Analyse Numérique K.GHENIA. GC201-GM203 Cours et Exercices

Transcription

1 Aalse Numérique HENIA GC-GM Cours et Eercices Istitut Supérieur de l Educatio et de la Formatio Cotiue

2 TABLE DES MATIERES Résolutio d ue équatio algébrique Méthode d Itératio - Méthode du poit ie 5 Formules des accroissemets iis 9 La précisio des calculs Ecel et l aalse umérique Etrapolatio d Eitike 7 Algorithme de Stepheso 9 Amélioratio de la méthode d itératio Amélioratio de la méthode du poit ie Méthode de Newto 4 Iterprétatio géométrique de la méthode de Newto 8 Méthode des sécates 4 Les racies d ue équatio algébrique 4 Résolutio de sstème d équatios liéaires 46 La méthode d itératio 5 Résolutio des sstèmes d équatios o liaires 54 Iterpolatio des octios polomiales 6 Iterpolatio de Lagrage 66 Polôme de degré 67 Polôme de degré 69 Polôme de degré 7 Polôme de Lagrage 7 La variatio de la octio 7 Formules diterpolatio de Newto 75 Calcul ditégral 78

3 RESOLUTION D UNE EQUATION ALGEBRIQUE La résolutio de beaucoup de problèmes écessite la résolutio de l équatio : où est ue octio algébrique. Das les cas simples o trouve acilemet les racies eactes : a b a b c où b a b b4ac a b b4ac a Souvet les équatios de -eme degré peuvet être trasormées de aço qu o trouve la solutio eacte : Cepedat il eiste des équatios dot il est impossible de trouver les racies eactes. Alors o cherche des méthodes mathématiques à se rapprocher au maimum vers les racies. La partie des mathématiques qui ais se recherche s appelle «Aalse umérique». Das cette recherche il eiste deu étapes :. Localiser l itervalle où se trouve la racie ;

4 4. Se rapprocher vers la racie avec ue certaie précisio. < b b a 4 ξ a Figure Figure Soit la octio et respectivemet l équatio. Cette octio est détermiée et cotiue das l itervalle ermé [a,b] voir igure Graphiquemet la solutio représete l itersectio de la courbe avec l ae O. Théorème : Si la octio est déiie et cotiue das l itervalle ermé [a,b ] et si a.b <, alors das cette itervalle il eiste au mois u racie ξ, ξ [ a, b ] tel que ξ Rem. Le racie est uique si das l itervalle [ a, b ] > où < ig.. Pour détermier les racies il aut diviser l itervalle [ a, b ] e et détermier le sige de das chaque partie. O répète cette opératio plusieurs ois jusque le racie est bie ecadré.

5 5 Eemple : Solutio Solutio Solutio Eemple : La octio admet ue mi e - - Mi < > -9,5 -,875,5 -,875,755,57 Alors l itervalle,5,75 cotiet la racie Fig. METHODE D ITERATION METHODE DU POINT FIXE Cette méthode ous aide à s approcher pas à pas vers la racie d ue équatio. Soit l équatio où est déiie et coteue das u itervalle a,b. O peut trasormer cette équatio e ue autre équatio équivalete :

6 6 ϕ où ϕ C. C est ue costate. C. Soit la première approche vers la racie ξ. Evidemet o choisi das l itervalle a,b. Sa valeur est obteue par des réleios phsiques où par des méthodes graphiques. Pour calculer la valeur de, o remplace das l équatio : ϕ ϕ O obtiet ue suite, ;,. Si cette suite est covergeat alors elle ted vers ξ. lim ξ Voilà la présetatio graphique das le cas ϕ < et la suite des valeurs,,.. est covergete. O voit qu elles se rapprochet vers ξ. ig. 4 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ La suite,,. est covergeat. a ξ b Fig. 4

7 7 E bas o voit la représetatio graphique das le cas ϕ > - et la suite des valeurs,,.. est covergete. O aperçoit qu elles se rapprochet vers ξ alterativemet de deu côtés de ξ. ig. 5 ϕ La suite,,. est alterativemet covergeat. ϕ ϕ ϕ Fig. 5 a ξ b Das le schéma ci-dessous. ϕ > et la suite des valeurs,,.. est divergete ig.6: ϕ ϕ ϕ La suite,,. est divergete. ϕ Fig. 6 a ξ b

8 8 Das le schéma ci-dessous. ϕ < - et la suite des valeurs,,.. est divergete ig.7. O aperçoit qu elles se éloige de ξ alterativemet de deu côtés de ξ : ϕ ϕ ϕ ϕ La suite,,. est alterativemet divergete. Fig. 7 a ξ b Alors o peut aocer le théorème suivat : Théorème : Soit la octio ϕ détermier et dérivable das l itervalle a,b et ϕ [a,b]. Si pour tout a,b o a ϕ q L itératio a,b et ϕ - est covergete quelque soit la valeur de lim ξ où ξ est la seule racie de l équatio ϕ das l itervalle a,b. Avat de commecer la démostratio o va se rappeler la ormule de Lagrage pour les accroissemets iis

9 9 FORMULES DES ACCROISSEMENTS FINIS Théorème : Supposos que la octio est déiie et cotiue das l itervalle ermé [ a,b ]. Das ces coditios il eiste au mois ue valeur c ] a,b [ tel que b a b a. c b a α Q P M a c b INTERPRETATION GRAPHIQUE DE CETTE FORMULE Démostratio : Cosidéros la octio l epressio de cette octio : ϕ PQ. O va chercher b a tgα b a tgα P M a b a b a PM. a PM a ba ba

10 a Q M Q P Q M PM b a ϕ Q P a a b a O remarque que : ϕa ϕb D après le théorème de Rolle si ue octio vériie ces coditios il eiste u poit c c a,b où ϕ c Cela sigiie que la tagete à la courbe ϕ au poit A[ϕc, c ] est parallèle à l ae O. ig. 9 ϕ A Fig. 9 a c b ϕ c c b a ba b a c ba O reviet sur la ormule de otre cours : b a c b a C est la ormule de Lagrage pour les accroissemets iis qu o va utiliser das otre démostratio.

