Chapitre VII : Les nombres complexes

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1 Chapitre VII : Les nombres complexes I Ensemble des nombres complexes 1 Existence Théorème (admis) : Il existe un ensemble noté C, appelé ensemble des nombres complexes, qui possède les propriétés suivantes : C contient tous les nombres réels. L addition et la multiplication des nombres réels se prolonge aux nombres complexes et les règles de calcul restent les mêmes. Il existe un nombre complexe noté i tel que i = 1. Tout nombre complexe z s écrit de manière unique z = a + i b où a et b sont des nombres réels. Remarque : L unicité de l écriture implique que Pour tout réels a et b, a + i b = 0 a = 0 et b = 0. Pour tous réels a, a,b,b, a + i b = a + i b a = a et b = b. Forme algébrique L écriture unique d un nombre complexe z sous la forme z = a + i b avec a et b réels est appelée forme algébrique du nombre complexe z. Dans ce cas, a est appelé partie réelle de z et noté : a = Re(z) b est appelé partie imaginaire de z et noté : b = I m(z) Lorsque b = 0, z est un réel et lorsque a = 0 alors z = i b est appelé imaginaire pur. Exemples : 1. Si z = + i alors Re(z) = et Im(z) =.. Si z = alors Re(z) = et Im(z) = 0.Donc z est un réel.. Si z = 1,5i alors Re(z) = 0 et Im(z) = 1,5. Donc z est un imaginaire pur. Attention, la partie imaginaire d un nombre complexe est un réel! 4. z = 4 + i (5 i ) n est pas sous forme algébrique, car elle n est pas sous la forme a + i b avec a et b réels. 4 + i (5 i ) = 4 + 5i i = 4 + 5i ( 1) = 6 + 5i qui est la forme algébrique de z. Donc Re(z) = 6 et Im(z) = 5. II Les opérations dans C 1 Règles de calculs Somme de deux complexes : Si z = 1 + i et z = 5i alors z + z = (1 + i ) + ( 5i ) = i Produit de deux complexes : Si z = 1+i et z = 5i alors zz = (1+i )( 5i ) = 5i + i 15i = +i +15 = 17+i Puissances de i : i 0 = 1 ; i 1 = i ; i = 1 ; i = i ; i 4 = 1 ; i 5 = i ; i 6 = 1 etc... En utilisant les coefficients binomiaux du triangle de Pascal, on peut par exemple développer : (1 + i ) 4 = i i i + i 4 = 1 + 4i 6 4i + 1 = 4. Opposé et conjugué d un complexe L opposé de z = a + i b est le nombre complexe z avec z = a i b. Tout nombre complexe z de forme algébrique a + i b admet un complexe conjugué qui est le nombre complexe noté z et défini par : z = a i b. 1

2 Exemple : L opposé de + i est i. Son conjugué est i. Le produit d un nombre complexe par son conjugué est un réel positif : z z = a + b. Démonstration : z = a + i b avec a et b réels. z z = (a + i b)(a i b) = a ai b + ai b (i b) = a + b Inverse et quotient Propriété-définition : Pour tout nombre complexe z non nul, il existe un unique nombre complexe z vérifiant zz = 1. z est l inverse de z z et se note 1 z. Démonstration : soit z un nombre complexe non nul, z = a + i b avec a et b réels. z z = a + b z z a + b = 1 Donc zz = 1 zz = z z ( ) a + b z z z a + b = 0 z z a + b (car z 0) z z = a + b. Soient z et z deux nombres complexes avec z non nul. Alors le quotient de z par z est le nombre complexe z z = 1 z z. 4 Propriétés des conjugués Pour tout z et z de C : le conjugué de z est z : z = z. z est un réel équivaut à z = z. z est un imaginaire pur équivaut à z = z. Le conjugué d une somme est la somme des conjugués : z + z = z + z. Le conjugué d un produit est le produit des conjugués : z z = z z. Le conjugué d un quotient est le quotient des conjugués : si z 0 alors n Z,(z n ) = ( z ) n. ( z z ) = z z. Démonstration : On pose z = a + i b et z = a + i b z = a ( b)i = a + i b = z. z = z a + i b = a i b i b = 0 b = 0 z est réel. Idem z + z = a + a + i (b + b ) donc z + z = a + a i (b + b ) Et z + z = a i b + a i b = a + a i (b + b ) Idem Idem On procède par récurrence en prenant d abord n N puis n Z en posant n = p.

