MÉCNIQUE U SOLIE HERVÉ OUIN
Table des matières I INTROUCTION... I- CONSIÉRTIONS GÉNÉRLES... I- NOTION E RÉFÉRENTIEL ESPCE - TEMPS...3 L espace...3 Le temps...4 I-3 NOTION E MSSE...4 I-4 NOTION E FORCE...5 I-5 PRINCIPE FONMENTL E L YNMIQUE «PF»...5 I-6 PRINCIPE ES TRVUX VIRTUELS «PTV»...7 BIBLIOGRPHIE...7 NOTES PERSONNELLES...8 II BSES MTHÉMTIQUES...9 II- VECTEURS...9 II-. Prpriétés de E...9 II-. Ntatins : vectrielle, matricielle, indicielle... II-.3 Changement de bases... II-.4 Prduits de vecteurs...5 II- CHMPS E VECTEURS TORSEURS...7 II-. éfinitins...7 II-. Prpriétés des trseurs...8 II-.3 Classificatin des trseurs...9 II-3 ÉRIVÉES - IFFÉRENTIELLES... II-3. Fnctin à une variable... II-3. Fnctin à plusieurs variables... II-4 CLCUL ES INTÉGRLES... II-4. Les vlumes... II-4. Les surfaces... II-4.3 Les lignes planes...3 II-4.4 pplicatin à la gémétrie des masses...3 BIBLIOGRPHIE...5 NOTES PERSONNELLES...6 III CTIONS MÉCNIQUES - PRMÉTRGE...7 III- CTIONS MÉCNIQUES...7 III-. Classificatin...7 III-. Petits rappels sur le champ de gravitatin et pesanteur...9 Le champ de Gravitatin...9 Champ de Gravitatin terrestre...9 Champ de Pesanteur terrestre...3 III-. Liaisns gémétriques élémentaires...3 Liaisns simples parfaites...3 III-. Liaisns cmpsées...33 III- PRMÉTRGE ESCRIPTION ES MOUVEMENTS...34 III-. Paramètres & paramétrage...34 III-. Vitesse et déplacements virtuels...37 III-3 PUISSNCE - TRVIL - ÉNERGIE...38 III-3. Puissance - Travail...38 III-3. Énergies...39 III-3.3 Puissance dans les liaisns mécaniques...4 BIBLIOGRPHIE...43 NOTES PERSONNELLES...44
IV CINÉMTIQUE...45 IV- NOTION E MOUVEMENT...45 IV-. éfinitins - prpriétés...45 IV-. Pints gémétriques pints liés à un espace...46 IV-.3 Cmpsitin des muvements...47 IV- NOTIONS E VITESSE...48 IV-. éfinitin - prpriétés...48 Cmpsitin des vitesses...5 IV-. Trseur cinématique...5 IV-.3 érivatin vectrielle...54 IV-3 CCÉLÉRTION...54 IV-3. éfinitin - calcul pratique...54 IV-3. Cmpsitin des accélératins...55 IV-4 MÉTHOOLOGIE POUR LES CLCULS E CINÉMTIQUE...56 BIBLIOGRPHIE...58 NOTES PERSONNELLES...58 V ÉLÉMENTS E CINÉTIQUE...59 V- CRCTÉRISTIQUES MÉCNIQUES UN SOLIE...59 V-. Ntin de masse...59 V-. Centre de masse...6 V-.3 Opérateur d'inertie...6 V- QUNTITÉS E MOUVEMENT ET CCÉLÉRTION...65 V-. éfinitins...65 V-. Prpriétés générales...66 V-.3 Mment cinétique d un slide...67 V-.4 Mment dynamique...68 V-3 ÉNERGIE CINÉTIQUE...69 V-4 EXERCICES...7 NOTES PERSONNELLES...7 VI PRINCIPE FONMENTL E L YNMIQUE «PF»...73 VI- ÉNONCÉ U PF...73 VI-. Thérème de l'actin - réactin...74 VI-. Thérèmes généraux de la dynamique...74 VI-.3 Thérème de l'énergie...74 VI- RÉFÉRENTIELS GLILÉENS...75 VI-. Exemples de repère galiléen...76 VI-. Relatin entre pesanteur et gravitatin...77 VI-3 ÉQUTIONS PRINCIPLES UN PROBLÈME...8 VI-3. nalyse d un prblème de mécanique...8 VI-3. Recherche des équatins du muvement...85 VI-3.3 Intégrales premières du muvement...87 VI-3.4 Calcul d'effrts...9 VI-4 EUX PPLICTIONS INUSTRIELLES...9 VI-4. Équilibrage d'un rtr...9 VI-4. Gyrscpes...93 VI-5 QUELQUES EXERCICES E COURS...96 NOTES PERSONNELLES...98 VII PRINCIPE ES TRVUX VIRTUELS...99 VII- ÉNONCÉ U PTV... VII-. Équivalence PTV - PF... VII-. Cnséquence : le Thérème de l énergie... VII- ÉQUTIONS E LGRNGE :... VII-. Frme pratique des équatins de Lagrange... VII-3 NLYSE UN PROBLÈME PR LGRNGE...4 VII-3. Méthdlgie...5 VII-4 PPLICTION...5 VII-4. Recherche des équatins du muvement...5
VII-4. Calcul d un cuple mteur...8 VII-4.3 Calcul d un effrt de liaisn...9 VII-5 EXERCICES E COURS... NOTES PERSONNELLES...4 VIII LOIS E FROTTEMENT...5 VIII- EXEMPLE PRÉLIMINIRE...5 VIII- RÉSISTNCE U GLISSEMENT...6 VIII-. Énncé des lis de culmb...7 VIII-. Puissance dissipée par frttement... VIII-3 RÉSISTNCE U ROULEMENT ET U PIVOTEMENT... VIII-4 PROBLÈMES E STTIQUE... VIII-5 PROBLÈME E YNMIQUE...6 nalyse du prblème par le PF...7 Écriture et mise en frme des équatins principales...8 Réslutin...8 NOTES PERSONNELLES...3
I - Intrductin I Intrductin Le premier chapitre de ce curs présente les principales ntins sur lesquelles snt cnstruits tus les mdèles dans le cadre de la mécanique classique. Cette intrductin sera l ccasin de satisfaire vtre curisité sur quelques hmmes qui nt cntribués à l histire de la mécanique. I- Cnsidératins générales Le terme Mécanique vient du grec «μεκανη (mékanè» qui signifie machine. La mécanique est la science du muvement, c est une science d rigine expérimentale. Très tôt l hmme a su utiliser leviers, plans inclinés, rndins pur déplacer et mettre en place d énrmes blcs de pierre. Mais il a fallu des siècles de réflexin pur expliquer les phénmènes mis en jeu. Petite histire de la mécanique classique Premier almanach sus le règne de Nabuchdnsr (5 av JC. Naissance de l écle inienne sus l influence de THLÈS puis grande péride hellénistique avec de nmbreuses écles : PYTHGORE et ses disciples qui répandirent les premiers l idée que la terre était sphérique, plngée dans un univers vide et infini, RISTOTE qui effectua une classificatin de l ensemble des sciences et étudia les relatins entre elles, EUCLIE célèbre gémètre d lexandrie dnt les travaux snt à la base de la gémétrie, thérie de l équilibre d RCHIMÈE (87 av JC qui affirmait que tut crps pesant avait un barycentre bien défini. Il faut nter qu avant tut rchimède était un mathématicien, il n a quasiment pas réalisé d expériences, la plupart de ses travaux snt le fruit de démnstratins basées sur un principe de départ. Cette péride grecque se termine avec PTOLÉMÉE ( p JC qui vulut cnstruire à tut prix un système cncrdant avec ce qui était bservé depuis la terre. Il prpse tut un système gécentrique ù la terre est fixe au centre de l univers, ce fut la référence eurpéenne incntestée en matière d astrnmie jusqu au quatrzième siècle. Pendant tut le Myen Âge ce snt les rabes qui nt prduit le plus de résultats tant au niveau des bservatins (bservatires de amas, Bagdad, Maraga, Samarkand L- BTTNI (858-99, qu au niveau des mathématiques IBN L-HYTHM (965 4. En Occident il faut attendre l étude du muvement des astres par COPERNIC (473 543 pur ser ôter à la terre sa psitin centrale dans l univers. Mais n écrivait-il pas lui même : «ne cnfier les secrets de la philsphie qu à des amis fidèles et à des prches, et ne pas mettre ces secrets par écrit, ni les révéler à n imprte qui». KEPLER (59 63 met en évidence la prprtinnalité frce accélératin. Ces travaux snt repris et diffusés par GLILÉE (564 64 qui aspirait à cnstruire une science mathématisée du muvement «la philsphie est écrite dans ce très vaste livre qui cnstamment se tient uvert devant ns yeux. Mais n ne peut le cmprendre si d abrd n n apprend à cmprendre la langue et à cnnaître les caractères dans lesquels il est écrit. Or il est écrit en langue mathématique et ces caractères snt les triangles, les cercles, et autres figures gémétriques sans lesquelles il est abslument impssible d en cmprendre un mt.». ESCRTES (596 65 intrduisit l utilisatin de l algèbre dans la gémétrie et HUYGENS (69 695 dévelppa la thérie du pendule et s intéressa aux cllisins élastiques. vec NEWTON (64 76 les principes qui snt la base de la mécanique classique actuelle snt psés sus frme de tris
Mécanique du slide lis dnt celle de la gravitatin. ans la lignée de Newtn nus truvns tus les grands mécaniciens mathématiciens des dix-huitième et dix-neuvième siècles BERNOULLI (7 78, EULER (77 783, d LEMBERT (77 783, LGRNGE (736 88. vec eux, la mécanique s affranchit des cnsidératins philsphiques pur parvenir à un expsé analytique fndement du dévelppement frmel de la mécanique ù les équatins différentielles ccupent une place privilégiée. Pur en savir plus sur tus ces savants, vus puvez cnsulter «es Physiciens de à Z», ndré Russet & Jules Six, Ed ellipses (. ujurd hui nus dispsns d un système parfaitement rdnné, clair et pratique, qui permet de prévir les phénmènes mécaniques à partir d un certain nmbre de principes (u lis qui snt les bases de la mécanique thérique (u ratinnelle. ans ce curs nus nus limiterns à ce qu il est cnvenu d appeler la mécanique classique (u galiléenne, par ppsitin aux mécaniques nuvelles : la mécanique statistique (limites dues aux grands nmbres, la mécanique relativiste (limites dues aux grandes vitesses, la mécanique ndulatire (limites dues aux petites dimensins, la mécanique quantique (limites dues aux discntinuités de certaines grandeurs. Les phénmènes que peut décrire la mécanique classique snt dnc limités. Ils frment cependant l immense majrité des phénmènes curants au milieu desquels nus vivns, et que nus bservns du pint de vue macrscpique. Ce snt ces phénmènes qui nus intéressent dans le cadre de la mécanique industrielle. «C» est la vitesse de la lumière dans le vide. C C/ Vitesse Mécanique quantique relativiste Mécanique quantique C,998 8 m/s Mécanique relativiste Mécanique classique -5 5 - Csmlgie relativiste Csmlgie dimensin en m Ntez que cette figure n est pas à l échelle, elle dnne simplement une idée du dmaine d applicatin à l intérieur duquel nus allns travailler. Ce curs est rienté vers l applicatin des lis de la mécanique classique à des prblèmes de calcul des muvements u des effrts relatifs à des systèmes mécaniques simples tels que peut les rencntrer un futur ingénieur. Ce champ d actin est cnsidérable, aussi plutôt que d expser les principes et aximes qui cmbinés cnduisent aux lis générales à appliquer, nus énncerns directement ces lis et insisterns sur la démarche permettant leur utilisatin rigureuse dans le cadre de la mécanique industrielle. vant d entrer dans le vif du sujet, essayns de dnner une vue d ensemble des ntins intervenant dans la frmulatin des lis qui régissent la mécanique classique, telles que les ntins d espace de temps, de masse et de frce.
I - Intrductin I- Ntin de référentiel espace - temps L espace Ntre espace est mdélisé par un espace affine E de dimensin 3. Cet espace est l espace physique, il cntient l ensemble des pints que nus puvns bserver. Sur cet espace il est impssible d établir de lis mathématiques, et d effectuer des calculs. C est ntre espace d bservatin et de mesure. En chisissant une rigine O nus allns lui asscier un espace vectriel E. Cet espace est l espace mathématique sur lequel sernt frmulées les lis de la mécanique. C est dans cet espace que nus travaillns pur établir ns mdèles, rechercher et écrire les équatins du prblème. Cet espace est muni d un prduit scalaire (nrme et a une structure d espace vectriel euclidien. Chisissns à présent une base (de tris vecteurs de ntre espace vectriel. Tut vecteur peut être alrs représenté par ses cmpsantes sur cette base. Ce snt des nmbres réels avec lesquels nus puvns effectuer tus ns calculs. C est l'espace de travail pur tutes ns applicatins numériques. Maths : Espace affine Espace vectriel Nmbres réels En pratique : Chix d'une Chix d'une ε 3 rigine O E base b 3 P (Pint O P 3 R (Vecteur (Crdnnées de P Espace physique Espace mathématique Espace de travail Observatins et Mesures Frmulatin des Prblèmes Recherche des équatins x i Expressins litérales pplicatins numériques Calculs Nus venns d intrduire la ntin de repère qui est fndamentale, car tut en mécanique repse sur la gémétrie euclidienne. Par abus et lrsqu il n y aura aucune ambiguïté, il nus arrivera pur simplifier la présentatin de cnfndre l espace réel E et le repère R(,b qui lui est asscié. La décmpsitin que nus précnisns ici est très utile en pratique, pur abrder et traiter un prblème de mécanique :. cmprendre le prblème (espace physique. le frmuler crrectement (espace mathématique 3. le résudre numériquement (espace de travail 4. analyser les résultats / physique Suivre cette démarche permet d abrder les difficultés séparément et peut vus éviter de turner en rnd en cherchant à résudre un prblème qui n aurait pas été crrectement frmulé. En pratique la base sera chisie rthnrmée et rientée dans le sens direct 3
Mécanique du slide Le temps Suivant le même schéma, le temps «τ» peut être mdélisé par un espace affine de dimensin rienté. Le chix d une rigine définit l espace vectriel des durées τ - τ ο, puis celui d une base e l espace réel des dates t. L rientatin initiale crrespnd à l rdre chrnlgique, elle s appuie sur l irréversibilité fndamentale de l évlutin de tus les phénmènes physiques, cnséquence du deuxième principe de la thermdynamique. Pstulat : Pur tut bservateur (cuple «E,τ» les prpriétés du référentiel Espace-Temps snt identiques Ce mdèle cntient le principe de simultanéité, u principe d universalité du temps qui revient à admettre l existence d un signal de synchrnisatin puvant se prpager à une vitesse infinie. Cela exclue la mécanique relativiste. yant défini l espace et le temps il est pssible d étudier les muvements au curs du temps d un système matériel (ensemble de pints par rapprt à un espace d bservatin. C est l bjet du chapitre de cinématique. I-3 Ntin de masse Nus regardns les bjets du pint de vue macrscpique, excluant de ce fait les mécaniques quantique, statistique et ndulatire. Ntre mdèle est fndé sur l hypthèse de la cntinuité de la matière qui ccupe un dmaine cnnu de l espace. Pstulat : tut crps de la nature il est pssible de faire crrespndre un nmbre psitif invariable sa masse. Ntns M ρ dv la masse d'un système matériel. Ce mdèle fait appel à la ntin de masse cnservative, c est-à-dire que l n suit les particules au curs du temps. Nus smmes dans une descriptin Lagrangienne des muvements. L intérêt d une telle descriptin est de puvir caractériser un slide indéfrmable par tris grandeurs sa masse, sn centre de masse et sn pérateur d inertie. La cnséquence directe du pstulat des systèmes à masse cnservative est de puvir permuter dérivée et intégrale par rapprt à la distributin de masse : d df ( P, t P t f dv (, ρ ρ Ces ntins sernt précisées dans le chapitre de cinétique qui s intéresse à la descriptin des masses en muvement et fait appel à la gémétrie des masses. dv 4
I - Intrductin I-4 Ntin de frce Lngtemps les hmmes nt buté sur la distinctin entre deux ntins : frce et muvement. Il est encre curant d entendre parler de frce d inertie! Nus utiliserns exclusivement la ntin de frce et plus généralement celle d effrt pur caractériser les actins mécaniques. Pstulat : Les diverses causes mdifiant les muvements d'un système matériel peuvent être représentées par des actins mécaniques de cntact u à distance qui tutes snt mdélisées par des vecteurs (frces u cuples. Ce pstulat est à la base de tute mdélisatin mécanique. L ingénieur dit analyser le prblème à traiter et décider du dmaine à étudier. Sur ce dmaine il devra représenter (mdéliser les actins mécaniques par des systèmes de vecteurs (trseurs. Si ces effrts snt suppsés cnnus et se situent à la frntière du dmaine nus parlns de cnditins aux limites en frce (u cnditins naturelles. Si ce snt des effrts de vlume nus parlns de champ, exemple le champ de pesanteur. Là ù les déplacements snt impsés les effrts snt des incnnues du prblème, nus parlns de cnditins aux limites en déplacement. Ces ntins de mdélisatin sernt précisées dans le chapitre sur les liaisns mécaniques et utilisées dans les chapitres d applicatin des principes de la mécanique que nus allns présenter maintenant. I-5 Principe Fndamental de la ynamique «PF» Il est pssible de recnstruire le PF à partir d aximes fndamentaux tels que le principe du déterminisme, le principe de causalité, le principe d inertie (première li de Newtn, le principe de l actin réactin (trisième li de Newtn. La frme simplifiée du PF appliqué au pint matériel «f ma» est la deuxième li de Newtn. Ces tris lis nt été refrmulées pur btenir la frme actuelle du PF qui est un principe d existence qui stipule l existence de repères privilégiés sans dire cmment les chisir. Enncé : Il existe des référentiels privilégiés dit référentiels galiléens, tels que à tut instant et pur tut système matériel cnsidéré, le champ de vecteur des effrts extérieurs appliqués à ce système et le champ des quantités d accélératin du système snt égaux : Rg Σ t F ma { ext / Σ} { Σ/ Rg} Les 6 équatins qui déculent de l écriture de ce principe snt nmmées «équatins de Newtn» par référence histrique aux tris lis du muvement. ans le chapitre sur les applicatins du PF nus préciserns cette ntin de référentiel galiléen, puis nus nus attacherns à définir une démarche méthdlgique pur abrder et pser crrectement les prblèmes de mécanique industrielle. La réslutin des équatins n est pssible que pur des prblèmes académiques. es utils de simulatin numérique existent et 5
Mécanique du slide snt curamment utilisés pur traiter les prblèmes plus cmplexes et analyser les résultats des études industrielles. Citns quelques dmaines d applicatin en mécanique industrielle Rbtique & Mécanique du crps humain Trajectire des (planètes, Fusées, satellites sumis à des frces gravitatinnelles. Mécanique du vl (études aérdynamique ynamique des navires Calcul d effrts sur les pièces mécaniques Le dcument suivant est une reprductin d un extrait «des Principes Mathématiques de la Philsphie Naturelle» dans une traductin de la Marquise du Châtelet de 759. 6
I - Intrductin I-6 Principe es Travaux Virtuels «PTV» Histriquement, nus puvns accrder à d lembert la paternité de ce principe. ans sn traité de dynamique (743 il fait la synthèse des travaux de Newtn et d'euler en dnnant une place essentielle à la ntin d énergie. Il existe plusieurs présentatins pssibles de ce principe sit sus la frme de Travaux Virtuels sit sus celle de Puissances Virtuelles. Pur les ngl-saxns c est le Principe d'hamiltn (87 qui intrduit la ntin de fnctin caractéristique et le principe de mindre actin, dnnant naissance aux méthdes variatinnelles actuelles. Enncé : Il existe au mins un référentiel galiléen, tel que à tut instant et pur tut système matériel cnsidéré le travail virtuel de tus les effrts appliqués à ce système est égal au travail virtuel des quantités d accélératin du système, et ceci quelque sit le champ de déplacement virtuel, Sit : Rg Σ δ q δt δ ( Σ ( Σ/ Rg Ce principe est basé sur l utilisatin de la ntin de déplacement virtuel. Le PTV et le PF snt deux principes équivalents du pint de vue mécanique, c est seulement la façn d abrder et de traiter le prblème qui sera différente. vec le PF nus aurns une apprche physique qui se traduira par des équatins vectrielles. vec le PTV nus aurns une apprche variatinnelle d une grandeur énergétique qui se traduira par des équatins scalaires. Il est difficile de ne pas citer les équatins de Lagrange en même temps que le PTV. En effet c est sn uvrage de synthèse sur le traitement mathématique de la mécanique (788 qui dnna naissance à ce qu il est cnvenu d appeler la mécanique analytique enseignée de ns jurs. Ce snt ces équatins que nus utiliserns pur appliquer le PTV à un système matériel de N slides indéfrmables. Pur cnclure cette vue d ensemble des principales ntins et principes présentés dans le cadre de ce curs de mécanique, il imprte de rappeler que la mécanique est cmplexe. Elle emprunte ses prcédés aux mathématiques pures, ce qui nécessite de la part des étudiants et étudiantes de la rigueur dans les raisnnements et les calculs. Mais elle est aussi, de par sa nature et ses applicatins, une science physique qui nécessite de cmprendre les phénmènes pur appliquer avec un maximum d efficacité les méthdes et démarches d analyse que nus allns vus enseigner en L et L. Bibligraphie ndré Russet & Jules Six «es Physiciens de à Z», Ed ellipses (. Pur en savir plus sur tus les savants qui nt laissé leurs nms à une méthde, une li, un principe, Ce livre permet de mieux cnnaître ces femmes et ces hmmes. Sur le Web http://fr.wikipedia.rg/ Rechercher mécanique (science Isaac Newtn d lembert Lagrange etc 7
Mécanique du slide Ntes persnnelles 8
II Bases mathématiques II Bases mathématiques Ce chapitre présente un rappel des éléments de mathématiques indispensables pur abrder le curs de mécanique. Cmme nus le verrns rapidement la gémétrie «vecteurs et champ de vecteurs» snt essentiels à la frmulatin d un prblème de mécanique. Les ntins de dérivées et différentielles nus permettent d écrire les équatins, et celles d intégrales sernt utiles pur calculer les caractéristiques mécaniques des slides. Il est indispensable de cnnaître et de savir utiliser les utils mathématiques présentés ici. Ntre bjectif n est pas de prpser un curs de mathématiques, mais de rappeler quelques ntins de base essentielles pur prendre un bn départ en mécanique. N hésitez pas à raffermir u cmpléter vs cnnaissances dans ce dmaine en cnsultant vs curs de mathématiques. II- Vecteurs Cmme nus l avns présenté dans l intrductin tut vecteur d un espace vectriel E de dimensin n peut être représenté sur une base (b par n cmpsantes dans R n. La base (b est un système de n vecteurs indépendants de l espace vectriel E. n a i b i i En mécanique classique nus travaillns dans un espace E 3 de dimensin 3. Sus certaines cnditins nus puvns réduire la dimensin de l espace : hypthèse des muvements plan E u muvement rectiligne E. II-. Prpriétés de E L espace vectriel est muni d un prduit scalaire (li de cmpsitin externe de E*E R. Il a une structure d espace vectriel euclidien. La nrme d un vecteur est définie par :. la nrme est asscié la ntin de distance : d (, B B B Les bases sernt tujurs chisies rthnrmées et rientées dans le sens direct défini par la cnventin de la figure ci-cntre. si i j ( bi, bj ( b bi. bj δij si i j b b O b 3 R( O, b 9
Mécanique du slide II-. Ntatins : vectrielle, matricielle, indicielle a - Ntatins vectrielles R ( O, b (P (P P P Les vecteurs liés snt essentiels en mécanique Vitesse ccélératin Frces mments,. vecteur (indépendant de la base E3 (P vecteur lié : c est un cuple ( P, ( P E3 ttentin : ( P ( P R ( O, b ans ce curs les cmpsantes du vecteur b sur la base b snt ntées : {} b Il existe d autres ntatins : { }, { } b u encre plus rapide b, b ttentin : Il ne faut pas cnfndre b et { } Ces deux éléments n'appartiennent pas aux mêmes espaces. est un élément de l espace vectriel. Nus travaillns avec les vecteurs du pint de vue thérique (c est ntre espace mathématique car ils snt indépendants du chix de la base, n parle de grandeurs intrinsèques. b est un élément de R 3 (c est ntre espace de calcul. u chix de la base {} dépendra la simplificatin u nn des calculs. En pratique pur simplifier l écriture des équatins lrs des calculs n nte suvent par abus : a a b a au lieu de {} a pur s'écnmiser a b 3 a3 a b Rappels : {} a ab + ab + a3b3 b a 3 3 a3 b b a a xp b Si OP {} y p crdnnées du pint P b z p xb x b Si B {} yb y zb z b P P V ( P V ( P
II Bases mathématiques Exemple : les 3 systèmes de crdnnées les plus utilisées en gémétrie e z Crdnnées cartésiennes OP x e + y e + z e 3 paramètres de psitin : 3 lngueurs e x Crdnnées cylindriques OP r e ( θ + z e 3 paramètres: r x y z lngueurs : r, z angle : θ rientatin de e r z b e x O y e z O θ r P z P z x e r e y e y Crdnnées sphériques OP ρ e ρ ( θ, ϕ e e 3 z P lngueur : ρ 3 paramètres: ρ angles : θ, ϕ rientatin de eρ O ϕ e θ x e r b e ρ e θ e y Exercice II. On pse b ( e, e, e b Exprimer { OP} x y z en fnctin de ( x, y, z puis de ( r,θ, z et ( ρ, θ, ϕ. b - Ntatins matricielles Une matrice [ ] est un tableau rectangulaire de cefficients [ a ij ]. Le cefficient a ij (ntatin indicielle se situe à la ligne n i, et la clnne n j. Remarque : un vecteur est représenté par une matrice à une clnne i j aij Opératins matricielles élémentaires : La matrice transpsée [ ] T est le tableau rectangulaire des cefficients a ji, cette pératin crrespnd à une permutatin des lignes et des clnnes. Si [ ] T [ ] [ ] symétrique : a ij a ji Si [ ] T [ ] [ ] antisymétrique : a a et a Remarque : la transpsée d un vecteur clnne { } T est un vecteur ligne que nus nterns artificiellement avec des < > { } T < > L bjectif de cette ntatin est de simplifier la lecture des pératins matricielles, mais elle n est pas indispensable. ij ji ii
Mécanique du slide Le prduit de deux matrices [ C] [ ][ B] s effectue en multipliant terme à terme les cefficient de la ligne i par ceux de la clnne j pur btenir le cefficient c ij c ij k Remarque : le nmbre de clnnes de dit être égal au nmbre de lignes de B L inverse d une matrice carrée est ntée [ ] Si est inversible ( det(, nus avns : [ ] [ ] [ ][ ] [ ] a ik b kj Exercice II. 3 On pse [ ] 3 4 et [ ] B 3 Calculer le prduit [ C] [ ][ B] ; Les matrices inverses [ ], [ B] et [ C] Vérifier que [ C] [ B] [ ] En pratique n n effectuera ces calculs à la main que pur des matrices de dimensin inférieure u égale à 3. ans tus les autres cas il faut utiliser les utils de mathématiques en libre service dispnibles sur Internet. II-.3 Changement de bases Sit b et b deux bases rthnrmées directes d'un espace vectriel E. Tut vecteur de E peut s'exprimer sur l'une u l'autre de ces bases. La relatin matricielle entre les cmpsantes sur chaque base est la suivante: b b b P Prpriétés : { } [ ] b { } b avec [ ] P matrice de passage de b à b b La matrice de passage dépend au plus de tris paramètres indépendants (en pratique n utilise 3 rtatins. b L'expressin de la matrice de passage [ ] P b peut être btenue à partir des cmpsantes des vecteurs de b exprimées sur b : b b [ P] b { b } Il est simple de vérifier les relatins suivantes: b [ ] b P [ P] b [ P] T b b b Elles snt suvent utilisées en pratique. La matrice de passage entre deux bases est btenue en effectuant le prduit des matrices de rtatin plane successives permettant de passer d une base à l autre. b b b P P * P [ ] [ ] [ ] b b b