11 Démostratio : Alors ce qu o va démotrer est que si ϕ q et a,b alors lim ξ et l itératio est covergete. O a : ξ ϕξ O soustrait les deu équatios : ϕ - ξ - ϕξ - ϕ - La ormule de Lagrage doe ϕ ξ ϕ ϕ µ ξ Où µ [ξ, - ] O sait que ϕξ q et alors ϕ µ ϕ ξ ϕ ξ q ϕξ - ϕ - q ξ - - D après la ormule o a ϕξ - ϕ - ξ - doc ξ - q ξ - - ξ - q ξ - ξ - q ξ - q ξ -.. ξ - q ξ - - q ξ - ξ - q ξ - Si q car q < et lim ξ - et lim ξ et l itératio est covergete!

12 LA PRECISION DES CALCULS Soit ε u ombre positi assez petit, par eemple ε -6 O veut que ξ - < ε O a l iégalité ξ - q ξ - - qui peut être trasormée de aço suivate : ξ - q - - q ξ - ξ - q q - - ce qui doe : ξ q q et si o pose q ½, o arrive à l epressio iale : ξ Alors si - - ε ξ - < ε et est calculé à ε près. Doc o ait itératio après itératio et o s arrête si - - ε La ormule ci dessus est le critère de la précisio! EXCEL ET L ANALYSE NUMERIQUE Ecel est u logiciel de MicroSot qui représete i outil très puissat das les calculs répétitis. Chaque ordiateur est équipé de ce logiciel et il est plus acile à maipuler que des logiciels de Turbo Pascal et Visuel Basic. Ecel ous propose u très grad ombre de octios classées das diéretes catégories. Voilà

13 l accès vers ses octios : Das cette boîte de dialogue, o choisie la catégorie et le om d ue octio. La acilité de l applicatio des octios et la rapidité de la méthode copier coller doe d ecellets résultats itératios par secod. Ci dessous le tableau cotiet quelques octios Ecel : N Epressio Foctio Ecel mathématique puissace ; 5 racie5 5 puissace5 ;/ abs e - ep- 6 6! act6 7 l5 l5 8 Log 5 log somme5;9;6; Eemple de calcul : La cellule B6 cotiet la valeur de et das la cellule D6 o tape la ormule visible das la barre de ormules. Le résultat de calcul s aiche das D6

14 4 Eercice : Soit léquatio - - le choi des trois octios ϕ i A B Formule A B Formule 4 Ecel 4 Ecel,66479 Racie *B,5 / B-, ,4855 Copier Coller 4 -,75 Copier - Coller 5 4, , ,89 ϕ 6 5 -, , , , , , ,564 9,47 9 -, ,568 -,87 i ted vers i ted vers - ϕ A B 4 Formule Ecel 6,5 puissaceb ;-/ 9,65 Copier - Coller 4 9, , ϕ i ted vers iie Cet eemple motre que selo le choi de la octio itérative ϕ, ted vers l ue où vers l autre racie et peut même diverger. Voos ce qui se passe avec ϕ i : ϕ ϕ ϕ O dresse le tableau suivat : ξ ξ - ϕ ξ,

15 5 A B Formule Ecel -,9 -,95 puissaceb ;-/ -,94875 Copier - Coller 4 -, , , , , , ,9857 -,9688 -, ,9874 ϕ ξ - -, ϕ ξ - La méthode du poit ie appliquée à ϕ coverge vers ξ, car ϕ <. Pour ϕ e peut pas coverger vers car ϕ > Les itératios igoros ξ et coverge vers ξ - car ϕ - < Pour ϕ l étude est plus itéressate. E eet ϕ - -. A gauche de ξ ϕ < - et à droite ϕ > - La dérivée est égative ce qui sigiie que la méthode oscillera de part et d autre du racie si o pred <. Faisos quelque calcules avec -,9 et. ϕ L itératio est très lete car ϕ -,9,9 est proche de. A reteir :

16 6 La méthode de poits ies appliquée à ϕ coverge vers ξ, car ϕ <. Pour ϕ e peut pas coverger vers car ϕ > Les itératios igoros ξ et coverge vers ξ - car ϕ - < Pour ϕ l étude est plus itéressate. E eet ϕ - -. A gauche de ξ ϕ < - et à droite ϕ > - La dérivée est égative ce qui sigiie que la méthode oscillera de part et d autre du racie si o pred <. Faisos quelque calculs avec -,9 et. ϕ L itératio est très lete car ϕ -,9,9 est proche de. A reteir : Théorème : Plus ϕ est proche de plus l itératio est lete. Das l eemple précédet si o pred -,95 alors -,9866 ce qui motre que la covergece est etrêmemet lete. Eercice : e - -,,,8,6,4,, -,,,,,,4,5,6,7,8,9,, -,4 -,6 -,8 O choisit la octio ϕ :

17 7 e - ϕ ϕ - e - O pred,58 ϕ,58, < Formule Ecel : ep-b A B,58, ,5767 4, , , , , , , ,567877,56789,56744, ,56746, ,5674 4, , , ,5674 6, , , , , ,5674,567444,5674 Rem. : La solutio avec MS Ecel est très rapide même s il audrait aire mille itératios. Ceu qui aimet la programmatio peuvet écrire u petit programme e Pascal Turbo mais cela predra beaucoup plus de temps Program Iter; Uses wicrt; var i : iteger ;, a : real ; Begi WritelL équatio algebrique est : e - ; WritelDoer ; read ; Repeat i:i;a: ;:ep-; Writel, i,,::7; util abs-a<. ed.

