FORMULAIRE pour le BREVET des COLLEGES. Algèbre

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1 Priorités opératoires Algèbre Dans une expression, on effectue d'abord les calculs entre les parenthèses les plus intérieures puis les multiplications et les divisions de gauche à droite et, enfin, les additions et les soustractions de gauche à droite. Calculs sur les relatifs Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on additionne leurs distances à zéro et on garde le signe commun. Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires, on soustrait leurs distances à zéro et on prend le signe de celui qui a la plus grande distance à zéro. Soustraire un nombre relatif revient à additionner son opposé. Deux nombres relatifs qui ne diffèrent que par leur signe sont opposés. Pour multiplier deux nombres relatifs, on multiplie les distances à zéro et on applique la règle des signes : le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif ; le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est négatif. Pour diviser deux nombres relatifs non nuls, on divise les distances à zéro et on applique la règle des signes : le quotient de deux nombres relatifs de même signe est positif ; le quotient de deux nombres relatifs de signes contraires est négatif. Calculs sur les fractions Le quotient de deux nombres reste inchangé si on multiplie (ou si on divise) ces deux nombres par un même nombre non nul. Pour additionner (ou soustraire) deux fractions, on les réduit au même dénominateur, puis on additionne (ou on soustrait) les numérateurs et on conserve le dénominateur commun. Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Pour diviser deux fractions, on multiplie la fraction numérateur par l'inverse de la fraction dénominateur. Calculs sur les puissances Pour tout nombre relatif a non nul et tout nombre entier n positif non nul : a n = a a a et a n 1 = = 1. a a a a n n facteurs n facteurs En particulier : a 1 =a et a 1 = 1 a. Par convention : a 0 = 1. a et b étant deux réels, m et n étant deux entiers naturels : a m a n =a m n ; a b m =a m b m ; a b m= am b m ; a m n =a m n ; Remarques relatives aux puissances de 10 : 10 3 = = = = a m a n =am n Collège André Tiraqueau- Mme Micou - Page 1/10

2 Notation scientifique normalisée Tout nombre positif x peut s'écrire sous la forme x=a 10 n, où 1 a 10 et n est un entier relatif. Calculs sur les racines carrées La racine carrée d'un nombre positif a est le nombre positif, noté, dont le carré est a. Le symbole est appelé «radical». a et b étant des réels strictement positifs : Distributivité a 2 = a 2 =a ; a b= a b ; a b = a b. a, b, c, d et k étant cinq réels quelconques : k a b =ka kb k a b =ka kb a b c d =ac ad bc bd Identités remarquables a et b étant deux réels quelconques : a b 2 =a 2 2ab b 2 Multiple d'un entier naturel a b 2 =a 2 2ab b 2 a b a b =a 2 b 2 Arithmétique On appelle multiple d'un nombre entier naturel, le produit de ce nombre entier naturel par un autre nombre entier naturel. Diviseur d'un entier naturel Soit deux entiers naturels a et b. a est diviseur de b lorsque la division de b par a se fait exactement, c'est-à-dire ne donne pas de reste. Diviseur commun à deux entiers naturels Un entier naturel est diviseur commun de deux entiers naturels s'il les divise tous les deux. PGCD (plus grand commun diviseur) de deux entiers naturels Soit deux entiers naturels a et b. Le plus grand de tous les diviseurs communs à a et b est appelé PGCD de ces deux nombres. Nombre premier Un nombre est premier lorsqu'il est divisible que par 1 et par lui-même. Nombres premiers entre eux Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1. Collège André Tiraqueau- Mme Micou - Page 2/10