II Bases mathématiques Rtatins planes : Il y a tris rtatins planes pssibles, chacune par rapprt à un des 3 axes du trièdre rthnrmé direct. Les matrices suivantes crrespndent chacune à une rtatin plane suivant un de ces axes. Les figures de calcul divent être systématiquement faites pur un angle de rtatin cmpris entre et Pi/ dans le sens direct. Cette précautin est indispensable pur ne pas cmmettre d'erreur de signe sur les prjectins. Rtatin / au premier axe Figure de calcul [ ] [ Rtα e ] b P b Rtatin / au secnd axe / [ ] [ Rtβ e ] b P b Rtatin / au trisième axe / [ ] [ Rtγ e ] b P b / 3 csα sinα cs β sin β csγ sin γ sinα csα sin γ csγ sin β cs β Figure de calcul b α b β b b ttentin au signe sur la figure Figure de calcul Les matrices de rtatin plane nt tujurs la même frme, de ce fait elles snt très largement utilisées pur le calcul numérique, car les pératins snt systématiques et ne nécessitent pas de réflexin. u pint de vue pratique (pur les calculs à la main nus précnisns les figures de calcul qui snt beaucup plus rapide d utilisatin que la cnstructin d une matrice suivie d un prduit matriciel. pplicatins dans le plan e θ e y θ e r e x θ / e z Sit le vecteur cnnu par ses cmpsantes sur la base Cherchns ses cmpsantes sur la base b b : { } a r a θ b b ( e, e, e x y z ( e, e, r θ e z b b : { } a a x y b γ b 3
Mécanique du slide a x e + a x b y e y csθ sinθ b sinθ csθ b { } ax csθ + ay sinθ ax sinθ + ay csθ b csθ sinθ ax { } sinθ csθ ay Il faut bien cmprendre l'écriture matricielle. Remarques : b d'ù { b } [ P b ] { b } avec b [ P b ] { e x} { e y} b b b La démarche inverse permet de cnstruire [ P ] csθ sinθ sinθ csθ b T P b b b et vus purrez vérifier [ P] [ ] Nus venns d exprimer les relatins entre a, a, a aθ pplicatins dans l espace b x y r, Exercice II.3 Sit le système de repérage d un slide défini par les 3 rtatins planes suivantes ( ψ, θ, ϕ (angles d Euler. La précessin : rtatin par rapprt au 3 ième axe La nutatin : rtatin par rapprt au ier axe du ième repère La rtatin prpre par rapprt au 3 ième axe du dernier repère z x ϕ θ ψ O éfinitin des bases b z ψ / z n ( n, u, z θ / n n y ϕ / z v s ( x, y, z ( n, v, z ( x, y, z liée à S Exprimer sur la base b les cmpsantes du vecteur rtatin instantanée défini par Ω ψ z n + θ + ϕ z. En utilisant la matrice de passage partir des figures de calcul 3 Quelle est la base la plus judicieuse? 4
II Bases mathématiques Exercice II.4 Sit les angles de l hydrdynamique (cap, tangage, et rulis ( χ, β, φ définis par la figure suivante. éfinitin des bases z b ( x, y, z z s y χ / z y s φ O / y b ( x, y, z β y x χ x β x φ / x b ( xs, y, z s s bs ( xs, ys, zs Le vecteur rtatin instantanée est défini par : Ω χ z + β y + φ xs Quelle snt les bases les plus judicieuses pur exprimer ce vecteur? Exprimer Ω sur ces bases. Quelques cnseils pur cnclure Les calculs snt en général suffisamment lngs pur ne pas se "vautrer" dans des changements de bases en calculant des termes inutiles! Pur tus les prblèmes tridimensinnels faisant intervenir plusieurs bases, utilisez systématiquement le schéma de définitin des rtatins planes successives pur cnstruire les figures de calcul. Vus apprécierez très rapidement le gain de pensée que cela représente de ne pas avir recurs à une vue tridimensinnelle cmplète du système étudié. En pratique il est suvent plus rapide de calculer par étapes successives les cmpsantes d'un vecteur sur une base dnnée à partir des figures de calcul, plutôt que d'utiliser les matrices de passage. II-.4 Prduits de vecteurs Prduit scalaire. B B cs(, B Ce prduit est cmmutatif et distributif par rapprt à la smme. C est une grandeur intrinsèque, il est indépendant de la base de référence.. B avec ( et B B et B étant exprimé sur une même base : pplicatin en mécanique :. B 3 i a i b i Calcul d une distance (nrme B B B. B Cmpsante d un vecteur sur une directin u unitaire : a. u u 5
Mécanique du slide Calcul de la puissance (travail en mécanique analytique (TH de l énergie. écmpsitin d un vecteur en cmpsante nrmale + vecteur tangent F F Pur les prblèmes de cntact : T n F Fn n + F T avec : F F n F n. cmpsante nrmale n d ù F F F n vecteur tangent Prduit vectriel W Λ B Ce prduit est anticmmutatif : B Λ Λ B et distributif par rapprt à la smme. C est un vecteur, il dépend de la base de calcul. n W B W B sin(, B aire du parallélgramme avec W et W B et (, B, W trièdre direct et B étant exprimés sur une même base a b a b3 a3b b { W} a Λ b a3b ab3 a3 b3 ab a b pplicatin en mécanique : Calcul du mment d une frce / un pint : M ( O, F ( P OP Λ F ( P éfinitin de la surface élémentaire : ds dx Λ dx Calcul du prduit mixte et du duble prduit vectriel. Prduit mixte : C.( Λ B Ce prduit est un scalaire qui représente le vlume du parallélépipède généré par les tris vecteurs. W S n Sit W Λ B W S (ire h C lrs W. C S h Vlume B Il est invariant pur tute permutatin circulaire des tris vecteurs. Il est nul si deux des vecteurs snt parallèles (vlume d'une surface. uble prduit vectriel : Λ ( B Λ C Ce prduit permet de calculer la prjectin d un vecteur sur un plan de nrmale n T n 6
II Bases mathématiques n V V n Λ ( V Λ n V ( n. V n P V n Λ V de plus n mntre que : Λ ( B Λ C (C. B (. B C Exercice II.5 Exercice II.6 éterminer λ tel que B avec : 5x + 4y + 3z B λx y + z éterminer la prjectin de a + c a x + y + z sur b avec : b x y + z c x + 3y 4z éterminer l intensité de la frce en pur que le système ci-dessus sit à l équilibre F β a z O α b y g M II- Champs de vecteurs Trseurs II-. éfinitins Système vectriel Sit un dmaine de l espace E. En tut pint P de snt suppsés définis, un vecteur lié : φ (P et une densité : dμ (P. Le champ des vecteurs liés φ (P dμ (P ainsi défini cnstitue un système vectriel. Trseur asscié à un système vectriel Le trseur Τ asscié à un système vectriel v est défini par ses éléments de réductin qui snt sa résultante R v et un mment résultant en un pint quelcnque M v (. { v ( } { R v, M Rv Τ v ( } avec : M ( v i FPi + f v P Λ F i i (P Pi d + P Λ f v (P d 7
Mécanique du slide En pratique les densités vectrielles snt suppsées avir tutes les prpriétés mathématiques requises pur que les intégrales sur l intérieur du dmaine et sur sa frntière existent. F i F V P i d V d d S F S F Ntatins : F i : Système discret de vecteurs aux pints P i i F v dv : intégrale de vlume... V F S ds : intégrale de surface... S F d : intégrale linéique... Remarques : tut champ vectriel n peut asscier un trseur. Les éléments de réductin du trseur définissent un champ de vecteurs équivalent au champ vectriel cnsidéré. L intérêt est évident, au lieu de travailler sur un ensemble cmplexe de vecteurs, n travaille sur les 6 cmpsantes du trseur asscié. Tut champ de vecteurs n est pas un trseur. En mécanique, le seul champ vectriel qui sit un trseur est le champ des vitesses d un slide indéfrmable (trseur cinématique. Les autres trseurs utilisés en mécanique snt : le trseur Cinétique asscié au champ des quantités de muvement le trseur ynamique asscié au champ des quantités d accélératin le trseur des effrts asscié aux actins mécaniques sur le système. II-. Prpriétés des trseurs Transprt des mments émnstratin : B P ( f (P, B M v(b M v( + Rv Λ B C est une des frmules les plus utilisées lrs des calculs. P M (, f M ( B, f ( P ( P P Λ f BP Λ f ( P ( P B + P M ( B, f ( P B Λ f ( P + M (, f ( P En intégrant sur le dmaine M (B M ( + R Λ B Cqfd v Équiprjectivité, B B. M v(b B. M v( émnstratin immédiate en utilisant la frmule du transprt. Utilisatin pratique : On peut calculer un mment par rapprt à un axe (, Δ, en passant par n'imprte quel pint de l'axe. v v 8
II Bases mathématiques B Chisissez le pint de l'axe le plus intéressant pur simplifier les calculs. P f (P B axe, Δ M (, f. Δ M ( B, f ( ( P ( P. Δ Cmment de deux trseurs P { Τ }{ Τ } R. M ( + R. M ( Le cmment (prduit de trseurs est indépendant du pint. C est un invariant scalaire En mécanique le cmment sert à calculer la puissance et le travail. II-.3 Classificatin des trseurs Sit C l invariant scalaire défini par : C R. M( Si C avec R n parle de cuple, le champ de mment est cnstant. R n parle de glisseur. Étude des glisseurs - En tut pint le champ de mment est à la résultante. - Pur tut glisseur il existe une drite unique ( parallèle à R passant par un pint I tel que M ( I. La drite ( est l axe du glisseur. - En tut pint P de ( le mment est nul. Pur déterminer l axe d un glisseur il suffit de truver deux pints pur lesquels le mment est nul. Exercice II.7 éterminer les éléments de réductin en O des effrts dus à la pressin hydrstatique exercée sur la vanne d écluse représentée sur la figure cidessus. Calculer la psitin du centre de pussée (pint pur lequel le mment des frces de pressin est nul. eau y x h éclus e a O b z Pur traiter cet exercice il faut calculer des intégrales de surface, les rappels sur ces calculs snt faits un peu plus lin. Exercice II.8 Mntrer qu un système de vecteurs situés dans un même plan de résultante nn nulle est un glisseur (exemple : champ des vitesses d un slide ayant des m vts plans. Mntrer qu un système de vecteurs parallèles de résultante nn nulle est un glisseur (exemple : champ de pesanteur. 9
Mécanique du slide Exercice II.9 éterminatin de l axe d un glisseur. Sit { R, M ( } les éléments de réductin du glisseur. R Λ M( Mntrer que le pint I défini par I est la prjectin R rthgnale de sur l axe du glisseur Vus puvez vus aider de la figure ci-dessus qui représente l axe du glisseur M ( R R I II-3 érivées - différentielles II-3. Fnctin à une variable Sit une fnctin f(x la dérivée de f en un pint x est définie par : f ( x f ( x f ' ( x lim x x x x f (x est le cefficient directeur de la tangente de la fnctin f en M. La différentielle de f au pint x est définie par df f '( x dx n ( n d f Plus généralement la dérivée u différentielle d rdre n est ntée : f ( x n dx Prpriétés : Pur les dérivées usuelles reprtez vus à vs frmulaires, nus vus rappelns ci-dessus les frmules pur les prduits, smmes, fractins et puissances de fnctins. ( u + v' u' + v' ( uv' uv' + u' v pplicatins u v ' u' v uv' v ( u m ' mu Études de fnctins Thérèmes des accrissements finis évelppement de Taylr d une fnctin au visinage d un pint n x a ( x a ( n f ( x f ( a + f ' ( a +... + f ( a + ( x! n! f est suppsée suffisamment dérivable. m u'
II Bases mathématiques II-3. Fnctin à plusieurs variables Sit F(t une fnctin de n variables q i (t, F( t f ( q ( t nus avns : df n f qi q t i i En mécanique les q i snt les paramètres du muvement et t le temps. Nus utiliserns la ntatin suivante : n df ( qi f q i q i i i Exercice II. Sit l expressin de l énergie cinétique d un système matériel exprimée en fnctin de 3 paramètres q i (t ( ψ, θ, ϕ E ( 7 θ ( 7 sin θ ψ ( ϕ + c ma + + + ψ csθ Calculer les termes suivants pur chaque paramètre q i : d E c Ec et q i qi ttentin dans ce calcul q et q snt des variables indépendantes i Remarque :cet exercice crrespnd aux calculs nécessaires à l écriture des équatins de Lagrange i II-4 Calcul des intégrales Nus ne nus intéressns ici qu au calcul des intégrales relatives à la gémétrie des masses, c est-à-dire au calcul de l intégrale d une fnctin vectrielle définie sur un dmaine gémétrique. Les grandeurs que nus aurns à calculer snt des vlumes, des centres de masse et des pérateurs d inertie. Pur fixer les idées nus dnnns ci-dessus les expressins à calculer pur un slide hmgène : V dv, OG V OP dv, J ( G, Δ M V OPΛ( ΔΛOP dv Les ntins de base du calcul intégral, la ntin de primitive ainsi que les primitives des fnctins usuelles snt suppsées cnnues. Nus vus rappelns ci-dessus les tris prpriétés les plus utilisées en calcul intégral : Primitive d une fnctin f : F ( x F( a b b a x a f F( b F( a α ( b α ( b Changement de variable : ( f α α' f [ F] α ( a a α ( a f [ F] b a
Mécanique du slide b Intégratin par parties : u v' [ u v] a b a Pur les primitives usuelles vus avez sûrement vtre frmulaire. Pur le reste calculer des intégrales sur un dmaine cnsiste à chisir le mieux pssible l élément d intégratin dv et à définir les brnes d intégratin crrespndantes. b a u' v II-4. Les vlumes Cas général En crdnnées cartésiennes dv dx dy dz En crdnnées cylindriques En crdnnées sphériques dv r dr dθ dz fdv fdv dv ρ csϕ dρ dθ dϕ vec les ntatins définies au début de ce chapitre. Il reste alrs à calculer l intégrale triple en définissant les brnes d intégratin de chaque variable de façn à décrire le dmaine ccupé par la matière. Vlume de révlutin z O Pur les slides pssédant une symétrie de révlutin il est intéressant d utiliser cmme élément de vlume un disque d épaisseur dz pur se ramener au calcul d une intégrale simple. dv π r ( z dz fdv f h ( z π r ( z dz Il faut puvir exprimer f(z II-4. Les surfaces Surfaces planes Surfaces sphériques En crdnnées cartésiennes En crdnnées plaires ds R csθ dθ dϕ ds dxdy rdrdθ ds fds Il reste alrs à calculer l intégrale duble en définissant les brnes d intégratin de chaque variable de façn à décrire le dmaine ccupé par la matière. Surfaces de révlutin Pur les surfaces pssédant une symétrie de révlutin il est intéressant d utiliser cmme élément d intégratin une surface d appui dl pur se ramener au calcul d une intégrale simple. S fds
II Bases mathématiques z ds π r ( z d fdv f h ( z π r ( z d Il faut puvir exprimer dl en fnctin de dz et f(z O II-4.3 Les lignes planes y y a d dx d r dθ r (θ x b x En crdnnées cartésiennes b dy d dx + dy dx + dx fdv a En crdnnées plaires : d rdθ fdv θ θ f ( θ r ( θ dθ f ( x dx II-4.4 pplicatin à la gémétrie des masses Les exercices que nus vus prpsns snt relatifs à des calculs que l n rencntre en gémétrie des masses. C est l ccasin pur nus d btenir des résultats dnt nus nus resservirns ultérieurement. Pur les mments d inertie par rapprt aux tris axes du trièdre nus utilisns la ntatin suivante : I Ox, I Oy, I Oz Exercice II. Sit un quart de cerceau de rayn R représenté par une ligne matérielle de masse M. Calculer les grandeurs suivantes en utilisant cmme élément d intégratin d Rdθ y Lngueur : L d R Centre de masse G : OG OP d L x M Mment d inertie : I Oz (x + y d L 3
Mécanique du slide Exercice II. Sit la plaque Trapézïdale hmgène de masse M représentée ci-dessus. Calculer les grandeurs suivantes en utilisant cmme élément d intégratin ds dx dy y Surface : S ds H h a Centre de masse G : OG S x OP ds Exercice II.3 Sit une plaque hmgène de masse M ayant la frme du secteur angulaire de rayn R, représentée ci-dessus. Calculer les grandeurs suivantes en utilisant cmme élément d intégratin ds rdrdθ R Surface : S ds α x Centre de masse G : OG OP ds S M Mment d inertie : IOz (x + y ds S Exercice II.4 Sit la surface hémisphérique de masse M, de centre O. Calculer les grandeurs suivantes en utilisant cmme élément d intégratin ds R csϕ dθ dϕ z Surface : S ds y x R Centre de masse G : OG OP ds S Mments d inertie : M M C' z ds et IOz S (x + y S ds II.4 bis Mêmes questins pur une hémisphère pleine de masse M (il faut calculer des intégrales de vlume avec des éléments d intégratin dv 4
II Bases mathématiques Exercice II.5 Sit un cône de smmet O, de base circulaire et de rayn R. Calculer les grandeurs suivantes en utilisant cmme élément d intégratin dv π r ( z dz u dv r dr dθ dz h z Surface : V dv O R Centre de masse G : Mments d inertie : M C' V OG V z OP dv II.5 bis Mêmes questins pur une surface cnique de masse M. Bibligraphie M dv et IOz (x + y V Sur le Web http://fr.wikipedia.rg/ Rechercher Vecteurs, Trseurs, Matrice (algèbre, érivée, ifférentielle, Intégrales http://www.ggle.fr/ Rechercher Lgiciel maths, vus truverez des lgiciels en libre service qui vus permettrnt d effectuer bn nmbre de calculs mathématiques. Maths terminale, vus truverez des curs et exercices en libre service qui vus permettrnt d affermir vs cnnaissances en mathématiques. J ai bien aimé le site suivant : http://pagespers-range.fr/gilles.cstantini/lycee_fichiers/curst.htm Si vus avez les myens je vus recmmande les lgiciels suivants (ils snt utilisés à l ECN MPLE pur le calcul frmel : http://www.maplesft.cm/ MTLB pur tus les calculs scientifiques http://www.mathwrks.fr/prducts/matlab/ dv 5
Mécanique du slide Ntes persnnelles 6
III ctins mécaniques Paramétrage III ctins mécaniques - Paramétrage III- ctins Mécaniques Les deux seules actins à distance que nus cnnaissns snt la gravitatin, et l électrmagnétisme. Les lis régissant ces deux phénmènes physiques snt cnnues, ces actins sernt dnc mdélisées par des champs de vecteurs dnnés et caractérisées par un trseur. Les actins de cntact snt elles beaucup plus cmplexes à mdéliser, ce snt des actins entre slides (liaisns mécaniques - cntact, entre slide et fluide (liquide u gaz : hydr et aér dynamique. Le plus suvent elles fernt intervenir des lis empiriques basées sur l expérience et des mesures. Seln le cas nus sernt amenés à les mdéliser par des effrts dnnés u des déplacements impsés sur la frntière du dmaine. III-. Classificatin Nus venns de faire apparaître une première classificatin des actins mécaniques en : Effrts dnnés : caractérisés par un trseur nté { Τ } On y truve les champs de pesanteur et électrmagnétique, ainsi que les pressins suppsées cnnues puvant s exercer sur une partie de la frntière du dmaine. Effrts incnnus : caractérisés par un trseur nté { Τ } Ces effrts snt des incnnues du prblème, ils crrespndent aux liaisns mécaniques mdélisées par des déplacements u des vitesses impsées, ces liaisns snt appelées «liaisns cinématiques». Cette classificatin est d rigine physique, elle est essentielle du pint de vue de l analyse d un prblème mécanique, car elle cnditinne ntre apprche. Cependant cette classificatin est insuffisante pur traiter un prblème de mécanique, car une secnde classificatin thérique vient s y superpser. Elle crrespnd à la frmulatin deux principes de la mécanique : le principe fndamental de la dynamique qui ne cnsidère que les effrts extérieurs au système, et les principes énergétiques (Th de l énergie, frmulatins variatinnelles qui prennent en cmpte tus les effrts exercés sur le système. Nus devns dnc puvir différentier les effrts intérieurs et extérieurs à un système matériel. Effrts intérieurs : caractérisés par un trseur nté { Τ } int Le trseur des effrts intérieurs qui caractérise tutes les actins mécaniques qui agissent entre les différents éléments matériels du système cnsidéré. Effrts extérieurs : caractérisés par un trseur nté { } ext Τ Le trseur des effrts extérieurs qui caractérise tutes les actins mécaniques qui prviennent d éléments extérieurs au système matériel cnsidéré. Fd / S FI / S 7
Mécanique du slide Cette classificatin est dnc relative au système que l n cnsidère. Une des difficultés d applicatin du PF sera de chisir intelligemment le système à isler pur faire apparaître la u les équatins principales du prblème. Exemple Cnsidérns un système Σ cnstitué de deux slides indéfrmables S et S reliés entre eux par une liaisn mécanique de cntact. L ensemble est placé dans un champ de pesanteur, de plus S est en cntact avec un bâti S Une représentatin pratique du prblème est la schématisatin suivante : (S Liaisn - g Liaisn - (S R ( O, b (S Islns S : g ctins de --> (S ctins de --> Tutes les actins mécaniques snt des actins extérieures, il n y a aucune actin intérieure car S est suppsé indéfrmable. Cnsidérns le système S + S : (S (S ctins de --> Ce snt les seules actins mécaniques extérieures actins de S S ans ce cas la liaisn intérieure prend en cmpte actins de S S Remarques : g Pur un tel système le PF nus permettra d écrire 8 équatins (6 pur S, 6 pur S, 6 pur Σ, il faudra savir chisir parmi tutes ces équatins, car elles ne sernt pas indépendantes les unes des autres. Le Thérème de l actin-réactin (u trisième li de Newtn entraîne que : { Τ } { Τ } S S S S 8
III ctins mécaniques Paramétrage III-. Petits rappels sur le champ de gravitatin et pesanteur Le champ de Gravitatin La li de Gravitatin de Newtn fait intervenir la ntin de masse, ntin présentée dans le chapitre d intrductin et sur laquelle nus reviendrns dans le chapitre de cinétique. Li de la Gravitatin Sit deux crps pnctuels et B de masses m et m B. Elles exercent l une sur l autre des frces d attractin égales et ppsées, dirigées suivant la drite (B. B B F B FB K m mb 3 (B F avec K 6,67 - N.m.Kg - B K est la cnstante universelle de Gravitatin FB La valeur de K dnnée est la valeur apprchée définie par la nrme FNOR. Remarques : Les frces de gravitatin s exercent aussi bien entre les atmes et nyaux, qu entre des systèmes slaires. Le fait de cnsidérer les crps pnctuels sera d autant mieux vérifié que la distance entre les éléments matériels sera grande devant leurs dimensins respectives. Newtn a démntré que tut bjet ayant une répartitin de masse sphérique de centre O crée en tut pint extérieur un champ gravitatinnel identique à celui d un crps pnctuel placé en de même masse ( le champ est dit centripète. Champ de Gravitatin terrestre En première apprximatin la terre peut être cnsidérée cmme un crps ayant une répartitin de masse sphérique. En un pint P de sa surface, le champ de gravitatin a pur valeur g. MT OP g K u avec u F M g T M R OP pplicatin numérique M R Kg 4 T 5,98 g 9,8m. s 6 myen 6,38 m Remarques : La variatin de g avec l altitude n est que de % pur une altitude de 3 km G varie aussi du fait que la terre n est ni rigureusement sphérique, ni hmgène. Exercice III. Mntrez qu au visinage immédiat de la Terre les actins gravitatinnelles des autres astres (en particulier Lune, Sleil snt négligeables. Quelques dnnées utiles : Sleil : masse,98 3 Kg ; rayn 6,96 8 m Lune : masse 7,4 Kg ; rayn,74 6 m istance Terre - Sleil :,5 m istance Terre - Lune : 3,84 8 m Calculer la cnstante gravitatinnelle de la Lune. 9
Mécanique du slide Champ de Pesanteur terrestre Cmme nus le verrns dans le chapitre d applicatin du PF la directin indiqué par le fil à plmb n est pas la directin du champ de gravitatin car au champ gravitatinnel viennent se superpser les effets de l accélératin due au muvement de rtatin de la terre. Cependant pur la plus grande partie des prblèmes de l ingénieur n purra cnfndre le champ de gravitatin et le champ de pesanteur indiqué par le fil à plmb. C est à dire que l n négligera les muvements de la terre. III-. Liaisns gémétriques élémentaires La mdélisatin des liaisns mécaniques passe par un mdèle de référence thérique qui suppse la liaisn sans dimensin, sans masse, sans frttement, sans jeux, en bref parfaite. Il faut dnc que les dimensins de la liaisn sient petites devant les dimensins du système mécanique étudié. Par exemple une butée à billes sera mdélisé par un pivt parfait si n s intéresse aux muvements du système mécanique auquel appartient cette butée, la butée sera alrs mdélisé par pivt situé en sn centre. Mais n peut tut aussi bien s intéresser aux muvements des billes dans la cage en quel cas se snt les cntacts arbre bille et cage bille qui sernt mdélisés. Le reste du mécanisme sera sans dute remplacé par des effrts appliqués sur l arbre. Cmme nus le vyns tut dépend du prblème psé à l ingénieur, il devra faire des chix pur définir sn mdèle mathématique. Liaisns simples parfaites ans un premier temps nus allns caractériser un ensemble de liaisns gémétriques élémentaires à partir des quelles ils sera pssible de cnstruire d autres liaisns gémétriques cmpsées. Tutes les liaisns que nus décrivns ci-dessus snt suppsées parfaites. Chacune est caractérisée par : Sa définitin mathématique Ses mbilités : muvements relatifs que la liaisn autrise Le trseur des actins de cntact de la liaisn Le premier grupe de liaisns gémétriques crrespnd aux 6 liaisns réalisées par cntact de deux éléments gémétriques (mathématique du tableau suivant POINT LIGNE PLN POINT Rtule Linéaire annulaire ppui pnctuel LIGNE Pivt glissant ppui linéique PLN ppui plan Nus y adjindrns les deux liaisns élémentaires : le pivt et la glissière. Les fiches suivantes dnnent pur chacune de ces liaisns : la définitin mathématique, une représentatin physique par rapprt à un bâti S, les mbilités de la liaisn («rtatins p,q,r» et «translatins u,v,w» ainsi que les effrts de liaisn qui snt définis dans une base relative ( x, y, z fixe par rapprt à S, la figure de drite est une façn de représenter la mdélisatin mathématique de la liaisn dans un prblème. La généralisatin à une liaisn entre deux slides S et S est simple. 3
III ctins mécaniques Paramétrage Rtule parfaite éfinitin : les deux slides restent cnstamment en un même pint. z 3 Mbilités de rtatin (p, q, r R (S x y Effrts de liaisn de R sur (S : FR quelcnque S { T } R S M R S ( 3 incnnues F S R M R S (S Linéaire annulaire parfaite éfinitin : Un pint d un slide reste cnstamment en cntact avec une ligne d un autre slide. z 3 rtatins ( p, q, r 4 Mbilités : y (S translatin u F S x R R x Effrts de liaisn de R sur (S : FR S.x { T } R S M R S ( incnnues M ppui Pnctuel parfait éfinitin : les deux slides restent cnstamment en cntact en un pint gémétrique, le plan de cntact est défini par le plan tangent en aux deux slides. z 3 rtatins ( p, q, r 5 Mbilités : (S translatins ( u, v z (S Effrts de liaisn de R sur (S : FR S y FR S N z { T } R S M R S ( M R S R x incnnue Pivt glissant parfait éfinitin : Une drite d un slide reste cnstamment en cntact avec une ligne d un autre slide. z rtatins r (S Mbilités : translatin w z y (S Effrts de liaisn de R sur (S : R x F. z F z R S R S { TR S} M R S (. z 4 incnnues M R S z R S (S x 3