18 8 Voilà les résultats : Eercice : Calculer les racies de l équatio 5 avec ue précisio ε -6 O peut trasormer cette équatio de diéret aço e i d obteir la octio ϕ.. 4 avec ϕ 4. 5 avec 5 ϕ. avec ϕ avec ϕ 5

19 9 Faisos ue petite étude de la octio ei de localiser les racies. lim - - lim La octio dérivée s aule si -,4,4 O dresse le tableau de variatio : - -,4,4 - Ma 5 Mi -7 Voila approimativemet la courbe de la octio : 5,4 ξ ξ ξ -,4 O localise les racies : -7 ξ -,8 ; - car -,8 < et - > -,4 ξ ;, car > et, <,5 ξ,4 ;,6 car,4 < et,6 >,5 Le problème qui se pose maiteat est le choi de la octio itérative. La boe octio est celle là dot la valeur absolue de sa dérivée est iérieure à : O cherche d abord ξ das l itervalle -,8 ; - avec -,4: ϕ <

20 . ϕ 6 4 ϕ -,4 45,6 No ϕ,5 -,985 No ϕ,5 49,5 No 5. ϕ ϕ -,4,9 Oui 5 6 ϕ,5 6,66 No ϕ,5,8 Oui. ϕ 5 ϕ -,4,77 No ϕ,5,6 Oui ϕ,5,94 No 6 4. ϕ ϕ 4 -,4 -,847 No ϕ 4,5, Oui ϕ 4,5 56 No O pred la quatrième epressio pour calculer la deuième racie et la deuième epressio pour calculer les racies et. ϕ 5 A B Formule Ecel,5 -/*puissaceb ;-5,4 Copier - Coller,454 4,45 5 4,45 6 5,45 7 6,45

21 4,45 -,454,8. -7 < -6. Doc o s arrête à la 4eme itératio. Pour détermier à quelle itératio aut il s arrêter o applique ue ormule logique d Ecel : SiB-B>puissace ;-6 ; Cotiuer ; Stop Cela sigiie que das la cellule où est appliquée la ormule il s aichera : Cotiuer - si i - i- > -6 Stop - si i - i- < -6 A B Formule Ecel,5,4 Cotiuer,454 Cotiuer 4,45 Stop 5 4,45 6 5,45 7 6,45 ξ,45 Maiteat o va chercher les racies ξ, ξ avec la octio itérative ϕ :

22 5 ϕ E Ecel cela doe : puissace5*b-/ ;/ A B -,4 9 -, ,5986 -, ,5855 -, , , , , , , , , , , , , O s arrête à la 6 ème itératio avec ξ -, Pour la racie ξ o utilise la même octio itérative et,5. A B,5 9,5567,57448,5568,5678, ,54775, ,5566, , , , , , , ,5559 7,55659 O s arrête à la 4 ème itératio avec ξ, Remarquez que ε -8

23 Eercice : Soit l équatio avec racie ξ avec ue précisio ε Calculer l approche de la O va chercher les diéretes octios itératives ϕ i. Faisos ue brève étude de la variatios de la octio.,86-86 mi - 4,9 ma -,9 -,86,86 -,9-4,9 Das l itervalle, l équatio a ue seule solutio, car -4 et. Maiteat o va choisir la octio itérative sachat que ϕ i <

24 4 Foctio itérative Foctio dérivée ϕ i i ϕ - ϕ 66,5 ϕ ϕ 4 ϕ,75 ϕ, 6 ϕ -44 ϕ 4 ϕ 5 ϕ 5 ϕ 6 6, ϕ,66 Notre octio itérative est : ϕ O choisie,5, le milieu de l itervalle,.,5 7,8986,8759 8,89886, ,89899,89684, , , ,8997,8989 6,8979,8989 La racie ξ,8989 avec ue précisio ε -7.

25 5 Eercice : Calculer la racie de léquatio - l - par la méthode des poits ies. O trace la courbe de la octio avec Ecel et précise les deu racies,5 et,5. Puis o dresse le tableau des octios itératives, leurs dérivées et leurs valeurs das et. Alors o calcule la première racie ξ avec ϕ et ξ avec ϕ Foctio itérative Foctio dérivée ϕ ϕ log e ϕ l ϕ,589,79 l ϕ l log e ϕ,65,5

26 6 Das le tableau ci-dessous sot aichés les résultats des calculs avec Ecel. Voilà les octios collées das les cellules B, C, D. Das B : RACINELNB*B Das C : B-B Das D : SIC<,;"Stop";"Cotiuer" Ces ormules sot collées respectivemet das les cellules de chaque coloe par la méthode glisser copier - coller. La coloe "Actio" ous idict a quelle itératio out-il sarrêter. Das otre eercice la précisio est, et o sarrête à 8 itératios. A B C D N i - i- Actio N i - i- Actio,5,679,4 Cotiuer,4546,54546 Cotiuer,686,7 Cotiuer 4,,8687 Cotiuer,69,7 Cotiuer 5,48,4899 Cotiuer,699,9 Cotiuer 6 4,5589,7688 Cotiuer 4,699, Cotiuer 7 5,5977,954 Cotiuer 5,694,5 Cotiuer 8 6,68, Cotiuer 6,696, Cotiuer 9 7,6844,4 Cotiuer 7,698, Cotiuer 8,677,54 Cotiuer 8,698, Stop 9,665,74 Cotiuer

27 7 EXTRAPOLATION D EITIKEN Soit la octio et l équatio. La octio ϕ représete la octio itérative. O a ξ ϕξ Soit e l erreur qu o commet au ème itératio. e - ξ e - ξ O sait que ϕ et que ξ ϕξ ce qui doe : e ϕ - ϕξ O remplace ξ - e das l epressio e ϕξ - e - ϕξ O ait le développemet de Talor pour la octio ϕξ - e l erreur e est très aible., sachat que ϕ ξ e ϕ ξ e ϕ ξ e ϕ ξ ϕ ξ e!! Sachat que la valeur de e est très aible o peut égliger e, e, e... et l epressio doe : e ϕξ ϕ ξ e - ϕξ e ϕ ξ e Cette ormule motre ecore ue ois que si ϕ ξ < e < e et alors erreur est plis aible que la ième. Ce que sigiie que l itératio est coverget. Reveos vers l etrapolatio d Eitike e utilisat l epressio : e ϕ ξe e ϕ ξe e e e e ξ ξ ξ ξ

28 8 - ξ - ξ - ξ - ξ - ξ ξ - ξ ξ O eprime ξ : ξ 4 O peut doer à cette epressio ue orme plis agréable. O trasorme la ormule 4 de aço suivate : ξ ξ ξ ξ C est la ormule d Eitike. Elle permet d obteir ue meilleur approimatio à partir de, et a calculés par ue ormule itérative ϕ détermiée auparavat.

