Chapitre 2 : Nombres complexes, trigonométrie, calculs algébriques

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1 Chapitre : Nombres complexes, trigonométrie, calculs algébriques 1 Ensemble des nombres complexes 1.1 Construction de C Définition 1.1 On appelle ensemble des nombres complexes et l on note C l ensemble des couples (a, b) de nombres réels écrits sous la forme a + ib. Si z = a + ib est un nombre complexe, on appelle partie réelle de z et l on note Re(z) le réel a. On appelle partie imaginaire de z et l on note Im(z) le réel b. Si z = a + ib et z = c + id sont deux nombres complexes, on note z + z et z z (ou zz ) les nombres complexes z + z = (a + c) + i(b + d) et z z = (ac bd) + i(ad + bc) La définition du produit se retrouve en développant l expression (a + ib)(c + id) avec la relation i = 1. Si a R, on note simplement a le nombre complexe a + i0. Ceci permet d avoir R inclus dans C. Si a R, on note simplement ia le nombre complexe 0 + ia, appelé imaginaire pur. On note ir l ensemble des imaginaires purs. Proposition 1.1 Associativité de + : (z 1 + z ) + z 3 = z 1 + (z + z 3 ) pour tout (z 1, z, z 3 ) C 3. Commutativité de + : z 1 + z = z + z 1 pour tout (z 1, z ) C. Élément neutre de + : z + 0 = 0 + z = z pour tout z C. Associativité de : (z 1 z ) z 3 = z 1 (z z 3 ) pour tout (z 1, z, z 3 ) C 3. Commutativité de : z 1 z = z z 1 pour tout (z 1, z ) C. Élément neutre de : z 1 = 1 z = z pour tout z C. Distributivité : z 1 (z + z 3 ) = z 1 z + z 1 z 3 et (z 1 + z ) z 3 = z 1 z 3 + z z 3 pour tout (z 1, z, z 3 ) C 3. Toutes ces propriétés, a priori anodines, sont essentielles pour la manipulation des symboles sommes et produits. Lorsqu un nombre complexe est écrit sous la forme a+ib, on dit qu il est écrit sous forme cartésienne (ou forme algébrique). Définition 1. Dans le plan, muni d une repère orthonormé, on peut associer à tout point (repectivement vecteur) un unique couple de coordonnées (x, y). On appelle alors affixe du point (respectivement du vecteur) le nombre complexe x + iy. On identifie ainsi C au plan usuel, muni d un repère orthonormé.

2 Proposition 1. Pour tout z C, pour tout λ R, { Re(λz) = λ Re(z) Im(λz) = λ Im(z) 1. Conjugaison, module Définition 1.3 Si z = a + ib C, on appelle conjugué de z, et l on note z le nombre complexe a ib. Proposition 1.3 La conjugaison est bijective, de réciproque elle-même. Si (z 1, z ) C, z 1 + z = z 1 + z et z 1 z = z 1 z. Pour tout z C, z = z si et seulement si z R. Pour tout z C, z + z = Re(z) et z z = i Im(z). Si M un point du plan d affixe z, le point d affixe z est le symétrique de M par rapport à l axe des abscisses. Définition 1.4 Si z = a + ib C, on appelle module de z et l on note z le réel a + b. Si A et B sont deux points du plan d affixes z 1 et z, alors z z 1 = AB. Si u est un vecteur du plan d affixe z, u = z. Si a R, la valeur absolue de a et le module de a sont égaux (car a = a ). On peut donc bien employer la même notation. Proposition 1.4 Pour tout z C, Re(z) z et Im(z) z. Pour tout z C, z = z. Pour tout (z 1, z ) C, z 1 z = z 1 z. Pour tout z C, pour tout λ R +, λz = λ z.

