Algèbre 2 ENSEMBLE DES NOMBRES COMPLEXES

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1 Algèbr -chap /7 Algèbr ENSEMBLE DES NOMBRES COMPLEXES Dans l nsmbl du chapitr, on s plac dans l plan P muni d un rpèr orthonormé dirct (O ; ; ) (applé plan complx ou plan d Argand Cauchy).. ELEMENTS DE TRIGONOMETRIE. Définitions Définition : Dans l plan P on considèr un point M situé sur l crcl d cntr O, d. rayon (crcl trigonométriqu). On not θ un msur n radian d l angl ( ;OM) On appll cosinus du rél l absciss d M dans (O ; ; ) d M, rspctivmnt notés cos( ) t sin( ). Pour k ( k ) θ + Z, on définit la tangnt du rél par : tan ( ) Propriété : R ( ) ( ) θ, cos θ + sin θ = Rmarqu : Soint OAB un triangl rctangl n A t θ= AOB. Soit M(x ; y) sur C(O, ) tl qu x = cos(θ ) t y = sin(θ ). OA x = cos () θ = OB OA OB AB AB L théorèm d Thalès donn : = = y = sin () θ = x OM y OB sin() θ AB tan () θ = = cos() θ OA On rtrouv ls notions d trigonométri dans l triangl rctangl.. Formuls d trigonométri.. Formuls d addition t sinus d c rél l ordonné ( θ) ( ) sin θ = cos θ. cos(a + b) = cos a cos b sin a sin b sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b cos(a b) = cos a cos b + sin a sin b sin(a b) = sin a cos b cos a sin b tan(a b) tan a + tan b tan a tan b + = si a, b t a + b sont différnts d ( k + ) ( k Z ) tan(a b) tan a tan b tan a tan b = si a, b t a b sont différnts d ( k + ) ( k Z ) +

2 Algèbr -chap /7.. Formuls d duplication cos a = cos a sin a sin a = sin a cos a + cos a cos a cos a = sin a =..3 Transformation d produits n somms ( + ) + ( ) cos a b cos a b cos a cos b = cos a b cos a b sin a sin b = sin a b sin a b sin a cos b = ( ) ( + ) ( + ) + ( )..4 Transformation d somms n produits a + b a b a + b a b cos a + cos b = cos cos cos a cos b = sin sin a + b a b a b a + b sin a + sin b = sin cos sin a sin b = sin cos. L ENSEMBLE DES NOMBRES COMPLEXES. Définition Définition : On not i un nombr imaginair. On appll nombr complx tout nombr qui s écrit sous la form = x + i.y (dit form algébriqu) où x t y sont ds réls. ( On not aussi = x + y.i) x st applé parti réll d, on not x = R(). y st applé parti imaginair d, on not y = Im(). L nsmbl ds nombrs complxs st noté. Rmarqus : (i) = (R() = R( ) t Im() = Im( )). (ii) Si y = 0, st un nombr rél. (iii) Si x = 0, on dit qu st un imaginair pur ( i. ).. Rprésntation géométriqu Définition 3 : L application d dans P qui à = x + i.y associ M(x ; y) st un bijction. On dit qu st l affix d M t qu M st l imag ponctull d. On not M(). L application d dans l nsmbl V ds vcturs du plan qui à = x + i.y associ v (x ; y) st un bijction. On dit qu st l affix d v t qu v st l imag vctorill d. On not v (). Rmarqu : Pour tout point M du plan, M t OM ont la mêm affix.

3 Algèbr -chap 3/7.3 Form trigonométriqu Définition 4 : Soint = x + i.y un nombr complx t M son imag ponctull dans l plan complx rapporté au rpèr orthonormal dirct (O ; ; ) La distanc OM st applé l modul d, noté I I. Si st non nul la msur d l angl (,OM), défini à -près, st applé un argumnt d, noté arg( ). Rmarqu : Si θ t θ sont dux argumnts d un nombr complx, alors θ =θ [ ] Propriété : Soit *, tl qu = x + i.y (x, y IR) avc II = ρ t arg() = θ [ ]. On a : = ρ (cosθ + i sinθ ) avc ρ = x + y, cos θ = x ρ t sinθ = y ρ. Définition 5 : La form = ρ (cosθ + i sinθ ) (avc II = ρ t arg() = θ [ ] ) st applé form trigonométriqu d. Proposition : Dux nombrs complxs non nuls sont égaux si t sulmnt si ils ont l mêm modul t ds argumnts égaux à -près. 3. OPERATIONS SUR LES NOMBRES COMPLEXES 3. Lois intrns On munit d dux opérations intrns + t. définis par : (x + i.y) + (x + i.y ) = (x + x ) + i.(y + y ) (x + i.y). (x + i.y ) = (xx yy ) + i.(xy + yx ) Rmarqus : (i) Avc la loi. on a : i. i = -. On not i² = -. En appliquant ctt propriété, on constat qu ls opérations sur sont compatibls avc ls opérations sur t possèdnt ls mêms propriétés (associativité, distributivité, commutativité). (ii) (iii) Pour tout nombr complx = x + i.y, il xist un nombr complx, noté, tl qu + (-) = 0. C st l nombr = - x + i.(-y). On not pour tous nombrs complxs t : = + (- ). Pour tout nombr complx non nul = x + i.y, il xist un nombr complx, noté tl qu. =. C st l nombr x yi =. x + y On not pour tous nombrs complxs t ( non nul) : ' =.. '