29 9 ALGORITHME DE STEPHENSON Stepheso utilise la ormule d Eitike pour développer ue méthode d itératio.. O choisi la valeur de ;. O détermie la octio itérative ϕ ;. O calcule ϕ ; 4. O calcule ϕ ; 5. O applique la ormule d Eitike ξ Eercice : O repred l eercice e - - avec ϕ e - et. La ormule de calcul est : ϕ e X,,, ξ, , O repred ce résultat comme et o réalise ecore ue itératio.,669984, e -,669984, , e -, ,58659,669984, ξ,669984, , ,58659,567586

30 Après la deuième itératio o arrive au résultat suivat : ξ, Rappelos ous maiteat les résultats obteus avec l itératio simple des poits ies., ,696 4,5475 5, , , , ,574, ,568487,567478,566447,567447, , , , , ,5674 6, , , ,5674 8, , ,567574,56746,567549,5674,567477,56748 O voit bie que ce résultat est obteu à la 5 ème itératio.

31 AMELIORATION DE LA METHODE D ITERATION O dit qu ue méthode d itératio est plus rapide qu ue autre, si la méthode obtiet le même résultat avec mois d itératios. Evidemet avec les même coditios au départ même approche de vers ξ. O dit aussi que la vitesse d itératio est plus grade. Au lieu d utiliser la ormule classique : où - est la correctio, o peut utiliser la ormule : k Commet choisir le coeiciet k? o suppose que la meilleur valeur de k est celle qui doe : ξ Cela sigiie que à la itératio o obtiet le résultat ial la racie ξ. Réléchissos sur le schéma ci-dessous ig. :

32 AMELIORATION DE LA METHODE DU POINT FIXE ϕξ ϕ ϕ θ 45 k ϕ - Fig. k k - ξ tg θ k k k k ϕ ξ ϕ tg θ ξ Le théorème de Lagrage appliqué à l epressio doe : tg θ ϕ µ ξ - ξ ϕ µ

33 Les ormules et doet : µ ξ k ϕ k µ k ϕ µ k ϕ 4 µ Ici µ est icou mais o peut aire ue approche : ξ ϕ ϕ - ϕ ϕ µ ϕ µ 5 Alors o calcule ϕ µ de la ormule 5 et k de la ormule 4. Ce méthode est plus rapide, car θ < 45 tg θ < et respectivemet ϕ µ <. Alors k ϕ > et l itératio est plus rapide. La ormule d itératio deviee : µ k - et ϕ k ϕ 6

34 4 METHODE DE NEWTON Cette méthode est ue modiicatio da la méthode d itératio des poits ies. Ile est cou aussi sous le om de Newto Raphso. Das cette méthode o remplace la ormule de k ormule 4 das la ormule 6 k ϕ k ϕ µ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Ceci est la ouvelle ormule d itératio. Elle est équivalete à la simple méthode d itératio : τ où τ ϕ ϕ ϕ O a déjà démotré que l itératio est covergete si : τ < Voos quelles sot les coditios écessaires pour que l iégalité ci-dessus est vériiée. τ [ ϕ ϕ ϕ ] [ ϕ ] [ ϕ ] [ ϕ ϕ ] ϕ [ ϕ ] O développe :

35 τ ϕ 5 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ [ ϕ ] τ [ ϕ ] [ ϕ ] ϕ Cette epressio est < si :. est assai près de ξ. das ce cas ϕ ;. La dérivée secode ϕ est limité à droite ;. La dérivée ϕ est pas très près de. La ormule peut être doé par l epressio : où la octio ϕ. Cette epressio est coue sous le om de ormule de Newto. E aite les ormules et sot équivaletes. Il suit de remplacer et das et o retrouve l epressio ϕ ϕ ϕ ϕ O met le même déomiateur et o trouve l epressio :

36 6 ϕ ϕ ϕ Pour que l itératio avec la ormule de Newto doe de résultats covergete il aut que :. est choisi assai près de la racie ξ de l équatio ce qui ait que la valeur de est très petite.. est pas très proche de. Cela sigiie que les racies ξ et ξ e doivet pas être proches l ue de l autre. Par eemple : Si ξ et ξ sot proches, l itervalle [ξ ξ ] est petit et o risque de choisir la valeur de proche du poit c, là où la octio a u etremum et c. c ξ ξ Das ce cas et l epressio ted vers l iiie. La ormule de Newto peut être démotrée d ue autre aço. Soit l équatio et ue première approche vers la racieξ. Soit δ ue correctio assai petite tel que δ E aisat u développemet de Talor sur cette octio o arrive au résultats suivats : δ δ δ δ...!!

37 7 Il suit de égliger les terme qui cotiet δ, δ, δ 4.. qui sot égligeables et o trouve : δ δ δ ξ C est la ormule de Newto.

38 8 INTERPRETATION GEOMETRIQUE DE LA METHODE DE NEWTON O représete la courbe de la octio et le poit [, ]. La tagete vers la courbe à ce poit a l epressio : - Elle coupe l ae O au poit, O remplace ses coordoées das l équatio de la tagete - Doc e calculat avec la ormule o e ait que trouver l itersectio de la tagete vers la courbe de la octio au poit [, ] avec l ae O. Eercice : O repred l eemple e - e - -e -,5 e e,5,5, 566,5,5 e e e,566,566,566,566 e,5674

39 9 O remarque que la covergece est très rapide. Avec la méthode des poits ies ce résultat a été obteu à la 8 ème itératio 8,5674 Eercice : O doit calculer e résolvat l équatio : et O applique la ormule de Newto : Avec /4 De même aço o calcule,, 4,5,4666, ,446

40 4 METHODE DES SECANTES La méthode de Newto possède de plusieurs avatages, mais elle écessite le calcul de la dérivée de la octio. Si la octio est complee sa dérivée peut être diicile à évaluer. Pour cotourer cette diiculté o remplace la remplace das la ormule de Newto par l epressio : Das l iterprétatio géométrique o remplace la tagete vers le poit [, ]

41 4 par la sécate tracée avec les poits [, ] et [, ]. Cela sigiie qu au départ il aut choisir deu poits : et. ξ Preos toujours le même eemple e - avec et 5,5674 6,56749, ,56749, , ,56776

