Exercices sur les complexes feuille 2

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1 Exercices sur les complexes feuille Exercice Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule des quatre propositions est exacte Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie Aucune justification n est demandée Une réponse exacte rapporte point Une réponse inexacte enlève 0,5 point L absence de réponse n apporte ni n enlève aucun point Si le total est négatif, la note de l exercice est ramenée à 0 Dans le plan complexe, on donne les points A, B et C d affixes respectives i, i et,08,98i Le triangle ABC est : a : isocèle et non rectangle b : rectangle et non isocèle c : rectangle et isocèle d : ni rectangle ni isocèle à tout nombre complexe z, on associe le nombre complexe z défini par : z z 4i z L ensemble des points M d affixe z tels que z est : a : un cercle de rayon b : une droite c : une droite privée d un point d : un cercle privé d un point Les notations sont les mêmes qu à la question L ensemble des points M d affixe z tels que z est un réel est : a : un cercle b : une droite c : une droite privée d un point d : un cercle privé d un point 4 Dans le plan complexe, on donne le point D d affixe i L écriture complexe de la rotation de centre D et d angle π est : a : z i z i b : z i z i c : z i z i z i z i Exercice Le plan complexe est muni d un repère orthonormal direct O; u, v On prendra pour unité graphique 5 cm On pose z 0 et, pour tout entier naturel n, z n i z n On note A n le point du plan d affixe z n Calculer z, z, z, z 4 et vérifier que z 4 est un nombre réel Placer les points A 0, A, A, A et A 4 sur une figure Pour tout entier naturel n, on pose u n z n Justifier que la suite u n est une suite géométrique puis établir que, pour tout enfler naturel n, n u n À partir de quel rang n 0 tous les points A n appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0,? z n z n 4 a établir que, pour tout entier naturel n, i z n En déduire la nature du triangle OA n A n b Pour tout entier naturel n, on note l n la longueur de la ligne brisée A 0 A A A n A n On a ainsi : l n A 0 A A A A n A n Exprimer l n, en fonction de n Quelle est la limite de la suite l n?

2 Exercice Le plan est muni d un repère orthonormal direct O; u, v On prendra cm pour unité graphique Pour tout point M du plan d affixe z on considère les points M et M d affixes respectives z z et z z a Déterminer les points M pour lesquels M M b Déterminer les points M pour lesquels M M Montrer qu il existe exactement deux points M et M dont les images M, M, M et M appartiennent à l axe des ordonnées Montrer que leurs affixes sont conjuguées On pose z xiy où x et y sont des nombres réels a Exprimer sous forme algébrique le nombre complexe z z z z b En déduire l ensemble E des points M du plan pour lesquels les points M, M et M sont alignés Représenter E graphiquement et en couleur 4 On pose z e iθ oé θ [ 0 ; π ] a Déterminer l ensemble Γ des points M d affixe z ainsi définis et chacun des ensembles Γ et Γ des points M et M associés à M b Représenter Γ, Γ et Γ sur la figure précédente c Dans cette question θ π 6 Placer le point M obtenu pour cette valeur de θ, et les points M lui sont associés Montrer que le triangle M M M est rectangle Est-il isocèle? Exercice 4 et M qui Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct O; u, v On désigne par A et B les point, d affixes respectives et On fera un dessin unité graphique cm qui sera complété selon indications de l énoncé La question est indépendante des questions et a Résoudre dans l ensemble des nombres complexes l équation z 4z 6 0 b On désigne par M et M les points d affixes respectives z i et z i Déterminer la forme algébrique du nombre complexe z z En déduire que le triangle OBM est un triangle rectangle c Démontrer sans nouveau calcul que les points O, B, M et M, appartiennent à un même cercle C que l on précisera Tracer le cercle C et placer les points M et M sur le dessin On appelle f l application du plan qui, à tout point M d affixe z associe le point M d affixe z définie par l égalité z z 4z 6 On désigne par Γ le cercle de centre A et de rayon Ce cercle ne sera pas tracé sur le dessin, a Vérifier l égalité suivante z z b Soit M le point de Γ d affixe z e iθ où θ désigne un réel de l intervalle ] π ; π] Vérifier l égalité suivante : z e iθ et en déduire que M est situé sur un cercle Γ dont on précisera le centre et le rayon Tracer Γ sur le dessin, i 6 On appelle D le point d affixe d et on désigne par D l image de D par f a écrire sous forme exponentielle le nombre complexe d En déduire que D est situé sur le cercle Γ b à l aide la question b, donner une mesure de l angle c Démontrer que le triangle OAD est équilatéral u, AD et placer le point D sur le dessin

3 Correction des exercices sur les complexes feuille Exercice Amérique du Nord juin 005 Si l on représente les points A,B C, il semble que le triangle soit rectangle isocé-le de sommet A, calculons donc le quotient : z C z A,08,98i i 4,08,0i,04 i 4i z B z A i i 4i 6 or AB, AC arg zc z A z B z A donc le triangle est rectangle et : z C z A AC z B z A AB,0 donc le triangle n est pas isocéle, la bonne réponse est la b z z 4i z z 4i z AM BM arg,0i π,0 46ii4 7,0i donc l ensemble des points M d affixe z tels que z est une droite, c est la médiatrice de [AB] avec A et B d affixes : - et 4i ;et la bonne réponse est la b z R argz 0 ou z 0 AM, BM 0 ou M B L ensemble des points M d affixe z tels que z est un réel est donc la droite AB privée de A et la bonne réponse est la c 4 L écriture complexe de la rotation de centre D et d angle π est : donc la bonne réponse est la a z e π z zd z D cos π isin π z ii i z i i i i z i Exercice Pondichéry avril 006 z 0, z i, z i, z i, z 4 R z z z v z 4 O 0 u -