Mécanique du slide ppui Linéique parfait éfinitin : les deux slides restent cnstamment en cntact suivant un segment de drite appartenant au plan de cntact entre les deux slides. M R S z rtatins ( p, r z 4 Mbilités : translatins ( u, v y (S (S FR S Effrts de liaisn de R sur (S : x x FR N z S R { TR S} M R S ( M y M Λ R S y incnnues ppui plan parfait éfinitin : les deux slides restent cnstamment en cntact suivant un même plan. z rtatin r z 3 Mbilités : translatins ( u, v y (S FR S Effrts de liaisn de R sur (S : (S R x FR N z S { TR S} M R S (. z M x R S 3 incnnues y Pivt parfait éfinitin : Pivt glissant dnt la translatin est blquée z Mbilité de rtatin r R (S Effrts de liaisn de R sur (S : y FR quelcnque S { T } R S M R S (. z x 5 incnnues FR S M R z S z (S Glissière parfaite éfinitin : eux pivts glissants en parallèle z Mbilité de translatin w R (S Effrts de liaisn de R sur (S : y { } F R S. z T R S M R S ( quelcnque x 5 incnnues R F M S R S z z (S Tutes les liaisns simples snt des liaisns isstatiques. Liaisn isstatique Une liaisn est dite isstatique si le nmbre d incnnues effrt plus le nmbre de mbilités est égal à 6. 3
III ctins mécaniques Paramétrage III-. Liaisns cmpsées Une liaisn cmpsée est un mécanisme de masse négligeable qui réalise une liaisn gémétrique entre deux slides. Ces liaisns peuvent être réalisées à partir d une u plusieurs cmbinaisns gémétriques des liaisns simples précédentes. Une liaisn cmpsée peut être hyperstatique, c est à dire que le nmbre ttal d incnnues assciées au mécanisme est supérieur à 6. Il est alrs impssible, dans le cadre de la mécanique des slides indéfrmables, de calculer tutes les cmpsantes incnnues des effrts de liaisns du mécanisme. Hyperstatisme et liaisn cinématiquement équivalente Un mécanisme de masse négligeable réalisant une liaisn entre deux slides sera dit hyperstatique si le nmbre d incnnues effrts plus le nmbre de mbilités du mécanisme est supérieur à 6. Il faut alrs définir une liaisn isstatique cinématiquement équivalente (ayant les mêmes mbilités pur puvir résudre le prblème. Exemple Cnsidérns Les quatre mntages suivants entre un bâti S et un slide S. Mntage Mntage (S (S rtule pivt glissant rtule rtule Mntage 3 Mntage 4 (S (S rtule appui plan rtule linéaire annulaire nalyse cinématique : Ces 4 mntages snt cinématiquement équivalents, la seule mbilité est la rtatin par rapprt à l axe défini par les deux liaisns. nalyse des effrts : le mntage est hyperstatique de degré rtule 3 incnnues frces (mb + 7inc - 6éq. 4 incnnues (S pivt glissant le mntage est hyperstatique de degré ( + 6-6 3 incnnues frces { 3 incnnues frces frces mments rtule (S rtule 33
Mécanique du slide le mntage 3 est hyperstatique de degré ( + 6-6 rtule le mntage 4 est isstatique ( + 5-6 rtule 3 incnnues frces (S 3 incnnues frces (S appui plan 3 incnnues linéaire annulaire { incnnues frces frce mments e tus ces mntages, le seul puvant être cmplètement déterminé en mécanique des slides indéfrmables est le mntage 4. Les quatre mntages sernt remplacés dans les calculs cinématiques par un pivt qui est la liaisn cinématiquement équivalente. Remarque le mntage 4 est le mdèle qui serait utilisé pur déterminer les résultantes des effrts de liaisn sur des rulements mntés en parallèles. III- Paramétrage descriptin des muvements La tute première phase d analyse d un prblème mécanique cnsiste à puvir décrire les muvements du système matériel par rapprt à un espace d bservatin dnné. Cette analyse cnduira au paramétrage des muvements du système. III-. Paramètres & paramétrage ans le cadre de ce curs nus étudins des systèmes matériels cnstitués d un nmbre fini de slides suppsés indéfrmables. La psitin de chaque slide dépend au maximum de 6 paramètres car tus les pints d un slide indéfrmable appartiennent à un même espace dnt la psitin est définie par un repère. La psitin des systèmes cnsidérés dépend dnc d un nmbre fini de paramètres, n parle de systèmes discrets. En dehrs de tute liaisn il faut : 6 paramètres pur un slide 6*N paramètres pur un système de N slides Il existe des mdèles simplifiés : Pint matériel «slide dnt n peut négliger les dimensins», les phénmènes physiques liés aux rtatins snt négligés. 3 paramètres suffisent Muvements plans : 3 paramètres pur un slide ( translatins, une rtatin paramètres pur le pint matériel ( translatins 34
III ctins mécaniques Paramétrage Prise en cmpte des liaisns du pint de vue cinématique Liaisn et paramétrage Une liaisn est tut ce qui entrave les muvements d un élément du système matériel. Elle se traduit par une relatin mathématique entre les paramètres, leurs dérivées par rapprt au temps, et le temps. Pur les liaisns gémétriques ces relatins snt de la frme f ( qi, t. Les liaisns cinématiques snt de la frme f( q, q, t. i i Paramètres : La psitin au curs du temps de tut pint P d un système matériel discret peut être définie par une applicatin de R n+ dans l espace vectriel E : n+ R Paramétrage E q i, t P Σ OP( q, t ( chaque (q i,t crrespnd une psitin unique du système. Les fnctins q i (t snt les paramètres du muvement ce snt des fnctins du temps. Les valeurs des q i à un instant τ est dit espace de cnfiguratin du système à l instant cnsidéré. L applicatin P est suppsée de classe C pur puvir calculer sans difficulté mathématique la vitesse et l accélératin. Remarque : L étude des chcs est exclue de ce cadre mathématique, il faut pur représenter les phénmènes ayant lieu pendant le chc mettre en place un mdèle spécifique basée sur l expérience et des hypthèses mathématiques supplémentaires. La mécanique des slides indéfrmables ne permet de mdéliser (calculer que ce qui se passe avant et après le chc, mais pas pendant. Le paramétrage Paramétrer les muvements d un système matériel par rapprt à un espace d bservatin cnsiste à effectuer une analyse physique des liaisns, puis à dénmbrer les liaisns indépendantes pur btenir le nmbre de paramètres indépendants. Il reste alrs à chisir les grandeurs les mieux adaptées pur décrire les muvements du système. i Remarques : Pur dénmbrer les liaisns gémétriques indépendantes il existe des utils mathématiques issus de l étude des mécanismes. Cette méthde basée sur l étude du rang du système d équatins crrespndant aux cnditins de liaisn, ffre l avantage d être rigureuse mais est trp lurde pur les mécanismes simples que nus étudierns dans le cadre de ce curs. 35
Mécanique du slide Un peu de bn sens et une étude intuitive des muvements du système permettrnt de dénmbrer les paramètres nécessaires, cette méthde est beaucup plus rapide si vus y arrivez. Les paramètres divent définir l rientatin de chaque slide du système matériel par une successin de rtatins planes permettant de passer de la base du repère d bservatin à une base liée au slide (définitin de sn rientatin dans l espace. u pint de vue pratique nus vus cnseillns d utiliser des systèmes de paramètres cnnus tels que les ngles d Euler, Les angles de l hydrdynamique (aérnautique, u les paramètres de la rbtique (paramètres de enavit et Hartemberg «&H». Le chix de paramétrage est rarement unique, un mauvais chix peut cmpliquer de façn cnsidérable les calculs de cinématique. Il faut avir une idée à priri des calculs à effectuer, c est dnc une affaire d expérience et de digté. Mais rassurez vus, vus aurez rarement le chix, car dans le plus grand nmbre des exercices prpsés les paramètres snt impsés. Exemple Sit un pint matériel (P qui se déplace le lng d une tige (T. Une des extrémités de la tige reste cnstamment tangente à un cercle de centre O de rayn R situé dans le plan ( Ox,, y. Effectuer le paramétrage des muvements du système Σ (Tige, Pint. Nus puvns représenter ce prblème par le schéma suivant 3 tige Les muvements snt plans 5 p. primitifs pint Bilan des équatins de liaisns : La liaisn en équatins La liaisn en P équatin x O α z n y λ Les muvements du système dépendent dnc de paramètres indépendants. Chix : La psitin du pint ne dépend que d un paramètre nus chisissns d utiliser l angle α qui défini par ailleurs l rientatin de la tige dans l espace. Pur la psitin du pint P nus utiliserns le paramètre λ tel que P λu Le schéma de définitin des bases est : b x, y, z α / z b n, u, ( ( P z base liée à T u Nus vérifins bien que paramètres suffisent, et l rientatin de chaque slide (ici la tige est bien définie par ntre schéma. 36
III ctins mécaniques Paramétrage Exercice III. x x x z C O a (S a a y B Exercice III.3 a (T O z B (C r a y Exercice III.4 t 3 O z a a C y Sit le slide (S représenté sur la figure ci-cntre, il est cnstitué d'une plaque carré de cté a, à laquelle est sudée une tige de lngueur a. L'extrémité C de la tige reste en cntact avec l axe ( Oz,. Le cté B de la plaque reste en cntact avec le plan ( O, x, y Paramétrer les muvements du slide (S en utilisant les angles d'euler pur définir sn rientatin par rapprt au référentiel R. Sit le système matériel représenté sur la figure ci-cntre, il est cnstitué d'un cerceau (C de rayn r turnant autur de l'axe ( Oz, (liaisn pivt, et d'une tige (T de lngueur a, dnt les extrémités et B restent en cntact avec le cerceau. Paramétrer les muvements du système en utilisant les angles d'euler pur définir les rientatins des slides par rapprt au référentiel R Effectuer un bilan des incnnues - équatins de ce prblème Effectuer le paramétrage des muvements de l'équerre CB représentée ci-cntre, en utilisant les angles d'euler pur définir l'rientatin du slide par rapprt au référentiel R. L'extrémité reste cnstamment sur l'axe ( Oz, L'extrémité B reste cnstamment dans le plan O, x, y. ( B III-. Vitesse et déplacements virtuels Pur intrduire les ntins de puissance et de travail virtuel il nus faut au préalable rappeler la ntin de vitesse et définir celle de déplacement virtuel. Le vecteur vitesse La vitesse d un pint P par rapprt à un espace d bservatin R est la dérivée vectrielle du vecteur psitin par rapprt au temps. dop V ( P / R V ( P L indice est indispensable pur rappeler que la psitin du pint P est définie par rapprt à un repère R. Si n utilise les paramètres OP f ( q, t nus btenns par dérivatin l expressin : i dop OP OP V ( P q i + avec q i q t i i dqi N ayez pas d inquiétude le chapitre de cinématique précisera cette définitin et les techniques de calcul vectriel. 37
Mécanique du slide Les déplacements virtuels Le déplacement virtuel, à un instant dnné, d un pint P nté δ P est défini par une variatin quelcnque des paramètres de psitin par rapprt à un espace d bservatin R. OP δ P δqi avec OP f ( qi, t q i i Ntez la similitude des expressins «vitesse» et «déplacement virtuel», si l'n sait calculer une vitesse n sait calculer des déplacements virtuels, la seule différence est que pur le calcul d'un déplacement virtuel le temps est fixé. Prblèmes réels et prblèmes virtuels L intérêt des prblèmes virtuels sera vu en mécanique analytique (prgramme de L. Ils cnduisent aux frmulatins variatinnelles en mécanique et snt présentés dans le cadre de l applicatin du Principe des Travaux Virtuels (équatins de Lagrange. Un champ de déplacement virtuel est dit cmpatible u cinématiquement admissible s il satisfait tutes les liaisns cinématiques telles quelles existent à l instant τ. Le chix du paramétrage cnsiste à utiliser les paramètres du prblème réel, le prblème virtuel et le prblème réel snt équivalents. Si le paramétrage chisi ne vérifie pas tutes les liaisns cinématiques, le champ de déplacement virtuel est dit nn cmpatible, le prblème virtuel traité est différent du prblème réel, et les effrts des liaisns nn respectées aurnt un travail virtuel nn nul. III-3 Puissance - Travail - Énergie Les ntins de puissance, travail, et énergie permettent d effectuer des bilans énergétiques. Les principes énergétiques cnsistent à affirmer que si une évlutin du système se prduit elle dit s accmpagner d une perte minimale d énergie entre les deux états, ils snt à la base de l écriture des principes variatinnels. III-3. Puissance - Travail Puissance : La puissance à l instant τ d un champ de frce f (P muvement par rapprt à un repère R est définie par : P f ( P. V ( P dv f défini sur un dmaine en La puissance est exprimée en Watt W dans le système SI W [Kg L T -3 ] Remarque : La puissance est une grandeur scalaire, qui dépend du repère d bservatin utilisé pur décrire les muvements du système matériel. 38
III ctins mécaniques Paramétrage Travail : Le travail entre les instants τ et τ d un champ de frce f (P en muvement par rapprt à un repère R est définie par : τ P τ τ Wf Pf ( P ( f. d P dv τ P défini sur un dmaine L intégrale curviligne dépend de la trajectire P P décrite entre les instants τ et τ. Le travail est exprimé en Jule J dans le système SI J [Kg L T - ] Remarque : En utilisant la ntatin différentielle nus avns : P f dw f Exercice III.5 Un skieur de 8 Kg utilise une remntée mécanique pur passer d'une altitude de 75 m à 35 m en 5 minutes. Calculer le travail du pids du skieur (g 9.8 m.s - En déduire la puissance myenne de la remntée À un instant dnné la pente est de 5% pur une vitesse de 8 m.s -. Calculer la puissance instantanée du pids du skieur. C Exercice III.6 θ y P n V x F α Le pint d'applicatin P d'une frce de valeur F, cnservant une directin d'angle α par rapprt à l'axe C décrit un demi cercle de C vers de rayn R à une vitesse V cnstante (cf figure. Exprimer directement le travail de F en fnctin de R et α Exprimer la puissance en fnctin de V, α et θ psitin du pint Retruver par intégratin l'expressin du travail de F. Effectuer le même calcul avec le travail virtuel. III-3. Énergies En mécanique les frmulatins énergétiques snt très suvent utilisées car les calculs snt beaucup plus rapides qu en passant par les ntins de travail u de puissance. Les deux grandeurs énergétiques utilisées dans ce curs snt l énergie ptentielle et l énergie cinétique. Énergie Cinétique Énergie cinétique : L énergie cinétique d un système matériel défini sur un dmaine en muvement par rapprt à un repère R est définie par : E c ( S / R V ( P. V ( P ρdv 39
Mécanique du slide Le calcul pratique de l énergie cinétique d un système matériel cnstitué de slides indéfrmables est présenté dans le chapitre de cinétique. Énergie ptentielle La ntin d énergie ptentielle est relative au calcul de la puissance de champs de frce particuliers dnnés. En mécanique les deux seules énergies ptentielles que nus utiliserns snt celles relatives au champ de pesanteur et aux actins mécaniques des ressrts. Énergie ptentielle : Un champ de frce f (P défini sur un dmaine dérive d une énergie ptentielle si n peut exprimer sa puissance cmme la dérivée par rapprt au temps d une certaine fnctin des q i. Cette fnctin dite «énergie ptentielle» est définie par : P d ( ( f f E p Énergie ptentielle du champ de pesanteur. gz est le vecteur du champ gravitatin du lieu cnsidéré (z est dnc la «verticale» ascendante M ρ dv est la masse du système matériel cnsidérée Calculns la puissance assciée au champ de pesanteur P mg u fait de l hypthèse des systèmes à masse cnservative d d P mg ρ g z. OP dv ρg OP dv. z ρ g z V. ( P dv ù l énergie ptentielle assciée au champ de pesanteur Epmg ( ρg OP dv. z + Cte Mg OG. z + Cte Énergie ptentielle d un ressrt. Les ressrts snt des slides qui se défrment, nus les mdélisns dans le cadre de ce curs par des actins mécaniques. Le mdèle le plus simple est celui du ressrt linéaire sans masse. Sit un ressrt (R linéaire situé entre deux slides S et S Ntns λ la translatin relative, et α la rtatin relative des deux slides suivant la directin u R (S (R λ B u α (S Le curs de Mécanique des Milieux Cntinus abrde entre autre l étude et la mise en équatins des slides défrmables. 4
III ctins mécaniques Paramétrage Les trseurs des effrts du ressrt sur chacun des slides snt alrs définis par : FR S k ( λ λ u { TR S} { TR S } M R S C ( α α u (S M R S FR S FR S M R S vec : k raideur en tractin du ressrt (en N.m - C la raideur de trsin (en N.m. λ ο et α ο les valeurs respectives de λ et α lrsque le ressrt n est pas cntraint. Calculns la puissance assciée à ces effrts PR FR S. V ( + FR S. V ( B FR S.( V ( V ( B k( λ λ ( V (. u V ( B. u k( λ λ λ d k ù PR ( λ λ Epk ( k ( λ λ Pur les mments le calcul est identique. B (S u L énergie ptentielle assciée à un ressrt linéaire de raideur k en tractin, et C en trsin est définie par : Ep( k k( λ λ Ep( C C( α α ttentin l énergie ptentielle n est définie que si les deux extrémités du ressrt appartiennent au système mécanique cnsidéré. III-3.3 Puissance dans les liaisns mécaniques Cnsidérns deux slide S et S en muvement par rapprt à un repère R. Liaisn - (S R( O, b (S Islns le slide S Nus devns alrs cnsidérer les actins de liaisn du slide S sur le slide S. Ces actins de liaisn snt mdélisées par un trseur nté : T F M { } { } S S S S ; S S ( La puissance de ces actins de liaisn est défini par :. PS S FS S V/ + MS S (. Ω avec V / Ω / / La vitesse du pint lié à S par rapprt R ctins de --> R( O, b (S La vitesse de rtatin instantanée de S par rapprt R 4
Mécanique du slide Il faut maintenant cnsidérer les actins de pur tenir cmpte de la liaisn cmplète. Islns le slide S T F M { } { } S S S S; S S ( La puissance de ces actins de liaisn est : P F. V + M. (S Ω S S S S / S S ( / R( O, b ppliquns la trisième lis de Newtn (Thérème de l actin réactin Nus btenns pur la liaisn cmplète : P F. V V + M. Ω Ω ( / / ( / / S S S S S S ( ctins de --> Or les muvements du slide S par rapprt à R auxquels nus retranchns les muvements du slide S par rapprt au même repère snt tut simplement les muvements relatifs du slide S par rapprt à un repère lié au slide S (cmpsitin des muvements. ù la définitin de la puissance des effrts de liaisn. La puissance assciée aux effrts de liaisn entre deux slides S et S est définie par : P F. V + M. Ω S S S S / S S ( Remarque : l expressin de la puissance des effrts d une liaisn est indépendant du repère d bservatin R Cnséquence Pur tute liaisn gémétrique parfaite, la puissance des effrts de liaisn est nulle si le champ de déplacements respecte la liaisn. liaisn parfaite Pliaisn si dép. cmpatibles Cette cnséquence d écule directement de la définitin physique d une liaisn parfaite, puisque à chaque mbilité de la liaisn crrespnd une cmpsante nulle du trseur des effrts de liaisn. Cette cnséquence peut être utilisée cmme définitin mathématique d une liaisn parfaite. / Exercice III.7 g x O z k I C ( (T y Sit le système mécanique, cnstitué d'un disque ( de rayn R de masse M et d'une tige (T de masse négligeable, représenté sur la figure ci-cntre. L'extrémité de la tige reste en cntact avec l'axe ( Oz,, la liaisn en C est un pivt glissant et la circnférence du disque reste en cntact avec le plan O, x, y. Le tut est placé dans un champ de pesanteur g. ( Paramétrez les muvements du système (utiliser les angles d'euler Caractériser le trseur des effrts de chacune des liaisns Effectuez le bilan "incnnues - équatins". Exprimer l'énergie ptentielle assciée au champ de pesanteur. Exprimer l'énergie ptentielle assciée au ressrt. 4
III ctins mécaniques Paramétrage Bibligraphie Sur le Web http://fr.wikipedia.rg/ Rechercher Liaisn (mécanique : belles visualisatins des liaisns élémentaire, et définitins qui cmplètent bien ce curs. Travail (physique, puissance, énergie. http://www.ggle.fr/ Rechercher Liaisns mécaniques, vus truverez d autres dcuments sur les liaisns, les deux liens suivants cmplètent ce curs du pint de vue dessin industriel, nrmalisatin des www.librecurs.rg/dcuments/9/993.pdf http://www.lyc-villars.ac-aix-marseille.fr/spip/spip.php?rubrique6 43
Mécanique du slide Ntes persnnelles 44
IV Cinématique IV Cinématique La cinématique est l étude de la variatin par rapprt au temps des psitins ccupées par la matière dans l espace. ans ce chapitre nus présentns : - La ntin de muvement (muvements d espaces et slides rigides - Les utils de calcul des vitesses et accélératins IV- Ntin de muvement Cette ntin intuitive dit être frmalisée pur être utilisable dans les calculs. ssis dans un train, suis-je en muvement u au reps? Tut dépend de l bservateur. IV-. éfinitins - prpriétés Muvements de pints Un pint P est en muvement par rapprt à un repère d bservatin R( Ob,, si au mins une de ses crdnnées varie avec le temps. Muvements d'espaces L espace E i lié au repère R i, est l ensemble des pints au reps par rapprt à ce repère. Cnséquence : eux repères immbiles l un par rapprt à l autre définissent un même espace. Slide indéfrmable (slide rigide G B (S Un dmaine matériel sera mdélisé par un slide indéfrmable si tus les pints du dmaine peuvent être cnsidérés cmme immbiles les uns par rapprt aux autres., B ( S B Cte R( O, b Cnséquence : tut slide indéfrmable n peut asscier un espace E s. Remarques : La ntin de muvement (respectivement de reps est relative au repère d'bservatin. insi le vyageur assit dans un train est mbile par rapprt au quai (bservateur, mais au reps par rapprt au train (bservateur. Tut prblème de mécanique débutera par la définitin de l'espace d'bservatin, en pratique il sera tujurs représenté sur la figure descriptive par un trièdre nté R. 45
Mécanique du slide IV-. Pints gémétriques pints liés à un espace e la gémétrie à la cinématique u cmment représenter le temps? Cnsidérns deux espaces mbiles l'un par rapprt à l'autre, à tut instant à tut pint gémétrique P crrespnd deux autres pints liés aux deux espaces. Ces pints cnfndus à l'instant τ aurnt des cinématiques différentes. Exemple R R I R B Cnsidérns la figure ci-cntre (mdélisatin d un train épicyclïdal Le pint I est il : gémétrique? lié à la rue? u lié à la rue? La figure seule est insuffisante pur répndre. Indiquns sur tris figures les psitins ccupées par les différents pints à l instant τ + dτ. Pint gémétrique : il suit le muvement du prte satellite (axes des rues, il décrit un cercle à la vitesse ω R τ + dτ I ω dτ I τ Pint I lié à la rue : il décrit un cercle à la vitesse ω R τ + dτ I I ω dτ I I τ Pint I lié à la rue : il décrit une cyclïde prenant appui sur la rue. R τ + dτ I I I I τ En fait : 46
IV Cinématique tut pint gémétrique P il est pssible, à tut instant, de superpser des pints P i liés à des espaces E i. Ces pints cnfndus du pint de vue gémétrique (figure faite à l instant τ snt distincts du pint de vue cinématique. Cette ntin de pint lié à un slide est indispensable pur étudier la cinématique des prblèmes de cntact. Il faut dès le début prendre l'habitude de vus pser la questin : Ce pint est-il gémétrique u lié à un slide? Ne pas y répndre entraînera prbablement des erreurs lrs du calcul des vitesses puis des accélératins. Exercice IV. Pur les deux prblèmes suivants indiquez par des figures les muvements des différents pints au niveau du cntact d'une des rues sur le sl. tapis rulant V IV-.3 Cmpsitin des muvements Revenns à ntre vyageur qui fatigué de cntempler le paysage, décide de se prmener dans le train. Ns deux bservateurs restés attentifs cnsidèrent respectivement ses muvements par rapprt au quai (muvement abslu, et par rapprt au train (muvement relatif. Pur cnfrnter le résultat de leurs bservatins il leur manque les infrmatins relatives au muvement du train par rapprt au quai (muvement d'entraînement. Le muvement dit abslu se décmpse en un muvement relatif et un muvement d entraînement, c'est la cmpsitin des muvements : M vt abslu M vt de P/R R ( O, b P M vt relatif M vt de P/R M vt d'entraînement M vt de R /R R( O, b Ces termes snt histriques, nus les utilisns dans le langage curant pur décrire les prblèmes. Mais sachez qu en mécanique «rien n est abslu, tut est relatif». En pratique nus utilisns la cmpsitin des muvements lrsque la descriptin des muvements du système cnsidéré est faite par rapprt à un espace d bservatin mbile par rapprt à l espace galiléen espace de référence pur la mise en équatins du prblème. Par exemple : Muvements d un satellite bservé de la terre, Muvements d un système quelcnque embarqué sur un transprteur (bateau, train, avin, etc. Pur généraliser ntre présentatin nus devns cnsidérer que le pint P qui jusque ici était un pint gémétrique peut tut aussi bien être un pint lié à un espace, ce qui nus cnduit alrs à la cmpsitin des muvements d'espace. 47
Mécanique du slide Il faut éviter tute cnfusin entre les pints liés aux différents espaces eux ntatins snt curamment utilisées M vt abslu : P E / E V( P V ( P E / E M vt relatif : P E / E V( P V ( P E / E M vt entraînement : P E / E V P V ( P E / E ( R M vt abslu Mvt de P/R ( O, b M vt d'entraînement M vt de R /R P R O, (S ( b M vt rel M vt de R ( O, b Ntatins La vitesse du Pint P lié à un espace E j par rapprt à un espace E i sera ntée : V P V ( P E V ( P E / E ij ( i j j i Le premier indice «i» est bligatire, c'est l'indice relatif au repère d'bservatin. Le secnd indice «j» lui est facultatif il précise si le pint est lié à un espace particulier. Si le secnd indice n'est pas précisé, c'est le pint gémétrique qui est cnsidéré. V P V ( P / E i( i Remarques : es tris ntatins prpsées la plus efficace pur les calculs est la ntatin duble indice, c'est la plus cmpacte. En cntre partie elle est mins explicite que les deux autres, il faut dnc bien la cmprendre pur savir s'en servir. Ntez que le passage d'une ntatin à l'autre à pur effet d'inverser l'rdre des indices : V V( E / E ij j i Lrs d'un calcul peu imprte la ntatin que vus utiliserez, mais respectez en la frme et cnservez la tut au lng de vs calculs. IV- Ntins de vitesse Vus cnnaissez déjà la ntin de vitesse, et ses prpriétés essentielles pur le pint matériel, ntre bjectif est de présenter ici des utils et des méthdes de calcul rbustes et efficaces pur déterminer le champ des vitesses d'un système de slides. IV-. éfinitin - prpriétés éfinitin : La vitesse d un pint gémétrique P par rapprt à un espace d bservatin R ( Ob,, est la dérivée du vecteur psitin par rapprt au temps. d ( OP V ( P imensin [L.T - ] 48