4 Algèbr -chap 4/7 3. Conjugaison Définition 6 : Soit = x + i.y (x, y réls). On définit l conjugué d par = x i.y. Propriétés : ( ; ) on a : = + ' = + ' ; ' = ' ; si 0, = t ' = ' R() = ( + ) t Im() = ( ) ; R = i Si = x + i.y (x, y réls) alors. = x + y. 3.3 Propriétés du modul ( ; ) on a :. = = 0 = 0 = - = = ; *, = + + (Inégalité triangulair) t ' ' = ' ' 3.4 Propriétés d l argumnt ( ; ) * on a : arg() = 0 [] t arg() = 0 [] * arg() = [ ] st un imaginair pur (non nul). arg( ) = - arg() [] t arg(-) = arg() + [] arg( ) = arg() + arg( ) [] arg = - arg() [] t arg ' = arg() arg( ) [ ]

5 Algèbr -chap 5/7 3.5 Notation xponntill Notation xponntill d un nombr complx d modul : θ, on not iθ = cos θ + i sinθ. Propriétés : (θ ; θ ) on a : i(θ + θ ) = i θ i θ ; iθ = i θ ' ( θ θ' ) i n iθ n inθ n Z,( ) = ( cosθ+ isinθ ) = = cos( nθ+ ) isin( nθ) (formul d Moivr) i θ ( ) iθ = iθ t = i ( θ+ ) i θ = θ Z. cosθ = ( iθ + -iθ ) t sinθ = i (iθ -iθ ) (formuls d Eulr) Rmarqu : D la form trigonométriqu d un nombr complx = ρ (cosθ + i sinθ ) on obtint la form xponntill d un nombr complx : = ρ iθ. 3.6 Exponntill complx Définition 7 : Pour tout nombr complx, on pos : R( ) Rmarqu : t arg ( ) Im( ) [ ] = =. R( ) iim( ) =. Propriétés : ( ; ' ) C on a : + ' ' = ' ; = = ' iz + = + + ' ' ' ' 4. RACINES n-ièms Proposition : l nsmbl U ds nombrs complxs d modul st stabl pour la multiplication. Définition 8 : Soint n * t a. On dit qu st un racin n-ièm d a si n = a. Rmarqu : n = 0 = 0.

6 Algèbr -chap 6/7 Théorèm : n N, n, tout nombr complx non nul ièms : θ k i( + ) n n n k, k 0;n = ρ. a i =ρ θ admt n racins n- Rmarqu : Ls imags ponctulls ds racins n-ièms d sont ls sommts d un polygon régulir inscrit dans un crcl d cntr O t d rayon n ρ. * Définition 9 : n N, l équation Z n = possèd n racins complxs : ω k = k 0;n applé racins n-ièms d l unité. ik n où Exmpls : pour n =, ls solutions d l équation Z = sont : t - (dans R comm dans C) pour n = 3, ls solutions complxs d l équation Z 3 = sont : ; j = i 3 pour n = 4, ls solutions complxs d l équation Z 4 = sont : ; - ; i ; - i Proposition 3 : n / n : l nsmbl ds racins n-ièms d l unité, U n = { C / n = }, st stabl pour la multiplication la somm ds n racins n-ièms d l unité st null ; 4i 3 j = 5. INTERPRETATION GEOMETRIQUE DES NOMBRES COMPLEXES 5. Intrprétation d un différnc Rmarqu : Si l point A a pour affix α t B a pour affix β alors AB a pour affix β α. Proposition 4 : Soint A un point d affix α, t B un point d affix β, alors : β α = AB t, si A B, arg( β α ) = ( ;AB)[ ] * Proposition 5 : Soit ( a; r) C R +. L nsmbl C = { C, a= r} st l crcl d cntr A d affix a t d rayon r ; L nsmbl D = { C, a r} st l disqu frmé d cntr A t d rayon r. 5. Intrprétation d un rapport Proposition 6 : Soint A(a), B(b), C(c), D(d), a b, c d alors d c CD d c = t arg b a AB b a = ( AB ; CD ) [].

7 Algèbr -chap 7/7 Proposition 7 : Soint A B t C D, alors : d c (AB) // (CD) arg b a = 0 [] d c (AB) (CD) arg = [ ] b a Proposition 8 : Soint A(a), B(b), C(c), trois points distincts. L triangl ABC st rctangl isocèl (dirct) n A si t sulmnt si c a = i. b a c a i 3 L triangl ABC st équilatéral (dirct) si t sulmnt si =. b a 5.3 Applications dans t transformations du plan b Proposition 9 : Soit b. L application F : P P tll qu F : M() M ( + b) st un translation d vctur v d affix b a Définition 0 : Soit a R \{0 ; }. L application F : P P tll qu F : M() M (a) st applé homothéti d cntr O d rapport a. Proposition 0 : Soint O un point du plan usul P, t a un rél non nul. L application F : P P st un homothéti d cntr O d rapport a si t sulmnt si pour tout point M d P, l point imag M vérifi : OM ' = a OM. i Définition : Soit a C tl qu a = θ. L application F : P P tll qu F : M() M (a) st applé la rotation d cntr O t d angl. Proposition : Soint O un point du plan usul P, t un rél non nul. L application F : P P st la rotation d cntr O t d angl si t sulmnt si : OM;OM ' = θ pour tout point M d P, l point imag M vérifi : OM = OM t ( ) [ ] Proposition : L application F : P P tll qu F : M() M ( ) st la symétri d ax O;