3 Proposition 1.5 Pour tout z C, zz = z. Définition 1.5 Soit z C, avec z 0. y = z y = 1. On l appelle inverse de z. z est l unique nombre compexe vérifiant y z = z Pour calculer l inverse d un nombre complexe z, ou simplifier une expression du type z 1 z on multipliera toujours en haut et en bas par l expression conjuguée du dénominateur. Exemple 1.1 On a 4 + 3i + 7i = Proposition 1.6 Pour tous (z 1, z ) C, avec z 0, Pour tous (z 1, z ) C, avec z 0, ( z1 z z 1 z ) = z 1 z. = z 1 z. Proposition 1.7 (Inégalité triangulaire) Pour tout (z 1, z ) C, on a z 1 + z z 1 + z, avec égalité si et seulement si on a λ R + tel que z = λz 1 ou z 1 = 0. Si z 1 est l affixe d un point A et z l affixe d un point B, le point C d affixe z 1 + z est le quatrième sommet du parallèlogramme OACB. L inégalité triangulaire exprime alors le fait que OC OA + AC (car OB = AC). Le cas d égalité de l inégalité triangulaire n a lieu que si le triangle OAC est aplati, c est-à-dire O, A et C alignés dans ce sens, donc OC = λoa avec λ R +. Corollaire 1.8 Pour tout (z 1, z ) C, z 1 + z z 1 z.

4 1.3 Nombres complexes de module 1 Définition 1.6 On note U l ensemble des nombres complexes de module 1. Si t R, on note e it le nombre complexe cos t + i sin t. Proposition 1.9 On a U = {e it ; t R}. Proposition 1.10 Pour tout t R, e it = e it. Proposition 1.11 (Formules d Euler) Pour tout t R, cos t = eit + e it sin t = eit e it. i Proposition 1.1 Soient t, u R et n N e it e iu = e i(t+u) 1 = e it (e eit it ) n = e int La définition de z n, où z C et n Z, est la même que dans le cas réel 1. Corollaire 1.13 Pour tout (t, u) R, eit e iu = ei(t u). Corollaire 1.14 (Formule de De Moivre) Pour tout t R, et n N, (cos(t) + i sin(t)) n = cos(nt) + i sin(nt) 1. En revanche, pour un r R\Z, z r n a pas de sens.

5 1.4 Trigonométrie Proposition 1.15 (formules d addition pour cos et sin) Pour tous réels (a, b), cos(a + b) = cos(a) cos(b) sin(a) sin(b) sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) cos(a b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) sin(a b) = sin(a) cos(b) cos(a) sin(b) Proposition 1.16 (formules d addition pour tan) Pour tous réels (a, b) non-congrus à π modulo π, Si a + b n est pas congru à π/ modulo π, Si a b n est pas congru à π/ modulo π, tan(a) + tan(b) tan(a + b) = 1 tan(a) tan(b). tan(a) tan(b) tan(a b) = 1 + tan(a) tan(b). Corollaire 1.17 Soit a un réel non congru à π modulo π ou à π 4 modulo π. Alors tan(a) = tan(a) 1 tan (a). Proposition 1.18 (angle double) Pour tout a R, cos(a) = cos (a) sin (a) = cos (a) 1 cos (a) = 1 + cos(a) sin(a) = sin(a) cos(a) sin (a) = 1 cos(a) Proposition 1.19 (transformation de produits en sommes) Pour tous réels (a, b), cos(a) cos(b) = 1 (cos(a + b) + cos(a b)) sin(a) sin(b) = 1 (cos(a b) cos(a + b)) sin(a) cos(b) = 1 (sin(a + b) + sin(a b)) Méthode 1.1 Pour factoriser 1 + e it ou 1 e it : On factorise par e i t On fait ainsi apparaitre un cos ou un sin. Exemple 1. Factoriser 1 + e i π 4 et 1 e i π 4. Exemples Factoriser cos(p) + cos(q).. Factoriser sin(p) + sin(q). 1.5 Argument d un nombre complexe Proposition 1.0 (forme polaire) Soit z C, alors il existe (r, θ) R + R tel que z = re iθ. r = z et θ est unique modulo π. re iθ est appelé forme polaire de z.