3 Fraction irréductible La fraction a est irréductible lorsque a et b sont premiers entre eux. b Si a et b ne sont pas premiers entre eux, la fraction est simplifiable. En divisant les deux entiers a et b par leur PGCD, on obtient une fraction irréductible. Algorithme d'euclide Il permet de déterminer le PGCD de deux entiers naturels non nuls a et b tels que a b. On effectue la division euclidienne de a par b. On appelle q 1 le quotient obtenu et r 1 le reste. On effectue la division de b par r 1. On appelle q 2 le quotient obtenu et r 2 le reste et ainsi de suite, le dernier reste non nul est le PGCD de a et b. Algorithme des différences Il permet de déterminer le PGCD de deux entiers naturels non nuls a et b tels que a b. On effectue la différence de a et b. On appelle d 1 la différence. On effectue la différence de b et d 1. On appelle d 2 la différence obtenue et ainsi de suite, la dernière différence non nulle est le PGCD de a et b. Parallèles et perpendiculaires Triangle Géométrie Deux droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles. Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles. Lorsque deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. Dans un triangle isocèle : Deux côtés ont la même longueur, deux angles sont égaux et la hauteur issue du sommet principal est à la fois médiane, médiatrice, bissectrice et l'axe de symétrie du triangle. Dans un triangle équilatéral : Les trois côtés ont la même longueur, les trois angles sont égaux à 60 et les trois hauteurs sont les médianes, médiatrices, bissectrices et axes de symétrie du triangle. Dans un triangle rectangle : Un angle est droit et les angles aigus sont complémentaires. Si un triangle est inscrit dans un cercle qui a un côté pour diamètre alors c'est un triangle rectangle. Tout triangle rectangle a pour cercle circonscrit le cercle de diamètre l'hypoténuse. Dans un triangle rectangle, la médiane relative à l'hypoténuse est égale à la moitié de l'hypoténuse. Inégalité triangulaire Dans un triangle, la longueur d'un côté est toujours inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. Lorsqu'il y a égalité, les trois points sont alignés. Collège André Tiraqueau- Mme Micou - Page 3/10

4 Droites des milieux Si, dans un triangle, une droite passe par les milieux de deux côtés du triangle alors elle est parallèle au troisième côté. Si, dans un triangle, un segment joint les milieux de deux côtés alors sa longueur est égale à la moitié de celle du troisième côté. Si, dans un triangle, une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un second côté alors elle passe par le milieu du troisième côté. Droites du triangle La médiatrice d'un segment est sa perpendiculaire en son milieu. Elle est constituée de tous les points équidistants des extrémités du segment. Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes. Leur point de concours est le centre du cercle circonscrit au triangle. Ce cercle passe par les trois sommets du triangle. La bissectrice d'un angle est la droite qui partage l'angle en deux angles de même mesure. Les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes. Leur point de concours est le centre du cercle inscrit dans le triangle. Dans un triangle, une médiane est une droite qui passe par un sommet du triangle et le milieu du côté opposé. Les trois médianes d'un triangle sont concourantes. Leur point de concours est le centre de gravité du triangle. Le centre est situé au deux tiers de chaque médiane à partir du sommet. Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet du triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet. Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes. Leur point de concours est l'orthocentre du triangle. Tangente en un point A d'un cercle de centre 0 En chaque point A d'un cercle, il existe une tangente au cercle de centre O ; cette tangente est perpendiculaire au rayon [OA]. Collège André Tiraqueau- Mme Micou - Page 4/10

5 Quadrilatère Propriétés parallélogramme rectangle losange carré Des côtés Côtés opposés parallèles Oui Oui Oui Oui Côtés opposés de même longueur Oui Oui Oui Oui Côtés successifs de même longueur Oui Oui Côtés successifs perpendiculaires Oui Oui Des angles Angles opposés de même mesure Oui Oui Oui Oui Angles successifs supplémentaires Oui Oui Oui Oui 4 angles droits Oui Oui Des diagonales Diagonales qui se coupent en leur milieu Oui Oui Oui Oui Diagonales de même longueur Oui Oui Diagonales perpendiculaires Oui Oui Des axes et centre de symétrie Un centre de symétrie Oui Oui Oui Oui Nombre d'axes de symétrie THALES 1. Propriété de Thalès On a deux triangles AMN et ABC tels que : M est sur (AB), N est sur (AC) et les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors d'après la propriété de Thalès : AM AB = AN AC = MN BC 2. Réciproque de la propriété de Thalès Si les points A, B et M d'une part et les points A, C, et N d'autre part sont alignés AM dans le même ordre et si AB = AN alors d'après la réciproque de la propriété de AC Thalès, les droites (BC) et (MN) sont parallèles. Collège André Tiraqueau- Mme Micou - Page 5/10

6 PYTHAGORE 1. Propriété de Py thagore «Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés» Si un triangle ABC est rectangle en A, alors d'après la théorème de Pythagore : BC 2 = AB 2 AC 2 2. Réciproque de la propriété de Pythagore «Dans un triangle, si le carré d'un côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle et le plus grand côté est l'hypoténuse» Si un triangle ABC est tel que BC 2 = AB 2 AC 2, alors d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en A. Trigonométrie Soit un triangle ABC rectangle en A : sin ABC= AC côté opposé = BC hypoténuse cos ABC = AB côté adjacent = BC hypoténuse tan ABC= AC côté opposé = AB côté adjacent Agrandissements et réductions Dans un agrandissement (ou une réduction) de rapport k : Les longueurs sont multipliées (ou divisées) par k. Les aires sont multipliées (ou divisées) par k 2. Les volumes sont multipliés (ou divisées) par k 3. Collège André Tiraqueau- Mme Micou - Page 6/10