3 Point méthode 1 : Donner la forme algébrique des complexes Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants : a. z 1 = ( 5 + 7i )( + i ) b. z = ( i ) c. z = 5 + i + i Pour les produits, il suffit de développer en utilisant le fait que i = 1 a. z 1 = ( 5 + 7i )( + i ) = 10 15i 14i + 1i = 11 9i b. z = ( i ) = 9 1i + 4i = 5 1i Pour les inverses ou les quotients, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur et utiliser le fait que zz = a + b c. z = 5 + i + i ( 5 + i )( i ) i + i i 1 + 1i = = = = 1 + i ( + i )( i ) Point méthode : Utiliser l égalité de deux nombres complexes 1. Déterminer les réels x et y pour que l on ait (i + 1)x + ( 1 + i )y = 1 + i. A quelle condition le nombre complexe z = x i ( i x + x) + i i x est-il un réel? Un imaginaire pur?. Le plan est muni d un repère orthonormé (O; ı, j). Déterminer l ensemble des points M de coordonnées (x; y) tels que le nombre complexe z = x i y soit un réel x + i (y 1) 1. Deux complexes sont égaux si et seulement si leur partie réelle et leur partie imaginaire sont égales. On écrit donc les deux complexes sous forme algébrique. { x y = 1 (i + 1)x + ( 1 + i )y = 1 + i x y + i (x + y) = 1 + i x + y = Soit x = 1 et y = 0.. On écrit z sous forme algébrique. z = x i ( i x + x) + i i x = x + 1 xi + i x + i i x = x i ( x + ). Un complexe est un imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle. Donc z imaginaire pur équivaut à : Re(z) = 0 x + 1 = 0 x = On doit écrire z sous forme algébrique grâce au conjugué du dénominateur. z = x i y (x i y)(x i (y 1)) = x + i (y 1) (x + i (y 1))(x i (y 1)) = x i x y + i x + x i y + i + i x y I y + i y x + (y 1) Donc z réel équivaut à Im(z) = 0 x y + 1 { x y + 1 = 0 x + (y 1) = 0 (x; y) (0;1) L ensemble cherché est donc la droite d équation x y + 1 = 0 privée du point de coordonnées (0;1). = x + y + x y x + (y 1) +i x y + 1 x + (y 1)

4 III Résolution dans C des équations du second degré à coefficients réels Théorème : On appelle P le polynôme P(z) = az + bz + c où a,b et c sont trois réels donnés et son discriminant = b 4ac = 0 > 0 < 0 Solutions dans C de l équation P(z) = 0 Une unique solution réelle z 0 = b a Deux solutions réelles distinctes : z 1 = b a Deux solutions complexes conjuguées : z 1 = b i a et z 1 = b + a et z 1 = b + i a Factorisation de P(z) P(z) = a(z z 0 ) P(z) = a(z z 1 )(z z ) P(z) = a(z z 1 )(z z ) Démonstration : Si 0 : même démonstration [ que dans R. ( Si < 0 : az + bz + c = a z + b ) ( ) ] ( i = a z + b i )( z + b + i ) a a a a Point méthode : Résoudre une équation du second degré à coefficients réels Résoudre dans C les équations suivantes : 1. 10z + z 1 = 0. z 4 + 6z 7 = 0 1. On procède au départ comme dans R. = 6 = (6i ) Lorsque < 0 il est préférable de l écrire sous la forme d un carré d imaginaire pur que l on retrouvera dans les deux solutions. L équation admet deux solutions complexes conjuguées : 6i z 1 = 0 = i 10 et z = z 1 = 1 10 i { 10 1 Donc S = 10 + i 10 ; 1 10 i } 10. On reconnaît une équation bicarrée, on effectue le même changement de variable que dans R : On pose Z = z Ainsi, z 4 + 6z 7 = 0 Z + 6Z 7 = 0 = 64 donc deux solutions réelles : Z 1 = 1 ou Z = 7 Donc z 4 + 6z 7 = 0 z = 1 ou z = 7 Conclusion : S = { 1;1;i 7; i 7 } 4

