, où E est un espace vectoriel réel de dimension finie et φ une forme bilinéaire symétrique sur E définie positive : φ (i)

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1 Esaces vecorels eucldes Groue orhogoal ESPACES VECTORIELS EUCLIDIENS GROUPE ORTHOGONAL Produ scalare Défo O aelle esace euclde ou coule ( E, φ, où E es u esace vecorel réel de dmeso fe e φ ue forme bléare symérque sur E défe osve : E, φ : E E ( es léare φ(, y (, y E, φ(, y φ( y, ( E, φ(, 0 e φ(, 0 0 Das oue la sue, E désge u esace vecorel euclde de dmeso Noao : O oe souve ( y au leu de φ (, y N Iégalé de Schwarz ( y y, y E, Il y a égalé s e seuleme s la famlle (, y es lée So f : R R la foco défe ar R, f ( 0 + y Or, ( ( f ( + y + y + y + y doc 0, c'es-à-dre 4( y 4 y 0 doc ( y y doc ( y y Suososs (, y lée S 0, l'égalé es évdee, so, l ese R y, Alors ( y ( e y Suosos qu'l y a égalé Alors 0 e la foco olyomale f du secod degré adme ue race double 0 Doc 0 f ( 0 0, c'es-à-dre + y 0, so + y 0 (car es ue orme (, y es doc ue famlle lée 0 S DUCHET - wwweslo000frs /4

2 3 Iégalé de Mkowsk Esaces vecorels eucldes Groue orhogoal, y E, + y + y Il y a égalé s e seuleme s 0 ou y 0 ou y λ avec λ 0 + y ( + y y ( + + y + y ( y + + y + y + y (alcao de l'égalé de Schwarz doc y ( + y +, d'où le résula (crossace de la foco racé carrée s'l y a égalé, alors ( y y doc (, y es ue famlle lée (c'es la cas d'égalé de Schwarz Alors 0 ou y 0 ou R, y Das ce derer cas, ( y Or ( y 0 doc ( y 0 s 0 ou y 0 l'égalé es évdee e s λ y avec λ 0, o a + y ( + λ y ( + λ y e + y ( + λ y 4 Théorème e défo (orme eucldee L'alcao : E R orme eucldee So E défe ar ( ( 0 ( Soe E, λ R λ ( λ λ λ ( λ es ue orme sur E Cee orme es aelée doc λ λ λ l'égalé ragulare es l'égalé de Mkowsk S DUCHET - wwweslo000frs /4

3 Esaces vecorels eucldes Groue orhogoal 5 Ideés de olarsao, y E, o a : ( ( y ( + y y 4 y + y y y + y y ( ( ( ( ( ( ( ( + y y (( + y + y ( y y 4 4 ( + ( y + y + ( y y 4 ( y ( e ( de démore de la même maère Orhogoalé Théorème e défos (élémes orhogoau, orhogoal d'ue are ( Soe, y E O d que e y so orhogoau s ( y 0 o oe alors y ( So A ue are o vde de E O aelle orhogoal de A, oé A, l'esemble A { E y A, ( y 0} C'es u sous esace vecorel de E ( Soe A e B deu ares o vdes de E O d que A e B so orhogoales s : (, y A B y O oe alors A B,( 0 ( A O/ car 0 aare à ce esemble Soe A,, α, β R So y A ( α + β y α( y + ( y β α 0 + β 0 0 A es doc u sous esace vecorel de E S DUCHET - wwweslo000frs 3/4

4 Esaces vecorels eucldes Groue orhogoal Prooso Soe A e B deu ares o vdes de E Les asseros suvaes so équvalees : ( A e B so orhogoales ( A B ( B A ( ( So A y B, ( y 0 doc ( ( So B A, ( y 0 y doc B e doc A e doc A B B A ( ( So (, y A B y B doc y A doc ( y 0 e doc A e B so orhogoales 3 Prooso Soe A e B deu ares o vdes de E elles que A B Alors B A So B So y A A B doc B Doc A, ( y 0 y doc y doc ( y 0 A e doc B A 4 Théorème Soe F e G deu sous esaces vecorels sulémeares de E ( E F G Les asseros suvaes so équvalees : ( F e g so des sous esaces orhogoau ( G F ( F G ( ( : G F : déjà moré So F!(, F G +, ( 0 e ( ( 0 ( ( ( ( S DUCHET - wwweslo000frs 4/4