IV Cinématique Pur éviter tute cnfusin l indice de l espace d bservatin est intrduit au niveau de la dérivatin pur rappeler que le vecteur psitin est défini par rapprt à cet espace. Prpriétés : La vitesse de P est un vecteur tangent à la trajectire du pint. La trajectire est la trace des psitins de P dans E au curs du temps. La psitin du système matériel étant définie par n paramètres q i, OP f ( qi, t dop OP OP dqi Nus avns : V ( P q i + avec q i i qi t OP Psns : Vqi( P q i c'est la vitesse qu aurait le pint P si seul le paramètre q i variait. qi Les (P snt les vitesses partielles assciées aux paramètres q i. V qi u pint de vue pratique, la dérivatin partielle n est jamais avantageuse. Par cntre, si la cinématique est suffisamment simple, les résultats d un calcul peuvent être cnfirmés très rapidement par une analyse de type vitesses partielles, ne vus privez pas de ce plaisir. Exemple éterminns la vitesse d un pint P en utilisant les vitesses partielles lrsque la psitin du pint est définie par ces crdnnées dans le système de crdnnées cylindriques. ans le système de crdnnées cylindriques la psitin d'un pint dépend de tris paramètres (r,θ,z. e x Exercice IV. O θ e z r P z e r Nus btenns dnc OP r e + z e y r e z OP e r r OP er r θ θ r e OP e z z V ( P r e + r θ e + z e θ r θ er θ z (csθ x + sinθ y θ sinθ x + csθ y e Ce résultat peut être vérifié en cnsidérant les muvements élémentaires assciés à chaque paramètre : translatin en r suivant la directin e r translatin en z suivant la directin e z et rtatin d'axe (O,e z pur θ d ( P quelle cnditin peut-n écrire V ( P? Que vaut V ( P E nner l expressin différentielle permettant de calculer (P θ V ij 49
Mécanique du slide Cmpsitin des vitesses Espace culturel Einstein remit en cause la cmpsitin des vitesses en faisant simplement remarquer que la vitesse de la lumière est la même vue d un train u vue du quai. Et ceci quel que sit la vitesse du train. Nus vus rappelns que se snt les lis de l électrmagnétisme qui régissent la lumière, et lui impse d avir une vitesse cnstante, c est à dire invariante quel que sit le référentiel d bservatin. C est cette cntradictin qu Einstein expliquera en unifiant les deux théries celle de la mécanique et celle de l électrmagnétisme. Frmule de cmpsitin des vitesses : Vij( P Vik( P + Vkj( P Cnséquence immédiate : V ( P V ( P émnstratin Pur la démnstratin nus utilisns un pint gémétrique P R est le repère d bservatin (i R est le repère relatif (k L indice "j" facultatif est alrs remplacé par un pint. OP OO + O P érivns V 3 3 ( P V ( O x i e i x i e + i i ( + i d i 3 x sur la base b e i i les e i snt des c tes R ( O, b ij i ji P 3 V ( P x i e i > M vts de P/E les x snt des c tes i 3 d V ( ( ( > M vts de P lié à E P V O x + i e i i 'ù V. ( P V ( P + V.( P "cqfd " en assciant un espace «j» à P V P V ( P + V ( Utilisatin pratique j ( j P R( O, b La frmule de cmpsitin des vitesses sera utilisée pur calculer une vitesse relative u si le paramétrage nécessite d'utiliser un repère relatif. Utiliser la cmpsitin de vitesses pur faire un calcul revient à se cmpliquer la vie. lrs à mins d y être bligé évitez d utiliser cet util. u pint de vue pratique la frmule de cmpsitin nus permet de calculer la vitesse de glissement entre deux slides en passant par le repère d'bservatin, ce qui évite d'effectuer une dérivatin vectrielle dans un repère relatif, pératin envisageable mais à haut risque pur ceux qui ne maîtrisent pas cmplètement le calcul vectriel. 5
IV Cinématique Vitesse de glissement de S/S n (S V ( I Vitesse du pint V I ( I lié à S I I R ( O, b π instant τ (S I V ( I Vitesse du pint lié à S instant τ+dτ éfinitin : La vitesse de glissement d un slide S sur un slide S est calculée au pint gémétrique I (pint de cntact entre les deux slides. Les slides étant suppsés indéfrmables, il ne peut y avir glissement que s il existe un plan tangent aux slides en I. La vitesse de glissement de S/S est la vitesse du pint I lié à S pur un bservateur lié à S sit : V I S / S V ( ( I En pratique le calcul se fait par rapprt au repère d bservatin R en utilisant la frmule de cmpsitin des vitesses : V ( I V ( I V ( I IV-. Trseur cinématique Prpriété fndamentale des slides indéfrmables Trseur cinématique Le champ des vitesses des pints liés à un espace est un trseur. C est le trseur cinématique. La résultante du trseur cinématique des muvements de l espace E j par rapprt à l espace E i est appelée vitesse de rtatin instantanée, et est Ntée : Ω ij Nus avns dnc : V ( B V ( + Ω Λ B ij ij ij Les pints et B à l espace Ej (ntatin duble indice. 5
Mécanique du slide émnstratin : Sit et B deux pints liés à un slide (S, B Es B Cte érivns par rapprt au temps d B B. r B O + OB ù B.(V ( B V ( Le champ des vitesse est équiprjectif c'est dnc un trseur "cqfd" Ce trseur dit trseur cinématique, est défini par un mment : vitesse d'un pint, et une résultante : vitesse de rtatin instantanée. La frmule de transprt des mments permet de caractériser ce trseur. éterminatin du vecteur vitesse de rtatin instantanée Muvement de translatin (S B V ( V (B, B (S V ( B V ( V Ω s R ( O, b V Muvement de rtatin plane z θ R ( O, b P (S V (P e r Pur la démnstratin nus chisissns d'utiliser un repère d'bservatin tel que l'axe de rtatin Δ sit l'axe (O,z. (S en rtatin par rapprt à Δ P (S P r er avec r cte V ( P rθ eθ (cf crdnnées cylindriques V ( Δ r car axe θ Δ Λ r er r θ eθ V ( P V ( + Ω Λ P avec Ω θ Δ s s s s Rtatin quelcnque e r P (S V (P r R ( O, b Nus cnsidérns maintenant les muvements de rtatin d'un slide (S par rapprt à un pint fixe O. V ( O P (S V ( P Ω Λ OP s L'rientatin du slide dans l'espace est définie par une base. Ntns Ω q Δ les tris rtatins planes cnsécutives qi assciées à la définitin de la base liée au slide. Pur chaque paramètre le muvement partiel est une rtatin par rapprt à un axe fixe nus avns dnc : 3 3 Vs( P Vqi( P ΩqiΛ OP Ωs Ωqi i i i qi i s s 5
IV Cinématique Cnséquences Lrs du paramétrage il faut définir (si pssible l rientatin de chaque slide par une successin de rtatins planes. Schéma de définitin des bases liées à chaque slide du système matériel étudié. Exercice IV.3 Les deux systèmes de paramétrage les plus utilisés en mécanique du slide snt : Les angles d'euler, 3 rtatins planes ( ψ θ, ϕ rtatin prpre, (précessin, nutatin, z x ϕ θ ψ O éfinitin des bases b z ψ / z n ( n, u, z θ / n n y ϕ / z v s ( x, y, z ( n, v, z ( x, y, z liée à S Les angles de l'hydrdynamique navale, 3 rtatins planes ( χ β, φ tangage, et rulis x éfinitin des bases b z y χ / z y s φ O β / y b x, y, z y χ x β x φ / x b xs, y, z s s b x, y, z z s Pur chacun de ces deux systèmes s ( x, y, z ( ( ( Représenter les figures planes assciées au schéma des bases Exprimer le vecteur rtatin instantanée (chix judicieux de la base. s s s, (cap, Si l rientatin du slide n est pas repérée par des paramètres de rtatin. Le vecteur vitesse de rtatin instantanée devra être déterminé en exprimant les vecteurs vitesses de tris pints nn alignés du slide. Exercice IV.4 L'bjectif de cet exercice est de déterminer le vecteur vitesse de rtatin instantanée d'un satellite géstatinnaire à partir de la mesure de la vitesse de tris pints nn alignés situé sur le satellite. Nus avns mdélisé le satellite par un cylindre drit de centre C, rayn a, hauteur a. e la terre n mesure la vitesse des tris pints (a,,-a, 53
Mécanique du slide s a (S C B s s 3 r a B(,a,, (-a,,a représentés sur la figure ci-cntre. - λ V ( V s, V ( B V (- λ V ( V ( λ s λ s On pse Ω s ps+ qs + rs3 Exprimer ( p, qr, en fnctin de ( λ, V, a., IV-.3 érivatin vectrielle Frmule de dérivatin vectrielle Un vecteur est cnnu par ses cmpsantes sur une base bj, et n cherche à calculer sa dérivée par rapprt au temps dans ses muvements relatifs à la base bi. d d i j Nus avns : + Ωij Λ C est l util de calcul par excellence émnstratin : d i d i ( B ( Oi + OiB Vi( B Vi( r Vi ( Vj ( Vi.( + V. j ( Vij ( d j d j ( B ( Oj + OjB V j( B V j( d d i j Nus avns dnc : ( B - ( B Vij ( B Vij ( ΩijΛB "cqfd" Utilisatin pratique : Cnnaissant la dérivatin vectrielle vus ne devez plus dériver par rapprt au repère d bservatin. La base de calcul sera chisie de façn à btenir l expressin la plus simple pssible du vecteur à dériver. Le gain de temps sur les calculs est imprtant et surtut vus éviterez bien des erreurs car les expressins sernt plus simples. Cnséquences : érivée d un vecteur de base : érivée du vecteur rtatin : IV-3 ccélératin IV-3. éfinitin - calcul pratique d i Ωi Λ i diωij d jωij (peu utilisé Vus puvez démntrer ces deux relatins sans difficulté. 54
IV Cinématique éfinitin : L accélératin d un pint gémétrique P par rapprt à un espace d bservatin R, est la dérivée secnde du vecteur psitin par rapprt au temps. d ( OP γ ( P imensin [L.T - ] ans ce curs l accélératin est ntée γ au lieu du a que vus avez l habitude d utiliser En pratique le calcul se fait par dérivatin vectrielle du vecteur vitesse. C est la méthde la plus efficace. Calcul de la prjectin sur une directin dnnée : Cmme vus aurez l ccasin de vus en rendre cmpte le calcul cmplet du vecteur accélératin est relativement lng (c'est un euphémisme!. Le plus suvent seule une cmpsante suivant une directin nus intéresse lrs de l'écriture des équatins, alrs purqui calculer tutes les cmpsantes du vecteur? d L idée cnsiste à calculer la dérivée ( V ( P. u qui est la dérivée d'un prduit scalaire C'est plus rapide (dérivée d'une fnctin des qi d d du En effet ( V ( P. u ( V ( P. u + V ( P. d d u ù γ ( P. u ( V ( P. u V ( P. Cela permet de simplifier les calculs, surtut si u pssède certaines prpriétés. IV-3. Cmpsitin des accélératins L intérêt de ce paragraphe est de présenter l expressin de l accélératin de Crilis qui histriquement a fait l'bjet d'études intéressantes de part les effets dynamiques qu'elle entraîne. émnstratin Rappels 'ù OP OO + OP V érivns γ vec 3 3 ( P V ( O x i e i x i e + i i ( + i d Cette démnstratin ne vus est dnnée qu à titre histrique. O P 3 x e i i i sur la base b 3 d 3 d 3 ( P γ ( O + xi ( e i x i e i x i e i i + i ( + i accélératin relative accélératin de crilis accélératin d'entraînement accélératin abslue R ( O, b P R( O, b R Repère abslu R Repère relatif 55
Mécanique du slide La cmpsitin des accélératins est suvent énncée sus la frme : γ a γ r + γ e + γ c L utiliser pur faire un calcul c est du maschisme 3 d ccélératin d'entraînement : γ ( P γ ( O + x i ( e i Le pint est lié à R i ttentin γ ( d P ( P V Un artifice de calcul très dangereux à l'usage et trp suvent cause d'erreur cnsiste à dériver la vitesse d'entraînement en "blquant" les cmpsantes des muvements relatifs. 3 ccélératin relative : γ ( P x Seules les crdnnées x i varient. i i e i Pas de prblème de calcul. 3 d ccélératin de crilis : γ C ( P x ( i i e. i Peut se mettre sus frme vectrielle pur le calcul pratique γ c ( P Ω eλvr ( P Où Ω Ω e vecteur vitesse de rtatin d entraînement V r (P vecteur vitesse relative. Exercice IV.5 Exprimer le vecteur accélératin de Crilis (intensité & directin d'un pint se déplaçant à la surface de la terre à une vitesse de 35 km/h. Cmparer cette valeur à celle du champ de pesanteur. Que faut-il en cnclure? Vus ne devez utiliser la cmpsitin des accélératins dans un calcul que si le paramétrage du prblème vus l'impse, c est le cas d un espace d'bservatin mbile par rapprt à l'espace de référence galiléen. IV-4 Méthdlgie pur les calculs de cinématique Lrs de vs calculs essayez de respecter la méthdlgie suivante : Paramétrer les muvements, vus devez définir une base liée à chaque slide et préciser les principales directins sur une figure claire et précise. Penser aux pints gémétriques et aux pints liés à des slides, repérer les pints intéressants (cinématique simple. vant tut calcul pser et justifier les expressins vectrielles de départ permettant de calculer la vitesse u l accélératin, c'est du curs, il ne dit pas y avir d'erreur à ce niveau, vus devez être sûr de vus. Chisissez la u les bases de prjectin de façn à btenir les expressins les plus simples pssibles. Effectuez les calculs, et chercher à vérifier vs résultats : hmgénéité, analyse physique (vitesses partielles 56
IV Cinématique Ces différentes phases vus permettrnt de mener à bien les calculs cinématiques. Les calculs les plus cmplexes sernt relatifs à la cinématique des cntacts il faudra être extrêmement attentif à la ntin de pint lié à un slide. Sur les exercices prpsés ci-dessus essayez les différentes méthdes de calcul pur acquérir l'expérience qui vus servira par la suite à chisir le chemin le plus simple pur arriver au résultat. Exercice IV.6 x z C O a (S a a y B Sit la plaque carrée de cté a, à laquelle est sudée une tige de lngueur a. L'extrémité C de la tige reste en cntact avec l'axe ( Oz,. Le cté B de la plaque reste en cntact avec le plan O, x, y ( Calculer la vitesse et l accélératin du centre de la plaque. Calculer la vitesse de glissement de C sur R Que pensez-vus du pint C. x Exercice IV.7 a (T O z B (C r a y Sit le système matériel représenté sur la figure ci-cntre, il est cnstitué d'un cerceau (C de rayn r turnant autur de l'axe ( Oz, (liaisn pivt, et d'une tige (T de lngueur a, dnt les extrémités et B restent en cntact avec le cerceau. Calculer la vitesse et l accélératin du centre de la tige Calculer en la vitesse de glissement de la tige sur le cerceau. x Exercice IV.8 z Sit l'équerre CB dnt l'extrémité reste cnstamment sur l'axe (, t 3 O B a a C y Oz et l'extrémité B reste cnstamment dans le plan ( Ox,, z Calculer la vitesse et l accélératin du pint C. Calculer la vitesse de glissement de l'équerre sur le plan O, x, y ( x Exercice IV.9 g O z k I C ( (T y Sit le système mécanique, cnstitué d'un disque ( de rayn R de masse M et d'une tige (T de masse négligeable, représenté sur la figure ci-cntre. L'extrémité de la tige reste en cntact avec l'axe ( Oz,, la liaisn en C est un pivt glissant et la circnférence du disque reste en cntact avec le plan O, x, y. ( Calculer la vitesse du pint gémétrique I. Calculer la vitesse et l accélératin du pint C. Calculer en I la vitesse de glissement du disque sur le plan O, x, y ( 57
Mécanique du slide Bibligraphie Mts clés sur «Wikipedia» Crilis : Pur en savir plus sur le persnnage Frce de Crilis. : Pur en savir plus sur les phénmènes liés à l accélératin de Crilis Ntes persnnelles 58
V Éléments de cinétique V Éléments de cinétique La cinétique s intéresse aux quantités de muvement et d accélératin d un système matériel à masse cnservative. C'est à dire à la vitesse et accélératin de la matière en muvement, caractérisées par les trseurs cinétique et dynamique. Nus présenterns aussi la ntin d'énergie cinétique qui est liée aux deux précédentes et permet la frmulatin énergétique des équatins de la dynamique. V- Caractéristiques mécaniques d un slide En pratique, l'ingénieur utilise un lgiciel de O pur btenir les caractéristiques mécaniques d un slide indéfrmable qui snt, sa masse, sn centre de masse et sn pérateur d'inertie. Nus insisterns dnc plus sur leurs prpriétés que sur le calcul intégral de ces grandeurs. V-. Ntin de masse La masse spécifique lcale, u masse vlumique, est la densité scalaire de masse par unité de vlume. Elle est définie par : Δm ρ ( M, t lim dimensin [ML -3 ] Δv Δv Pstulat : Cntinuité de la matière l intérieur d un dmaine matériel, la masse vlumique existe est unique, finie, nn nulle et varie de façn cntinue. lim ρ ( M ', t ρ( M, t M ' M Pstulat : Système à masse cnservative Nus nus plaçns à l échelle macrscpique en ignrant la structure mléculaire u atmique de la matière. La masse d un système matériel que l n suit dans ses muvements reste cnstante au curs du temps. ès lrs la dérivée d une intégrale prise par rapprt à la distributin de masse est égale à l intégrale de la dérivée, sit : d d f dm f dm avec dm ρ ( ( P, t ( P ( P, t ( P ( P ( P, t ( P Cette prpriété est extrêmement imprtante du pint de vue thérique. Sa démnstratin fait appel à la mécanique des milieux cntinus, elle décule de l équatin d Euler btenue pur les systèmes à masse cnservative. Remarque : Lrsque l n suit le système au curs du temps, n utilise la descriptin de Lagrange des muvements. Le système peut prendre des frmes diverses (étude des systèmes uverts mais ce snt tujurs les mêmes particules que l n suit. L autre ρ + ρ divv Équatin d Euler : dv 59
Mécanique du slide descriptin utilisée en mécanique est la descriptin d'euler, elle cnsiste à décrire le champ des vitesses en tut pint (cette descriptin est surtut utilisée en mécanique des fluides. P t Pt t R escriptin de Lagrange éfinitin La masse M d un système matériel est dnnée par l intégrale sur le dmaine. M ρ ( dm( P dimensin [M] P, t dv Remarques : En pratique la masse d'un slide sera une dnnée du prblème. Nus ne calculerns pas les masses à partir des dnnées sur la gémétrie du slide et sur la masse vlumique du u des matériaux cnstitutifs. Ces calculs snt des calculs d'intégrales que nus avns présenté dans le chapitre de rappels mathématiques et que vus puvez faire pur des gémétries simples. Il existe de nmbreux lgiciels de O, u de simulatin qui calculent tutes les grandeurs mécaniques d'un slide à partir de sn dessin et de la définitin du u des matériaux. V-. Centre de masse éfinitin Le centre de masse d un système matériel est le pint G défini par : G ( ( P dm P P GP dm M Remarques : Le centre de masse d un slide rigide lui est lié. Le centre de masse d'un système matériel est unique sa définitin est relative au trseur cinétique. Le centre de masse appartient à l intersectin des différents éléments de symétrie matérielle. On parle de symétrie matérielle lrsque les pints symétriques nt la même masse vlumique (pur un dmaine hmgène tute symétrie gémétrique est une symétrie matérielle. 6
V Éléments de cinétique V-.3 Opérateur d'inertie éfinitin L pérateur d inertie en d un système matériel S est défini par : E3-------------------- > E3 Δ-------------------- > J (, S Δ P Λ ( Δ Λ P dm( P en pratique n ne calcul que des pérateurs d'inertie de slides indéfrmables. Cnnaissant l'pérateur d'inertie au centre de masse du système, il est pssible de le déterminer en un pint quelcnque par la frmule de transprt suivante. Thérème de HUYGHENS J (, S J ( G, S + J (, M (G Le terme J (, M (G crrespnd à l pérateur d inertie en de la masse du système cncentrée en G. émnstratin : J (, S Δ P Λ J (, S Δ Δ Λ P dm( ( P GΛ( ΔΛ G dm ( P r + GPΛ( ΔΛGP dm( P G + GP P M GΛ( ΔΛ J ( G, S G J (, M (G J (, S J ( G, S + J (, M (G + GΛ( ΔΛGP dm ( P + GPΛ( ΔΛ G dm( P GΛ( ( ΔΛ GP dm P GP dm( P Λ( ΔΛG G centre de masse Il est pssible de généraliser la frmule de transprt entre deux pints quelcnques et B. J (, S J ( G, S + J (, M J ( B, S J ( G, S + J ( B, M Matrice d'inertie ( G ( G J (, S J ( B, S + J (, M L'expressin de l'pérateur d'inertie sur une base b est une matrice. C'est la matrice d inertie ntée [ I( bs,, ] Les termes diagnaux de la matrice snt les mments d inertie Iii bi. J (, S bi ces termes snt psitifs. Les termes hrs diagnaux de la matrice snt les prduits d inertie I b. J (, S b ces termes snt symétriques. ij i j ( G J ( B, M ( G b Psns : { P} x y z y + z [ I(, b, S ] xy x + z yz ρ dxdydz xz xy yz x xz + y 6
Mécanique du slide Remarques : Il est utile de cnnaître la frme générale de la matrice d inertie pur puvir effectuer sit le calcul intégral sit appliquer la frmule de transprt que nus venns de présenter. e façn général le mment d inertie par rapprt à un axe ( O, Δ d un système matériel S est défini par : I( OΔ, S Δ. J ( O, S Δ avec Δ vecteur unitaire Δ I( OΔ, S ( Δ Λ O P dm( P O d P d ( P dm( P Le calcul est indépendant du chix du pint O sur l'axe ( O, Δ. Pur définir le mment d inertie d un slide par rapprt à un axe les mécaniciens utilisent suvent le rayn de giratin K du slide. C est une lngueur telle que I( OΔ, S M K vec M masse du slide cnsidéré. I ( O, B, S Changement de base [ ] [ ] b [ ] [ ] B B P I( O, b, S Cette frmule est utilisée pur le calcul numérique. Nus l éviterns, à cause du nmbre d pératins à effectuer. En pratique c est la base pur laquelle la matrice d inertie est la plus simple (diagnale qui sera utilisée cmme base de prjectin. Calcul pratique d'une matrice d'inertie L idée est de rechercher la base dans laquelle l expressin de la matrice d inertie est la plus simple pssible. Or nus savns que l pérateur est symétrique défini psitif, les valeurs prpres snt dnc tutes réelles psitives et il existe au mins une base prpre pur laquelle l expressin de l'pérateur est diagnale. u pint de vue numérique la matrice d inertie est calculée par intégratin numérique. yant une expressin de cette matrice, la réslutin du prblème aux valeurs prpres permet de déterminer une base principale et les mments principaux d inertie. En pratique nus utiliserns les prpriétés de symétrie des slides pur déterminer la base principale pur laquelle l'expressin de la matrice d'inertie est la plus simple pssible. Rappels sur les directins principales Si les tris valeurs prpres snt distinctes (,B,C, la base principale est unique. Sur cette base la matrice d inertie est de la frme : I( O, b, S B C Si deux valeurs prpres snt distinctes (,,C, il existe une infinité de bases principales ayant une directin assciée à la valeur prpre simple et deux directins dans le plan vectriel asscié à la valeur prpre duble. Sur tutes ces bases la matrice d inertie est de la frme : b P 6
V Éléments de cinétique 63 C S z O I,,.. ( L axe, ( z O est dit de révlutin pur l pérateur. Si les tris valeurs prpres snt cnfndus (,,. Tute base est principale d inertie. Quelque sit la base la matrice d inertie est de la frme : S O I,..., ( L pérateur est dit sphérique. Recherche pratique des directins principales Nus cherchns à déterminer la base la plus simple en étudiant les symétries du système. Slides ayant un plan de symétrie matériel si le plan,, ( y x O est un plan de symétrie L axe, ( z O est principal d'inertie et C B F F S b O I,, ( Slides plans : Slide mdélisé par une surface plane ( au plan, ( z O L axe, ( z O est principal d'inertie et + B B F F S b O I,, ( Si de plus, ( x O u, ( y O est un axe de symétrie + B B S b O I,, ( Symétrie de révlutin Un axe de répétitin d rdre n est un axe pur lequel tute rtatin de n / π rednne la même représentatin matérielle. Un axe de répétitin d rdre n > est un axe de révlutin pur l pérateur d inertie. Exemples : triangle équilatéral n 3, carré n 4, disque cerceau et cylindre n. La matrice d inertie est alrs de la frme : C S z O I,,.. ( n peut vérifier que ' C C + avec dm P z C ( ' En pratique le calcul de C est plus simple que celui de. Si de plus le slide est un slide plan S b O I,, ( Symétrie sphérique Pur un slide ayant une symétrie de sphérique la matrice d inertie est de la frme :
Mécanique du slide 64 S O I,..., ( ici 3 O I avec + + O dm P z y x I ( ( En pratique le calcul de I O est plus simple que celui de. Frmulaire pur quelques slides élémentaires z O G Tige de masse m, lngueur,,.. ( m S z G I 3,,.. ( m S z O I a x y b Plaque rectangulaire (a,b de masse m (,, b m IGbS a a b + z a y b x c Parallélépipède rectangle (a,b,c de masse (,, c b m IGbS a c a b + + + z r Cerceau de masse m de rayn r,,.. ( mr S z G I z r isque de masse m de rayn r 4,,.. ( mr S z G I z r h O Envelppe cylindrique de masse m, rayn r, hauteur h + +,,.. ( mr mr mh mr mh S z G I z r h O Cylindre de masse m, rayn r, hauteur h + + 4 4,,.. ( mr mr mh mr mh S z G I
V Éléments de cinétique Sphère de masse m rayn r Envelppe sphérique de masse m rayn r mr I ( G,..., S 5 mr I( G,..., S 3 Exercice Exercice Exercice 3 Exercice 4 Retruver les pérateurs d'inertie du tableau précédant en effectuant le calcul intégral. Sit un cadre carré réalisé avec quatre tiges identiques de masse 3m de lngueur a. Calculer l'pérateur d'inertie de ce cadre par rapprt à un des cins, puis par rapprt à sn centre. Vérifier que vus retruvez le TH de Huygens Sit 6 tiges identiques de masse m de lngueur a. Elles snt sudées entre elles pur frmer une étile à 6 branches situées dans un même plan régulièrement réparties. Calculer l'pérateur d'inertie de cette étile par rapprt à sn centre. Un disque de masse m de rayn a est mnté avec un défaut de fabricatin, l'axe de révlutin du disque frme un angle α avec l'axe de rtatin du slide. Calculer le mment d'inertie du slide par rapprt à sn axe de rtatin. V- Quantités de muvement et d accélératin V-. éfinitins Pur tut système matériel en muvement par rapprt à un repère d bservatin R, nus puvns définir en tut pint du système les quantités vectrielles suivantes : V ( P dm( P quantité de muvement élémentaire [MLT - ] γ dm quantité d accélératin élémentaire [MLT - ] ( P ( P R (S P V (P (P γ Trseur cinétique u champ de vecteur des quantités de muvement nus asscins le trseur cinétique dnt les éléments de réductins en snt : La résultante cinétique : R V ( P dm( P Le mment cinétique en : σ ( Λ Indice du repère d bservatin σ, S P V ( P dm( P Système matériel cnsidéré 65
Mécanique du slide Trseur dynamique : u champ de vecteur des quantités d accélératin nus asscins le trseur dynamique dnt les éléments de réductins en snt : La résultante dynamique : R γ ( P dm( P Le mment dynamique en : δ (, S P Λ γ V-. Prpriétés générales Résultantes δ ( P dm( P Respectez les ntatins elles ne laissent rien au hasard. Pur des systèmes à masse cnservative les résultantes cinétique et dynamique snt respectivement définies par : La résultante cinétique : M V (G La résultante dynamique : M γ (G émnstratin : Système à masse cnservative R Transprt des mments, B σ (B, S σ (, S + M V (G Λ B δ (B, S δ(, S + M γ (G Λ B Utilisatin du repère barycentrique éfinitin σ d ( P ( P (OP ( P V dm dm d d OP dm( P M OG MV ( G Il en est de même pur la résultante dynamique. C'est la prpriété la plus utilisée lrs des calculs Le repère barycentrique est le repère défini au centre de masse du système, en translatin par rapprt au repère d bservatin. Il est nté G Prpriété σ (G, S σ(g, S / R G R Prpriété fndamentale du pint de vue thérique. 66
