1) Argument d un nombre complexe non nul. On se place dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O ; Åu, Åv).

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1 Terminale S 04 / 05 G - cours ) Argument d un nombre complexe non nul On se place dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O ; Åu, Åv). Définition Soit * et M le point image de. On pose r OM et θ (Åu, ÄOM) à près. r est appelé le rayon polaire de M, θ est une mesure de l angle polaire de M et le couple (r, θ) forme les coordonnées polaires de M ; on les note M[r ; θ]. θ s appelle un argument de et on note : θ arg() (Åu ; ÄOM). De plus r OM. y M r Åv θ arg() O Åu x Remarques arg() n est pas défini de façon unique mais à près. 0 n a pas d argument car l angle (Åu ; Å0) n est pas défini. Si x + iy est la forme algébrique de, alors M(x ; y) sont les coordonnées cartésiennes de M et M[r ; θ] les coordonnées polaires de M. Le repère étant orthonormé on a : cosθ x r et sinθ y r avec r passage des cartésiennes aux polaires). Ainsi x rcosθ et y rsinθ (formules de passage des polaires aux cartésiennes). x +y (formules de Exemple Convertir M( ; ) en coordonnées polaires. r x +y + ; cosθ x r et sinθ y r Ainsi M[ ; 4 ]. d où θ 4 à près. D autre part on a aussi établi que arg(+i) 4 à près. Page

2 Convertir M[ ; ] en coordonnées cartésiennes. x rcosθ cos - - et y rsinθ sin Ainsi M(- ; ).. ) Forme trigonométrique d un nombre complexe non nul Soit x+iy l écriture algébrique de l afixe du point M de coordonnées polaires [r ; θ]. Les formules de changement de coordonnées montrent que x rcosθ et y rsinθ. Ainsi x+iy rcosθ + irsinθ r(cosθ + isinθ). Définition L écriture r(cosθ + isinθ) du complexe de forme algébrique x + iy, où r et θ arg() est appelée la forme trigonométrique de. Théorème r r' r (cosθ + isinθ ) r'(cosθ ' + isinθ ') θ θ ' à près Autrement dit, l'écriture trigonométrique d'un nombre complexe est unique à près. Exemples + i. r +. cos θ x r Donc arg() 4 et et sinθ y r cos 4 4, alors θ 4. + i. r +. cos θ x r et sinθ y r, alors θ 6. Donc arg() 6 et Si cos 6 6 et arg() 5 6 alors cos 5 6 +isin i - + i. Page

3 i. r +( - ) 4. cos θ x r 4 et sinθ y r - 4, alors θ. Donc arg() et cos + i sin. Åv i i et arg(i), donc i cos + i sin. et arg() 0, donc cos 0 + i sin 0. O Åu et arg( ), donc cos( ) + i sin( ). i et arg( i), donc i cos + i sin. i ) Formules algébriques de l argument Pour tous nombres complexes et non nuls, et pour tout naturel n, on a, à près : ) arg( ) arg() + arg( ) ) arg( n ) narg() ) arg( ) arg() 4) arg( ) arg() arg( ) 5) arg( ) arg() 6) arg( ) arg() + On suppose sans perte de généralité que et on pose θ arg() et θ arg( ). Ainsi cos θ + i sinθ et cos θ + i sin θ. ) (cos θ + i sinθ)(cos θ + i sinθ ) (cos θ cos θ sin θ sin θ ) + i (sin θ cos θ + sin θ cos θ) cos(θ + θ ) + i sin(θ + θ ). Donc arg( ) θ + θ arg() + arg( ). ) Par récurrence sur n. Si n 0, arg( n ) arg( 0 ) arg() 0 et narg() 0arg() 0. Donc la proposition est vraie au rang n 0. Supposons la formule vraie au rang n : arg( n ) narg(). On a alors : arg( n+ ) arg( n ) arg() + arg( n ) arg() + narg() (n + )arg(). Docn la formule est encore vraie au reng n +. Ainsi pour tout entier naturel n, arg( n ) narg(). Page

4 ) cosθ + i sinθ cosθ i sinθ cos θ + sin θ cosθ i sinθ cos( θ) + i sin( θ). Donc arg( ) θ arg(). cos θ i sin θ 4) arg( ) arg ( ) arg() + arg( ) arg() arg( ). 5) cos θ i sinθ cos( θ) + i sin( θ). Donc arg( ) θ arg(). 6) cos θ i sinθ cos(θ + ) + i sin(θ + ). Donc arg( ) θ + arg() +. Exemple Soit cos + i sin et cos 4 4 Ecrire les formes trigonométriques des complexes,,,, et. 4 et arg( ) arg( ) + arg( ) Donc Donc cos et arg( ) arg( ) arg( ) 4. cos + i sin. ( ) 6 et arg( ) arg( ) 4 4. Donc 6 cos 4 4 et arg( ) arg( ) 4. Donc cos + i sin 4 4. et arg( ) arg( ) Donc Donc 4 4 cos ( ) 4 cos et arg( ) arg( ) arg( ) 4 6. Page 4

5 4) Forme exponentielle d un nombre complexe non nul Pour tout réel θ, on note : ƒ(θ) cos θ + i sin θ. On a d une part : f (θ) -sinθ+icosθ Et d autre part : if(θ) icosθ sinθ. Ainsi pour tout réel θ, on a : f (θ) if(θ). Mais les fonctions vérifiant cette propriété sont du type f(θ) ke iθ puisque ( e iθ ) ie iθ. De plus f(0) cos0+isin0 +0i. Donc ke 0i ñ ke 0 ñ k et ainsi f(θ) e iθ. On pose alors : cos θ + i sin θ ƒ(θ) e iθ. Définition Le complexe d écriture trigonométrique r(cosθ + isinθ) admet pour écriture exponentielle re iθ, où r et θ arg(). Remarque Les formules algébriques deviennent : re iθ r e iθ i(θ + θ ) rr e (re iθ ) n r n e inθ r iθ e iθ r e r iθ' r' e r iθ re r e re iθ re r e-iθ ei(θ θ ) iθ i(θ + ) Exemples Ecrire sous forme exponentielle les nombres complexes suivant : + i donc ( + i) or cos 6 et sin 6 donc e i 6. i i e i 4 donc e i 4 4 i e. Page 5

6 5 + i 7 4i (5 + i (7 4i Donc et ( + i )(7 + 4i )(7 + 4i ) 5 + 0i + 77i ) 7 + (4 ) i 97 ) or cos et sin donc e i. + i. (cos 6 + isin 6 ) Dans une écriture trigonométrique r(cosθ + isinθ), on a obligatoirement r > 0 puisque r. Sinon il faut «rentrer» le signe dans l argument en ajoutant, puisque arg( ) arg() +. Ici, (cos( 6 + ) + sin( 6 + )) (cos sin 7 6 ) e i 6 7. Remarque arg() k où k et i arg() + k où k. Page 6