5 Esaces vecorels eucldes Groue orhogoal Doc 0 e doc G doc F G Doc F G ( ( : Suosos que G F So (, y F G y G doc y F doc ( y 0 doc F e G so orhogoales Coséquece : S F es u sous esace vecorel de E, F F E effe, o a E F F F es u sous esace vecorel de E doc o a auss O red G F e o alque le héorème récéde, ce qu doe F F E F F 5 Théorème So F u sous esace vecorel de E Alors E F F S F {} 0 ou s F E, le résula es évde So : F F {} 0 : So F F F e F doc ( 0 doc 0 So e,, e ue base de F ( dm(f ( : défe ar ( ( So u E R e,, du rodu scalare So Ker(u u ( (0,,0 doc : ( e 0 e u es clareme léare de E das R (léaré N, doc F doc Ker ( u F Récroqueme, s F, alors u ( 0 (vérfcao mmédae Doc Ker ( u F D'arès le héorème du rag, dm ( F + dm(im( u Comme Im( u R, dm(im( u e doc dm( F dm( F + F dm ( F + F dm( F + dm( F dm( F F Comme F F { 0}, o e dédu que dm ( F + F dm( F + dm( F dm( F dm( F + F dm( F doc dm( F Doc dm( F O a doc F { 0} F e dm ( F + dm( F dm( E doc E F F S DUCHET - wwweslo000frs 5/4

6 Esaces vecorels eucldes Groue orhogoal 6 Théorème U esace euclde adme ue base orhoormale, c'es-à-dre que s E es u esace euclde de dmeso, alors l ese ue base e,, e, j N, e e δ ( e de E vérfa : ( j j Par récurrece sur la dmeso de E Noos P( la roréé : "s E es u esace euclde de dmeso base orhoormale" : So E u esace euclde de dmeso So E, 0 es ue base orhoormale de E N, alors E adme ue So N Suosos P( vrae So E u esace euclde de dmeso + So E, 0 So e + So F vec( e+ D'arès le héorème récéde, E F F F es u esace euclde e dm ( F dm( E dm( F F adme doc u ebase orhoormale ( e,, e (hyohèse de récurrece ( e,, e + es ue base orhoormale de E doc P(+ es vrae Doc N, P( es vrae 7 Théorème de Pyhagore So ( ue famlle d'élémes de E qu es orhogoale (c'es-à-dre s j N j Alors alors ( 0, avec j, Par récurrece sur Noos P( la roréé : "s : évde : Soe E, els que ( 0 ( es ue framlle orhogoale de E, alors Alors + ( + + ( + ( + ( + doc P( es vrae " so N, Suosos P( vrae So ( + ue famlle orhogoale de E S DUCHET - wwweslo000frs 6/4

7 Esaces vecorels eucldes Groue orhogoal (d'arès P(, car (hyohèse de récurrece + doc P(+ es vrae Doc N, P( es vrae 3 Groue orhogoal E désge oujours u esace euclde de dmeso N 3 Défo : edomorhsme orhogoal So u u edomorhsme orhogoal de E O d que u es u edomorhsme orhogoal s u, y E, y y coserve le rodu scalare, c'es-à-dre s : ( ( 3 Théorème (caracérsao d'u edomorhsme orhogoal U edomorhsme u de E es orhogoal s e seuleme s l coserve la orme, c'es-à-dre s e seuleme s : E, Suosos u orhogoal So E u ( ( ( (car u coserve le rodu scalare Doc u ( Suosos que u coserve la orme Soe, y E ( y ( + y y (deé de olarsao S DUCHET - wwweslo000frs 7/4

8 ( + y y ( + y y (léaré de u (u coserve la orme y (deé de olarsao ( u es doc u edomorhsme orhogoal Esaces vecorels eucldes Groue orhogoal 33 Corollare Tou edomorhsme orhogoal de E es u auomorhsme So u u edomorhsme de E So Ker(u u ( 0 doc u ( 0 doc 0 (car u coserve la orme doc 0 Doc Ker ( u {} 0 doc u es jecve doc u es bjecve car E es de dmeso fe 34 Théorème e défo (groue orhogoal L'esemble des edomorhsmes orhogoau d'u esace euclde E es u sous groue du groue léare GL (E, aelé groue orhogoal de E e oé O (E Noos O (E l'esemble des auomorhsmes orhogoau de E O ( E O/ car d E O(E Soe u, v O( E So E u v( v( (car u O(E (car v O(E Doc u v O(E So u O(E u es bjecve de E das E So E! y E, y u u ( Or, u u ( u ( (car u O(E doc u ( Doc u O( E S DUCHET - wwweslo000frs 8/4