5 IV Représentation géométrique d un nombre complexe Dans les paragraphes suivants, le plan est muni d un repère orthonormal direct (O, u, v). Ce plan est nommé le plan complexe. 1 Affixe d un point A tout complexe za +i b avec a et b deux réels, on associe dans le plan complexe un point M et un seul de coordonnées (a;b). Réciproquement, à tout point M de coordonnées (a;b) du plan complexe, on associe le nombre complexe unique z = a + i b. z est appelé l affixe du point M. M est appelé le point image de z. Remarques : M(z) se lit «le point M d affixe z» et l affixe du point M se note souvent z M. Attention : on ne peut pas comparer deux complexes comme on compare deux réels!!! Soit z un nombre complexe. Le point M d affixe z et le point P d affixe z sont symétriques par rapport à l axe des réels. Démonstration : Soit M d affixe z = a + i b et P d affixe z. Alors, dans le plan muni d un repère orthonormé (O, u, v), on a M(x; y) et P(x; y). ( x + y Soit I le milieu de [M P], alors I ; y y ). Donc I (x;0) (Ox). De plus, MP(x x; y y) ie MP(0; y) est colinéaire à v. Le point N d affixe z est l image du point M d affixe z par la symétrie centrale de centre O. Affixe d un vecteur w (z) se lit «le vecteur w d affixe z» et l affixe d un vecteur w est souvent notée z w. Soient A et B deux points du plan complexe d affixes respectives z A et z B. L affixe du vecteur AB est z AB = z B z A. Règles de calculs : Soient w et t deux vecteurs d affixes respectives z et z et k un nombre réel. w = t si et seulement si z = z. z w+t = z w + z t = z + z. z kw = kz w = kz Affixe du milieu d un segment Soient A et B deux points du plan complexe d affixes respectives z A et z B. Le milieu I du segment [AB] est le point d affixe z I = z A + z B 5

6 Point méthode 4 : Déterminer l affixe d un point ou d un vecteur : Soient A, B et C les points du plan dont les affixes respectives sont z A = + i, z B = 1 i et z C = 4 + i. 1. Déterminer l affixe du vecteur AB.. Déterminer l affixe du point D tel que ABC D soit un parallélogramme.. Déterminer l affixe du centre I du parallélogramme ABC D. 1. L affixe de AB est z A z B = 1 i + i = i. Il faut traduire l égalité vectorielle par une égalité entre deux complexes : ABCD est un parallélogramme équivaut à AB = DC, donc z AB = z DC On obtient : i = 4 + i z D soit z D = 4 + i + i donc z D = + 6i. I est le milieu de la diagonale [AC ], d où : z I = z A + z C = 1 + 4i = 1 + i V Forme trigonométrique d un nombre complexe 1 Module et argument d un nombre complexe Soit z = a + i b L affixe d un point M (ou du vecteur w ) Le module d un nombre complexe, noté z, est la distance OM (ou la norme de w ) dans le plan complexe. On a donc z = a + b Pour tout nombre complexe z, z = zz Exemple : 1 + i = ( 1) + = 10 et ( 1 + i )( 1 i ) = 10 Remarque : Si z est réel, on a : z = a avec a R. Ainsi z = a = a. Le module d un nombre réel est égal à sa valeur absolue. distance entre deux points Si A et B ont pour affixes respectives z A et z B alors AB = z A z B Démonstration : z A z B = (x B + i y B ) (x A + i y A ) = (x B x A ) i (y B y A ) = (x B x A ) + (y B y A ) = AB Exemple : Si A( 5i ) et B(1 + i ) alors AB = (1 + i ) ( 5i ) = 1 + 8i = ( 1) + 8 = 65 Soit z un nombre complexe non nul d image M. Un argument de z est une mesure, en radians, de l angle orienté ( u ; OM). On le note ar g (z). 6