6 On parle également de forme trigonométrique. Exemple Mettre sous forme polaire 1 e i π 4.. Calculer les parties réelles et imaginaires de (1 + i) 017. Définition 1.7 Cet unique (modulo π) réel θ tel que z = z e iθ est appelé argument de z et noté arg(z). Un nombre complexe non nul admet toujours une infinité d arguments. Si θ en est un, ses arguments sont les θ + kπ, k Z. Un argument n étant défini que modulo π, on utilisera toujours des signes congrus (et non des égalités) lorsqu on manipulera arg(z). La forme polaire d un nombre complexe est très pratique pour le calcul de puissances, grâce à la formule de De Moivre. Proposition 1.1 Si z et z C, arg(zz ( arg(z) + arg(z ) [π]. z ) Si z et z C, arg z arg(z) arg(z ) [π]. Si z C et n Z, arg(z n ) n arg(z) [π]. Exemples Quel est l argument de 1 + e i π 4? ( ) e it 5. Calculer l argument de, où t R. 1 + i 3. Si x ] π, π[, calculer l argument de 1 + e ix Proposition 1. Si z = a + ib est un nombre complexe non nul, alors un argument de z est ( ) b arctan si a > 0, a ( ) b arctan + π si a < 0, a π ou π si a = 0. Proposition 1.3 Si (a, b) R, il existe (A, ϕ) R + R tel que pour tout t R, a cos t + b sin t = A cos(t ϕ). Une telle fonction t a cos t + b sin t est appelée signal sinusoïdal. Physiquement, le réel A représente son amplitude, et ϕ sa phase. 1.6 Exponentielle complexe Définition 1.8 Si z C, z = a + ib avec (a, b) R, on appelle exponentielle de z et l on note exp(z) le nombre complexe e a e ib. Proposition 1.4 On a exp(z) = e Re z et Im z est un argument de exp(z). Pour tout (z, z ) C, exp(z + z ) = exp(z) exp(z ). Pour tout (z, z ) C, exp(z) = exp(z ) si et seulement si z z est de la forme iπk, k Z.

7 L exponentielle complexe se comporte comme l exponentielle réelle... Calculs algébriques.1 : sommes La notation permet une écriture compacte de la somme de plusieurs termes. Exemples k = k=1. Soit A = {1, 3, 5, 7}. k A k 3 = 3. 1 =. 4 Dans l écriture k, k peut être changée en toute autre lettre qui n intervient pas par ailleurs dans l expression : 4 k = Une somme du type Une somme du type 4 j. C est une variable muette. k n a aucun sens hors du symbole. j=0... porte sur n + 1 termes.... porte sur n termes. k=1 Plus généralement, une somme du type..., avec p n porte sur k=p Proposition.1 Pour tout n N, Pour tout n N, k = k = k=1 n(n + 1). n(n + 1). Exemple. Montrer les égalités suivantes : Pour tout n N, k n(n + 1)(n + 1) = et k 3 = n (n + 1). 6 4 Proposition. (relation de Chasles) Soit (u n ) n N une suite réelle, p, q, r des entiers naturels, avec p q < r. Alors q r r u k + u k = u k. k=p k=q+1 k=p Proposition.3 (calculs avec les Σ) Soient (u n ) n N et (v n ) n N deux suites à valeurs réelles, n N, et λ R. Alors u k + v k = u k + et λu k = λ u k v k

8 On peut changer le 0 par 1, ou par n importe quel autre entier, mais il faut que l on somme sur le même ensemble pour pouvoir effectuer ces opérations. Exemples.3 1. Pour tout n N, calculer la somme des n premiers entiers pairs.. Pour tout n N, calculer la somme des n premiers entiers impairs. A priori, on ne peut pas simplifier les expressions de la forme u i v i. i=0 Changement d indice n+1 Exemple.4 Calculer, pour tout n N, (j 1). Exemple.5 Calculer, pour tout n N, Sommes télescopiques Exemple.6 j=1 k en utilisant un changement d indice. Calculer, pour tout n N, n, l expression suivante : j= 1 j(j + 1). Proposition.4 n 1 Soient (a, b) C, et n N. Alors a n b n = (a b) a k b n 1 k. Exemples.7 a b = a 3 b 3 = a 4 b 4 = Corollaire.5 (Somme des termes d une suite géométrique) Soient x C, p N. Alors p 1 x p+1 x k = si x 1 1 x p + 1 si x = 1 Corollaire.6 (Somme des termes d une suite géométrique) Soient x C, q, p N tels que q p. Alors p x q x p+1 x k = si x 1 1 x p q + 1 si x = 1 k=q Ne pas oublier de distinguer le cas x = 1 dans l utilisation de cette formule Exemple.8 Calculer cos(kx). Termes pairs et impairs Proposition.7 (Décomposition en termes pairs et impairs) u k = u k + u k+1. 0 k n 0 k+1 n