9 Esaces vecorels eucldes Groue orhogoal 35 Théorème U edomorhsme u de E es orhogoal s e seuleme s l'mage d'ue base orhoormale de E ar u es ue base orhoormale de E démosrao Suosos u orhogoal So e,, e (,, e ue base orhoormale de E Alors j N ( e e j δ j u coserve le rodu scalare doc :, j N, ( e e j δ j ( u ( e,, e es ue base de E car cee famlle es l'mage d'ue base de E ar ue alcao bjecve de E das E u ( e,, e es doc ue base orhoormale de E ( Suosos que l'mage ar u d'ue base orhoormale de E es ue base orhoormale de E So e ( e,, e ue base orhoormale de E elle que l'mage de cee base ar u so ue base orhoormale de E So E! ( R, e u ( u e e u e (léaré de u ( (héorème de Pyhagore car ( e es ue famlle orhogoale (car les u e so de orme ( u coserve la orme doc u es u edomorhsme orhogoal 36 Théorème (cas où la dmeso de E es So E u esace euclde de dmeso So u u edomorhsme orhogoal de E Alors l cos( θ s( θ ese ue base orhoormale e de E e u réel θ els que ma ( u; e ou s( θ cos( θ cos( θ s( θ ma ( u; e s( θ cos( θ So e ( e, e ue base orhoormale de E elle que ( u ( e, ( u e so ue base orhoormale de E a c Noos ma ( u; e b d u ( e ae + be u ( e ce + de S DUCHET - wwweslo000frs 9/4

10 Esaces vecorels eucldes Groue orhogoal ( ( e e ( ( e e ( e e 0 u doc a + b u doc c + d u doc ac + bd 0 ( a + b doc l ese u réel θ el que a cos(θ e b s(θ c + d doc l ese u réel θ ' el que c cos(θ' e d s(θ' ac + bd 0 doc cos( θ cos( θ' + s( θs( θ' 0 doc cos( θ ' θ 0 π doc θ ' θ [ π] π θ' θ + [π] doc, ce qu doe les deu formes de marces aocées π θ' θ [π] 37 Prooso U edomorhsme u de E es orhogoal s e seuleme s sa marce A das ue base orhoormale vérfe : AA I démosrao So e ue base orhoormale de E e A ma( u; e s u es u edomorhsme orhogoal :, y E, ( y ( y doc X, Y M ( R, ( AX AY XY, c'es-à-dre X AAY XY Doc AA I Suosos que AA I Soe, y E, X ma( ; e, Y ma( y; e ( y ( AX AY X AAY XI Y XY ( y doc u es u edomorhsme orhogoal 38 Corollare S u es u edomorhsme orhogoal, alors de( u S DUCHET - wwweslo000frs 0/4

11 Esaces vecorels eucldes Groue orhogoal So e ue base orhoormale de E, A ma( u; e O a doc AA I Doc de( AA Or, de( AA de( A de( A de( A (car de( A de( A doc de( A Comme de( u de( A, o a doc le résula aocé 39 Défos ( O oe O + (E ou SO (E l'esemble des edomorhsmes orhogoau de déerma ( O oe O (E l'esemble des edomorhsmes orhogoau de déerma 30 Prooso e défo (groue sécal orhogoal SO (E es u sous groue de O (E, aelé groue sécal orhogoal SO( E O( E SO ( E O/ car d E SO(E Soe u, v SO( E u v O(E e de( u v de( u de( v doc u v SO(E So u SO(E u O( E de( u de( u (car de( u Doc u SO( E 3 Lemme Pour ou edomorhsme orhogoal u de E, l ese u sous esace vecorel de E de dmeso ou vara ar u démosrao s u adme ue valeur rore λ : So u veceur rore assocé λ 0 e λ Doc λ S DUCHET - wwweslo000frs /4