7 Interprétation géométrique : Remarques : Un nombre complexe a une infinité d argument car si θ est l un d eux, alors tous les autres sont de la forme θ+kπ avec k Z. Par abus de langage ou de notation, on écrit : ar g (z) = θ. 0 n a pas d arguments car l angle ( u ; OM) n est pas défini si M est en O. ( Exemple : Soient A(1), B( ), C Ar g (1) ( = 0 + kπ,k Z Ar g + i + ) i et D( i ) Ar g ( ) = π + kπ,k Z ) = π 4 + kπ,k Z Ar g ( i ) = π + kπ,k Z Le module d un nombre complexe est nul si et seulement si c est la complexe nul : z = 0 z = 0 Un nombre complexe, son conjugué et son opposé ont le même module : z = z = z ar g (z) = ar g (z)[π] ar g ( z) = ar g (z) + π[π] Démonstration : z un nombre complexe, on considère le point M d affixe z : z = 0 OM = 0 O et M sont confondus z = 0. Pour tout nombre complexe z, d image M, d après des propriétés de symétrie, les points P d affixe z et N d affixe z vérifient : OM = OP = ON c est-à-dire z = z = z Point méthode 5 : Déterminer et utiliser le module d un complexe 1. Déterminer le module des nombres complexes suivants : i, + 4i et 4. Dans le plan complexe, on donne les points C (1 + 4i ) et D( i ). Calculer la distance C D.. Soit A(z) un point du cercle de centre O et de rayon. Déterminer zz. 4. Déterminer l ensemble des points M(z) du plan complexe tels que : (a) z 1 4i = (b) z 1 4i = z + i 1. Il faut identifier a et b dans chaque écriture algébrique : i = + 4i = + 4 = 5 4 = 4.. C D = z C z D = i 1 4i = 1 5i = = 6. On traduit l appartenance au cercle par O A = et ainsi z = Or, z = zz, donc zz = On traduit le module à partir d une différence entre z (affixe cherchée) et z N (affixe d un point connu ou qu on peut placer). Ici on reconnaît 1 + 4i = z C (a) z 1 4i = z z C = MC = L ensemble cherché est donc le cercle C (C ;). (b) On reconnaît 1 + 4i = z C et i = z D z 1 4i = z + i z z C = z z D MC = MD L ensemble cherché est donc la médiatrice du segment [C D] 7

8 Forme trigonométrique d un nombre complexe non nul Théorème-définition : Tout point M du plan complexe distinct de l origine O, tel que z M = r et ar g (z M ) = θ. Il peut être repéré de deux manières : Par son affixe : z M = a + i b Par son couple (module ;argument) appelé coordonnées polaires : (r ;θ) { a = r cos(θ) On a alors : b = r si n(θ) L écriture : z = r (cos(θ) + i si n(θ)) est appelée forme trigonométrique de z. Remarque : θ peut être remplacé par n importe quel nombre de la forme θ + k π(k Z). Donc tout nombre complexe non nul admet une infinité de formes trigonométriques. Exemples : i = cos( π ) + i si n(π ) + i = cos(π 4 ) + i si n(π 4 ) Formules de passage : De la forme algébrique à une forme trigonométrique Si z = a + i b avec a,b R et (a,b) (0,0) Alors z = r (cos(θ) + i si n(θ)) avec r = z = a + b et θ tel que cos(θ) = a b et si n(θ) = z z D une forme trigonométrique à la forme algébrique Si z = (cos(θ) + i si n(θ)) avec r R { + et θ R a = r cos(θ) Alors z = a + bi avec b = r si n(θ) Point méthode 6 : Passer d une forme à l autre : algébrique-trigonométrique 1. Écrire sous forme trigonométrique le nombre complexe z 1 = 5 + i 5. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe z de module 4 et d argument π On calcule d abord le module de z z 1 = = 10 On note θ = ar g (z 1 ), on a donc : cos(θ) = a z 1 = 5 = 10 et si n(θ) = b 5 z 1 = = 10 Ainsi θ = π 4 [π] Une forme trigonométrique est donc : z 1 = 10 (cos( π4 ) + i si n( π4 ) ). En connaissant le module et un argument de z, on peut écrire une forme trigonométrique, puis remplacer par les valeurs de cos(θ) et si n(θ) ( z = 4 cos( π ) ( ) ) + i si n( π 6 6 ) = 4 1 i La forme algébrique de z est donc : z = i Propriétés calculatoires de la forme trigonométrique 8