7 Angles complémentaires Angles dont la somme des mesures vaut 90 degrés. Angles supplémentaires Angles dont la somme des mesures vaut 10 degrés. Angles d'un triangle Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles vaut 180. Angles d'un quadrilatère Dans un quadrilatère, la somme des mesures des quatre angles vaut 360. Angles adjacents Deux angles adjacents sont deux angles qui ont un sommet commun, un côté commun et qui sont situés de part et d'autre de ce côté commun. Angles opposés par le sommet Deux angles opposés par le sommet sont deux angles qui ont un sommet commun et qui ont leurs côtés dans le prolongement l'un de l'autre. Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure. Propriétés des angles Angles correspondants : «Si deux angles correspondants sont déterminés par des droites parallèles alors ils ont la même mesure.» Si (xx') est parallèle à (yy'), alors zmx '= zny '. «Si deux angles correspondants sont de même mesure alors les deux droites coupées par la sécante sont parallèles.» Si zmx '= zny ' alors (xx') est parallèle à (yy'). Angles Alternes-internes : «Si deux angles alternes -internes sont déterminés par des droites parallèles alors ils ont la même mesure.» Si (xx') est parallèle à (yy'), alors xmz ' = zny'. «Si deux angles alternes-internes sont de même mesure alors les deux droites coupées par la sécante sont parallèles.» Si xmz ' = zny ' alors (xx') est parallèle à (yy'). Collège André Tiraqueau- Mme Micou - Page 7/10

8 Aire et volume Collège André Tiraqueau- Mme Micou - Page 8/10

9 Fonction affine Fonctions On appelle fonction affine toute fonction qui, à tout nombre noté x, associe le nombre a x b (c'est-à-dire : x a x b ) où a et b sont deux nombres. Fonction linéaire On appelle fonction linéaire de coefficient a toute fonction qui, à tout nombre noté x, associe le nombre a x (c'est-à-dire : x a x ) où a est un nombre. Représentation graphique Un repère étant défini, dire qu'un point appartient à la représentation graphique de la fonction affine f x =a x b signifie que ses coordonnées x ; y vérifient la relation y= f x c'est-à-dire y=ax b. La représentation graphique d'une fonction affine est une droite. a s'appelle le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine. Dans le cas de la fonction linéaire, cette droite passe par l'origine du repère. Caractéristiques Moyenne d'une série statistique Statistiques C'est le nombre réel égal au quotient de la somme de toutes les valeurs de la série statistique par l'effectif total. Médiane C'est la valeur qui partage la série statistique, rangée par ordre croissant (ou décroissant), en deux parties de même effectif. Si l'effectif total de la série est un nombre impair, la médiane est une valeur de la série. Sinon, c'est un nombre compris entre deux valeurs de la série. On prend souvent pour médiane la moyenne de ces deux valeurs. 1 er quartile Le premier quartile d'une série statistique est la plus petite valeur Q 1 telle qu'au moins 25 % des valeurs sont inférieures ou égales à Q 1. 3 ème quartile Le troisième quartile d'une série statistique est la plus petite valeur Q 3 telle qu'au moins 75 % des valeurs sont inférieures ou égales à Q 3. Étendue C'est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série statistique. Collège André Tiraqueau- Mme Micou - Page 9/10

10 Expérience aléatoire Probabilités Une expérience est dite «aléatoire» si elle vérifie deux conditions : Événement Elle conduit à des résultats possibles qu'on est parfaitement capable de nommer. On ne sait pas lequel de ces résultats va se produire quand on réalise l'expérience. A partir d'une expérience aléatoire on peut définir ce qu'on appelle des événements qui sont des ensembles de résultats. Probabilité Pour certaines expériences aléatoires on peut déterminer par un quotient la «chance» qu'un événement a de se produire. Ce quotient est appelé probabilité de l'événement. La probabilité est égale au quotient : La probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. nombre de résultats favorables à l'événement nombre de résultats possibles La somme des probabilités de tous les résultats d'une expérience aléatoire est égale à 1. Si p est la probabilité d'un événement alors 1 p est la probabilité de l'événement contraire. Collège André Tiraqueau- Mme Micou - Page 10/10