V Éléments de cinétique émnstratin : G (S R ( O, b R G( G, b ( G, S GP Λ V ( P dm( P σ r ( P ( G ( GP V V + d σ ( G, S P GP dm( ΛV ( G + GP Λ ( GP dm( P V G (P G centre de masse R σ ( G, S GP V G(P dm( P G Λ σ ( G, S R R d V-.3 Mment cinétique d un slide Pur un slide indéfrmable σ (G, S J ( G, S Ω s vec J(G,S pérateur d inertie en G du slide Ω vecteur vitesse de rtatin instantanée émnstratin : s C est cette frmule qui défini l pérateur d inertie d un slide σ ( G, S GP Λ V ( P dm( P r V ( P V ( G + Ω ΛGP σ G, S GP dm( P ΛV ( G + GP Λ ( Ω ΛGP dm( P ( ù s σ (G, S J ( G, S Ω s G centre de masse s s s s définitin de J ( G, S yant le mment cinétique en G nus puvns le calculer en tut pint par la frmule du transprt σ (, S σ (G, S + M V (G Λ G vec σ (G, S J ( G, S Ω Cas particuliers : Slide en translatin σ (, S M V (G Λ G En effet σ (G, S Slide en rtatin / pint fixe σ (, S J (, S Ω En effet r σ (, S P Λ V ( P dm( P V s s ( P V ( + Ω Λ P avec ( s s s V s 67
Mécanique du slide σ (, S P Λ ( Ω Λ P dm( P s J (, S Ω s V-.4 Mment dynamique Le calcul du mment dynamique se fait en général à partir de l expressin du mment cinétique. Nus allns dnc chercher à dériver le mment cinétique. érivatin du mment cinétique : d δ (, S ( σ (, S + M V ( Λ V (G Cette frmule de dérivatin est à savir, attentin elle est trmpeuse pur la mémire. Il faut mieux savir la retruver rapidement à partir de sa démnstratin. émnstratin : d ( σ, d d d ( S V ( P dm( P P Λ V ( σ, S ( P Λ ( P dm( P P Λ γ ( P dm( P P Λ γ P dm( P V ( Λ + d ( P ΛV ( P V P V V ( ( P dm( P dm( P ( ( M V δ (G (, S d d'ù ( σ (, S δ(, S M V ( ΛV (G Ce qu'il faut retenir de cette démnstratin c'est l'idée de dériver le mment cinétique. Cnséquence immédiate de la frmule de dérivatin Si V ( Λ V (G d alrs δ(, S ( σ(, S en G u V ( u V ( // V ( G En pratique n cherchera tujurs à calculer le mment cinétique en un pint qui nus permet par simple dérivatin vectrielle d btenir le mment dynamique. Il est tujurs pssible d'utiliser la frmule du transprt δ (, S δ (G, S + M γ (G Λ G d δ (G, S ( σ (G, S Nus vus laissns imaginer la lngueur de ce type de calcul. 68
V Éléments de cinétique érivatin d une cmpsante de δ La questin qu'il faut se pser est «peut-n dériver la cmpsante crrespndante du mment cinétique pur btenir la cmpsante du mment dynamique?», car il est beaucup plus intéressant de dériver une fnctin scalaire qu une fnctin vectrielle. Utilisns la frmule de dérivatin S il existe un pint de l axe (, u tel que ( V ( Λ V (G. u d( σ (, S. u d (u alrs δ (, S. u σ (, S. Si de plus u d( σ (, S. u directin fixe alrs δ (, S. u Frmules d Euler Les frmules d Euler crrespndent au calcul classique d un mment dynamique par rapprt au centre de masse d'un slide. Sit un slide (S caractérisé par sa matrice d'inertie I( G, b, S B, la base (b principale d'inertie est liée au slide Ωb Ωs C p q r p d σ ( G, S J ( G, S Ωs Bq et δ (G, S ( σ (G, S Cr b db Par dérivatin vectrielle δ (G, S ( σ (G, S + ΩbΛσ (G, S p + ( C B qr δ ( G, S Bq + ( C pr Cr + ( B pq Exprimns le vecteur vitesse de rtatin instantanée du slide sur cette base b { Ω s} b Remarque : nus avns présenté le calcul en G mais le calcul est rigureusement identique si le slide est en rtatin autur d'un pint fixe, il suffit d'utiliser l'pérateur d inertie du slide en ce pint. V-3 Énergie cinétique Énergie cinétique E c ( S / R P P ( V ( dm( [ML T - ] l énergie cinétique d'un système matériel est une grandeur scalaire 69
Mécanique du slide Thérème de Kenig E c ( S / R MV ( G + Ec ( S / R G Ce thérème est basé sur l utilisatin du repère barycentrique émnstratin : E c ( S / R V ( P dm( P E ( S / R c r V ( P V ( G ( GP + d V V ( G dm( P + ( GP dm( P + E ( S / R MV ( G + E ( S / R G c c E d G c ( S / R ( G. d ( GP d dm( P V ( G. GP dm( P G centre de masse En pratique pur un slide nus avns Ec( S/ R G Ωs. J( G, S Ωs L énergie cinétique d un système matériel sera dnc btenue à partir de l énergie cinétique de chaque slide qui le cmpse. émnstratin d d E c ( S / R G ( GP dm( P r ( GP Ω sλ GP car G et P snt liés à (S E ( S / R G Ω Λ GP. V ( P dm( P Ω. GPΛ V ( P dm( P c ( s R G s ( R G s. ( GPΛ( ΩsΛ GP dm( P Ωs. J ( G, S s Ec ( S / R G Ω Ω Le thérème de Kenig nus dnne l énergie cinétique d un slide E ( S / R MV (G + Ω. J ( G, S Ω Cas particuliers : Slide en translatin : Slide en rtatin/pint fixe : émnstratin c ( S / R V (P dm( ( S / R Ω Λ P E P c r c Ec ( S / R MV (G E ( S / R Ω. J (, S Ω c V (P Ω s s Λ P ( s. V ( P dm( P Ωs. ( PΛ V ( P s. ( PΛ( ΩsΛ P dm( P Ωs. J (, S s E dm( P E ( S / R Ω Ω c s s car est un pint fixe lié à (S s 7
V Éléments de cinétique V-4 Exercices Rechercher tut d abrd le u les pints les plus intéressants pur faire le calcul Pints fixes liés aux slides Centres de masse La méthde directe pur calculer le mment cinétique et l énergie cinétique d un système matériel cnsiste à smmer les mments cinétiques de chacun des slides cnstituant le système. (a,m Exercice 5 a C (S x (a,3m (a,3m z O y Le slide (S représenté sur la figure ci-cntre, il est cnstitué d'une tige de lngueur a, de masse 3m à laquelle est sudé perpendiculairement une rue cnstituée de tris rayns identiques, chacun de masse m et de lngueur a. La masse ttale de la rue étant de 6m. La liaisn en O est une rtule. Calculer les éléments de réductin du trseur cinétique. Calculer le mment dynamique en O du slide. Calculer l énergie cinétique du système. x Exercice 6 z C O a (S a a y B Sit le slide (S représenté sur la figure ci-cntre, il est cnstitué d'une plaque carré de cté a, de masse 3m à laquelle est sudée une tige de lngueur a, de masse négligeable L'extrémité C de la tige reste en cntact avec l'axe ( Oz, Le cté B de la plaque reste en cntact avec le plan ( Ox,, y Calculer le mment cinétique au centre de masse du slide Calculer δ ( OS,. z (cmpsante du mment dynamique / l'axe ( Oz, Calculer l énergie cinétique du système. x Exercice 7 z g (T B (T n O z y C (S Sit le système matériel cnstitué des tris slides représentés sur le figure ci-cntre. Les deux bras (T et (T snt assimilés à des tiges de lngueur a, de masse 3m. Le slide (S est assimilé à une sphère de rayn a, de masse 5m. Les liaisns snt, en un pivt glissant d'axe ( z, pivt d'axe ( B, n et en C un pivt d'axe ( Cz,, en B un nner l'expressin vectrielle du calcul du mment cinétique du système par rapprt au pint. Calculer δ ( O, Σ. z (cmpsante du mment dynamique / l'axe ( Oz, Calculer la cmpsante du mment dynamique du sus système (T+S par rapprt à l'axe du pivt en B. Calculer l énergie cinétique du système. 7
Mécanique du slide Ntes persnnelles 7
VI Principe Fndamental de la ynamique VI Principe Fndamental de la ynamique «PF» Le PF furnit une relatin entre les masses, les frces et les accélératins d'un système mécanique. Il ne fait intervenir que les effrts extérieurs, et il peut être appliqué à des slides, des liquides u du gaz. Nus nus plaçns ici dans le cadre de la mécanique classique admettant de ce fait que les prpriétés du référentiel espace -temps snt identiques pur tut bservateur, qu'à tut crps matériel n peut asscié une masse (nmbre psitif, et que les actins mécaniques peuvent être mdélisées par un champ de vecteurs liés. près avir énncé le PF et les Thérèmes généraux qui en déculent, nus précisns la ntin de référentiel galiléen, puis nus nus attacherns à définir une démarche méthdlgique permettant d'abrder et d'analyser crrectement un prblème de mécanique industrielle. es exemples d'applicatin du PF sernt traités pur illustrer cette démarche. VI- Énncé du PF Le PF est un principe d existence qui stipule l existence de repères privilégiés dits galiléens, sans dire cmment les chisir. L'énncé que nus avns retenu est le suivant. Énncé Il existe des référentiels privilégiés dits référentiels galiléens, tels que à tut instant et pur tut système matériel cnsidéré, le champ de vecteur des effrts extérieurs appliqués à ce système et le champ des quantités d accélératin du système snt égaux { ext / Σ} { Σ/ Rg} t F mγ Le système d'unités utilisé dit être chérent, masse, frce, lngueur, et temps snt liées par la relatin dimensinnelle : [ F ] [ M ][ L][ T ] ans le Système Internatinal : Newtn, Kilgramme, mètre, secnde. En général le prblème à résudre est mixte, cnnaissant une partie des effrts (ceux qui snt impsés et les liaisns cinématiques, truver les muvements et éventuellement certains effrts de liaisn. Cas particuliers : Cnnaissant les masses et le muvement en déduire une répartitin de frce Exemples : Énncée de la li de l'attractin universelle par Newtn. Tus les prblèmes de statique (calcul statique des effrts de liaisn Cnnaissant les effrts et les muvements truver les masses Exemple : éterminatin de la masse des planètes. 73
Mécanique du slide VI-. Thérème de l'actin - réactin (S R( O, b émnstratin ctins de --> (S ctins de --> { m S + S } { F ext S + S } { m γ S } { F ext S } + { F S S } { m γ } { F } { F } γ S ext S + S S tut instant les actins mutuelles de deux systèmes matériels frment un trseur nul. { F S S } { F S S } ppliquns le PF à l'ensemble (S+S, à (S seul et à (S seul : ctins extérieures au système (S+S ans les actins extérieures à S interviennent les actins de S S ans les actins extérieures à S interviennent les actins de S S Par différence u truve le Thérème de l'actin - réactin : { F } { F } { } VI-. Thérèmes généraux de la dynamique S S + S S Les thérèmes généraux traduisent l'égalité des éléments de réductin du trseur dynamique et du trseur des effrts extérieurs appliqués au système Les 6 équatins scalaires qui en déculent snt dites équatins de Newtn, par référence histrique aux tris lis du muvement. 3 équatins de résultante : R Fext / Σ M γ g ( GΣ 3 équatins de mment : M / Σ( Fext δ g (, Σ VI-.3 Thérème de l'énergie Pur les prblèmes bidimensinnels 3 équatins Le thérème de l'énergie furnit une équatin supplémentaire nn indépendante des équatins furnies par les thérèmes généraux. Cette équatin peut s'avérer pratique à utiliser et peut dans certain cas cnduire à la slutin du prblème. Énncé ans un référentiel galiléen, pur tut système matériel cnsidéré, la dérivée de l'énergie cinétique du système est égale à la puissance de tus les effrts intérieurs et extérieurs appliqués au système. d ( E c ( Σ / Rg P f int + ext émnstratin imprtante elle mntre cmment interviennent les effrts intérieurs. ans un premier temps mntrns que la puissance des quantités d'accélératin est la dérivée de l'énergie cinétique. Partns de la puissance des quantités d accélératin définie par : P ργ ( P. V ( P dv mγ 74
VI Principe Fndamental de la ynamique dv ( P d Sit Pm γ V ( P ρdv V ( P V ( P. (. ρdv Pur les systèmes à masse cnservative, nus avns : d d V ( P V ( P ρ dv V ( P V ( P (.. ρdv On suit les particules au curs du temps descriptin Lagrangienne d d P V. V dv ( E m γ ( P ( P c( / Rg ρ Σ ppliquns maintenant le PF à un slide indéfrmable et multiplins les deux membres par le trseur cinématique, nus btenns dnc la relatin suivante : d ( E c ( S / Rg P fext La puissance des effrts intérieurs à un slide indéfrmable étant nulle, nus venns de démnter le thérème de l'énergie pur un seul slide. Pur un système de slides, nus puvns smmer les puissances pur chaque slide, dans les effrts extérieurs à chaque slide apparaîtrns les effrts extérieurs au système appliqués au slide et les effrts de liaisn entre les différents slides du système. Ce qui cnduit à l'expressin suivante : d Ec ( S i / Rg Pfext Si + PSj Si i i j i d Sit : ( Ec ( Σ / Rg Pfext Σ + j i P Sj Si C est le thérème de l'énergie En pratique les effrts snt classés en effrts dnnés et en effrts de liaisn qui snt des incnnues du prblème. Nus utiliserns aussi la ntin d'énergie ptentielle intrduite au chapitre III.3. 3. ù la frme dévelppée du thérème de l'énergie est alrs : d d ( Ec ( Σ / Rg + ( Ep ( pids u ressrts PLiaisns + Pf ne dérivant pas d un ptentiel VI- Référentiels galiléens ttentin : tus les effrts divent être cnsidérés Cmme leur nms l'indique c'est Galilée qui le premier psa quelques questins gênantes pur l'épque (début du XVII ième siècle, telle que : ' Il serait injuste d'ublier KEPLER qui effectua les premiers travaux dans ce dmaine, mais il n'a pas su cmme GLILEE diffuser ses bservatins sus une frme cmpréhensible par ses lecteurs. 75
Mécanique du slide - Cmment se fait-il qu'une balle lâchée par un cavalier ne tmbe pas à l'endrit ù elle a été lâchée? et purqui reste t'elle à la verticale du cheval (celui ci est suppsé avancer à vitesse cnstante. - Cmment expliquer que des papillns vlant dans une cabine de navire, cntinuent de vler indifféremment dans tutes les directins que le navire sit à l'arrêt u qu'il se déplace et ceci quelque sit la vitesse du navire? e ces exemples et de bien d'autres bservatins, il intrduisit le premier la ntin de relativité en cnstatant qu'un muvement unifrme est "cmme nul", c'est à dire qu'il n'affecte pas la nature des chses qui en snt l'bjet. On peut s'étnner qu'il ait fallut attendre si lngtemps pur que sit énncé ce qui nus apparaît évident aujurd'hui, mais à l'épque ce principe mettait directement en cause les muvements de la terre. Car il permettait d'imaginer que la terre turne autur du sleil "cmme le laissait entendre COPERNIC" cntrairement à cette impressin d'immbilité que nus suggère l'expérience qutidienne. éfinitin - prpriété Le grupe de Galilée est l'ensemble des repères en translatin unifrme les uns par rapprt aux autres. Remarques : Pur ce grupe les lis de la mécanique snt invariantes La démnstratin est évidente si l'n utilise la frmule de cmpsitin des accélératins puisque l'accélératin de Crilis et l'accélératin relative snt tutes les deux nulles. Les trseurs dynamiques par rapprt à deux repères en translatin unifrme l'un par rapprt à l'autre snt dnc équivalents. La définitin ne permet pas de définir de repère abslu Une tentative cnsiste à appliquer le PF à l'univers (rien de mins!. Pur l'univers il n'y a pas de frce extérieur, le trseur dynamique de l'univers est dnc nul. Le centre de masse "hypthétique" de l'univers est dnc animé d'un muvement rectiligne unifrme. Le mment cinétique de l'univers par rapprt à ce centre de masse est cnstant. rrêtns de fumer et admettns que : On ne peut pas définir de repère abslu. Cmme pur tute mdélisatin il faut faire des chix, ici c est le chix du repère par rapprt auquel nus allns pser le prblème et que nus suppserns galiléen. Ce chix est fnctin de la nature des phénmènes physiques que l'n dit étudier. VI-. Exemples de repère galiléen Repère de Cpernic (hélicentrique Ce repère est défini par le centre de masse du système slaire et tris directins définies par des étiles "fixes". Cnsidérer ce repère cmme galiléen revient à négliger les frces extérieures au système slaire. Ceci semble légitime sachant que les étiles les plus prches du système slaire snt à plus de 5 Km. Les effets de l'attractin 76
VI Principe Fndamental de la ynamique universelle sernt dnc négligeables. Ce repère dit être utilisé pur décrire le muvement des planètes du système slaire. Repère gécentrique (repère céleste Ce repère est défini par le centre de masse de la terre et tris directins définies par des étiles "fixes". Cnsidérer ce repère cmme galiléen revient à isler la terre du système slaire (seul les effets de l'attractin terrestre sernt pris en cmpte. Ce repère permet d'étudier les systèmes mécaniques au visinage immédiat de la terre, il permet retruver avec une excellente précisin les résultats des expériences du XIX siècle telles que celle de la déviatin vers l'est lrs d'une chute libre, u celle du pendule de Fucault. Repère terrestre (repère pratique Ce repère est lié à la surface de la terre. En pratique le trisième axe du repère est relatif à la verticale du lieu et rienté vers le haut les deux premiers axes définissant le plan hrizntal. Cnsidérer ce repère cmme galiléen revient à négliger les effets relatifs à la rtatin de la terre. VI-. Relatin entre pesanteur et gravitatin Z Z Y Repère de Cpernic X O θ N directin de l'axe de rtatin de la terre ω T définitin des bases : n P ϕ e z e b X θ / N ϕ / e b ( X, N, Z (, N, b b e b T ( e, n, z On distingue les tris référentiels suivants : le référentiel de Cpernic, le référentiel gécentrique ( Ob,, et le référentiel terrestre ( Pb, T L'axe de rtatin de la terre est suppsé cnserver une directin fixe par rapprt au référentiel de Cpernic. Les ntatins utilisées snt n pur la directin vers le nrd gégraphique, e vers l'est, ( θ, ϕ représentent la lngitude et la latitude du pint cnsidéré à la surface de la terre. 5 Enfin la vitesse de rtatin de la terre sera ntée : ω T 7,3 rd / s Cnsidérns le simple prblème du fil à plmb à l'équilibre, sa directin indique celle du champ de pesanteur terrestre. Effectuns un bilan des effrts sur le plmb : T le tensin dans le fil qui indiquera la verticale du lieu cnsidéré. mg(t le champ de gravitatin de la terre dirigé suivant z mg( le champ de gravitatin des autres astres que nus négligens dans ce mdèle. ppliquns le PF au plmb en cnsidérant le repère terrestre cmme galiléen 77
Mécanique du slide Le plmb est immbile par rapprt à P γ T ( P mg ( T z T, dans ce mdèle z indique la verticale du lieu et le champ de pesanteur et l'attractin terrestre snt cnfndus. ppliquns le PF au plmb en cnsidérant le repère gécentrique cmme galiléen Repérns la psitin du plmb par OP R z Par dérivatin : N T z V ( P RωT N Λ z RωT csϕ e m γ (P γ ( P RωT csϕ N Λ e RωT csϕ b Le PF mg( T z + T m P mg(t γ ( P α Cette relatin vectrielle est représentée sur la figure ci-cntre. mr Nus en déduisns la valeur de l'angle α : sin mg( T ωt csϕ sinϕ mrω cs ϕ α T 9,8 m / s Rω T 3,4 m / s RωT csϕ sinϕ sinα G( T 3 L'angle sera maximal pur ϕ 45, n truve α,73 rd 6' Cet exemple mntre que le champ de pesanteur est la smme du champ de gravitatin terrestre et d'un champ centrifuge lié à l'accélératin d'entraînement due à la rtatin de la terre. L'effet centrifuge est nul aux pôles, il est maximal à l'équateur. Le champ de pesanteur est dnc maximal au pôle et minimal à l'équateur, ce qui explique la frme aplatie de ntre planète. Questins : quelle vitesse devrait turner la terre pur annuler le champ de pesanteur à l'équateur? Répnse : 7 fis plus vite La vitesse de rtatin de la terre permet-elle d'expliquer le phénmène des marées? Répnse : nn, il faut dans un premier temps tenir cmte de l'attractin des autres astres, la lune a un effet fis plus imprtant que le sleil, et ces deux effets peuvent s'ajuter u se cntrarier, les autres astres nt des effets négligeables. Les exemples suivants reprennent deux expériences du XIX siècle qui nt mis en évidence les effets liés à l'accélératin de Crilis, démntrant ainsi le caractère nn galiléen du repère terrestre : la déviatin vers l'est lrs d'une chute libre, et le pendule de Fucault ans ces exemples nus utilisns les bases et les ntatins intrduites dans l'étude précédente. Exemple éviatin des graves vers l'est Effectuns tut d'abrd un calcul rapide Ce calcul cnsiste à négliger les cmpsantes hrizntales de la vitesse par rapprt à la vitesse de chute du crps V V z La frce due à l'accélératin de Crilis est dnnée par : fc mγ c mωtλv mωtv NΛ z mωtv cs ϕ e dnc tujurs dirigée vers l'est Le PF appliqué au pint matériel en chute libre nus dnne dnc en première b 78
VI Principe Fndamental de la ynamique apprximatin : x ω z T csϕ y z g Cmpte tenu des cnditins initiales "lâché sans vitesse d'une hauteur h", la dernière équatin nus dnne : V z gt, et z gt h h temps de chute T g Reprtns ces résultats dans la première équatin : ω 3 x T gt csϕ x ω gt csϕ d'ù la déviatin pur t T 3 pplicatin, pur une chute de 68m à la latitude 48 5 (expérience au panthén la durée de chute est T3,7 s, et la déviatin de l'rdre de 8mm. T Le calcul précédent paraît à la fis simple et juste, mais il néglige de nmbreux termes car il n'est pas si facile de décupler vitesse et accélératin. Effectuns un calcul cmplet Le repère suppsé galiléen est le repère gécentrique ( Ob,. Calculns l'accélératin du pint P par rapprt à ce repère. x OP y, et ΩbT ωt csϕ R + z bt sinϕ bt x x x + ωt ( R + z csϕ ωt y sinϕ d'ù V ( P y + ω csϕ Λ y y T + ωt x sinϕ z sinϕ R + z z ωt x csϕ bt bt x + ω T z csϕ ω y T sinϕ ωt x et γ ( P y + ω x T sinϕ + ωt ( R + z csϕ sinϕ ωt y sin ϕ z ω x T csϕ ωt ( R + z cs ϕ + ωt y csϕ sinϕ bt en ne cnservant que les termes d'rdre enω T, le PF nus dnne : x + ωt z csϕ ω y T sinϕ y + ωt x sinϕ z ωt x csϕ g Cmpte tenu des cnditins initiales : l'équatin ( y ωt xsinϕ l'équatin (3 z ωt x csϕ gt d'ù l'équatin du muvement en x : x+ 4ω x ω csϕ gt T T 79
Mécanique du slide les slutins de cette équatin snt de la frme : d'ù x cs ω t + B sin ω t + T T cs ϕ ω les cnditins initiales et cs ϕ x g t sin ω t T ωt ωt T gt B cs ϕ En effectuant un dévelppement limité du sinus à l'rdre 3, nus retruvns la slutin simplifiée : 3 x ωt gt csϕ 3 puis en reprtant dans les expressins de y et z 3 T T 4ω y g csϕ sinϕ ω t ce terme est d'rdre y 3 z gt + g csϕ ω t le terme d'rdre peut être négligé le temps de chute 3 3 T et la déviatin vers l'est de h csϕ ω g h h T g 3 Le calcul cmplet est beaucup plus lng mais il permet de cntrôler le niveau des apprximatins successives qu'il faut faire, pur simplifier l'expressin de l'accélératin. Exemple Pendule de Fucault nalyse simplifiée Le cmprtement du pendule est simple à analyser au pôle nrd, en effet il scillera dans un plan déterminé par rapprt au référentiel gécentrique. Ce plan turne dnc autur de l'axe plaire d'est en uest avec une péride de 4h. l'équateur le plan des scillatins est fixe, et en un lieu de latitude ϕ la cntributin verticale du vecteur rtatin de la terre est ωt sinϕ d'ù la péride de révlutin du pendule π T ω sinϕ T nalyse cmplète Les calculs de cinématiques snt assez lngs Effectuns dans un premier temps la mise en équatin du pendule par rapprt au repère terrestre: z θ z définitin des bases : g ψ / z b T ( e, n, z P n b ( x, y, z ψ θ / x e M x b ( x, y, z g T 8
VI Principe Fndamental de la ynamique Le prblème cmprte 3 incnnues : paramètres pur décrire les muvements du pendule ( ψ, θ, effrt de liaisn la tensin T dans le fil. Le prblème est bien psé car nus puvns écrire 3 équatins par le PF Calculns l'accélératin du pint M par rapprt au repère terrestre. Pur simplifier les expressins nus suppsns dés à présent que l'angleθ reste petit, ce qui est cnfrme à la situatin expérimentale. θ VbT ( M Ω Λ Tb PM avec PM, Ω ψθ Tb b ψ b ψθ ψθ ψθ d'ù V ( bt M θ et γ ( θ ψ bt M θ b ψθ ψθ 'ù les équatins du PF : θ ψ θ gθ T g La première équatin entraîne : ψ ψ cte L'équatin du muvement en θ : g b Nus ne détaillns pas les calculs de la dérivatin vectrielle θ + θ crrespnd à des scillatins de péride Ce mdèle basé sur l'hypthèse que le repère terrestre est un référentiel galiléen ne permet pas de retruver le muvement de rtatin du plan d'scillatin du pendule, par cntre l'équatin du muvement crrespndant aux scillatins du pendule est cnfrme à l'expérience. nalyse par rapprt au repère gécentrique Les calculs de cinématiques snt lngs, nus utiliserns les résultats btenus précédemment d Partns de γ ( M ( OM avec OM OP + PM Les termes crrespndant à OP nt déjà été calculé et snt du secnd rdre en θ d ( PM ΩObΛPM avec, Ω ω ϕ + ψθ Ob T cs sinϕ ψ bt b en effectuant le changement de base θ + ω T csϕ sinψ Ω ( ψ Ob + ωt sinϕ θ + ωt csϕ csψ ψ + ωt sinϕ ωt csϕ csψθ b π g ωt 8
Mécanique du slide d'ù et ( ψ + ωt sinϕ θ ωt csϕ csψ d ( PM θ + ωt csϕ sinψ b ψθ ( ψ + ω sinϕ T θ d ( PM θ ( ψ + ω sinϕ θ T b Nus ne détaillns pas les calculs et le dévelppement limité en ψθ ( ψ + ωt sinϕ θ 'ù les équatins du PF : θ ( ψ + ωt sinϕ θ gθ T g La première équatin entraîne : ψ ωt sinϕ cte La secnde rednne l'équatin des scillatins du pendule. Nus retruvns maintenant les résultats expérimentaux rtatin du plan d'scillatin du pendule à vitesse cnstante ω sinϕ T. En cnclusin, retenns les résultats imprtants suivants: La frmulatin des lis de la mécanique est invariante dans tut changement de référentiel en translatin les uns par rapprt aux autres (grupe de Galilée. Le champ de pesanteur est en fait une cmbinaisn du champ de gravitatin et de la frce d'inertie d'entraînement liée à la rtatin de la terre. Il est maximum au pôle et minimum à l'équateur. Pur expliquer des expériences fines il faut tenir cmpte de l effet de rtatin de la terre (effet de Crilis, mais pur une grande majrité de prblème de mécanique industrielle (vitesse inférieure à 7m/s un simple repère terrestre est heureusement suffisant pur effectuer la mise en équatins. ans la suite de ce curs nus nus placerns dans cette hypthèse et nus cnsidérerns qu'un simple référentiel terrestre cnstitue une excellente apprximatin d'un référentiel galiléen. ω T et θ VI-3 Équatins principales d un prblème L'analyse d'un prblème mécanique est pur l'ingénieur la partie la plus délicate et la plus difficile à réaliser car elle prte sur la mdélisatin du cmprtement physique du système mécanique à étudier. Il faut faire des chix et ce sera tujurs un cmprmis entre la réalité et la pssibilité de traiter le prblème avec les utils dnt n dispse. ce titre les exemples précédents nt bien mntré les difficultés liés au chix du référentiel galiléen, pur des prblèmes simples ne traitant que de la dynamique d'un pint matériel. Nus allns maintenant étudier les systèmes mécaniques plus cmplexes cnstitués de plusieurs slides reliés entre eux par des liaisns mécaniques. VI-3. nalyse d un prblème de mécanique 8