9 . : produit La notation permet une écriture compacte du produit de plusieurs facteurs. Exemples.9 Définition.1 Soit n N. On appelle factorielle de n et on note n! la quantité n n! = i. i=1 On adopte de plus la convention 0! = 1. Exemple.10 Valeurs à connaitre : Proposition.8 Pour tout n N, n! = (n 1)!n. Pour tout n N, (n + 1)! = (n + 1)n!. Proposition.9 (calculs avec les ) Soient (u n ) n N et (v n ) n N deux suites à valeurs réelles, n N, et n n u k v k = u k n v k Exemples Soit n N. Calculer. Exprimer 5 k=15 n i. i=1 k à l aide de factorielles. n A priori, on ne peut pas simplifier les expressions de la forme (u i + v i ). i=0.3 : sommes doubles Exemples = i + j i=1 j=1

10 Proposition.10 Soit (u i,j ) i N,j N une suite indicée par deux entiers et (n, p) N. Alors p p u k,j = u k,j. j=0 j=0 Cette somme double peut-être notée 0 k n 0 j p u k,j. Proposition.11 Soient (u i,j ) i N,j N, (v i,j ) i N,j N deux suites indicées par deux entiers, (n, p) N, et λ R. Alors p p p u k,j + v k,j = u k,j + j=0 j=0 j=0 et p λu k,j = λ p j=0 j=0 p Exemple.13 Soit (n, p) N. Calculer (j + k). j=0 u k,j v k,j Proposition.1 Soit (u n ) n N et (v n ) n N deux suites réelles, n N. Alors ( n ) p p p u k v j = u k v j = u k v j. Exemple.14 Soit (n, p) N. Calculer j=0 j=0 p (jk). j=0 j=0 Règle d or : une quantité qui dépend de l indice de la somme ne doit jamais être sortie de la somme. Sommes doubles avec des indices liés Il s agit des sommes doubles où l indice de la somme extérieure intervient dans les bornes de la somme intérieure. Les cas les plus courants sont les suivants : i Exemples.15 u ij = i=0 j=0 0 j i n Exemple.16 Calculer, pour tout n N, (ij) u ij 0 i j n n i=0 j=i u ij = 0 i j n u ij Proposition.13 (Inversion de sommes doubles avec indices liés) Soit n N, et (u i,j ) i N,j N une suite indicées par deux entiers. Alors u i,j = j u i,j = u i,j. Exemple.17 Calculer S = i=1 j=i i=0 j=i i j pour n N. 0 i j n j=0 i=0

11 .4 Formule du binôme de Newton Définition. Si n N et k 0, n, on note l entier k n! k!(n k)!. Proposition.14 = n 0 Pour tout n N, = 1. Pour tout n N et k 0, n, = k. n k Proposition.15 (Formule de Pascal) Si n N et si k 1, n 1, on a ( ) ( ) ( ) n n 1 n 1 = +. k k 1 k Corollaire.16 Pour tout n N et k 0, n, est un entier naturel. k Cette formule permet de calculer explicitement les coefficients binomiaux en construisant le triangle de Pascal Exemple de triangle de Pascal. Chaque terme est la somme des deux termes au-dessus, les côtés étant remplis de 1. Proposition.17 (Formule du binôme de Newton) Pour tout (a, b) C, pour tout n N, on a (a + b) n = a k b n k. k Exemples.18 On a = k On a a k = k

12 .5 Applications à la trigonométrie Méthode.1 Pour linéariser une expression trigonométrique cos k x sin l x (en combinaison linéaire de termes en cos(αx) ou sin(βx)), on procède comme suit : 1. On utilise les formules d Euler pour changer cos x et sin x en termes avec e ix et e ix.. On développe complètement, avec le binôme de Newton. 3. On regroupe les termes deux à deux conjugués pour reconnaître des cos(αx) ou sin(βx). Exemples Linéariser sin 3 (x).. Linéariser cos 3 (x) sin(x). La linéarisation permet de calculer une primitive de fonctions de la forme x cos k x sin l x. Méthode. Pour transformer cos(nx) (ou sin(nx)) en un polynôme en cos (ou en sin), on procède comme suit : 1. On écrit cos(nx) = Re ( (e ix ) n) = Re ((cos x + i sin x) n ) grâce à la formule de De Moivre.. On développe avec le binôme de Newton. 3. On ne garde que la partie réelle (ou imaginaire dans le cas d un sinus). Exemples.0 1. Exprimer sin(3x) sous forme d un polynôme en sin(x).. Exprimer cos(4x) sous forme d un polynôme en cos(x). 3 Équations algébriques dans C 3.1 Racines carrées d un nombre complexe Définition 3.1 On appelle racine carrée d un nombre complexe z tout nombre complexe u vérifiant u = z. Proposition 3.1 Tout nombre complexe non nul admet exactement deux racines carrées, qui sont opposées. La notation est réservée aux nombres réels positifs. 0 n admet qu une seule racine carrée, lui-même. Méthode 3.1 Pour déterminer les racines carrées d un nombre complexe : on peut les chercher sous forme polaire ; sinon on { cherche les racines de z = a + ib sous la forme u = c + id. L équation u = z donne le c d = a système. On ajoute l équation u = z pour trouver les valeurs de c et d. cd = b On prend ensuite les racines carrées, en faisant attention aux signes relatifs de c et d, donnés par l équation cd = b. Exemples Les racines carrées de i sont. Trouver les racines carrées de 1 + i sous forme algébrique. 3. Trouver les racines carrées de 8 6i sous forme algébrique.