4 On a u n z n i z n i z n u n L égalité u n u n montre que la suite u n est une suite géométrique de raison On a u 0 z 0 On sait que u n u 0 n Finalement : n u n On a OA n z n u n, donc A n appartient au disque fermé de centre O et de rayon 0, si et seulement si n u n 0, 0, 0 n n 0 n ln0 ln ln0 n ln 8,6 La condition sera donc réalisée la première fois par u 9 On a donc n 0 9 La calculatrice livre u 8 0,5 etu 9 0,084 < 0, 4 a Pour tout naturel n, u n 0 donc z n 0 On peut donc écrire z n z n z n i ii i i i L interprétation géométrique est : OA n, zn z n A n A n arg argi π z n Conclusion : pour tout naturel n le triangle OA n A n est rectangle en A n i z n z n i z n i i En modules l égalité donne A na n OA n A n A n OA n Conclusion le triangle OA n A n est isocèle en A n Finalement pour tout naturel n, le triangle OA n A n est rectangle isocèle en A n, comme on peut le voir sur les quatre premiers triangles de la figure ci-dessus b Comme les triangles sont isocèles l n A 0 A A A A n A n OA OA OA n u u u n Cette somme est la somme de n premiers termes d une suite géométrique de premier terme u et de raison On a donc l n n n n Comme lim n 0 car 0 < <, donc on a n lim l n n Exercice Polynésie septembre 004 { z 0 a M M z z zz 0 z Les points solutions sont donc l origine et le point d affixe b M M z z z z 0 ; 7 i 7 On trouve deux solutions : les points d affixes i 7 et i 7 z est imaginaire si xiy est imaginaire, ie si x z est imaginaire si x y ixy est imaginaire, ie si x y 0 et compte-tenu de la condition précédente si 4 y 0 y ou y Il y a donc deux points M i et M i dont les images M etm appartiennent à l axe des ordonnées et les affixes de ces points sont conjuguées

5 a z z z z z z z z x y ixy x iy b Les points M, M et M sont alignés si ce complexe est un réel, donc si xy y 0 yx 0 y 0 ou x E est la réunion des droites d équations x 0,5 et y 0 On peut aussi dire que les points sont alignés ssi l angle MM, MM 0 [π] ou si MM ou MM, donc ssi arg z z z z 0[π] c est à dire si ce quotient est réel ou si z z 4 a L ensemble Γ des points M d affixe z [ e iθ π ] avec θ 0 ; est le premier quart de cercle dans le sens direct de centre O et de rayon car on peut remarquer que OM z et que u, [ OM π ] argz θ et θ 0 ; L ensemble Γ des pointsm correspondants est le quart de cercle translaté de Γ dans la translation de vecteur u Les points M on pour affixes z z e iθ On a donc OM donc M appartient au cercle de centre O de rayon et u, OM argz θ décrit [0,π],l ensemble Γ des points M est donc le demi-cercle direct de centre O, de rayon b Cf figure c Avec θ π 6, z e iπ 6 i i z i et z i M et M ont la même ordonnée ; la droite M M est donc horizontale; M et M ont la même abscisse ; la droite M M est donc verticale et le triangle M M M rectangle en M M M 4; M M ; M M 7 Donc le triangle n est pas isocèle On peut aussi calculer z z z z i d où : M M, M M arg i π M M M M donc le triangle est rectangle mais n est pas isocèle z z z z i est donc E M M M v π Γ 6 Γ Γ O u E Exercice 4 antilles sept 006

6 a Résolution de z 4z6 0 z 46 0 z 0 z i 0 z i z i { z i 0 z i S { i ; i } i i i i 4 b Le quotient z i i i z 6 C est donc un imaginaire pur On déduit de l égalité z i : en prenant les arguments z OM, BM π, ce qui signifie que le triangle OBM est rectangle en M c Le triangle précédent est inscrit dans un cercle de diamétre [OB] Or z et z étant conjugués, les points M et M sont symétriques autour de O, u : le point M appartient lui aussi au cercle circonscrit au triangle OBM D M D Γ v 0 - O 0 u A B z z 4z 6 a On a z z 4z 6 z 4z 4 z M b Si z e iθ, on vient de démontrer que z z e iθ e iθ, d oé z et arg u, AM θ Conclusion : Or AM d donc M appartient au cercle de centre A; 0 et de rayon i 6 D est le point d affixe d i 6 a d i cos π isin π e i π On en déduit que AM d c est-é-dire que D appartient au cercle de centre A et de rayon, soit au cercle Γ b D aprés la question b un argument de d étant π, un argument de d est π u, AD D est le point de Γ tel que AB, AD π c On a AO AD et AD, AO AB, AO AB, AD π π π On a un triangle isocèle dont l angle au sommet est π, les deux autres angles sont égaux et leur somme vaut π π π donc les mesures des trois angles de OAD sont égales à π Conclusion : le triangle OAD est équilatéral