VI Principe Fndamental de la ynamique vant tute étude de mécanique, il est indispensable de faire un bilan des incnnues et des équatins que l'n peut écrire. Ce n'est qu'à partir de cette analyse qu'il sera pssible de cmmencer la mise en équatins puis l'étude du prblème. ans le chapitre III "ctins mécaniques" nus avns vu que les actins mécaniques peuvent tutes être mdélisées par un champ de vecteur lié que nus représentns par un trseur. Ces effrts snt sit des dnnées (champs u effrts appliqués au système sit des incnnues du prblème et ces effrts incnnus crrespndent aux liaisns cinématiques (déplacements u vitesses impsées. Les incnnues d'un prblème de mécanique snt dnc uniquement de deux types : - les incnnues cinématiques u paramètres du muvement - les effrts de liaisn «incnnues naturelles» prpriété Pur tut système mécanique si les liaisns snt parfaites et matériellement indépendantes (nn surabndantes, les thérèmes généraux permettrnt d'écrire autant d'équatins que d'incnnues. Le thérème de l'énergie furnira alrs une équatin supplémentaire nn indépendante des précédentes. 'abrd utilisée en statique cette prpriété a dnné la définitin des systèmes isstatiques et hyperstatiques. On ne peut traiter dans le cadre de la mécanique des slides indéfrmables que le cas des systèmes isstatiques. Tute liaisn hyperstatique entraînera des défrmatins du système mécanique qui ne peuvent être prises en cmpte que dans le cadre de la mécanique des milieux cntinus qui tient cmpte des défrmatins des crps (putres, cques, etc. Nus puvns dans le cadre de la mécanique des slides indéfrmables mdéliser ces défrmatins en intrduisant des ressrts. Ces mdèles élémentaires peuvent s'avérer suffisant et très utiles pur représenter le cmprtement dynamique du système, par exemple l'étude dynamique d'une suspensin. NLYSE: En résumé l'analyse d'un prblème mécanique dit abrder les pints suivants Chix du repère galiléen (fnctin des phénmènes à prendre en cmpte éfinitin du système à étudier éfinitin des différents éléments du système mécanique (slides Mdélisatin des effrts impsés au système (pesanteur, pressins Mdélisatin des liaisns élastiques (ressrts Mdélisatin des liaisns spect cinématique paramétrage (chix des incnnues cinématique spect physique effrts de liaisn (incnnues naturelles Le chix des paramètres du muvement est capital car il cnditinne les calculs de cinématique et de cinétique qui suivent. Lrs de la mdélisatin des effrts de liaisn il sera nécessaire de remplacer les liaisns hyperstatiques par des liaisns cinématiquement équivalentes. 83
Mécanique du slide À la fin de l'analyse vus devez puvir présenter un bilan "équatins - incnnues" équilibré. Exemple 3 Le système mécanique (Σ que l'n veut étudier est cnstitué de slides - une tige (T de lngueur a, de masse 3m et de centre de masse G T, - un disque ( de rayn a, de masse 4m et de centre de masse C. z ψ (T g d 3 G T ϕ O I u (P représentatin du système dans le plan n, le repère (, nuz,, est lié à (T La tige (T hrizntale est liée à l'axe vertical par une liaisn pivt glissant suppsée parfaite. La liaisn entre (T et ( permet d'assurer : - d'une part, l'inclinaisn de ( par rapprt à la verticale (rtatin θ autur de ( C, n ; θ - d'autre part, la rtatin prpre ϕ du disque autur de sn axe de révlutin C, d. ( 3 Le disque reste en cntact en I avec un plateau hrizntal situé dans le plan ( Ox,, y, le cntact à lieu sans frttement. Le repère d'bservatin R ( O, x, y, z est suppsé galiléen, et le système est sumis à l'actin du champ de pesanteur défini par g g z. C ( nalyse Les dnnées du prblème répndent déjà aux deux premiers pints: chix du référentiel galiléen, et définitin du système. Nus allns dnc abrder directement la mdélisatin des liaisns pur dénmbrer ns incnnues. En : pivt glissant: mbilités : ( z, ψ R. z 4 incnnues effrts : M. z En C : rtule à digt: mbilités : ( θ, ϕ RC 4 incnnues effrts : M C M C v En I : cntact pnctuel (cette liaisn réalise une fermeture de bucle cinématique équatin de fermeture, sit incnnue effrt : RI N z Bilan : 4-3 paramètres du muvement nus utiliserns ( ψ, θ, ϕ Et 9 incnnues naturelles (effrts de liaisn. Le prblème est bien psé car nus puvns écrire équatins (6 pur chaque slide 84
VI Principe Fndamental de la ynamique VI-3. Recherche des équatins du muvement ans la mesure ù l'n ne cherche que les muvements du système, les incnnues principales snt les paramètres du muvement, les actins de liaisn snt des incnnues secndaires que l n ne cherche pas à déterminer. L'analyse cnsiste dnc à chercher des équatins ne faisant apparaître aucune incnnue naturelle. Pur puvir résudre il faut truver autant d'équatins à priri indépendantes qu'il y a d'incnnues cinématiques, mais ce n'est pas tujurs pssible. Si n ne peut pas truver autant d'équatins du muvement qu'il y a de paramètres, il faut alrs chercher à faire apparaître le mins pssible d'incnnues secndaires. Et écrire un nmbre équivalent d'équatins déduites des thérèmes généraux u du thérème de l'énergie. Le chix des systèmes que l'n peut isler pur écrire le PF a pur bjectif de faire apparaître des directins u axes privilégiés sur lesquels la prjectin du PF cnduira à l'écriture d'une équatin ne faisant apparaître que des incnnues principales, il faut dnc : Pur chaque système cnsidéré - effectuer un bilan des effrts extérieurs sur ce système Une figure vus aidera à vir (truver la u les directins privilégiées - justifier vtre chix (analyse vectrielle - dnner la frme vectrielle de vtre équatin principale. Exemple 4 Pursuivns avec le système mécanique de l'exemple précédent. Les muvements du système dépendent de 3 paramètres ( ψ, θ, ϕ, nus allns maintenant chercher si il est pssible de truver 3 équatins du muvement pur ce système (en utilisant que les thérèmes généraux. nalyse L'bjectif est de déterminer 3 équatins principales (ne faisant apparaître aucune incnnues naturelles parmi les 8 pssibles (6 pur Σ, 6 pur T, 6 pur Islns Σ Nus faisns apparaître 5 cmpsantes incnnues d'effrt de liaisn (4 en et en I M z z R z (T G T P T I RI N z ( effrts extérieurs dnnés et incnnus agissant sur Σ Quelque sit la directin le TH des résultantes fera dnc apparaître une cmpsante incnnue de résultante d'effrt. Par cntre le mment en des effrts extérieurs est nul en prjectin sur la directin z car les pids et la réactin en I snt parallèles à z. Nus btenns dnc une équatin du muvement pur Σ: δ (, Σ. z ( Remarque : il n'existe aucun autre axe privilégié pur ce système, en z et la C P 85
Mécanique du slide seule directin pssible. Et en un autre pint sit M sit R apparaissent dans les équatins. Islns Nus faisns apparaître 4 nuvelles cmpsantes incnnues d'effrt en C qui représentent les actins de (T sur ( R N I z d 3 ( C M C M C qcq R C v I P effrts extérieurs dnnés et incnnus agissant sur Quelque sit la directin le TH des résultantes fera dnc apparaître une cmpsante incnnue d'effrt. Par cntre le mment en C des effrts extérieurs est nul en prjectin sur la directin d 3 car la réactin en I cupe l'axe ( C, d 3. Nus btenns dnc une équatin du muvement pur : ( C,. d δ 3 ( Remarque : il n'existe pas d'autre équatin du muvement pur le disque, par cntre la directin ( C, n est une directin privilégiée elle ne fera apparaître que l'effrt incnnu N. Islns T Nus ne faisns pas apparaître de nuvelles cmpsantes incnnues d'effrt M z z R z (T G T P T d 3 M C C M C R C effrts extérieurs dnnés et incnnus agissant sur T ttentin les effrts en C représentent ici les actins de ( sur (T Il est visible que quelque sit la directin u le pint les TH généraux ne furnirns pas d'équatin du muvement lrsque l'n isle la tige. Bilan Nus ne puvns truver que équatins du muvement pur ce système mécanique. Il faut dnc chercher d'autres équatins en faisant apparaître un minimum de cmpsante d'effrts incnnus. Équatins secndaires Nus avns remarqué, en islant le disque qu'il était pssible d'écrire une équatin de mment ne faisant intervenir que l'incnnue naturelle «N». Prenns N cmme incnnue secndaire, pur puvir résudre ntre prblème nus cherchns à btenir équatins supplémentaires ne faisant apparaître que l incnnue supplémentaire N. v qcq 86
VI Principe Fndamental de la ynamique Pur Nus avns l'équatin de mment en C, en prjectin sur n δ ( C,. n Na csθ (3 Pur Σ Nus avns l 'équatin de résultante en prjectin sur z m γ ( G. z mg N (4 Cnclusin 7 Σ 7 + Les 3 équatins du muvement de ce système btenues par le PF snt: δ (, Σ. z δ ( C,. d3 δ( C,. n + 7m( g + γ ( GΣ. z a csθ L'équatin N 7m( g + γ ( GΣ. z permet de calculer l'effrt incnnu N Il ne reste qu'à effectuer les calculs de cinématique et cinétique. Remarque : le thérème de l'énergie appliqué au système cmplet nus dnne une équatin du muvement supplémentaire nn indépendante des 3 précédentes. VI-3.3 Intégrales premières du muvement Lrsque le système est libre dans le champ de pesanteur (répnse à des cnditins initiales dnnées les équatins du muvement traduisent suvent la cnservatin d'une grandeur physique au curs du muvement (quantité de muvement, mment cinétique, énergie mécanique. Ces équatins de cnservatin snt des intégrales premières du muvement, il faut savir les détecter car elles snt plus simples à écrire, ce snt des équatins différentielles du premier rdre qui pur les prblèmes simples cnduisent à une équatin principale de la frme q f ( q que l'n peut résudre analytiquement u graphiquement. ans ce qui suit le seul chargement est celui du champ de pesanteur, le repère d'bservatin R est suppsé galiléen. L bjectif est de rechercher les équatins du muvement dnt n peut dnner directement la frme primitive de l'équatin différentielle. Intégrale première de résultante S il existe une directin u telle que R / Σ. u Fext L équatin du muvement dans la directin u est : γ g ( G Σ. u Si de plus u d est une directin fixe de R, nus avns : ( V ( G. u γ ( G. u 'ù l intégrale première du muvement V ( G. u Cte Σ Remarque : la directin u est bligatirement rthgnale au champ de pesanteur. d u 87
Mécanique du slide Intégrale première de mment S'il existe un axe (, u tel que M Fext / Σ (. u L équatin du muvement est alrs δ (, Σ. u Si de plus il existe un pint de l axe (, u tel que ( V ( Λ V (G. u Σ d( σ (, S. u d (u δ (, S. u σ (, S. Si de plus u d( σ (, S. u est une directin fixe alrs δ (, S. u 'ù l intégrale première du muvement : σ (, S. u Cte Remarque : la directin du champ de pesanteur cnduit en général à l'intégrale première dite IP des aires. Cas particulier pur un slide ayant un pérateur d'inertie de révlutin S il existe un axe de révlutin (, u pur l'pérateur d'inertie du slide S tel que M (. u Fext / S Le centre de masse du slide appartient nécessairement l'axe, nus puvns dnc calculer le mment dynamique en appliquant les frmules d'euler (cf chapitre de cinétique Nus btenns l'intégrale première d'euler : Ω.u Cte s Remarque : l'intégrale première d'euler traduit le fait qu'un slide dynamiquement équilibré par rapprt à sn axe de rtatin, cnserve une vitesse de rtatin cnstante suivant cet axe, ceci quelque sit la directin de l'axe, si rien ne s'ppse au muvement de rtatin (pivt parfait. Intégrale première de l'énergie Cette intégrale première est déduite du thérème de l'énergie appliqué au système cmplet. Si tutes les liaisns intérieures et avec R snt suppsées parfaites, leur puissance sera nulle car elles snt respectées par le paramétrage. Si de plus les seuls effrts dnnés dérivent d'un ptentiel le thérème de l'énergie appliqué au système se réduit à : d Sit : ( E ( Σ / Rg + ( E ( Σ c d p Ec ( Σ / Rg + Ep ( Σ Cte c'est l'intégrale première de l'énergie Exemple 5 Reprenns le système mécanique de l exemple précédent. Nus avns btenu les équatins du muvement du système, nus regardns maintenant s'il est pssible de les mettre sus frme d'intégrales première du muvement. Rappel Les 3 équatins du muvement de ce système btenues par le PF snt: 88
VI Principe Fndamental de la ynamique δ (, Σ. z δ ( C,. d3 δ( C,. n + 7m( g + γ z a Σ. cs ( G θ e plus nus avns l'équatin déduite du thérème de l'énergie d d ( Ec ( Σ / Rg + ( Ep ( Σ intégrales premières La dernière équatin s'intègre à vue et dnne E E c ( Σ / Rg + p ( Σ c'est l'intégrale première de l'énergie La première équatin est une équatin de mment par rapprt à l'axe ( O, z, r c'est un axe fixe de R (O pint fixe et z directin fixe, nus avns dnc : σ ( O, Σ. z Cte Cte c'est l'intégrale première des aires La secnde équatin est une équatin de mment par rapprt à l'axe ( C, d 3 axe de révlutin du disque (C est le centre de masse du disque, nus avns dnc : σ ( C,. d Cte 3 c'est l'intégrale première d'euler Nus venns d'identifier 3 intégrales premières du muvement, les cnstantes d'intégratin snt définies à l'instant initial (la psitin et l'état des vitesses snt suppsés cnnus. Écriture des équatins ψ cs θ +ϕ Cte r (3 ( ψ [ + sin θ] + r csθ Cte k Nus ne détaillns pas les calculs de cinétique ( g θ ( + 7cs θ + ψ ( + sin θ + r + 4 sinθ Cte a Ntez que nus avns écrit les équatins de la plus simple vers la plus cmpliqué ce qui nus permet de tenir cmpte des résultats btenus. La dernière équatin peut se simplifier en passant r dans la cnstante g θ ( + 7cs θ + ψ ( + sin θ + 4 sinθ Cte h La secnde équatin ( nus dnne : ψ En reprtant dans la dernière ( : g θ (+ 7 cs θ h 4 sinθ a a k r csθ + sin θ [ k r csθ ] + sin θ Cette équatin différentielle nn linéaire ne dépend plus que deθ, et il existe des méthdes analytiques et graphiques pur traiter ce type d'équatin dite à 89
Mécanique du slide paramètre principal de la frme q f ( q. Les cnstantes sernt déterminées à l'état initial : r ψ cs θ + ϕ [ sin ] rcs k ψ + θ + θ ( 7cs ( sin 4 g sin a h θ + θ + ψ + θ + θ VI-3.4 Calcul d'effrts Lrsque les équatins du muvement snt cnnues, les thérèmes généraux dnnent des relatins entre les cmpsantes des actins mécaniques extérieures au système cnsidéré. Nus purrns ainsi calculer tus les effrts incnnus assciés aux liaisns en islant les différents éléments du système mécanique. e même que pur la recherche des équatins du muvement l'analyse cnsiste à chercher les équatins faisant apparaître le mins pssible d'incnnues secndaires. Le thérème de l'énergie peut être utilisé, pur truver rapidement la puissance mtrice s il n y a q'un seul actinneur. Exemple 6 Étude dynamique de l'équipement mbile d'un appareil enregistreur. Le bras (S prte en P un stylet qui reste en cntact avec la bande d'enregistrement (B. Les muvements du bras dans le plan hrizntal ( Ox,, y snt cmmandés par une tige (T guidé en translatin par rapprt au bîtier de l'appareil. y O (S θ x (T F Vue de dessus de l'appareil ans cette étude, n s'intéresse uniquement aux muvements et aux effrts dans le plan, le frttement du stylet sur la feuille de papier est négligé. Paramétrage: Caractériser la liaisn en O pur que ce mécanisme fnctinne. Quel est l'effrt nécessaire pur impser les muvements de la tige. G Le muvement du pint est impsé par la tige guidée en translatin suivant y pur que le mécanisme fnctinne il faut que la liaisn en O autrise mbilités, une rtatin θ et une translatin suivant n. Pur d'écrire les muvements de la tige nus cnserverns l'angle θ Bilan des effrts sur (Σ: P n (B 9
VI Principe Fndamental de la ynamique y O M O z R O (S n θ B (T F G R N P z P M B qcq x R B y Seules les cmpsantes dans le plan ( O, x, y nus intéressent, nus avns dnc 4 incnnues (Y O, X B, M B, F pur 3 équatins. Il n'existe pas d'équatin principale ne faisant apparaître que la cmpsante F, islns (S pur vir. Bilan des effrts sur (S: y O M O z R O (S θ n G R N P z P R qcq x On fait apparaître incnnues supplémentaires en. pur 3 équatins. Le bilan «incnnues équatins» est dnc équilibré. Mais il n'y a pas plus d'équatin principale, cnsidérns (T pur vir. Bilan des effrts sur (T: Recherche de slutin R qcq B (T F M B qcq x R B y Pur (Σ en prjectin sur y le Thérème des résultantes dnne : M G y RO y + Σ γ ( Σ.. F psns RO YO u YO est une incnnue secndaire pur ntre prblème M G y Y + Σ γ ( Σ. O csθ F Cherchns une secnde équatin ne faisant apparaître que YO et F Pur (S le Thérème des mments en dnne : δ (, Σ. z ( ROΛO. z psns O λn avec λ qui s'exprime en fnctin de θ : csθ d / λ δ (, Σ. z YOλ cs θ F δ (, Σ. z + M Σ γ ( GΣ. y d n n 9
Mécanique du slide Beaucup plus simple En fait il suffisait d'appliquer le thérème de l'énergie au système cmplet. Tutes les liaisns snt suppsées parfaites dnc la puissance des liaisns sera nulle. Il ne reste dnc que la puissance de l actinneur F au secnd membre. d ( Ec ( Σ / Rg Fy avec y d tanθ VI-4 eux applicatins industrielles VI-4. Équilibrage d'un rtr Un équilibrage défectueux engendre des sllicitatins dynamiques puvant être imprtantes au niveau des liaisns de l'arbre (paliers. Ces vibratins snt surce de bruits, de gêne à l'utilisatin, et peuvent aller jusqu'à la détériratin du matériel par fatigue. Citns par exemples les bnds désrdnnés d'une essreuse à salade, les sllicitatins sur le tambur d'une machine à laver le linge, les vibratins ressenties dans le vlant lrsque les rues snt mal équilibrées. z Pur éliminer ces sllicitatins il faut prcéder à l'équilibrage θ du système. Traitns le cas d'un slide (S à priri quelcnque turnant autur d'un axe fixe ( O, z (S y. O La liaisn avec le bâti est mdélisée par un pivt d'axe ( O, z y G x suppsé parfait. x Psns : Caractéristiques mécaniques du slide : F E OG d x + c z, I ( O, b, S F B E C X L b b Trseur des effrts de liaisn en O : {} R Y, { M } M Z Cuple mteur Γ Γ z qui permet d'impser la vitesse de rtatin du slide. R Mγ ( G ppliquns le PF : M δ( O, S vec : V G d y G d y d ( θ γ ( θ θ x θ θ + E E θ et { } { } b b σ θ δ θ ( O, S ( O, S Eθ Cθ Cθ Nus ne détaillns pas les calculs de dérivatin vectrielle. Nus btenns les effrts de liaisn et le cuple mteur : 9
VI Principe Fndamental de la ynamique X mdθ Y md θ Z θ + L E θ θ et M Eθ Γ C θ L'équilibrage cnsiste à rendre ces effrts indépendant des muvements enθ, il faut dnc satisfaire les cnditins suivantes : d "G dit appartenir à l'axe de rtatin du slide" E "l'axe de rtatin dit être principal d'inertie" Remarque : le calcul simplifié que nus venns de faire, ne traite que des muvements de rtatin par rapprt à un axe fixe. Pur un muvement quelcnque, il faut rendre l'pérateur d'inertie de révlutin par rapprt à l'axe de rtatin si l'n veut que la cmpsante de la vitesse de rtatin sur cet axe sit cnstante (Intégrale première d'euler. pplicatin : équilibrage dynamique d'une rue La méthde cnsiste à placer deux masselttes additinnelles sur la jante de la rue pur l'équilibrer. Nus repérns la psitin de ces deux masselttes m et m par deux angles α et α. b α R cs R cs R sin e b { OP} R sinα, { OP } α α Pur équilibrer la rue il faut que : md + mr csα + mr csα G appartienne à l'axe : mr sinα + mr sinα + + mersinα xe sit principal : E + + mer csα Ces quatre relatins nus permettent de déterminer ( m, α, m, α + E (3 et 4 m + ( E / e md (dans et er m α arctan( / E α arctan( er /( E mde Les grandeurs (E,,d,m caractérisent le déséquilibrage initial de la rue, en pratique l'appareil (équilibreuse mesure les vibratins (effrts transmises au niveau de la liaisn pivt, sn prgramme calcule alrs les valeurs (E,,d,m, et prpse deux cuples (masseltte, psitin : m, α, m, α permettant d'équilibrer la rue en les fixant cnvenablement sur la jante. VI-4. Gyrscpes L'élément essentiel d'un gyrscpe est un rtr turnant à grande vitesse. Les effets gyrscpiques snt suvent surprenant, et n est facilement décncerté par les évlutins d'un gyrscpe u par les effrts que l'n peut ressentir en le tenant dans la main. 93
Mécanique du slide Tut slide en rtatin se cmprtera cmme un gyrscpe si sa vitesse de rtatin est suffisamment imprtante, citns cmme exemple les turbines des centrales électriques, u celles des mteurs, les pales d'hélicptère u d'élienne, etc pur ces systèmes il y a un cuplage des paramètres de mbilité et les effrts dynamiques snt extrêmement imprtants, ce qui peut s'avérer néfaste pur la tenue des liaisns mécaniques (phénmène de fatigue. Mais les phénmènes gyrscpiques peuvent aussi être très utiles. Les principales applicatins utiles snt liées au fait que l'axe du gyrscpe cnserve une directin cnstante dans l'espace. Le gyrscpe peut être utilisé pur stabiliser un avin; en détectant les écarts entre la directin du gyrscpe et la rute de l'avin, il est alrs pssible d'agir autmatiquement sur les cmmandes de vl; c'est le principe du pilte autmatique. Une autre utilisatin pssible est l'hrizn artificiel qui indique au pilte l'angle de vl de l'appareil par rapprt au sl. Le gyrscpe est à la base des systèmes de navigatin à inertie qui, sur les avins rapides et les véhicules spatiaux, permettent de crriger les effets secndaires des accélératins, qui nt une grande imprtance lrsque les vitesses snt élevées. Enfin vus avez tus utilisés les phénmènes gyrscpiques dans les jeux d enfants cerceau, bilbquet, tupie, etc Étudins le cmprtement d'un gyrmètre à un axe l'intérieur d'un avin est placé un gyrmètre représenté sur la figure ci-dessus. Il est cnstitué d'un cadre (C et d'un gyrscpe (T dnt la vitesse de rtatin prpre est impsée. L'axe de rtatin du cadre ( O, x est lié à l'avin et K rienté vers l'avant. O x (T l'équilibre, le plan hrizntal est défini par ( O, x, z. Un ressrt spiral s'ppse à la z (C rtatin du cadre. Nus allns chercher l'équatin du muvement du cadre lrsque l'avin se déplace en vl (le repère lié à l'avin n'est plus galiléen. Paramétrage M vts de l'avin / (sl : suppsés cnnus (p, q, r 3 cmpsantes de Ω a dnnées M vts du cadre / avin : liaisn pivt paramètre θ M vts du gyr / cadre : La vitesse de rtatin prpre du gyrscpe (T dnnée Ω. Effrts sur ( Σ (T+C Effrts de liaisn en O : pivt parfait d'axe ( O, x R 3 M ( O. x Effrts dnnés : Pids du système suppsé équilibré Mg y en G Cuple de rappel du ressrt Γ k Kθ x M O. R ( x incnnues incnnues O G (C (T Mg y Kθ x x 94
VI Principe Fndamental de la ynamique 95 Bilan : 6 incnnues ( paramètres + 5 effrts pur 6 équatins. L'équatin de mment par rapprt à l'axe ( x G, est l'équatin principale θ δ K x G Σ., ( Calculs Utilisns les ntatins ci-dessus :,, ( z y x b la base liée au cadre { } Ω r q p b a Cmpsantes sur la base b du vecteur vitesse de rtatin instantanée de l'avin par rapprt à un repère galiléen lié à la surface de la terre. C Matrice d'inertie en G du gyrscpe sur la base b c'est un slide de révlutin + C C Matrice d'inertie en G du cadre sur la base b c'est un slide plan, (, (G d (G Σ Σ σ δ car G centre de masse de Σ, (, (, ( T G G C G σ σ σ + Σ avec + + Ω C r q C p C G J C G b c ( (, (, ( θ σ car G cdm de C et + Ω + Ω ( (, (, ( r C q p G T J G T b t θ σ car G cdm de T Ω + + Ω + + + + + + Σ C r C q B p C r C C q C p G b b * * *( ( ( ( (, ( θ θ σ érivatin vectrielle (G (G d (G b b Σ Λ + Ω Σ Σ,, (, σ σ δ ù Ω + + Λ + + + Σ C r C q B p r q p r C q B p (G b * * *( * * *(, θ θ θ δ On ne cherche que la première cmpsante : q C rq B C p x G Ω + + + Σ * * ( *(., ( θ δ pplicatin : En pratique un système disipatif amrti les muvements du cadre qui tends rapidement vers sa psitin d'équilibre, nus cherchns l'inclinaisn du gyrmètre dans cette psitin stabilisée (psitin d'équilibre en θ, lrsque l'avin se déplace en vl hrizntal à une vitesse
Mécanique du slide de 3 Km/h et effectue un virage à drite de rayn R 5 Km. L'inclinaisn de l'avin vers l'intérieur du virage est de 3 θ nnées du vl y α y ωt z ' z éfinitin des bases b ( x, y, z ωt / y α / x b' ( x, y, z' x x α θ / x b ( x, y, z z b ( x, y z, x liée à l'avin liée à C Les dnnées du vl de l'avin par rapprt à un repère galiléen lié à la surface de la terre permet de déterminer le vecteur vitesse de rtatin instantané de l'avin les bases snt définies par la figure ci-cntre. Inclinaisn de α 3 vers l'intérieur p α p Vl hrizntal et virage à drite Ω a ω y avec L'équatin dnnant la psitin d'équilibre dans le cadre des dnnées de ce vl est : θ ( C * B* rq + CΩq K e V ω R Relatin qui se simplifie car la vitesse de rtatin prpre du gyrscpe Ω 8 tr/min. est très grande devant celle de l'avin Ω >> p, q, r V Kθ e CΩ ( ω y. y Kθe CΩ cs(3 + θe R pplicatin numérique : Le gyrscpe est de masse m 65 g, sn rayn de giratin r 5 mm et sa vitesse de rtatin prpre est Ω 8 tr/min. Le ressrt spiral qui s'ppse à la rtatin du cadre, a pur de cnstante de trsin K, Nm. mr Ω V 3 En suppsant l'angle θ petit par rapprt à 3 θ e ( θe θe, 4 K R nalyse : ans la cnfiguratin de vl prpsée la rtatin du cadre du gyrmètre indique dnc l'inclinaisn de l'avin (angle de rulisα qui en fait est fnctin de la vitesse de rtatin de l'avin dans le plan hrizntal (angle de lacet. VI-5 Quelques exercices de curs x Exercice VI. z Sit l'équerre CB dnt l'extrémité reste cnstamment sur l'axe ( Oz, t 3 et l'extrémité B reste cnstamment dans le plan ( O, x, a y O B a C y Effectuer l analyse mécanique de ce prblème. Rechercher les équatins du muvement sus frme vectrielle. 96
