I- L ensemble des nombres complexes

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1 ANNÉE Nomres complexes I- L ensemle des nomres complexes I-1 Forme algérique d un nomre complexe Définitions et propriétés 1 l ensemle C des nomres complexes contient R et vérifie les propriétés suivantes 1. Il contient un nomre noté par i tel que i = 1. Tout nomre complexe s écrit d une manière unique sous la forme z = a + i oùa, R la forme z = a + i oùa, R s appelle la forme algérique de z a s appelle la partie réelle de z, on la note par Re(z) = a s appelle la partie imaginaire de z, on la note par Im(z) = ir = {i R} s appelle l ensemle des nomres complexes imaginaires pures. le nomre complexe a i s appelle le conjugué de z, on le note par z = a i 3. Les opérations + et sur R se prolongent sur C et les règles de calcul restent les mêmes Soit z = a + i, z = a + i où a,, a, R z = 0 a = 0 et = 0 z = z a = a et = z z z + z = (a + a ) + i( + ) z z = aa + i(a + a ) z + z = z + z z z = z z Siz 0 alors 1 z = a a + i z a et + ( 1 z ) = 1 z, (z z ) = z z et n Z zn = z n 4. + et sont commutatives et associatives 5. est distriutive par rapport à + dans C z = z 1 z 6. Tout nomre complexe non nul possède un inverse On dit que (C, +, ) est un corps. Proposition 1 Soit z C 1. Re(z) = z + z et Im(z) = z z i. z R Im(z) = 0 z = z 3. z ir Re(z) = 0 z = z Exercice f R C (a, ) a + i f C C z z f C C z z + z Montrer que les applications suivantes sont des ijections et donner leur inverse I- Représenation géométrique d un nomre complexe Soit P le plan muni d un repére (O; i, j) orthonormal. Pour tout point M(a, ) P on a OM = a i + j on pose z = a + i z s appelle l affixe de M ( ou l affixe du vecteur OM )et on note M(z) pour dire le point M d affixe z.et on écrit aff(m) = aff( OM) = z réciproquement pour tout nomre complexe z = x + iy oùx, y R,on lui associe un point M(x,y) du plan P, le point M s appelle l image de z l application f P C M(a, ) z = a + i est ijective. http//mathscpge.wordpress

2 l application g P C u aff( u ) ANNÉE est ijective. Proposition Soit A, B et C des points du plan P d affixes respectivement z A, z B et z c on a 1. aff( AB = zb z A. le milieu du segment [A, B] a pour affixe z I = z A + z B 3. Si A,B et S sont distincts, alors A, BetCsont alignés ssi z C z B z C z A R I-3 Module d un nomre complexe Définition 1 Soit z = a + i où a, R un nomre complexe. le nomre reél a + s appelle le module de z, on le note par z = a + = zz Remarque 1 le module z est la distance OM avec M est l image de z Proposition 3 Soit z et z deux nomres complexes on a 1. z = 0 z = 0. z = z = (Re(z)) + (Im(z)) 3. Re(z) z et Im(z) z 4. λ R, λz = λ z 5. Inégalité triangulaire z + z z + z 6. z z z z 7. zz = z z 8. z z = z z si z 0 9. n N, z n = z n II- Groupe U des nomres complexes de module 1 II-1 Définition de U Définition On note U l ensemle des nomres complexes de module 1 U = {z C z = 1} l ensemle image de U est le cercle de centre 0 et de rayon 1 c est le cercle unité du plan II- Définition de e iθ Notation 1 Pour tout θ R, on pose e iθ = cos θ + i sin θ Proposition 4 U = {e iθ θ R} II-3 Relations d Euler sin θ = eiθ + e iθ i Formules d Euler Pour tout θ R Proposition 5 R U 1. l application s x e ix est surjective. θ, θ R, cosθ = eiθ + e iθ