42 4 LES RACINES D UNE EQUATION ALGEBRIQUE Soit l équatio algébrique d ordre m, où a m a m- a m- a m- a m- a m Où les coeiciets a, a, a, sot des réels. Das cette étude o va appliquer la ormule de Newto : vot se aire par la règle de Hörer.. Les calculs de et de O pose : b a b j a j b j- avec j,,, m- O vas motrer que b m Pour aciliter la démostratio o pose m. b a a b b a b a b - b b a b a b - b b a b a b - b O remplace les coeiciets a, a, a, a das l epressio : a a a a b m b - b m- b b m- b - b m- O développe: b b b b - b b - b b b b m Maiteat o doit répéter les mêmes démarches pour eprimer avec ue ormule simple L équatio: a m a m- a m- a m- a m- a m Peut s écrire sous la orme :

43 4 ϕ b m où ϕ b m- b m- b m-..b m- Démostratio : Pour aciliter la démostratio o pose m ϕ b b b b b - b b b b - b O développe : b b b b - b b b - b b b b - ϕ b A partir de cette derière epressio il est acile de détermier la octio dérivée de : - ϕ ϕ Alors ϕ u polôme de m- degré. O ait recours ecore ue ois au ormules de Horer : c b c j b j c j- De même aço o peut démotrer que ϕ c m- et b m où b m et c m- sot calculés respectivemet par les ormules cm et.

44 44 Eercice : O pred, a b a a b a b c b a - b a b c b c a - b a b c b c O calcule par la ormule : b c Voila le tableau des résultats après la première itératio:, a b, a b, c a - b,69 c,6 a - b -, c 4,7,57 O ait ue deuième itératio : a b a a b a b c b a - b a b c b c a - b a b c b c Après les calcules o obtiet les résultats suivats :, a b, a b,5 c a - b,75565 c,65 a - b, c -4,67 X,478

45 45 Ue troisième itératio doe les résultats suivats, a b, a b,478 c a - b, c,64946 a - b 5,5. -7 c 4,6464 X,4779 Après cette itératio o s arrête car la précisio -6, est vériiée.,4779 -,478,. -6 < -6

46 46 RESOLUTION DE SYSTEME D EQUATIONS LINEAIRES L ue des méthodes le plus utilisé pour la résolutio d u sstème d équatios liéaire est la méthode de Gausse. Elles cosistet à l élimiatio cosécutive des icous. Pour aciliter l eposé o pred u eemple d u sstème de 4 icous et 4 équatios. a a a a 4 4 a 5 a a a a 4 4 a 5 a a a a 4 4 a 5 a 4 a 4 a 4 a 44 4 a 45 O devise l équatio par a les élémets a ii sot appelés élémets pricipau pour obteir : c c c 4 4 c 5 où le coeiciet a j cij. a A la suite o multiple l équatio cosécutivemet par a, a, a 4 ai de la soustraire des équatios,, 4 du sstème. O obtiet au sstème suivat : a a c a c a c 4 4 a c 5 a a a a 4 4 a 5 a - a c a - a c a 4 - a c 4 4 a 4 - a c 4 4 a 5 - a c 5 O pose a a a - a c a - a c 5 4 a a 5 - a c 5 a a 4 - a c 4

47 47 La première équatio deviee : a a a4 4 a 5 O ait de même avec les autres équatios et le sstème est réduit à icous et équatios : 4 a a a 4 a a 4 4 a 4 a 4 a a a44 4 a a De même aço o devise l équatio par a : c c4 4 c 5 où c a a j a E géérale c j a A la suite o multiple l équatio cosécutivemet par a a 4 ai de la soustraire des équatios, 4 du sstème. O obtiet au sstème suivat : 4 a a 4 44 a 4 a a a 4 et e gééral où a a ac aij aij aic j Ce sstème est déjà de icous et équatios. Il aut répéter cette opératio ecore ue ois pour rester avec u seul icou 4. Pour cette raiso o devise l équatio par équatio deviet : a élémet pricipal et o la multiplie par a 4. Cette

48 48 a4 a4 c4 4 a4 c 5 5 a où c 4 a 5 et 4 4 j a et e géérale c j a. O ait la soustractio des équatios 4 4 a a a c 4 a 4 a 45 a4 c 5 Ei o obtiet l epressio de 4 : a 44 - a4 4 c 4 a45 - a4 c 5 O pose a 44 a 44 - a4 c 4 et 45 a a45 - a4 c 5 a45 4 c 45 a44 O obtiet le sstème triagular : c c c 4 4 c 5 où 4 c 45 c c 4 4 c 5 c 4 4 c 5 c 4 4 c 5 c c 4 4 c 5 4 c 45 c c c 4 4 c 5 Das ce méthode o suppose que les élémets pricipau sot diérets de zéro i a ii Pour doer au calculs ue orme plus agréable et compréhesive, o dresse le tableau suivat :

49 49 Etape Etape Etape Etape 4 4 Cl a a a a 4 a 5 a a a a 4 a 5 a a a a 4 a 5 a 4 a 4 a 4 a 44 a 45 c c c 4 c 5 a a a 4 a 5 a a a 4 a 5 a 4 a 4 a 44 a 45 c c 4 c 5 a a 4 a 5 a 4 a 44 a 45 c 4 c 5 a 44 a 45 c 45 7,9 5,6 5,7-7, 6,68 8,5-4,8,8,5 9,95 4, 4, -, 9, 8,6, -,4-8,9,,7886,759 -,94, ,85-5,9,468,76658,5899-6,5,9 4,9645 -, ,89 6,646 -,758,496 -,89 -,55-6,87 4,457 5,589-9,47,456 -,64 -,984 -,7656-7, -9,8769,5679 Eercice : Preos l eemple suivat : 7,9 5,6 5,7 7, 4 6,68 8,5 4,8,8,5 4 9,95 4, 4,, 9, 4 8,6,,4 8,9, 4 Cet eemple suppose beaucoup de calcul et si le ombre d icous est grade et o doit avoir recours à l ordiateur. O peut utiliser l Ecel de Microsot. Les résultats sot aichés das le tableau droit ci-dessus.