9 Égalité de deux complexes : Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s ils ont le même module et le même argument (modulo π) Somme de deux complexes (Inégalité triangulaire) : Pour tous nombres complexes z et z : z + z z + z Produit de deux complexes : Pour tous nombres complexes z et z : z.z = z. z et ar g (zz ) = ar g (z) + ar g (z )[π] Démonstration : Soient z et z deux complexes de formes trigonométriques : z = r (cos(θ) + i si n(θ)) et z = r ( cos(θ ) + i si n(θ ) ) On a alors : zz = r ( cos(θ) + i si n(θ)) r (cos(θ ) + i si n(θ ) ) zz = r r ( cos(θ)cos(θ ) + i cos(θ) ) Inverse et quotient de deux complexes : Pour tous nombres complexes z et z : 1 z = 1 z et ar g ( 1 z ) = ar g (z )[π] z z = z z et ar g ( z z ) = ar g (z) ar g (z )[π] Démonstration : Soient z et z deux complexes (avec z 0 de formes trigonométriques : z = r (cos(θ) + i sin(θ)) et z = r ( cos(θ ) + i sin(θ ) ) On a alors : z r (cos(θ) + i sin(θ)) = z r (cos(θ ) + i sin(θ )) z z = r ( (cos(θ) + i sin(θ)) cos(θ ) i sin(θ ) ) r (cos(θ ) + i sin(θ ))(cos(θ ) i sin(θ )) z z = r ( cos(θ)cos(θ r ) + sin(θ)sin(θ ) ) + i ( si n(θ)cos(θ ) cos(θ)sin(θ ) ) cos (θ ) + sin (θ ) z z = r r ( cos(θ θ ) + i sin(θ θ ) ) Puissance d un complexe : Pour tout nombre complexe z et tout entier relatif n : z n = z n et ar g (z n ) = n ar g (z) Démonstration : Par récurrence à partir de la formule d un produit. Exemples : 1 + i 1 + i i = = + i + 1 = = et (1 + i ) ( ) = 1 + = Point méthode 7 : Utiliser les propriétés sur les modules et les arguments 1. On considère z = 1 + i. Déterminer la forme algébrique de z01. (a) Déterminer la forme algébrique, puis la forme trigonométrique de Z = (b) En déduire les valeurs exactes de cos( π 1 ) et de sin( π 1 ) i 1 i 9

10 1. Pour déterminer la forme algébrique de z n, on détermine d abord une forme trigonométrique de z n On trouve z = 1 et ar g (z) = π Or, z 01 = z 01 = 1 et ar g (z 01 ) = 01 ar g (z) = 01π = π + 010π = π + 5 π = π [π] Ainsi une forme trigonométrique de z 01 est : z 01 = cos( π ) + i sin( π ) D où la forme algébrique : z 01 = 1 + i i. (a) Z = = ( i )(1 + i ) = + i est la forme algébrique de Z. 1 i Z étant un quotient, on va déterminer le module et l argument du numérateur puis du dénominateur i a = et cos(θ) = z = sin(θ) = b z = 1 on a donc ar g ( i ) = π 6 1 i = et cos(θ ) = a z = 1 = sin(θ ) = b z = on a donc ar g (1 i ) = π 4 Ainsi, d après les formules : Z = et ar g (Z ) = π 6 + π 4 = π 1 Une forme trigonométrique de Z est donc : Z = (cos( π 1 ) + i sin( π ) 1 ) (b) D après les formules de passages, on sait que a = r cos(θ) et que b = r sin(θ) Comme on connaît a et b grâce à la forme algébrique et r grâce à la forme trigonométrique, on obtient : π + 1 cos( 1 ) = Ainsi, cos( π ) = = 4 π 1 sin( 1 ) = Ainsi, sin( π 6 1 ) = 4 VI Notation exponentielle Il semblerait que les arguments suivent les mêmes règles de calcul que les exposants. En fait, la fonction f définie par f (t) = cos(t) + i sin(t) vérifie l équation fonctionnelle : f (t + t ) = f (t) f (t ) qui est la relation fonctionnelle de l exponentielle. De plus, les fonctions cos et sin étant dérivables sur R, on admet que la fonction à valeurs complexes f est aussi dérivable sur R et que pour tout t, f (t) = sin(t) + i cos(t) = i (cos(t) + i sin(t)) = i f (t) Ainsi, f = i f et f (0) = 1 donc par analogie avec la fonction exponentielle, on note : θ R, cos(θ) + i sin(θ) = e iθ, nombre complexe de module 1 et d argument θ. Tout nombre complexe z non nul, de module r et d argument θ possède une écriture z = r e iθ appelée forme exponentielle de z. Exemple : } 6 + {{ i } = écriture algébrique ( ) + i 1 = (cos( π ) 6 ) + i sin(π 6 ) = e i π 6 }{{} écriture trigonométrique }{{} écriture exponentielle Remarque : attention, si une exponentielle réelle est toujours positive, ce n est pas le cas de l exponentielle complexe! En effet e iπ = 1 on retrouve la formule d Euler (notre maître à tous!) 10