12 Esaces vecorels eucldes Groue orhogoal Or u ( car u es orhogoal doc λ doc λ e doc {, } λ R es u sous esace vecorel de E, de dmeso e vara ar u : e effe dm ( R dm( R doc u ( R R R R e s u 'adme as de valeur rore : So v u + u v es u edomorhsme symérque soe, y E ( v ( y ( + u ( y ( u ( y + ( u ( y! z E, y z z E, y u (! z doc ( v( y ( z + ( u ( z ( z + ( u, u (car O( E z ( u ( y + ( y ( v(y v éa u edomorhsme symérque, v adme au mos ue valeur rore réelle λ (vor chare edomorhsmes symérques So u veceur rore assocé à la valeur rore λ : v( λ doc λ u ( So F vec(, (, es lbre so u admera ue valeur rore doc dm ( F So y F α, β R, y α + β y α + β (léaré de u α + β λ u ( α + βλ β doc y F doc F F u es bjecve doc dm ( F e doc u ( F F 3 Théorème U edomorhsme u de E es orhogoal s e seuleme s E es somme drece orhogoale d'ue famlle ( Ek k m de sous esaces vecorels de E els que our ou k N m, E k es de dmeso ou, vara ar u, l'alcao due u k ( uk : Ek Ek éa l'deé ou so oosée s dm ( E k, ue roo aure que l'deé ou so oosée s dm ( E k démosrao La codo es suffsae : o suose qu'ue elle famlle ( Ek k m ese Il ese alors ue base e ( e,, e de E elle que : S DUCHET - wwweslo000frs /4

13 Esaces vecorels eucldes Groue orhogoal I I q ma( u; e, I S e I q éa des marces ués d'ordres e q, θ Sθ cos( θ s( θ forme : s( θ cos( θ ( e e 0, j N, j, ( e e N, ( e,, e ( j S θ éa de la u es doc ue famlle orhoormale à élémes das u esace de dmeso, c'es doc ue base orhoormale de E L'mage ar u d'ue base orhoormalee de E es ue base orhoormale de E doc u es u edomorhsme orhogoal La codo es écessare : So u O(E D'arès le lemme récéde, l ese u sous esace E de E de dmeso ou, vara ar u el que l'edomorhsme u du ar u sur E vérfe la codo du héorème ar récurrece sur la dmeso de E Noos P( la roréé : "S E es u esace euclde de dmeso e s u es u edomorhsme orhogoal de E, alors E es somme drece orhogoale d'ue famlle ( Ek k m de sous esaces vecorels de E els que our ou k N m, E k es de dmeso ou, vara ar u, l'alcao due u k ( uk : Ek Ek éa l'deé ou so oosée s dm ( E k, ue roo aure que l'deé ou so oosée s dm ( " E k Alors : so u O(E, E éa u esace euclde de dmeso u d E ou u d E P( es doc vrae : so u O(E, E éa u esace euclde de dmeso ou be u d E ou be u d E 0 ou be u O (E e l ese ue base orhoormale de e elle que ma ( u; e 0 ou be u O + ( E { d E, d E } e l ese ue base orhoormale de E elle que cos( θ s( θ ma ( u; e, avec θ 0[ π] s( θ cos( θ Doc P( es vrae So N, Suosos P(k vrae our k N, k So E u esace euclde de dmeso + D'arès le lemme récéde, l ese u sous esace vecorel E de E vara ar u L'edomorhsme u du ar u sur E vérfe la codo mosée à u k das l'éocé du héorème S DUCHET - wwweslo000frs 3/4

14 Esaces vecorels eucldes Groue orhogoal E es sable ar u : So E So y E ( u ( y ( y 0 doc u ( E Or u ( E E e u es bjecve doc u ( E E e doc u ( E doc u ( E E doc E es sable ar u ( u O E, E éa u esace euclde de dmeso féreure ou égale à O alque alors l'hyohèse de récurrece : E es somme drece d'ue famlle ( Ek k m de sous esaces de E vérfa la codo du héorème ( Ek k m es doc ue famlle de sous esaces de E elle que : Pour ou k N m, E k es de dmeso ou ; k N E E ; m k L'alcao due u k ar u sur E k es l'deé ou so oosée s dm ( E k, ue roao aure que l'deé ou so oosée s dm ( E k Doc P(+ es vrae Doc our ou N, P( es vrae S DUCHET - wwweslo000frs 4/4