50 5 LA METHODE D ITERATION La méthode de Gausse doe des racies eactes, mais si le ombre d équatios est très grad les calcules devieet logues et compliqués. E plus souvet o arrodi les calcules et les résultats dièret des racies eactes. Das ce cas il est plus acile de aire des calcules approimatives et de s approcher vers la valeur eacte pas à pas. Soit le sstème de icous et équatios : a a a. a b a a a. a b a a a. a b a a a. a b O suppose que les coeiciet sur le diagoale a ii i,,,.. O eprime das le première équatio, das la deuième et aisi de suite β α α.. α β α α.. α β α α.. α β α α.. α - - où b β, a b β, a b β a bi β i et a ii a α, a α a a α ij a a ij ii O pose

51 5 A a a a. a a a..... a a a. X. b b b. b β β β. β α α α α. α α α..... α α α. Das ce cas o a A.X b et X β - αx. Au début o choisie ue approche vers les racies :,,... O remplace ces valeurs das l équatio X β - αx et o obtiet la première approimatio : X β αx X β αx X β αx. k X β αx k O obtiet ue suite u X, X, X,... X Si cette suite est covergete o a : lim X k X k Maiteat o va aocer u théorème suivat sas démostratio : Si les coeiciets du sstème satisait ue des coditios

52 5. α p j,,,... i ij. α p i,,,... j ij. α p i j ij u Alors la suite X, X, X,... X est covergete et sa limite est la solutio uique du sstème. Eercice : Trouver la solutio du sstème par la méthode d itératio : 4,4,8,6 4 8,9,5, 4 9,4,8 4,6 4,,6,4-4 -,6, -,4 4,,5,4 4 5,, -,5 4 4,,,6 -,4 O applique le théorème pour vériier si la suite,,, 4 est covergete. α α α 4,6,,4, < α α α 4,,5,4, < α α α 4,,,5,45 < α 4 α 4 α 4,,6,4, < Le théorème est vériié et o commece les calcules e choisissat la première approche les coeiciets libres βi 4 5,,6, 5 -,4,,96,,5 5,4,,86

53 5 5,, -,5, 5,85 4,,,6 -,4 5,4 Deuième itératio : Troisième itératio :,6,86, 5,85 -,4,4,99,,96,5 5,58,4,4,88 5,,96,,86 -,5,4 5,44 4,,,96,6,86 -,4 5,85,4,6,88, 5,44 -,4,4,98,,99,5 5,44,4,4,89 5,,99,,88 -,5,4 5,45 4,,,99,6,88 -,4 5,44,4 O peut cotiuer ou s arrêter selo la précisio demadée. D u autre coté o peut tester les résultats das la sstème d équatio. Ces résultats sot obteus à laide due calculatrice. Avec lordiateur o arrive à des résultats beaucoup plus précis rapidemet. Voilà ce qui doe lordiateur :,96,945,98,94,5,75 5 5,85 5,459 5,4875 4,,4,45, ,984,98,989,989,989,775,7766,7766,7766,7766 5,486 5,4869 5,487 5,487 5,487,48,48,48,48,48

54 54 RESOLUTION DES SYSTEMES D EQUATIONS NON LINAIRES Soit le sstème o liéaire : F, Φ, O suppose qu ue approche, vers la solutio est coue. Soiet h et k les correctios respectivemet de et de tel que h et k où et sot des racies eactes du sstème. Alors o a : F h, k Φ h, k O va aire le développemet de Talor pour les octio F et Ф. O rappelle la ormule de Talor : Si ue octio est déiie et cotiue sur litervalle ermé [a, b] aisi que ses premières dérivées, o peut écrire :!...! a a b a a b a a b a b O pose : h b - a et b a h et o remplace das la ormule ci-dessus :!...!. a h a h a h a h a O reviet vers otre démostratio.,!,!,,,, F k F h kf hf F k h F,!,!,,,, k h k h k h Φ Φ Φ Φ Φ Φ

55 55 Les correctio h et k état assai petits o églige h, k, h, k,.. Le développemet des octios F et Ф deviet :,,,, kf hf F k h F,,,, k h k h Φ Φ Φ Φ O arrive à u sstème de deu icous h et k et deu équatios :,,, Φ Φ Φ k h,,, kf hf F Ce sstème a ue solutio seulemet et si seulemet la discrimiate :,,,, Φ Φ F F A partir de ce sstème o calcule h et k et puis o détermie et par les ormules : h et k Due aço idetique o détermie et, et.. k et k Eercice : Détermier la solutio du sstème :.lg - 5

56 56 Pour détermier ue première approche, vers les racies o trace les courbes approimatives des deu octios : Ф,.lg 5, F, A partir des courbes o peut détermier approimativemet la coordoée du poit ditersectio qui représete pour ous la première approche vers la solutio du sstème. -,4,4,4,4, O calcule la valeur de chaque octio et ses dérivée premiers e ce poit : F,.lg Ф, - 5 F,,4.lg,4,,545 Ф,,4,4., - 5,4,6 F, Φ, 4 5.l F, Φ, F,,545 Ф,,6 F,,8 Φ, 6,4 F, 4,4 Φ,, 4

57 57 O remplace ses valeurs das le sstème et o le résout par la méthode de substitutio : F, hf, kf, Φ hφ, kφ,,,8 h 4,4k,545 6,4h,4k,6,545 4,4k,545 4,4k h 6,4,4k, 6,8,8 k,6 h,89 h et,4,89,489 et k,,6,6,489,6 La deuième approche k et h est calculée de la même aço et les résultats sot aichés das le tableau ci-dessous : F, -,4 Ф,,56 F,,74 Ф, 6,69 F, - 4,56 Ф, -,489,74 h 4,56k,4 6,69h,489k,56 La solutio de ce sstème des racies : k -,4 h -,6

58 58 h et,489-,6,4874 et k,6 -,4,66,4874,66 Si cest écessaire, o cotiue. Méthode ditératios Soit le sstème déquatios : i ϕ i,,,. avec i,,, et ϕ i sot des octios réel et cotiues au voisiage de leurs racies ξi i,,... O cosidère lesemble des poits i qui appartiet au voisiage des racies ξi i,,... La première approche doe : i ϕ i i, i,... Puis o ait ue deuième approche : i ϕ i i, i,.... ϕ,,... k k k k k i i i i