13 3. Équation du second degré à coefficients complexes Proposition 3. Soit ax + bx + c = 0 une équation d inconnue x C à coefficients (a, b, c) C 3 avec a 0. On appelle discriminant de l équation et l on note le nombre b 4ac. Si = 0, l équation a une unique solution, appelée racine double, b a. Si 0, l équation a deux solutions, b ± δ, où δ est une racine carrée de. a On retrouve en particulier les résultats vus en terminale sur les solutions de l équation à coefficients réels. Exemples Résoudre l équation x cos θx + 1 = 0, où θ R.. Résoudre l équation x x i = 0. Proposition 3.3 (Relations coefficients racines) Si r 1 et r sont les deux solutions de l équation ax +bx+c = 0 (avec r 1 = r dans le cas d une racine double) alors r 1 + r = b a et r 1r = c a. Exemple 3.3 Résoudre l équation x (1 + i)x + i 1 = Racines n-ièmes Définition 3. Pour tout n N, On appelle racine nème de l unité tout nombre complexe z tel que z n = 1. On note U n l ensemble des racines n-ièmes de l unité. Proposition 3.4 Pour tout n N, il existe exactement n racines n-ièmes de l unité, qui sont les e ikπ/n, où k 0, n 1. Exemples 3.4 Les racines carrées de l unité sont Si l on note j = e iπ/3, les racines cubiques de l unité sont Les racines quatrièmes de l unité sont Les points dont les affixes sont les racines n-ièmes de l unité forment un polygône régulier à n côtés inscrit dans le cercle de centre O et de rayon 1. Proposition 3.5 Soit a C, alors a admet exactement n racines n-ièmes. Si z 0 est une racine n-ième de a, les racines n-ièmes de a sont les z 0 e ikπ/n, où k 0, n 1.

14 Cet énoncé est la généralisation de celui vu pour les racines carrées. Comme dans la preuve, pour trouver une racine n-ième de a particulière, on le met sous forme polaire. Exemples Calculer les racines 5ème de i.. Résoudre l équation (z + i) n = (i z) n d inconnue z C. 4 Nombres complexes et géométrie plane Proposition 4.1 Soient A, B et C des points du plan, d affixes respectives z A, z B et z C. La distance entre A et B est z A z B. Si A, B et C sont à distincts, une mesure de l angle BAC est arg(z C z A ) arg(z B z A ) arg z C z A z B z A [π]. Tout comme l argument, l angle n est défini que modulo π. Proposition 4. Soient A, B et C des points distincts du plan, d affixes respectives z A, z B et z C. (AB) et (AC) sont orthogonales Ssi A, B et C sont alignés Ssi Dans la suite, on confond un point du plan et son affixe. Définition 4.1 On appelle rotation de centre O et d angle θ l application r θ du plan dans le plan définie par r θ : z ze iθ. Définition 4. On appelle translation de vecteur b l application du plan dans le plan définie par t b : z z + b Définition 4.3 On appelle homothétie de rapport k (avec k R ) l application du plan dans le plan définie par h k : z kz Définition 4.4 On appelle symétrie axiale par rapport à l axe des abscisses l application du plan dans le plan définie par s : z z. Proposition 4.3 Une rotation et une translation conservent les distances. Une rotation, une translation et une homothétie conservent les angles. Une rotation, une translation et une homothétie préservent donc l alignement et l orthogonalité. Proposition 4.4 La symétrie s : z z conserve les distances, l alignement, et l orthogonalité. Exemple 4.1 Montrer qu une homothétie de rapport k R est une bijection de C dans C, et déterminer sa réciproque.