VI Principe Fndamental de la ynamique Exercice VI. x a (T O z B (C r a y Exercice IV.3 x x z C O a (S a a y B Exercice VI.4 g O z k I C ( (T y Exercice VI 5 (a,m x a C (S x (a,3m (a,3m z O g Exercice VI 6 O z z g (T B (T n y C y (S Sit le système matériel représenté sur la figure ci-cntre, il est cnstitué d'un cerceau (C de rayn r turnant autur de l'axe ( Oz, (liaisn pivt, et d'une tige (T de lngueur a, dnt les extrémités et B restent en cntact avec le cerceau. Effectuer l analyse mécanique de ce prblème. Rechercher les équatins du muvement sus frme vectrielle. Sit la plaque carrée de cté a, à laquelle est sudée une tige de lngueur a. L'extrémité C de la tige reste en cntact avec l'axe ( Oz,. Le cté B de la plaque reste en cntact avec le plan O, x, y ( Effectuer l analyse mécanique de ce prblème. Rechercher les équatins du muvement sus frme vectrielle. Sit le système mécanique, cnstitué d'un disque ( de rayn R de masse M et d'une tige (T de masse négligeable, représenté sur la figure ci-cntre. L'extrémité de la tige reste en cntact avec l'axe ( Oz,, la liaisn en C est un pivt glissant et la circnférence du disque reste en cntact avec le plan O, x, y. ( Effectuer l analyse mécanique de ce prblème. Rechercher les équatins du muvement sus frme vectrielle. Le slide (S représenté sur la figure ci-cntre, il est cnstitué d'une tige de lngueur a, de masse 3m à laquelle est sudé perpendiculairement une rue cnstituée de tris rayns identiques, chacun de masse m et de lngueur a. La masse ttale de la rue étant de 6m. La liaisn en O est une rtule. Effectuer l analyse mécanique de ce prblème. Rechercher les équatins du muvement sus frme vectrielle. Sit le système matériel cnstitué des tris slides représentés sur la figure ci-cntre. Les deux bras (T et (T snt assimilés à des tiges de lngueur a, de masse 3m. Le slide (S est assimilé à une sphère de rayn a, de masse 5m. Les liaisns snt, en un pivt glissant d'axe ( z, pivt d'axe ( B, n et en C un pivt d'axe ( Cz, Effectuer l analyse mécanique de ce prblème. Rechercher les équatins du muvement sus frme vectrielle., en B un Exercice VI-7 Un système articulé est cnstitué de quatre tiges identiques de lngueur a, O ψ x α y de masse 3m. Un des smmets est cnstamment cnfndu avec le pint O. Les muvements du système se fnt dans le plan hrizntal (O,x,y. Effectuer l analyse mécanique de ce prblème. Rechercher les équatins du muvement sus frme vectrielle. 97
Mécanique du slide Ntes persnnelles 98
VII Principe des Travaux Virtuels VII Principe des Travaux Virtuels Le principe fndamental présenté dans le chapitre précédent furnit des relatins vectrielles entre le trseur des effrts extérieurs appliqués au système et sa quantité d accélératin par rapprt à un repère suppsé galiléen. La principale difficulté d applicatin du PF est de déterminer les systèmes et les directins privilégiées qui cnduisent aux équatins principales du prblème. Pur un système matériel cmplexe il est difficile d btenir les équatins du muvement car il faut faire apparaître un nmbre imprtant d incnnues secndaires crrespndants aux effrts de liaisn. La mécanique analytique, que nus allns abrder dans ce chapitre permet d btenir de façn systématique les équatins principales du prblème. Basée sur des principes variatinnels elle utilise les grandeurs scalaires que snt l énergie cinétique, l énergie ptentielle, et le travail de tus les effrts (intérieurs et extérieurs appliqués au système. ans la littérature vus truverez deux présentatins de la mécanique analytique Principe de d lembert- Lagrange : c est un principe différentiel, l état du système à un instant dnné est pris cmme référence et n cnsidère l influence des variatins des paramètres de cnfiguratin qi. Principe d Hamiltn : il repse sur une fnctinnelle, en mécanique l énergie du système. C'est un principe intégral. ans ce curs nus n étudins que le Principe des travaux virtuels u Principe de d lembert. Il faut savir qu il y a équivalence frmelle entre les tris principes (Newtn, d lembert, et Hamiltn, ils cnduisent aux mêmes équatins, ce n est que le pint de vue (pint de départ de la frmulatin qui diffère. Bien entendu nus restns dans le cadre de la mécanique classique admettant : que les prpriétés du référentiel espace-temps snt identiques pur tut bservateur, qu'à tut crps matériel n peut asscier une masse (nmbre psitif, et que les actins mécaniques peuvent être mdélisées par un champ de vecteurs liés. vant d abrder l étude en prfndeur de ce chapitre, il peut être utile de revir les ntins d énergie, de puissance, de travail virtuel présentées dans le chapitre III de ce curs Quelques rappels : L espace de cnfiguratin du système discret est l ensemble des n valeurs des paramètres q i à un instant τ P Σ OP f( q, t paramétrage i OP Le déplacement virtuel d un pint P est défini par δ P δqi i qi Un champ de déplacement virtuel δ P est dit cmpatible u cinématiquement admissible si il satisfait tutes les liaisns cinématiques telles quelles existent à l instant τ. Le travail virtuel d un champ de frce f (P défini sur un dmaine est défini par : 99
Mécanique du slide OP δw f. δp dv φ δq φ f. dv q ( P i i avec i ( P i i VII- Énncé du PTV Pur bien ancrer l équivalence qui existe entre les principes, nus retenns une énncée similaire à celle du principe fndamental. Énncé : Quelque sit le système matériel cnsidéré, il existe des référentiels privilégiés dits référentiels galiléens, tels que à tut instant et pur tut déplacement virtuel, le travail virtuel des effrts intérieurs et extérieurs appliqués à ce système est égal au travail virtuel des quantités d accélératin du système. à tut instant δ q δw δ ( Σ ( Σ/ Rg VII-. Équivalence PTV - PF Cette équivalence est basée sur le thérème mathématique suivant : P P. PB. B Partns du PF appliqué à un élément de matière μ dm centré en P subissant des actins mécaniques de résultante df ( P. Le PF ( P ( P. ( P df dm γ δp δp df δp. γ ( P dm( P g Intégrns cette dernière relatin sur le dmaine ccupé par la matière Nus btenns : δw( Σ f ( P. δp dv δp δw( Σ δ( Σ/ Rg avec δ( Σ / Rg γ ( P. δpdm C est le Thérème de d lembert u Principe des Travaux Virtuels Rappelns que ce principe psé cmme pint de départ peut être appliqué à des slides, des liquides u des gaz, il reste à savir calculer les différents termes. VII-. Cnséquence : le Thérème de l énergie ppliquns le PTV en prenant cmme champ de déplacement virtuel particulier, le champ des vitesses réelles des pints du système mécanique cnsidéré. Pur δ P V g ( P le PTV f ( P. V ( P dv γ ( P. V ( P dm g Sit Pf γ ( P. V ( int ext g P dm + dg Pf ( V (. ( int ext g P Vg P dm + g g
VII Principe des Travaux Virtuels Le système étant à masse cnservative nus puvns permuter l intégratin et la dérivatin. d P V dm E int ext d ( ( P ( ( / f + g c Σ Rg Nus retruvns l expressin du Thérème de l énergie que nus avins démntré à partir du principe fndamental de la dynamique dans le chapitre précédent. Nus le vyns ici cmme un cas particulier du principe des travaux virtuels. VII- Équatins de Lagrange : Les équatins de Lagrange snt la traductin du Principe des Travaux Virtuels dans le cas d un système mécanique discret. Rappel : Un système mécanique est dit discret (u discrétisé lrsque les muvements du système snt représentés par un nmbre fini de paramètres (c est le cas de la mécanique des slides indéfrmables. L hypthèse de slide indéfrmable revient à négliger les défrmatins du slide, ce qui du pint de vue énergétique revient à cnsidérer que le travail virtuel des effrts intérieurs pur tut champ de déplacements virtuels rigidifiant* est nul. *Un champ de déplacements virtuels rigidifiant sur (S est un trseur c est à dire : ( B, ( S δ δb+ δθλb En mécanique, nus utiliserns des champs rigidifiant par sus dmaines, chaque sus dmaine étant un slide du système mécanique Équatins de Lagrange : Pur tut système matériel discret dnt les muvements par rapprt à un référentiel galiléen snt définis par ''n'' paramètres qi, le PTV est équivalent à écrire : d Ec E c OP i (, n φi avec φi f ( P. dv q i q i q i Nus rappelns que : δw f ( P. δ P dv φi δ qi émnstratin : La démnstratin est basée sur l identité de Lagrange, qui cnsiste à exprimer le travail virtuel des quantités d accélératin en fnctin de l énergie cinétique du système. P δ( Σ / Rg γg ( P. δp dm γg ( P. δq dm i i qi P sit δ( Σ / Rg i δq avec (. i i γg P dm i q i P dg P i γ g( P. dm ( Vg( P. dm q q i i i
Mécanique du slide Or ù Le système étant à masse cnservative nus puvns permuter l intégratin et la dérivatin. dg P dg P i Vg( P. dm Vg( P. dm q i q i P P P ( Vg ( P Vg( P q i + i qi t qi q i dg P dgp qi q i Ce n est pas aussi évident que cela alrs prenez le temps de cmprendre les dérivatins partielles. d ( Vg( P ( Vg( P i Vg( P. dm Vg( P. dm q q i d i ( Vg( P dm ( Vg( P dm q i q i d Ec( Σ/ Rg Ec( Σ/ Rg sit i q i qi En écrivant δ ( Σ / Rg δw nus btenns les équatins de Lagrange. Nus allns maintenant étudier le secnd terme qui crrespnd au travail virtuel des effrts intérieurs et extérieurs appliqués au système. VII-. Frme pratique des équatins de Lagrange e façn à faire apparaître explicitement les incnnues dans les équatins, nus regrupns classiquement les effrts, en effrts dnnés, et en effrts incnnus (liaisns. e plus pur simplifier les calculs, nus utiliserns l énergie ptentielle assciée au travail virtuel des effrts dnnés dnt n cnnaît l expressin (pids et ressrt. Ep δwd fd ( P. δp dv i δqi i On pse : δw δwd + δwi avec i q δwi fi( P. δp dv Li δqi i ù la frme dévelppée des équatins de Lagrange : d Ec Ec Ep i + i + Li q i qi qi C est cette frme qu il faut cnnaître, en se rappelant de l rigine de chaque terme. Rappels sur les énergies ptentielles Champ de pesanteur : E ( Mg OG. z + Cte pmg i
VII Principe des Travaux Virtuels ressrt (tractin k -trsin C : E ( Travail virtuel des effrts appliqués à un slide rigide (S δw f (. δp dv f (. δ+ δθ ΛP dv S S p( k k λ λ Ep( C C( α α ( P P s S δw δ. f dv + δθ. PΛ f dv δr. + δθ. M S ( P s ( P f s f ( S Le calcul pratique du travail virtuel se fait dnc à partir des éléments de réductin des trseurs des effrts appliqués au slide. Travail virtuel des effrts de liaisn Le travail virtuel des effrts de liaisn entre deux slides S et S est défini par :. δws S FS S δ/+ MS S (. δθ/ Le travail virtuel d une liaisn est indépendant du repère d bservatin Si le champ des déplacements virtuels respecte une liaisn gémétrique parfaite, alrs le travail virtuel des effrts de liaisn est nul liaisn parfaite δwliaisn si dép. virtuels cmpatibles Cette prpriété est utilisée cmme définitin mathématique d une liaisn parfaite. Elle d écule directement des prpriétés physiques des liaisns parfaites, puisque à chaque mbilité de la liaisn crrespnd une cmpsante nulle du trseur des effrts de liaisn. Cnséquence Crllaire Si le champ des déplacements virtuels respecte tutes les liaisns du système mécanique, et que ces liaisns snt suppsées parfaites. d Ec Ec Ep lrs i + i q i qi qi Les ''n'' équatins de Lagrange (crrespndant aux ''n'' paramètres du prblème réel snt les ''n'' équatins du muvement. Vus réalisez sûrement tut l intérêt de cette cnséquence du pint de vue pratique, la méthde de Lagrange peut cnduire directement aux équatins du muvement. Pur tute liaisn nn parfaite, u nn respectée par le paramétrage, les équatins de Lagrange fnt apparaître sus frme d incnnues supplémentaires (termes en L i les effrts de liaisn assciés. Pur puvir résudre, il faut asscier à ces incnnues supplémentaires, sit les équatins des liaisns nn respectées, sit des lis permettant de mdéliser le cmprtement nn parfait de la liaisn (exemple : les lis de frttement. 3
Mécanique du slide Nus avns tus les éléments mathématiques permettant d'appliquer le Principe des Travaux Virtuel. Vyns maintenant la méthdlgie à appliquer pur abrder un prblème de mécanique industrielle. VII-3 nalyse d un prblème par Lagrange vant tut, il faut que les bjectifs de l étude et la nature du prblème sit bien définis et bien cmpris lrs de l analyse du prblème. Le chix de paramétrage qui décule de l'analyse définit alrs un prblème virtuel qui permet d btenir de façn systématique les équatins principales du prblème par la méthde de Lagrange. Cas u les liaisns snt tutes suppsées parfaites : a- pur btenir les n équatins du muvement n utilise un paramétrage qui respecte tutes les liaisns. «le prblème virtuel traité est équivalent au prblème réel» b- pur btenir les n équatins du muvement et p cmpsantes d effrts de liaisn n utilise un paramétrage qui ne respecte pas les liaisns dans la directins des p cmpsantes cherchées (frces u mments. «n traite un prblème virtuel différent du prblème réel» aux n+p paramètres du prblème virtuel, viennent s ajuter p incnnues effrts de liaisn. Pur n+p équatins de Lagrange et p équatins de liaisn qu il faudra respecter pur traiter le prblème réel. Si certaines liaisns ne snt pas parfaites : Les n équatins du muvement fernt apparaître des effrts de liaisn incnnus qui sernt assciés à des mdèles dnnant un nmbre identique de relatins. Cependant pur résudre de tels prblèmes dans une apprche de type Lagrange il est généralement nécessaire de faire apparaître dans les équatins de Lagrange les cmpsantes d effrt utiles à l écriture de ces relatins. Nus smmes dnc ramené au cas b précédent. «pplicatin : prblèmes de frttement» Si certaines liaisns cnduisent à un paramétrage trp cmplexe. Pur l étude de mécanismes pssédant une u plusieurs bucles fermées (chaînes cinématiques cmplexes la prise en cmpte des liaisns cinématiques de fermeture peut rendre inextricable les calculs de cinématique et de cinétique. Il est alrs intéressant de ne pas tenir cmpte de ces équatins lrs du paramétrage. «n traite un prblème virtuel différent du prblème réel» La méthde des multiplicateurs de Lagrange permet d exprimer directement le travail virtuel de ces liaisns à partir des équatins de fermeture sans faire apparaître de bilan d effrts. Les équatins de Lagrange et les équatins de liaisn furnissent un système dnt n peut éliminer les incnnues «multiplicateurs» pur btenir les équatins du muvement. 4
VII Principe des Travaux Virtuels VII-3. Méthdlgie. nalyse : chix du paramétrage en fnctin des bjectifs du prblème. Prblème réel n équatins du muvement (tutes les liaisns snt respectées Prblème virtuel n+p équatins de Lagrange pur n+p incnnues p incnnues snt des multiplicateurs u effrts de liaisn. Calcul des Énergies (E c et E p et du travail virtuel des autres effrts Prise en cmpte des actinneurs Prise en cmpte des p incnnues assciées aux liaisns nn respectées Prise en cmpte des liaisns nn parfaites 3. Écriture des équatins de Lagrange 4. Mise en frme et réslutin Écriture des p équatins de liaisns cinématiques Écriture des lis mdélisant les liaisns nn parfaites (frttement Mise en frme et réslutin VII-4 pplicatin Reprenns le texte de l exemple 3 prpsé dans le chapitre précédent Texte du PB Le système mécanique (Σ que l'n veut étudier est cnstitué de slides - une tige (T de lngueur a, de masse 3m et de centre de masse G T, - un disque ( de rayn a, de masse 4m et de centre de masse C. z ψ (T g d 3 G T ϕ O I (P représentatin du système dans le plan n, le repère (, n, u, z est lié à (T La tige (T hrizntale est liée à l'axe vertical par une liaisn pivt glissant suppsée parfaite. La liaisn entre (T et ( permet d'assurer : - d'une part, l'inclinaisn de ( par rapprt à la verticale (rtatin θ autur de ( C, n ; - d'autre part, la rtatin prpre ϕ du disque autur de sn axe de révlutin ( C, d3. Le disque reste en cntact en I avec un plateau hrizntal situé dans le plan ( O, x, y, le cntact à lieu sans frttement. Le repère d'bservatin R ( O, x, y, z est suppsé galiléen, et le système est sumis à l'actin du champ de pesanteur défini par g g. z θ C ( u VII-4. Recherche des équatins du muvement nalyse : Pur btenir les équatins du muvement nus devns utiliser un champ de déplacements virtuels qui respecte tutes les liaisns du système, sit : en : pivt glissant: mbilités : ( z ψ,, 5
Mécanique du slide en C : rtule à digt: mbilités : ( θ, ϕ, en I : cntact pnctuel (fermeture de bucle cinématique : équatin de fermeture. Bilan : 4-3 paramètres nus cnserverns les angles d Euler ( ψ, θ, ϕ illustratin Le champ des déplacements virtuels basé sur ce paramétrage est un champ rigidifiant par mrceau qui respecte tutes les liaisns. «le prblème virtuel traité est équivalent au prblème réel» Le déplacement virtuel du pint O asin θ z δ a cs θ δθ z Le déplacement virtuel du pint C δc δ+ δθt ΛC acs θδθz + δψzλ a u acs θδθ z aδψ n remarque : ce calcul est identique à celui d une vitesse, et c est lgique (vir la définitin des déplacements virtuels La rtatin virtuelle du disque δθ δθd δψ z + δθ n+ δϕ z δψ sinθ δψ csθ + δϕ v remarque : résultat identique à la vitesse de rtatin instantanée du disque. ttentin en I il faut cnsidérer différents déplacements virtuels, celui du pint I lié au disque, celui du pint I gémétrique u celui du pint I lié au plateau. vus de les calculer. Énergies et travail virtuel des effrts Pur le système cnsidéré, nus avns déjà calculé les énergies cinétique et ptentielle, n btient : Ec ( Σ / R ma ( θ (+ 7cs θ + ψ (+ sin θ + ( ψcs θ + ϕ Ep ( pids 7mgasinθ + Cte «vus de retruver ces résultats» Il n y a pas d effrt dnné autre que le pids i i Travail virtuel des liaisns, Tutes les liaisns snt suppsées parfaites, elles snt respectées par le paramétrage i L i illustratin Calculns le travail virtuel de la liaisn en : Par définitin le travail virtuel de la liaisn en est : δw R. δ+ M(. δθt Liaisn Or les déplacements virtuels respectent la liaisn : 6
VII Principe des Travaux Virtuels δ acs θ δθ z δθ δψ z et T Équatins de Lagrange e plus le trseur des effrts de liaisn en (pivt glissant suppsé parfait : R. z M. z δw acs θ δθ R. z + δψ M(. z Liaisn Calculns le travail virtuel de la liaisn en C : Par définitin le travail virtuel de la liaisn en C est : δw R. δc + M. δθ / ( LiaisnC T T T C / T Or les déplacements virtuels respectent la liaisn : δc δct δc/ T δθ δψ z + δθ n+ δϕ z δθ/ T δθ n+ δϕ z δθ δψ z T e plus le trseur des effrts de liaisn en C (rtule à digt parfaite : RC qcq MC MC v δ W LiaisnC e même calculez le travail virtuel de la liaisn en I et vérifier qu il est nul, dans les deux cas suivants : Liaisn parfaite sans frttement. Rulement sans glissement du disque sur le plateau. Nus avns tris équatins de Lagrange à écrire en ( ψ, θ, ϕ. vant de vus lancer tête baissée dans les calculs cmmencez par regarder l expressin des énergies et écrivez les équatins de la plus simple à la plus cmpliquée. Ici ( ϕ, ψθ, Ec ϕ d Ec Ec cte Ep ϕ ϕ ϕ Ec r r r r cte ma ϕ ϕ Ec ψ d Ec Ec cte Ep ψ ψ ψ c est une intégrale première du muvement C est l intégrale première d Euler C est une intégrale première du muvement 7
Mécanique du slide ma Ec r ψ( + sin θ + r ψ( + sin θ + r csθ cte ψ ψ ( θ( 7 cs θ C est l intégrale première des aires Ec ma + θ Ep ma ( 7 θ csθsinθ + ψ sinθcsθ rψsinθ θ g θ( + 7cs θ 7 θ csθsinθ ψ sinθcsθ + rψ sinθ + 7 csθ a Nus btenns directement les tris équatins du muvement du système. illustratin Vérifins que les équatins déduites du PF snt bien équivalentes à celle que nus venns d btenir : Pur l équatin en ϕ et l équatin ψ l équivalence est immédiate ce snt les mêmes. Pur l équatin en θ le plus simple est de partir de l équatin principale en θ btenue à partir des intégrales première du muvement et de la dériver. [ ] g k r csθ θ (+ 7 cs θ h 4 sinθ a + sin θ après dérivatin : 3 θθ ( + 7 cs θ 4 θ csθ sinθ g 4rsinθθ [ k rcsθ ] [ k rcsθ ] 4 csθθ + csθsinθθ a + sin θ [ + sin θ] simplifins par θ k r csθ et faisns apparaître ψ + sin θ g θ ( + 7 cs θ 7 θ csθ sinθ + 7 csθ a r sinθψ + ψ csθ sinθ nus retruvns ntre équatin en θ : g θ( + 7cs θ 7 θ csθsinθ ψ sinθcsθ + rψ sinθ + 7 csθ a VII-4. Calcul d un cuple mteur Un mteur mnté sur le bâti impse à la tige (T une vitesse de rtatin cnstante nalyse : Les bjectifs d un tel prblème snt de déterminer les équatins du muvement en ( θ, ϕ, et de calculer la valeur du cuple mteur Γ permettant d assurer la liaisn ψ ω cte. 8
VII Principe des Travaux Virtuels Pur btenir le cuple mteur nus devns utiliser un paramétrage qui ne respecte pas la liaisn ψ ω. Nus traitns dnc un prblème virtuel à 3 paramètres ( ψ, θ, ϕ. Énergies et travail virtuel des effrts Les énergies snt inchangées : Ec ( Σ / R ma θ (+ 7cs θ + ψ (+ sin θ + ( ψcs θ + ϕ Ep ( pids 7mgasinθ + Cte ( Il n y a pas d effrt dnné autre que le pids i i Le travail virtuel de la seule liaisn nn respectée est δwγ Γ δψ L ψ Γ Équatins de Lagrange Les équatins en ( θ, ϕ snt inchangées : r r g θ( + 7 cs θ 7 θ csθ sinθ ψ sinθ csθ + rψ sinθ + 7 csθ a L équatin en (ψ devient : d ma ( ( sin r cs ψ + θ + θ Γ Nus btenns tris équatins pur 4 incnnues ( ψ, θϕ, et Γ. C est nrmal nus smmes encre dans le prblème virtuel, il faut tenir cmpte de l équatin de liaisn qui n a pas été respectée jusqu ici : ψ ω. ù : Les équatins du muvement : r r g θ( + 7cs θ 7 θ csθsinθ ω sinθcsθ + rωsinθ + 7 csθ a et le cuple mteur : Γ ma θ sin θ( ω cs θ r VII-4.3 Calcul d un effrt de liaisn Nus vulns maintenant déterminer la cmpsante N de l effrt de liaisn en I. nalyse : Pur btenir l effrt de cntact en I nus devns libérer le déplacement vertical pur permettre le décllement du disque. Nus traitns dnc un prblème virtuel à 4 paramètres ( ψ, θϕ,,z. O z z la liaisn z asinθ n est pas respectée. Énergies 9
Mécanique du slide Travail virtuel des effrts ( θ ψ θ ψ θ ϕ Ec ( Σ / R 7 mgz + ma + (+ sin + ( cs + Ep ( pids 7mgz+ Cte Il n y a pas d effrt dnné autre que le pids i i La seule liaisn nn respectée est le cntact en I, le trseur des effrts de liaisn en I est : RI Nz δθ a( δψ cs θ + δϕ M I δψ sinθ Λ a δψ csθ δϕ aδθ v + δwliaisni RI. δi N δi. z avec δi δc + δθλci d ù δw N( δz acs θ δθ LiaisnI Équatins de Lagrange Les équatins en ( ψ, ϕ snt inchangées : Les équatins en ( z, θ snt : Remarque : si la liaisn est respectée δ z acs θδθ δw I Nus btenns 4 équatins pur 5 incnnues ( ψ, θϕ,, z et N. Pur résudre il faut tenir cmpte de l équatin de liaisn L effrt de cntact : N 7mg+ 7ma( csθθ sinθθ r r ψ ( + sin θ + r csθ cte 7mz + 7mg N ma ( θ ψ sinθcsθ + rψsinθ Na csθ z asinθ, ce qui nus dnne : Et l équatin du muvement en θ g θ( + 7 cs θ 7 θ csθ sinθ ω sinθ csθ + rω sinθ + 7 csθ a illustratin Utilisns un multiplicateur de Lagrange pur calculer le travail virtuel de la liaisn nn respectée. Sit l équatin de liaisn L : z asinθ Nus lui asscins un multiplicateur de Lagrange λ I Par définitin le travail virtuel de la liaisn est : δw Sit : δw λ ( δz acs θ δθ LI I I λδl LI I I Nus puvns identifier le multiplicateur de Lagrange à l effrt nrmal, l intérêt de cette méthde dite méthde des multiplicateurs est qu elle ne nécessite pas d analyse physique du système mécanique, c est une méthde purement mathématique basée sur un calcul de variatin pur les équatins de liaisn.
VII Principe des Travaux Virtuels ans le cadre de ce curs nus privilégierns l analyse physique des liaisns, il est préférable que l ingénieur sache ce qu il calcule. Cependant cnnaître l analyse mathématique n est pas inutile car elle permet suvent de truver les résultats à mindre cût. VII-5 Exercices de curs Exercice VII z (P x O C z g (C a y Le système mécanique ci-cntre est cnstitué d'un cerceau (C de rayn a, de masse M et d'un pint matériel (P de masse m. La rtatin du cerceau (C par rapprt au repère supsé galiléen R est assurée par un pivt parfait d'axe ( O, z. Le pint matériel se déplace sans frttement sur (C. Le champ de pesanteur est défini par g g z - éplacements virtuels cmpatibles :ψ etθ Exprimer l'énergie cinétique et l'énergie ptentielle assciée à ce paramétrage. Justifier l'expressin du travail virtuel des effrts de liaisn. En déduire l'expressin des deux équatins de Lagrange. qui crrespndent ces équatins du pint de vue PF? B- éplacements virtuels nn cmpatibles: Pur calculer l'effrt de liaisn asscié à la liaisn CP a, nus utilisns un champ de déplacements virtuels défini par tris paramètres ψ θ et ρ Représenter sur une figure ce "prblème virtuel". CP ρ z Exprimer l'énergie cinétique et l'énergie ptentielle assciées à ce nuveau paramétrage. Calculer, en le justifiant, le travail virtuel des effrts de liaisn. Écrire les équatins de Lagrange. Qu'en pensez vus? (bilan incnnues - équatins. Retruver les équatins du muvement en tenant cmpte de l'équatin de liaisn. Retruver l'expressin du travail virtuel des effrts de liaisn par la méthde des multiplicateurs. C- pplicatin: Maintenant un mteur impse la vitesse de rtatin du cerceau. En utilisant les calculs précédents dnner l'expressin du cuple mteur lrsque la vitesse de rtatin ω est cnstante.
Mécanique du slide O Exercice VII z g y B (S (S θ C y Un rbt de manutentin TR (Translatin - Rtatin est cnstitué de deux bras (S et (S, de masse respective m i et de lngueur i. L'extrémité du bras vertical se déplace suivant l'axe ( O, y du repère R supsé galiléen. On admet que la liaisn entre le bâti et le bras est une glissière parfaite. La rtatin dans le plan du bras est assurée par un pivt parfait en B. La pince (P est assimilée à un slide pnctuel de masse M en C. Le champ de pesanteur est défini par g g z, n ntera y et θ les deux paramètres du muvement de ce rbt. - Prise en cmpte des actinneurs Pur assurer la translatin et la rtatin deux actinneurs exercent respectivement : Un effrt du bâti sur le bras : F F y Un cuple du bras sur le bras : Γ Γ x On veut établir les équatins dnnant les relatins entre F, Γ et les paramètres du muvement (et leurs dérivées. - Justifier vtre chix de paramétrage. - Calculer l'énergie cinétique et l'énergie ptentielle et le travail virtuel. - Écrire les équatins de Lagrange. quelles équatins du PF crrespndent elles? B- Calcul de l'effrt nrmal sur la glissière - Quel paramétrage utiliser si l'n veut calculer l'effrt sur la glissière, dans le plan ( O, y, z - Écrire les équatins de Lagrange crrespndant à ce paramétrage. - Retruver les résultats précédents et la valeur de l'effrt nrmal. C- Prise en cmpte d'un frttement dans la glissière On nte f le cefficient de frttement, et n ne cnsidère que les muvements dans la directin y psitifs Les lis de frttement dnnent T f N y - Cmment snt mdifiées les équatins précédentes? - En déduire la nuvelle valeur de F.