59 59 Pour que l itératio soit covergete il aut que les coditios suivates soiet accomplies : j dϕ i,,... p i,,,... d j Eercice : O va résoudre le même sstème par la méthode d itératio :.lg - 5 O présete le sstème sous la orme : ϕ,.lg -.lg ϕ, ϕ, - 5 / - 5 ϕ, Maiteat o, va vériier si les deu octios ϕ, et ϕ, doet des résultats covergetes et pour cela o eamie la coditio : dϕ, dϕ, d d p dϕ, dϕ, d d p avec,4 et,. Avat de commecer les calculs la octio dérivée d ue octio logarithmique :

60 6 log ou lg sot des smboles de logarithme décimale base ; Log ou l sot des smboles de logarithme épériee base e log e Log Log [ log ] [ ] Log Log Rem. [ log ] Log.log e d ϕ,.log e d dϕ, d dϕ, d dϕ, d Remplaços das ses epressios les valeurs de et. dϕ, d 4,4 dϕ, d,9 Il e guère écessaire de calculer d avatage car ces deu dérivées dépasse largemet. ϕ, 5-5 ϕ, ϕ,.lg.log ϕ, Calculos les dérivées : dϕ, d dϕ, d 4. 5.log e dϕ, dϕ, d..log d

61 6 O vériie la coditio dϕ, d dϕ, d,55,9 dϕ, d dϕ, d,48 dϕ, dϕ,,55,48,777 p d d dϕ, dϕ,,9,9 p d d Alors litératio avec ces deu ouvelle octio va être covergete. Il ous reste à aire les calculs : 5,4, 5,4668.log,4.log,4,48 Ue deuième itératio doe : 5,44885.log,496

62 6 INTERPOLATION DES FONCTIONS POLYNOMIALES Soit litervalle [a,b] et des poits,,,.. das cet itervalle appelés des œuds diterpolatio ou poits dallocatio. Soit la octio dos la valeur das ces œuds est coues. O pose,,... O cherche la octio diterpolatio ϕ tel qu elle a la même valeur que das les poits de colocatios : ϕ i i i,,,.. Ce problème aura ue seul solutio si au lieu de chercher ue octioa o cherche u polôme P tel que P i i i P a a a.. a La ormule ϕ quo cherche sappelle la ormule diterpolatio et elle va ous servir pour calculer la valeur de pour k valeur de diéret de œud.

63 6. Par eemple o coaît la valeur de si das les poits 5, 7, 9, mais o veut calculer sa valeur au poit 6 si6? Eercice : Calculer le polôme passat par les poits,,,9,8 9 8 Etat doés quatre poits le polôme recherché est tout au plus de degré. a a. a. a. a a. a. a. a a. a. a. 9 a a. a. a. 8 O présete ce sstème sous orme matricielle

64 a a a a O va appliquer la méthode de Gauss pour résoudre ce sstème Le but est de trasormer la matrice à gauche e matrice uitaire. O ait la soustractio lige - lige, lige - lige, lige - lige Puis lige - lige O divise lige par et lige 4 par Maiteat : lige - lige, lige 4 - lige Derière opératio: lige - lige 4., lige lige 4.. La rerière matrice doe : a, a, a, a 4

65 65 Le polôme est : P Avec ce polôme de Lagrage o peut évaluer la valeur de la octio e dehors des poits de collocatios: 9 8 Eemple :,5,5 4,75

66 66 INTERPOLATION DE LAGRANGE L iterpolatio de Lagrage est ue aço simple de costruire u polôme de collocatio. Etat doés poits [ i, i ]pour i,,, o doit costruire polômes L i de degré satisaisat les coditios suivates. L i i pour chaque i L i j pour chaque i j Cela sigiie que le polôme L i de degré pred la valeur e i et s aule e tous les autres poits de collocatio. La octio L déiie par : L i i. L i passe par tous les pois de collocatio. Eemple : L j j L j j i i j i. L Sachat que L i j si i j et L i j si i j, alors o a : L j j i i

67 67 POLYNOME DE DEGRE L L L L Maiteat o va chercher lepressio de ces polômes. L saule e alors so epressio peut sécrire de aço suivate : L Du autre côté L est égale à e et alors so epressio peut sécrire de aço suivate : L Avec les mêmes réleios o déduit les epressios de L : L L L L La octio de Lagrage peut sécrire : L L L L

68 68 Eemple : Doer le polôme diterpolatio détermié par les poits :, et 5,-6. O dresse le petit tableau : L L 9 O peut calculer la valeur de P au poits diérets de et. Par eemple L

69 69 POLYNOME DE DEGRE O cherche u polôme L passat par les trois poits [, ], [, ], [, ]. E appliquat la même résoemet que pour le polôme de premier degré L L L L Le problème ici est de trouver lepressio de L i L saule e et alors so epressio peut sécrire de aço suivate : L Du autre côté L est égale à e et alors so epressio peut sécrire de aço suivate : L De même maière o a : L L L L L L L L L L

70 7 L Eemple : Doer le polôme L passat par les poits :,,,7, 4, L L L 6,5, L O peut calculer cette octio au poit qui est pas u poit de collocatio. P -,5. 4 6,5. 8.

71 7 POLYNOME DE DEGRE N L saule e tous les poits,,. sau e où il est égale à Alors il sécrit sous la orme : L Avec la même réleio o trouve lepressio de L sachat quil saule e tous les poits,..,. sau e où il est égale à. Alors il sécrit sous la orme : L i i i i i i i i i L

72 7 POLYNOMES DE LAGRANGE Etat doé poits diterpolatios [, ] i,,,.. luique polôme diterpolatio de degré passat par tous les poits peut sécrire : P i i. L i Eemple : O repred le même eercice dot les poits de collocatio étaiet,,,,,9,,8. Le polôme quo cherche est uique et o doit trouver la même répose : P P P P [ 8 7 ] 6 P P 6 6 P