11 Propriétés : autre écriture des propriétés sur les modules et les arguments Pour tout réels θ et θ, pour tous réels strictement positifs r et r, et tout entier relatif n : z = z r e iθ = r e iθ r = r et θ = θ + kπ(k Z) zz = r e iθ r e iθ = r r e i (θ+θ ) z n = ( r e iθ) n = r n e i nθ 1 z = 1 r e iθ = 1 r e iθ z z = r eiθ r e iθ = r r ei (θ θ ) Applications : 1. La formule e iθ.e iθ = e i (θ+θ ) permet de retrouver facilement les formules d addition du cos et du sin.. Pour tout réel θ, on a cos(θ) + i sin(θ) = e iθ et cos(θ) i sin(θ) = e iθ D où, cos(θ) = eiθ + e iθ et sin(θ) = eiθ e iθ (formules d Euler) i Point méthode 8 : Utiliser la notation exponentielle 1. Soit z = e iπ. Montrer que z 57 est un réel et préciser son signe.. Linéariser (cos(θ)), c est-à-dire l écrire sans puissance. 1. Pour démontrer qu un nombre est réel, on peut démontrer qu il a un argument égal à 0 ou à π ar g (z 57 ) = 57ar g (z) = 57 π = π + 9 π = π[π] Ainsi, z 57 est un réel. Pour déterminer le signe d un nombre complexe réel, on peut l écrire sous forme exponentielle. z 57 = z 57 = 57 On en déduit que z 57 = 57 e iπ, or e iπ = 1 donc z 57 = 57 est un réel négatif.. Pour linéariser des formules trigonométriques, on utilise les formules d Euler ainsi que les coefficients du triangle de Pascal. ( ) cos(θ) = eiθ + e iθ d où cos e iθ + e iθ (θ) = = 1 ( e iθ + e iθ e iθ + e iθ e iθ + e iθ) = 1 ( e iθ + e iθ + e iθ + e iθ) 8 8 Conclusion : cos (θ) = 1 8 (cos(θ) + 6cos(θ)) = 1 4 cos(θ) + 4 cos(θ) Point méthode 9 : Faire des démonstrations géométriques 1. Soient A, B et C trois points du plan complexe d affixes respectives : z A = e iπ 4, z B = 4 + i et z C = 5 i. Calculer z B z A et z C z A. En déduire que les points A, B et C sont alignés.. Soient E, F et G trois points du plan complexe d affixes respectives : z E = i, z F = + i et z G = + i. (a) Déterminer la forme algébrique du quotient z F z E z G z E, puis une forme trigonométrique. (b) Donner une interprétation géométrique. En déduire la nature du triangle EFG. 11

12 1. Pour faire des opérations sur les affixes, il faut les écrire sous la même forme. Nous allons écrire z A sous forme algébrique. z A = (cos( π ) 4 ) + i sin(π 4 ) = ( ) + i = 1 + i Donc z B z A = 4 + i 1 i = + i et z C z A = 5 i 1 i = 6 i = ( + i ) Ainsi z C z A = (z B z A ) et donc AC = AB ce qui signifie que A, B et C sont alignés. (a) Pour trouver la forme trigonométrique d un nombre complexe, on doit en trouver son module et son argument. On écrire d abord le quotient sous forme algébrique z F z E = + i + i = + i = ( + i )( i ) = i = 1 z G z E + i + i + i i On en déduit que z F z E 1 z G z = E = 1 Si l on note θ un argument de z F z E, on a cos(θ) = 1 et sin(θ) = z G z E donc θ = π. Conclusion : z F z E = cos( π z G z E ) + i sin(π ). z F z E = EF = 1 donc EF=EG. z G ( z E EG ) zf z E (b) ar g = ar g (z F z E ) ar g (z G z E ) = ( z G z E ) EG; EF = π Conclusion : le triangle EFG est équilatéral. 1