VII Principe des Travaux Virtuels Exercice VII 3 (T x g O ψ z n C ( I θ y Une tige (T de masse m de lngueur et un disque ( de masse M de rayn R snt assujettis à se déplacer dans un même plan perpendiculaire à ( O, n. La tige est centrée en O, la liaisn entre le bâti R et la tige est assimilée à une rtule parfaite. La circnférence du disque reste en cntact en I avec la tige. On ntera ρ et ϕ les deux paramètres du muvement du disque. Le champ de pesanteur est défini par g g z. - Plan immbileψ Cte, cntact en I sans frttement On veut établir les équatins du muvement lrsque le plan de l'étude ne turne pas autur de l axe ( O, z. Le cntact en I est suppsé sans frttement Justifier vtre paramétrage. Exprimer les énergies cinétique et ptentielle. Justifier l'expressin des secnds membres, et écrire les équatins de Lagrange. B- Plan immbileψ Cte, cntact en I sans glissement Pur faire apparaître l'effrt de résistance au glissement T dans les équatins nus allns cnserver le paramétrage précédent. Écrire l'équatin de rulement sans glissement en I Exprimer le travail virtuel des effrts de liaisn et justifier l'expressin des secnds membres Écrire les équatins de Lagrange. Par éliminatin de T et ϕ déduire de ces équatins les équatins du muvement. C- La rtatin θ est blquée, le plan turne à vitesse cnstante ω Le cntact en I est de nuveau suppsé sans frttement, et l'n veut calculer la valeur du cuple mteur permettant d'impser la vitesse de rtatin du plan, sachant que la rtatin de la tige dans ce plan est blquée. Justifier vtre paramétrage. Exprimer les énergies cinétique et ptentielle. Justifier l'expressin des secnds membres, et écrire les équatins de Lagrange. En déduire la valeur du cuple mteur. Cmment snt mdifiées les équatins précédentes, si l'n suppse maintenant qu'il y a rulement sans glissement. 3
Mécanique du slide Ntes persnnelles 4
VIII Lis de frttement VIII Lis de frttement L bjectif de ce chapitre est d intrduire les lis de frttement dans la réslutin d un prblème de mécanique. Le frttement permet de représenter le cmprtement nn parfait d une liaisn mécanique, r les principes de la mécanique ne permettant pas de résudre ces prblèmes il faut intrduire un mdèle pur prendre en cmpte ce phénmène physique. L étude du frttement de deux surfaces en cntact a fait l bjet de nmbreuses études, citns les travaux précurseurs de Lénard de Vinci (5 à qui n peut attribuer les affirmatins suivantes : la résistance due au frttement dépend de la nature des matériaux en présence. la résistance due au frttement dépend du degré de façnnage u de plissage des surfaces. la résistance due au frttement dépend de la présence éventuelle d'un fluide u d'un autre matériau entre les surfaces. la résistance due au frttement est indépendante de l'extensin de la surface de cntact. la résistance due au frttement s'accrît avec l'augmentatin de pressin d'un crps sur l'autre. Nus allns dans ce qui suit présenter les lis de Culmb (78 qui snt des lis empiriques dnnant des relatins supplémentaires entre les paramètres du muvement (incnnues cinématiques et les effrts de cntact (incnnues naturelles du mdèle mathématique représentant le système mécanique. VIII- Exemple préliminaire α G g À titre d exemple étudins le prblème simple du plan incliné. L expérience mntre qu un bjet placé sur un plan reste à l équilibre tant que l inclinaisn du plan n atteint pas une valeur critique à partir de laquelle il y aura glissement. L bjet de cette étude est de mettre en évidence la nécessité de prendre en cmpte le phénmène de frttement pur mdéliser le prblème et l bligatin d écrire une relatin supplémentaire pur résudre un prblème aussi simple. Si le cntact est suppsé parfait le bilan des actins mécaniques exercées sur ntre bjet se réduit : u pids ux actins de cntact en un pint de la surface ans le plan, nus avns 3 équatins pur 3 incnnues : La psitin : x Les effrts : N et M y x R Ny G Mg y α x M ( qcq 5
Mécanique du slide N Mg csα Les 3 équatins déduites du principe fndamental snt : Mg sin α M x M Remarque : nus avns chisi pur pint, le prjeté de G suivant la nrmal au plan de cntact. l équilibre x, la secnde équatin ne peut être satisfaite que purα, ce qui est cntraire à l expérience. Pur que l bjet ne glisse pas, avec une inclinaisn nn nulle du plan, il faut que le cntact ai lieu avec frttement. Le frttement intrduit une cmpsante tangentielle à R Ny l effrt de cntact. N + Tx x N Mg csα G T le PF nus dnne alrs : T Mg sin α M x x y M ( qcq M Nus avns 3 équatins pur 4 incnnues ( NTM,,, x α Mg y Les cnditins d équilibre nus dnnent alrs N Mgcsα et T Mgsinα. En cnclusin : il nus manque une équatin pur résudre le prblème du glissement avec frttement, nus savns calculer les effrts à l équilibre, mais nus smmes incapable de calculer l inclinaisn limite du plan pur laquelle l équilibre sera rmpu (glissement de l bjet. Le fait d intrduire dans ntre mdèle une liaisn nn parfaite mdélisée par une résistance au glissement intrduit une incnnue supplémentaire T pur résudre ce prblème il nus manque dnc une équatin. Les lis de frttement nus dnnernt cette équatin et nus permettrnt de truver : L angle limite tgα < f à partir de la cnditin de nn glissement T < fn et un glissement vers le bas pur tgα > f x Mg cs α ( f tgα VIII- Résistance au glissement Intéressns nus aux muvements d un slide (S en cntact pnctuel avec un slide (S. Le cntact à lieu avec une résistance au glissement (frttement de glissement. Rappelns les principales ntatins caractérisants le cntact pnctuel entre deux slides indéfrmables. Les surfaces en cntact admettent en I un plan tangent (π. On nte n le vecteur nrmal au plan tangent rienté de vers La vitesse de glissement de (S sur (S définie par : V( I S / S V( I C est un vecteur du plan tangent. La résultante R des actins de cntact de (S sur (S est décmpsée en : 6
VIII Lis de frttement R N n + T ; N cmpsante nrmale et T vecteur du plan tangent La cnditin de cntact est : N > Le cntact est suppsé pnctuel et n ffre aucune résistance ni au pivtement ni au rulement, le mment M des actins de cntact est dnc nul. La figure ci-dessus crrespnd à ces ntatins. n (S ctins R En I (π plan tangent, de nrmale n N de --> La vitesse de glissement de (S sur (S V ( I I T V ( I V ( I S π π ctins de cntact de (S sur (S (S R N n + T R( O, b M Pur étudier les muvements de (S / (S, il est lgique de faire le bilan des effrts agissant sur (S. La ntatin duble indice truve ici tute sa chérence, et peut vus éviter des erreurs. ttentin aux signes L rientatin de n pse prblème car ce vecteur est rienté vers l intérieur de (S ce qui n est pas cnfrme avec la mécanique des milieux cntinus ù la nrmale est tujurs rientée vers l extérieur du système cnsidéré. VIII-. Énncé des lis de culmb Les lis de Culmb snt des lis expérimentales, elles cnsistent à pser : dans le cas du glissement L effrt tangentiel s ppse au glissement sit : T Λ V, et T. V < et est prprtinnel au mdule de l effrt nrmal sit : T f N Remarques : - La relatin T Λ V revient à dire que T et V snt clinéaires, ces deux vecteurs appartenant au plan tangent cela ne nus dnne q une seule équatin. - Le cefficient de prprtinnalité f est dit cefficient de frttement V - Les relatins précédentes dnnent : T f N V - Vus puvez très facilement vérifier cette li en cherchant à déplacer un bjet psé sur une table tut en appliquant une pressin plus u mins frte avec vtre digt. dans le cas du nn glissement V ( I L effrt tangentiel ne peut pas dépasser la valeur limite : T < f N - Le cefficient f est dit cefficient d adhérence. 7
Mécanique du slide Ces lis nus dnnent équatins supplémentaires qui nus permettent de calculer les deux incnnues supplémentaires T intrduites pur représenter la résistance au glissement Ces équatins snt sumises à cnditin. Cefficient de frttement Ce cefficient est btenu expérimentalement et la précisin des mesures est faible, les valeurs indiquées dans les différents tableaux que vus purrez cnsulter ne dnne qu un rdre de grandeur. La valeur du cefficient de frttement dépend de nmbreux facteurs entre autre : du cuple de matériaux en cntact. de la lubrificatin. de l'état de surface des matériaux. de la vitesse de glissement et de la température. En général la valeur du cefficient d'adhérence pur un cuple de matériaux dnnés est supérieure u égale à la valeur du cefficient de frttement de glissement pur ce même cuple de matériaux. Rien n assure que le frttement sit istrpe il peut varier en fnctin de la directin en fnctin de l état de surface (sens de l usinage pur un métal, sens des fibres : bis, velurs. N ublins pas que le glissement mdifie l état des surfaces sit en les plissant sit au cntraire en les détérirant. ans chaque cas cela cnduit à une mdificatin du cefficient de frttement au curs du temps. En bref et pur faire simple, nus utiliserns un mdèle simplifié en prenant f f cte Vici quelques rdres de grandeur de f Métal / métal :, à,4 exemple : acier /acier :,. Métal / bis :, à,6 Métal / téfln :,4 exemple : Paliers lisses Métal / Cautchuc,3 à,5 exemple : transmissin par curries lisses. Pneu / rute :,7 à,9 rute sèche, à,3 rute muillée,3 rute verglacée Interprétatin graphique Les lis de Culmb peuvent s interpréter graphiquement par un cône de révlutin autur de la nrmale n, de smmet I de demi angle au smmet ϕ avec tgϕ f Lrsqu il n y a pas glissement R est à l'intérieur du cône Lrsqu il y a glissement R est sur le cône de frttement. L angle ϕ est dit angle de frttement n R π L analyse graphique peut être utilisée pur truver graphiquement les cnditins d équilibre d un système mécanique dans des cas gémétriquement simples. N ϕ I T 8
VIII Lis de frttement Prenns le cas du prblème représenté sur la figure ci-cntre, quelles snt les cnditins d équilibre d une caisse sumise à un effrt F, repsant en deux pints et B sur le sl. Ce prblème est-il bien psé? Peut-n résudre graphiquement ce prblème? nalyse : Le bilan des effrts incnnus sur la caisse dnne 4 incnnues : R, RB, r les équatins de la statique ne dnnent que tris équatins, et les lis de frttement ne dnnent que les cnditins à satisfaire en et B «N >, T < fn» α F Le prblème est hyperstatique de degré. Le prblème est mal psé, pur résudre analytiquement il faut remplacer les cntacts en et B par une liaisn équivalente «appui linéaire» qui ne fait apparaître que tris incnnues pur caractériser le trseur des effrts de la liaisn équivalente. Nus savns qu il existe un pint C de l axe (B tel que le mment de ( R + RB en C est nul (prpriété des glisseurs. Nus caractériserns dnc cette liaisn équivalente par les 3 incnnues suivantes : Psitin λ C du pint C RC R+ RB Trseur équivalent défini en C par MC Réslutin graphique : l équilibre le trseur des effrts appliqués à la caisse dit être nul R+ RB + F sit Équilibre pssible si le pint C appartient au segment (B MC ans le cas de la figure initiale il y a basculement de la caisse par rapprt au pint B, mais n ne peut pas dire s il y a glissement u nn glissement avant le basculement Si le glissement se prduit les effrts en et B snt parallèles et fnt un angle ϕ avec la nrmale au plan de cntact. nc pur α < ϕ il ne peut pas y avir de glissement En cnclusin, il y a équilibre si ces deux cnditins : C [ B] et α < ϕ snt satisfaites. Les 3 figures suivantes représentent les tris pssibilités envisagées : F α ϕ F ϕ α F α B C C B équilibre de la caisse C B glissement en et B B C basculement / au pint B 9
Mécanique du slide Lrs du basculement il y aura glissement si α > ϕ, et nn glissement si α < ϕ L étude graphique peut truver sn intérêt en bureau d étude lrsque l n cherche à étudier les cnditins de fnctinnement d un mntage simple. VIII-. Puissance dissipée par frttement Nus rappelns que : La vitesse de glissement de (S sur (S est V ( I et que le trseur des actins de cntact de (S sur (S : R N n + T et M Par définitin la puissance de la liaisn est : P T. V ( I ans le cas général la puissance est négative, n parle de puissance dissipée par frttement. Cependant il existe deux cas particuliers ù la puissance dissipée est nulle. Nn glissement sit V ( I Nn frttement sit T ans ces deux cas la liaisn peut être assimilée à une liaisn parfaite. VIII-3 Résistance au rulement et au pivtement Un cntact parfaitement pnctuel est physiquement impssible, il existe nécessairement une petite surface de cntact dans le plan tangent. ès lrs n peut cnsidérer que le mment des actins de liaisn peut ne pas être négligeable. Il faut intrduire dans ntre mdèle une résistance au rulement et une résistance au pivtement. Psns : Ω Ω p n +Ωr rappel n est la nrmale au plan tangent rientée de vers Ω p La vitesse de pivtement instantanée (rtatin / à la nrmale Ω r Le vecteur vitesse de rulement instantanée M M n + M p M p r Le mment de résistance au pivtement M r Le mment de résistance au rulement La cnditin de cntact est N > avec la cnventin de signe de vers Lis de résistance au pivtement Si Ωp M p kn sus cnditin Ω pm p < Si Ω p il faut vérifier M p Lis de résistance au rulement Si Ω r r Mr h N Ω Ωr Si Ω il faut vérifier Mr r < kn Cette li dnne équatin pur une incnnue supplémentaire < hn M p
VIII Lis de frttement Cette li dnne équatins pur incnnues supplémentaires Ces deux lis intrduisent dans les équatins des cefficients h et k de résistance au rulement et au pivtement. Or ces cefficients dépendent du cefficient de frttement dnt la précisin est déjà faible, mais ils snt aussi fnctin de la gémétrie, et des défrmatins des matériaux en cntact. utant dire que ces mdèles ne dnnernt qu une apprximatin grssière du cmprtement mécanique du système. illustratin Cntact pneu - rute. M r La défrmatin du pneu s ppse au rulement. Cela dépend de la pressin interne, des caractéristiques de la gente (diamètre et épaisseur, du matériau (type de pneu, etc La défrmatin de la rute s ppse au rulement. Cela dépend de la caractéristique du revêtement, de la température, de la charge, etc Et le prblème réel est une cmbinaisn des deux cas! Ces prblèmes de cntact avec défrmatin des matériaux fnt parti des prblèmes les plus difficiles à résudre, ils ne peuvent être traités que numériquement avec des méthdes de type éléments finis. Et les nn linéarités gémétriques et de cmprtement rendent la réslutin lurde et l analyse des résultats cmplexe. autres prblèmes plus simples, tel que celui représenté ci-dessus, peuvent cependant avir une apprche de type résistance au pivtement illustratin Butée plane avec frttement. F ω La zne de cntact est un disque, la vitesse de rtatin est impsée, et un effrt nrmal dnné maintient la butée en cntact sur la surface de base. u fait de la rtatin de la butée, en tut pint de cntact la vitesse de glissement est cnnue et nn nulle, dt fdn Pur ω psitif, les actins de cntact sur une surface élémentaire ds rdrdθ snt représentées sur la figure ci-cntre. Cmpte tenu de la symétrie axiale du prblème l effrt nrmal élémentaire ne dépend que de la distance à l axe r du pint cnsidéré. On pse dn σ ( r ds n O ω dn σ n( r ds n r dt ds P En intégrant sur la surface de cntact nus btenns les deux cmpsantes du
Mécanique du slide trseur résultant : R N π σ rdr et n ( r R M π rf σ n ( r rdr Pur évaluer ces intégrales nus devns faire une hypthèse sur la répartitin de la pressin de cntact σ n( r que est incnnue. Pur une pressin unifrme σ n P n truve M frn 3 Pur une pressin prprtinnelle à r : σ n kr 3 M frn 4 Pur une pressin inversement prprtinnelle à r σ n k/ r M frn On cnstate une variatin imprtante sur le calcul du cefficient de résistance au pivtement de,5fr à,75fr sit de l rdre de 3% d erreur sur une valeur myenne de,6fr. cette erreur il faut rajuter celle cmmise sur la valeur de f qui est du même rdre de grandeur. Il est dnc illusire d effectuer des simulatins numériques crrectes, sans prcéder à une identificatin expérimentale de ce cefficient dans des cnditins visines des cnditins réelles d empli. VIII-4 Prblèmes de statique Les prblèmes de statique snt en pratique plus simples à pser et à résudre, en effet rechercher les cnditins d équilibre d un système revient à suppser qu il y a nn glissement. Les prblèmes statiques cncernent : L étude des prblèmes d arc-butement, qui peut être respnsable du mauvais fnctinnement des glissières, prtes culissantes, et tirirs qui se cincent à cause du frttement. L étude des systèmes autblquants qui nt de nmbreuses applicatins intéressantes pur les mntages technlgiques (cin, clavette,. Et tut simplement la recherche des cnditins d équilibre du système (cf. l illustratin de la caisse psée sur le sl illustratin Étude de l équilibre d un escabeau. λ M g B L escabeau schématisé sur la figure ci-dessus est mdélisé par deux.barres identiques B et C de masse m de lngueur, reliées en par un pivt suppsé parfait. La persnne (prenant le risque de mnter sur cet escabeau sans relier entre elles les pattes par un câble est mdélisée par une masse M située à une distance λ C
VIII Lis de frttement nalyse du smmet. quelle cnditin ntre persnnage arrive t il en sans prblème? Représenter l étude dans un plan ( f, λ / En statique il y a paramètres du muvement, et les lis de frttement ne dnnent pas d équatin, elles ne dnnent que les cnditins à satisfaire. 6 incnnues effrts : R, RB, RC, pur 6 équatins par le PF. λ Le prblème est bien psé. M N α B Les 4 incnnues principales snt RB, RC pur vérifier les N mg C cnditins de nn glissement. Mg T T C La figure ci-cntre ne représente que ces incnnues et les effrts dnnés B B C Pur Σ : TB + TC NB + NC mg Mg sin αnc Mg( + λsinα mg sinα Pur le mntant nn chargé l équatin de mment en est : TBcsα NB sinα + mg sinα Mg λ NB mg+ ( Mg λ ù l n tire NC mg+ ( + tgα λ TB TC mg+ ( Mg Pur que cette slutin sit valable il y a quatre cnditins à satisfaire En B : N B >, TB < fnb En C : N C >, TC < fnc Pur : λ [, ] les cnditins de cntact snt satisfaites. L effrt nrmal en C étant plus imprtant, le glissement se prduira en premier lieu en B. λ / Il y a équilibre tant que TB < fnb λ m+ ( M instable f > tgα perte stable d'équilibre λ m+ ( M f Pur Pur tgα m+ M tgα m+ M tgα f < l escabeau est instable Impssibilité de le faire tenir seul, pas de risque de mnter m+ M f > tgα l escabeau est stable quelque sit la psitin de M m+ M 3
Mécanique du slide Pur les valeurs intermédiaires, il existe une psitin limite de M à partir de laquelle il y aura glissement (et c est irréversible, c est la chute!. Résistance au glissement d un câble sur une surface cylindrique Ce prblème peut être utilisé pur mdéliser les systèmes d amarrage u de reprise d effrts sur un Winch. Il permet d expliquer purqui la tensin en entrée est diminuée expnentiellement et permet ainsi d arrêter une manœuvre sans danger à cnditin d effectuer au mins un tur mrt sur la bitte d amarrage u de reprendre des tensins énrmes sur un Winch en effectuent plusieurs turs avec les écutes de viles. Phénmène aussi utilisé par les cavaliers pur «garer» un cheval près d une barrière sans faire de nœud. Hypthèses de mdélisatin : Le câble est nrmal aux génératrices du cylindre (pur traiter un prblème plan. Le câble ne présente aucune résistance à la flexin (sinn il faut tenir cmpte des effrts pur défrmer le câble le lng de la surface de cntact. La masse du câble est négligeable (pur se ramener à un prblème de statique en négligeant les quantités d accélératin devant les effrt. Islns un petit élément de câble de lngueur rdθ, il est n sumis : dn t sa tensin interne (effrt nrmal ntée : F et F+dF dt ux effrts de frttement sur la surface : dn et dt La figure ci-cntre représente ces effrts. Le PF appliqué à cet élément de câble dnne en prjectin sur la nrmale et la tangente dθ dθ Fcs + dt + ( F + dfcs dθ dθ Fsin + dn ( F + dfsin Les secnds membres snt tujurs nuls car nus avns négligé la masse du câble F dθ O B F+dF Cmpte tenu du fait que dθ est petit nus btenns : dt + df dfdθ est du secnd rdre Fdθ + dn Nus avns 3 incnnues pur équatins car il reste à écrire les lis de frttement En nus plaçant à l instant du glissement naissant nus avns dt ± fdn Le signe de dt sera dnné par le sens du glissement vers la drite u vers la gauche. 4
VIII Lis de frttement Reprtns cette relatin dans l équatin df fdn df Que nus reprtns dans l équatin fdθ F Nus puvns intégrer cette équatin différentielle, en ntant θ l angle d enrulement du câble sur la surface cylindrique, nus btenns : F ± fθ FBe avec + pur un glissement vers la gauche «vers» (- vers la drite Nus truvns bien une expnentielle de l enrulement cmme relatin entre la tensin d entrée et de srtie. insi pur un cefficient de frttement de,3 entre le câble et la surface de cntact nus aurns : θ π / π 3 π / tur turs 3 turs FB,6,57 4, 6,6 43,4 86 F On cmprend bien cmment il est pssible de retenir une manœuvre en effectuant quelques turs de crdage sur une bitte d amarrage. g I Exercice VIII. α J x Le système mécanique ci-cntre est cnstitué de tris disques identiques de rayn R, de masse M, psés sur un plan hrizntal. Le champ de pesanteur est défini par g g y Mntrer que si les cntacts snt suppsés parfaits, il ne peut y avir équilibre du système. En psant f le cefficient de résistance au glissement aux 4 pints de cntact, déterminer la cnditin d équilibre du système. Cette cnditin est-elle mdifiée par la nature du cntact entre les disques? Exercice VIII. α (T (B Le système mécanique ci-cntre est cnstitué de deux pièces mbiles, une tige (T et une bille (B. Le cntact entre le bâti et la tige est suppsé parfait, par cntre le matériau de la bille entraîne une résistance au glissement de cefficient f L bjectif de l exercice est truver la cnditin sur l angle α pur que la bille blque la tige quelque sit l effrt de tractin appliqué sur cette pièce. F Intéressns nus maintenant à l applicatin pratique des lis de frttement dans la réslutin d un prblème de dynamique. 5
Mécanique du slide VIII-5 Prblème de dynamique Nus allns nus intéresser à l étude des muvements du système lrs des différentes phases du muvement avec u sans glissement. L intérêt de traiter des prblèmes de dynamique avec frttement, tient à l aspect nn linéaire des lis de frttement, il faut frmuler une hypthèse sur les cnditins de cntact, pur puvir résudre le prblème, hypthèses qu il est alrs nécessaire de vérifier à psteriri. nalyser et cmprendre la démarche mise en jeu lrs de la réslutin de ces prblèmes est essentiel. C est une démarche fndamentale pur l ingénieur qui est à la base de la ntin de mdélisatin : savir faire des hypthèses, sur lesquelles n peut cnstruire une slutin mathématique, puis vérifier que la slutin btenue satisfait les hypthèses de départ. Les prblèmes de frttement snt cmplexes à résudre du fait du caractère nn linéaire des lis de frttement. Pur résudre ces prblèmes nus smmes amenés pur chaque liaisn avec frttement à faire une hypthèse initiale sur la nature du muvement (avec u sans glissement ce qui nus permet alrs d écrire autant d équatin qu il y a d incnnues et de résudre le prblème. Mais il faut vérifier que la slutin btenue satisfait les hypthèses de départ à savir, pur chaque liaisn avec frttement : TV. < si l n a suppsé qu il y avait glissement T < f N dans le cas cntraire Le nmbre de cas à étudier peut devenir très vite imprtant, et il faut prcéder avec méthde si l n ne veut pas ublier des slutins pssibles et surtut ne pas cnserver des slutins impssibles. illustratin Reprenns l exemple de la caisse précédente. Il y a cnditins de nn décllement cnditins de frttement sit 6 muvements pssibles décllement en u B, avec u sans glissement 4 muvements pssibles Nn décllement, avec au sans glissement muvements pssibles. La démarche cnseillée est la suivante : I. nalyse du prblème Le bilan incnnues équatins dit être équilibré sinn vus ne purrez pas résudre. Les incnnues principales du prblème cntiennent nécessairement les cmpsantes de l effrt de cntact là u il y a frttement. II. Écriture et mise en frme des équatins principales déduites du PF Pur faciliter la réslutin discussin qui va suivre il est cnseillé de signer la mise en frme des équatins, de plus il est utile de calculer les vitesses de glissement aux pints de cntact avec frttement. III. Bucles de réslutin - Hypthèses de glissement 6
VIII Lis de frttement Le chix d une hypthèse de départ peut être dicté par les cnditins initiales du prblème, les effrts appliqués, le type de mntage, la gémétrie. Un chix judicieux peut éviter l étude de muvement que l n truvera cmme impssible. - Écriture des lis de glissement 3- Réslutin et vérificatin des hypthèses Ne pas chercher à vérifier les hypthèses psées pur écrire les équatins serait une grave erreur. Cela reviendrait à dnner un remède (slutin sans les cnditins d applicatin. Si tutes les pssibilités de muvements nt été étudié, les cnditins divent être cmplémentaires les unes des autres. illustratin Étude d une remrque tractée. g G 6r γ r La remrque schématisée sur la figure ci-dessus est tractée par une viture ayant une accélératin cnstante sur une rute hrizntale parfaitement plane. La remrque est mdélisée par une caisse de masse 8m,et deux rues assimilées à des cerceaux de masse m de rayn r. On nte G le centre de masse de l ensemble. Les caractéristiques gémétriques snt dnnées par la figure. On nte f le cefficient de frttement des pneus sur le rute. La liaisn entre la viture et la remrque sera mdélisée par une rtule parfaite. nalyse du prblème par le PF Paramétrage : le prblème est un prblème plan Le muvement de la caisse est une translatin dnnée à accélératin γ Les rues snt mntées sur un pivt en C paramètre de rtatin θ Effrts incnnus: En (rtule incnnues R En I (cntact avec frttement incnnues T et N En C (pivt incnnues R T mg C représentatin des effrts sur Σ La cnditin de cntact est N > : Le paramétrage n est valable que si la cnditin de cntact est satisfaite. L effrt en permet d impser le déplacement de la remrque. Bilan : Nus avns 7 incnnues ( θ, X, Y, T, N, XC, YC Pur 7 équatins : 6 équatins par le PF (prblème plan avec slides équatin sumise à cnditin par les lis de frttement (prblème plan. Le prblème est bien psé G N R 7
Mécanique du slide Les incnnues principales de ntre prblème snt ( θ, T, N, les lis de frttement dans le plan nus dnnernt équatin sus cnditin. Il faut truver deux équatins par le PF ne faisant apparaître que ces incnnues. équatin de mment en pur Σ équatin de mment en C pur les rues. Les équatins de résultantes pur Σ permettrnt de calculer X et Y. Les équatins de résultantes pur les rues dnnernt X C et Y C. Écriture et mise en frme des équatins principales Les équatins déduites du PF étant simples à écrire nus dnnns, sans détailler les calculs, les résultats que vus puvez retruver rapidement. X + T mγ Pur Σ : Y mg+ N ttentin il y a rues rt 6rN + 6rmg mr θ + mrγ de masse m chacune Pur les rues : rt mr θ Les équatins principales snt les équatins 3 et 4 et ne snt dnnées qu à titre indicatif Pur écrire les lis de frttement il nus faut exprimer la vitesse de glissement des rues sur la rute. V ( I x + r θ x avec x γ r ( Mise en frme des équatins Nus allns exprimer les équatins en fnctin d une u plusieurs incnnues du prblème. Cette méthde de réslutin est classique, elle cnsiste à triangulariser le système d équatins. Pur les prblèmes de frttement cette méthde est dite méthde de elassus. L intérêt de cette méthde est que l écriture de u des équatins de frttement nus permet d btenir rapidement la slutin du prblème, et il ne reste qu à vérifier que cette slutin satisfait les hypthèses sur les cnditins de cntact (glissement u nn glissement. Exprimns les deux équatins principales en fnctin de T r θ T /m équatins / 3 incnnues N mg+ T / 6 mγ / 3 Réslutin Il faut faire une hypthèse sur la nature du cntact (glissement u nn glissement, pur puvir écrire l équatin qui nus manque pur résudre. Les dnnées du prblème ne permettent pas de chisir une hypthèse plus que l autre. Nus cmmencerns dnc par traiter le prblème le plus simple, celui du nn glissement (l équatin ne fait pas intervenir de valeur abslue. - Hypthèses de nn glissement x + rθ sus cnditin que T < fn Cette équatin entraîne rθ T mγ γ d ù N mg mγ / 3 Pur que cette slutin sit acceptable il faut vérifier que N > et T < f N 8
VIII Lis de frttement N > γ < 5g (cnditin C 6γ T < f N f > (cnditin C 3g γ la figure ci-cntre représente ces cnditins dans un plan ( γ, f. La cnditin C est autmatiquement vérifiée par C - Hypthèses de glissement T fn f C C Zne de rulement sans glissement? Zne qui reste à étudier sus cnditin que ( x+ rθ T < Cette équatin pse le prblème de la valeur abslue, la slutin «ruleau cmpresseur» cnsiste à étudier les différents cas T > puis T <. Une autre méthde plus subtile pur certains prblèmes de glissement cnsiste à faire l hypthèse de glissement naissant, le signe de TV. et alrs le même que le signe de TV. Sus l hypthèse de glissement naissant : La cnditin ( x+ r θ T < γ + T /m T < sit mγ < T < ( L intérêt est que le signe de T est maintenant cnnu est la dernière équatin peut être écrite explicitement. γ 3g T < T fn f ( mg+ T / 6 mγ / 3 d ù T fm 6 + f Pur que cette slutin sit acceptable il faut vérifier que N > et mγ < T N > γ < 3g (cnditin C3 6γ mγ < T f < (cnditin inverse de C 3g γ Tus les cas nt été envisagés et nus puvns représenter les résultats dans le plan ( γ, f. f C C Zne de rulement sans glissement Zne de glissement Il y a usure des pneus de la remrque C3 décllement 5g γ 5g 3g Remarque : une accélératin de 3g n est ni raisnnable ni réaliste. Exercice VIII.3 Muvements d'un palet entraîné par un tapis rulant Un palet de masse m assimilé à une masse pnctuelle, est psé sur un tapis rulant hrizntale, dnt la vitesse de défilement V est cnstante Le palet est relié par un câble hrizntal inextensible de lngueur de masse nulle, à un pint fixe de la pièce. On nte f le cefficient de frttement entre le palet et le tapis γ 9
Mécanique du slide Le champ de pesanteur est défini par g g z Le palet est écarté de sa psitin d équilibre θ d un angle petit θ et laché sans vitesse initiale. dnner l équatin des muvements. étudier les différents cas pssibles. P x O y z O g θ V Exercice VIII.4 Muvements d'une tige entraînée par un disque Une tige (T de centre de masse G, de masse m et de lngueur est astreinte à se déplacer dans le plan vertical ( O, x, y avec un angle α par rapprt à l'hrizntale. Le champ de pesanteur est défini par g, et n nte d la distance des deux pints de cntact I I. Le disque ( de rayn a dnt la vitesse de rtatin est impsée cnstante ω ω z dit entraîner la tige en translatin par frttement. Nus suppsns que les cntacts en I et I nt lieu avec un même cefficient de frttement f. x (T y x d G I C ( ω I g O α l'instant initial, la tige est lâchée sans vitesse initiale d'une psitin repérée par I G x. Effectuer un bilan «incnnues équatins» détaillé. Écrire les équatins déduites du Principe Fndamental, en déduire les cnditins de cntact. 3
VIII Lis de frttement Étude des muvements pssibles Étudier le cas ù la barre reste immbile. Représenter x graphiquement les résultats en prtant d en rdnnée et f en abscisse. Étudier le cas ù la barre glisse vers le bas, représenter les résultats sur le même graphique. En déduire l'instant u la barre bascule. Étudier le cas ù la barre glisse vers le haut, cmpléter le graphique. 3
Mécanique du slide Ntes persnnelles 3