73 7 LA VARIATION DE LA FONCTION Y FX Soiet les œuds équidistats,,,. k tel que : h, h, h.. et h h h k kh Les variatios de premier degré de la octio sot :,, i i i Les variatios des variatios de premier degré sot appelées variatios de secod degré et elles sot doées par lepressio : i i - i De la même aço o peut trouver les variatios de degré : i i - i O peut préseter ses variatios das u tableau : 4 h h 4 h 4 4h 4 4 5h 5

74 74 O va eprimer ses variatios avec les valeurs de la octio i i et par déductio : 4 4 Avec le même résoemet o déduit lepressio de 4 : Par déductio o arriva à la ormule géérale : k k k k k k k k k k... Propriétés des variatios : Si u v u v Si C.u C Cost C. u Si P est u polôme de degré P est u polôme de degré - P est u polôme de degré. P Costate P

75 75 FORMULES DINTERPOLATION DE NEWTON Soit et i i i ih. O cherche le polôme P tel que: P i i O va chercher ce polôme sous la orme : P c c c - c - c Le problème st de détermier tous les coeiciets c i et pour cela o pose et o trouve : P c Puis o pose et o le remplace das le polôme P : P c c c c h c h h O cotiue de la même aço e posat P c c c - P.h c.h. h c.h. h c h h h h c h O pose P c c c - c -.h h.h c.h.. P h h h h

76 76...!......!!! h h h h P!. h c P!! h h c! 6 h c! h c! h c Ceci représete la ormule de Newto. O peut simpliier cette epressio e posat : th h t i t h it h i La ormule iale deviee :!......!!! t t t t t t t t t t P

77 77 Eercice : Preos leemple si. Das le tableau ci-dessous sot aichés les œuds valeurs ies de et les valeurs de. 4 5,8756 7,869 9,5646,989,495 -,47 -,4565 -,476 -,44,868 -,48 -,9 -, -,74 -,4 -,4 -,4 -,, 5,5889 O costate quà partir de les variatios sot pratiquemet costates. O va calculer si 6 e choisissat t si 5,8756 t.,5.,47,7565 t t,48,85 8 t t t 6 6,4,6 P 6,8756,7565,85 -,6,458 P 6 6,458

78 78 CALCUL DINTEGRAL Soit la octio 5, le tableau de valeurs et sa courbe. -,,,,,,,, 7,, 5,, 7,, 5,, 5,, 5,, -4, -, -, -,,,,, 4, -5, -, O se propose de calculer litegrale suivate Avec 5 et,.o coaît davace le résultat ial : Voos ce que vot doer les calculs d O va développer deu méthodes de calcul : des rectagles et des trapèzes. Litégrale représete la surace ormée par la courbe et lae O. Voir la igure ci-dessous.

79 79 9, 7, 5,,, S 5 d S S -,,S,,4,6,8, -, -5, Cette surace peut être évaluée approimet par le calcul, soit des rectagles ormés ig., soit par des trapèzes ig. 9, 9, 7, 7, 5, 5,,,,, -,,,,4,6,8, -,,,,4,6,8, -, -, -5, -5, Fig Fig Evidemet la deuième méthode doe des meilleurs résultats car la surace calculées et plus proche de la surace ditégrale.

80 8 Avec la méthode des rectagle o ait la somme de laire des rectagles - S S S S. Ici laire de S est égative. Plus les itervalles sot petits, plus les calculs se rapprochet vers la vraie valeur de litégrale. O obtiet cela ci le ombre ditervalles tat vers liiie. 9, 7, 5,, S, So S S -,,,,4,6,8, -, -5, S. 4 S,88.,6,4 Les résultats des calculs avec Ecel sot motrés das le tableau ci-dessous :

81 8 Si, - -,,5 -,695 -,8465, -,7 -,685,5 -,5 -,565, -,68 -,4,5 -,5 -,565,,7,5,5,4675,75,4,88,44,45,75,6575,5,75,875,55,75,75,6,68,4,65,675,5875,7,67,85,75 4,875,975,8 4,7,6,85 5,675,675,9 5,8,95,95 6,475,75, 7,776 Ici A,5 A B - Cest le résultat appositi des calculs Cette méthode est pas assez précise.,77 est très loi de. Cepedat plus le ombre ditervalle est grad plus le résultat ce rapproche vers la valeur eacte. 9, 7, 5,,, -,,,,4,6,8, -, -5, Méthodes des Trapèzes Cette méthode est beaucoup plus précise. Laire calculée se rapproche de celle de litégrale. Laire du trapèze est doée par la ormule : S a b/*h où a et b sot respectivemet la grade et la petite base du trapèze et h so hauteur Cette ormule sécrit avec Ecel voir le cadre ci-dessous où E, E, F,

82 8 F Si -,95,5 -,695,76565, -,7,665,5 -,5,485, -,68,485,5 -,5,665,,7,475,5,4675,6875,4,88,546875,45,75,76475,5,75,98975,55,75,875,6,68,46875,65,675,7975,7,67,96475,75 4,875,6875,8 4,7,496875,85 5,675,77475,9 5,8,5975,95 6,475,5875 7, S S E-E*FF/ i,5 *;5 i i * i i Ce résultat est beaucoup plus proche de la valeur ditégrale Leemple motre qu avec peu ditervalle assez grad,5. Ecel permet daller jusquà itervalles pour très peu de temps. Par eemple si litervalle est, les résultats devieet,9555 avec la méthode des rectagles et,5 avec celle des trapèzes. Eercice : Calculer,5,5 e - d par la méthode des trapèzes. La graphique ci-dessous motre la surace. O choisie u itervalle de,5. Voir les résultats das le tableau suivat :

83 8 S i,5,,56,55,,755,6,9,98 4,65,48,67 5,7,58,9 6,75,69,7544 7,8,8,4674 8,85,94,5 9,9,8,5755,95,,658,,9,786,5,57,89,,76,996 4,5,96,684 5, 4,9,556 6,5 4,4,775 7, 4,68,48 8,5 4,96, ,4 5,6,76,45 5,59 La somme,7,, 8, e - 6, 4,, S,,,5,,5,,5,,5 Das cet eemple litervalle [,5 ;,5] est divisé à des petits sous itervalles de logueur,5. Le résultat est,7. Si litervalle deviet, le résultat est,6759.

84 84 Eercices : Calculer :. e d e. l d / 4 d 8. 4l / 4