3 e i(θ+θ ) = e iθ e iθ e i(θ θ ) = eiθ e iθ ANNÉE n Z, (e iθ ) n = e inθ e iθ = e iθ e iθ = 1 k Z, θ = kπ θ = 0[π] II-4 Formule de Moivre θ R, n N (cos θ + i sin θ) n = cos nθ + i sin nθ II-5 Linéarisation et factorisation d expression trigonométriques Exercice Exercice 3 linéariser les expressions suivantes cos 3,sin 3 et cos x sin x factoriser les expression cos α + cosβ III- Forme trigonométrique d un nomre complexe Définition 3 Soit z C et M son image. On appelle argument de z tout réel θ tel que θ = ( i, OM) [π] on note θ = arg(z) on pose z = ρ, θ = arg(z) le couple (ρ, θ) s appelle un couple de coordonnées polaires de M(z) z s écrit sous la forme z = ρ cos θ + iρ sin θ oùρ > 0 cette écriture s appelle la forme trigonométrique de z et l écriture z = ρe iθ oùρ > 0 s appelle la forme exponentielle de z Proposition 6 Soit z = a + i C où a, R et θ = arg(z) alors cos θ = a et sin θ = a + a + Proposition 7 Soit z, z C arg(zz ) = arg(z) + arg(z ) arg(z) = argz) [π] arg( 1 z ) = arg(z) [π] [π] arg( z) = π + arg(z) [π] arg( z ) = argz argz [π] z nz, argz n = nargz [π] Exemple 1 Donner la forme trigonométrique des nomres complexes suivants i, 1 + i, 1 i, 1 + i 3, j = 1 + i 3 Exercice 4 IV- Racine n-iéme de l unité - equation z n = a Soit n N Définition 4 on appelle racine n-iéme de l unité toute nomre complexe ζ tel que ζ n = 1 Proposition 8 Les racines n-iéme de l unité sont ζ k = e ikπ n, k = 0, 1,..n 1

4 ANNÉE Remarque Les racines n-iéme de l unité forment géométriquement un polygone régulier de n cotés inscrit dans le cercle unité. les racines troisiémes de l unité sont 1, jetj forment un triangle équilatéral, les racines quatrième de l unité sont 1, 1, iet iforment un carré... les racines sixièmes forment un hexagone Exercice 5 Soit ζ une racine n-iéme de l unité. calculer 1 + ζ + ζ ζ n 1 Proposition 9 Soit a = re iθ où r > 0etθ R. L équation z n = a admet n racines complexes distincts deux à deux z k = n re ikπ n, k = 0, 1,..n 1 vocaulaire Toute racine de l equation z n = a s appelle une racine n-iéme de a. si n = alors on parle de racine carée si n= 3 alors on parle de racine cuique Exercice 6 donner les racines cuique de 1 + i V- Equation de seconde degré V-1 Racine carrée d un nomre complexe Proposition 10 tout un nomre complexe non nul Z = a + i où a, R admet deux racines complexes Remarque 3 la recherche des racines carrées est donnée par la résolution du système (s) Soit z = x + iy tel que z = Z on a x y = a z = Z xy = x + y = (s) a + V- Résolution de l equation az + z + c = 0 Proposition 11 Soit a, et c trois nomres complexes tel que a 0.On considère l équation d inconnue z dans C on pose (E) az + z + c = 0 où z C = 4ac 1. si = 0 alors (E) admet une seule solution dite solution doule de l equation(e) dit le discriminat de l équation z =. si 0, soit δ une racine carrée de.alors l equation (E) admet deux solutions distincts a z 1 = + δ a et z = δ a Exemple Résoudre l equation z (1 + i)z + i = 0 Remarque 4

5 ANNÉE Calcul de la somme et du produit des racines en fonction des coefficients z 1 + z = a et z 1 z = c a une équation à coefficients réels à discriminant non nul possède deux solutions conjugués Si le coefficient de l équation est de la forme = alors on calcul = ac le discriminant réduit et sa racine carrée δ. les solutions sont z 1 = + δ a et z = δ Exemple 3 Résoudre 1 + z + z = 0 puis donner la forme exponentielle des solutions a VI- exponentielle complexe Définition 5 Soit z C, on appelle exponentielle de z le nomre complexe e z = e Rez e iimz Proposition 1 Soit z, z C e z+z = e z e z 1 e z = e z e z = e z e z z = ez e z (e z ) n = e nz Exercice 7 on pose cosz = ez + e z etsinz = ez e z i Exprimer cos(z + z ), sin z + z, cos z, sin z, cos z, cos z,sin z et sin z VII- Nomres complexe et géométrie plane Le plan euclidien est rapporté à un repère orthonormal (O; i, j). Proposition 13 Soit A(a), B() et C(c) trois points du plan P on a VII-1 Transformation z az + Á la transformation ( ijection du plan) ( AB, AC) = arg c a a c a a = AC AB [π] f P P M(z) M (z = az + ) avec a C, C on associe la transformation ( ijection de C) C C z z = az + avec a C, C Si a= 1 alors f est une translation de vecteur u d affixe Si a 1 et a R alors f est une homothétie de rapport a et de centre Ω( 1 a ) Si a 1 et a = 1 alors f est une rotation d angle arg(a) et de centre Ω( 1 a ) Si a 1 alors f est la composée commutative d une homothétie de rapport a et de centre Ω( 1 a ) avec la rotation d angle arg(a) et de centre Ω( 1 a )

6 VII- Transformation z z La transformation du plan associée a est la symétrie axiale d axe des ascisses (Ox) C C z z = z ANNÉE VII-3 Transformation z e iθ z + ite iθ, t R réflexion par rapport à D de direction e iθ et passe par eiθ