos(θ) cos(θ )+sin(θ) sin(θ ) ;. sin(θ+θ ) = sin(θ) cos(θ )+cos(θ) sin(θ ) et sin(θ θ ) = sin(θ) cos(θ ) cos(θ) sin(θ ) ;. tan(θ + θ ) = tan(θ) + tan(θ ) tan(θ) tan(θ ) et tan(θ θ ) = tan(θ) tan(θ ) + tan(θ) tan(θ ). Propriété 0. (formules de duplication) Soit θ R. Alors, on a : cos(θ) = cos (θ) sin (θ) = cos (θ) = sin (θ) et sin(θ) = sin(θ) cos(θ). Lycée Jean Perrin Page /6 Marseille
4 Maths en PCSI Année Exemple 4. Linéariser sin (θ). En déduire la valeur de sin(/). Propriété. (transformation d un produit en somme) Soient θ, θ R. Alors, on a :. cos(θ) cos(θ ) = cos(θ + θ ) + cos(θ θ ) ] ;. sin(θ) sin(θ ) = cos(θ θ ) cos(θ + θ ) ] ;. sin(θ) cos(θ ) = sin(θ + θ ) + sin(θ θ ) ]. Exemple 5. Calculer la valeur de l intégrale I = 0 Remarque : On peut aussi transformer une somme en produit. cos(t) cos(nt)dt, où n. Exemple 6. Soient x, y R. Factoriser cos(x) + cos(y). Propriété. (équations trigonométriques) Soient a, x R. Alors, on a :. cos(x) = cos(a) (x = a + k, k Z) ou (x = a + k, k Z) ;. sin(x) = sin(a) (x = a + k, k Z) ou (x = a + k, k Z) ;. tan(x) = tan(a) x = a + k, k Z. Exemple 7. Résoudre dans R : cos(x) =, sin(x) = et sin(x) > 0. Nombres complexes écrits sous forme trigonométrique. Forme trigonométrique d un nombre complexe non nul Définition 4. Soit z un nombre complexe non nul, de module r = z > 0. Écrire z sous forme trigonométrique, c est l écrire sous la forme z = re iθ, où θ R. Les nombres θ vérifiant cette relation sont appelés arguments de z et notés arg(z). Remarque : Si z C, deux arguments de z sont égaux modulo. Si M est le point image de z alors tout argument de z est une mesure en radians de l angle orienté ( i, OM) : ( i, OM) = arg(z) ]. Propriété. Soient z, z C. Alors on a : z = z z = z et arg(z ) = arg(z) ]. Lycée Jean Perrin Page 4/6 Marseille
5 Maths en PCSI Année Exemple 8. Déterminer le module et un argument des nombres z = i et z = e i 6. Remarque : Si z = x + iy avec x, y R et z 0 alors z = re iθ, où r = z = x + y > 0 et θ est un réel vérifiant cos(θ) = x/r et sin(θ) = y/r. Réciproquement, si z = re iθ avec r > 0 alors z = r, arg(z) = θ ] et z = r cos(θ) + ir sin(θ). Propriété 4. Soient a, b R, et z = a + ib. Si z = A et arg(z) = ϕ ] alors on a : pour tout t R, a cos(t) + b sin(t) = A cos(t ϕ). Exemple 9. Déterminer l amplitude et la phase du signal u : t cos(t) sin(t). Propriété 5. Soient z, z C et n Z. Alors on a :. z R arg(z) = 0 ], z ir arg(z) = ] ;. arg(z) = arg(z) ], arg(z z ) = arg(z) + arg(z ) ], ( z ) arg z = arg(z) arg(z ) ], arg (z n ) = n arg(z) ]. Exemple 0. Résoudre dans C l équation z = + e i.. Résolutions d équations z n = a, a C Définition 5. Soit n N. On appelle racine n-ième de l unité tout nombre complexe z vérifiant z n =. L ensemble des racines n-ièmes de l unité est noté U n = {z C/ z n = }. Exemple. Déterminer et représenter géométriquement U, U, U et U 4. Propriété 6. Soit un entier n et ω = e i n. Alors :. z n = z = e ik n, k 0, n ] ;. U n = {, ω,..., ω n } ;. + ω ω n = 0 ; 4. l image de U n est un polygône régulier à n cotés, inscrit dans le cercle trigonométrique, dont un sommet a pour affixe. Définition 6. Soient n N et a C. On appelle racine n-ième de a tout nombre complexe z vérifiant z n = a. Exemple. Déterminer les racines cubiques de a = 8i. Lycée Jean Perrin Page 5/6 Marseille
6 Maths en PCSI Année Exponentielle complexe Définition 7. Soit z = x + iy, avec x, y R. On définit l exponentielle de z par : exp(z) = e z = e x e iy = e x (cos(y) + i sin(y)). Remarque : Re(e z ) = e x cos(y), Im(e z ) = e x sin(y), e z = e x, car e x > 0, et arg(e z ) = y ]. Exemple. Résoudre dans C l équation e z = + i. Propriété 7. Soient z, z C et n Z. Alors on a :. e z = e z z z iz, où iz = {ik, k Z} ;. e z+z = e z e z, e z z = ez, e nz = (e z ) n. e z Exemple 4. Résoudre dans C l équation e z + e z =..4 Applications en géométrie plane Propriété 8. Soient A, B et C trois points du plan distincts deux à deux. Alors on a : AC AB = z C z A z B z A et ( ( ) zc z A AB, AC) = arg ]. z B z A Exemple 5. Soient A et B d affixes respectives a = + 4i et b = ( ) + i( ). Déterminer la nature exacte du triangle OAB. Définition 8. Soit θ R. En associant à tout point M d affixe z le point M d affixe z = e iθ z, on définit la rotation de centre O et d angle θ, d écriture complexe z e iθ z. Remarque : Si on note r la rotation de centre O et d angle θ, alors pour tout M O : M = r(m) OM OM = et ( OM, OM ) = θ ]. Lycée Jean Perrin Page 6/6 Marseille
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