Chapitre 10 Géométrie dans l Espace.

1/ Géométrie dans l Espace Terminale S Chapitre 10 Géométrie dans l Espace I Le produit scalaire 1 Dans le plan On considère le plan orienté muni d une unité de longueur Définition 1 : Dans le plan, le produit scalaire des vecteurs u et v non nuls, est le réel noté u v défini par: u v u v cos u, v Si u ou v est nul, on pose : u v = 0 = ( ) Propriété 1 : Pour tous les vecteurs u et v on a : u v 1 = ( u + v u v ) Soient A, B et C des points du plan tels que u = AB et v = BC On note = u + v u v = AC AB BC Si u et v sont colinéaires de même sens on a : = ( AB + BC ) AB BC = AB BC = u v cos u ; v = u v ( ) ( ) Si u et v sont colinéaires de sens contraire on a : = ( AB BC ) AB BC = AB BC = u v cos u ; v = u v ( ) ( ) Si u et v ne sont pas colinéaires, on note θ l angle ( u, v ) cas de figure selon la position de H sur (AB): Le théorème de Pythagore donne dans chaque cas : et H le projeté orthogonal de C sur (AB) On a trois = AH AB BH 1 er cas : on a = (AB + BH) AB BH = AB BH = AB BC cos(θ) ème cas : on a = (AB BH) AB BH = - AB BH = - AB BC cos(π θ) 3 ème cas : on a = (BH AB) AB BH = - AB BH = - AB BC cos(π θ) Obligatoire Année 011-01

/ Géométrie dans l Espace Terminale S = u v cos u ; v = u v Dans tous les cas, on a donc ( ) Propriété : Soient A, B et C des points du plan, alors AB AC = AB AH orthogonal de C sur (AB), où H est le projeté On distingue plusieurs cas : Si A, B et C sont alignés, H et C sont confondus et le résultat est immédiat Si A, B et C ne sont pas alignés, on considère les trois cas suivants : cos AB, AC AC = cos AH, AC AC = AH 1 er et ème cas : on a ( ) ( ) AB AC AC = AC = AH 3 ème cas : on a cos(, ) cos ( AH, AC ) AB AC = AB AC AB AC = AB AH Dans tous les cas, on a : cos (, ) Propriété 3 : Dans un repère orthonormal, u et v sont des vecteurs de coordonnées respectives (x ; y) et (x ; y ), alors : u = x + y et u v = xx + yy Si l une des coordonnées du vecteur u est nulle, on a directement Sinon, le repère étant orthonormal, le théorème de Pythagore donne Par suite : u = x + y, v = x ' + y ' et u + v = ( x + x ') + ( y + y ') 1 on a donc : ( u + v u v ) u v = = xx ' + yy ' u = x + y u = x + y, Dans l espace Définition : Soient u et v des vecteurs, A, B et C trois points de l espace tels que AB = u et AC = v Le produit scalaire dans l espace des vecteurs u et v est le produit scalaire des vecteurs u et v dans un plan contenant A, B et C 1 On retrouve donc: u v u + v u v = ( ) Obligatoire Année 011-01

3/ Géométrie dans l Espace Terminale S Remarque : Ce produit scalaire est indépendant du choix des représentants des vecteurs u et v et du choix du plan contenant les points A, B et C dans le cas où ces points sont alignés Propriété 4 : Dans un repère orthonormal, u et v sont des vecteurs de coordonnées respectives (x ; y ; z) et (x ; y ; z ), alors : u = x² + y² + z ² et u v = xx + yy + zz Si l une des coordonnées de u est nulle, on est ramené au cas du plan u = x i + y j + z k, Sinon, le repère étant orthonormal, en écrivant ( ) le théorème de Pythagore donne : u = x i + y j + z k = x + y + z D où : u v 1 = ( u + v u v ) Propriété 5 : = xx + yy + zz Les propriétés suivantes du produit scalaire sont valables dans le plan et dans l espace : 1 u v = v u ; ( k u ) v = k ( u v ) avec k R u v + w = u v + u w 3 ( ) On se place dans un repère orthonormal dans lequel u, v et w ont pour coordonnées respectives (x ; y ; z), (x ; y ; z ), et (x ; y ; z ), alors : u v = xx ' + yy ' + zz ' = v u k u v = kxx ' + kyy ' + kzz ' = k u v ( ) ( ) u v + w = x( x ' + x '') + y( y ' + y '') + z( z ' + z '') = xx ' + yy ' + zz ' + xx '' + yy '' + zz '' = u v + u w ( ) 3 Orthogonalité dans l espace Dans l espace si les directions de deux vecteurs non nuls u et v sont orthogonales, alors u v = 0 Obligatoire Année 011-01

4/ Géométrie dans l Espace Terminale S On généralise en posant par définition que deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul En d autres termes : u v u v = 0 Si, dans un repère orthonormal, u et v ont pour coordonnées (x ; y ; z) et (x ; y ; z ), alors : u v xx + yy + zz = 0 II Droites et plans de l espace 1 Droites dans l espace (partie 1) Si dans un repère A a pour coordonnées (a ; b ; c) et AB a pour coordonnées (x 0 ; y 0 ; z 0) la traduction analytique de l équivalence M (AB) si et seulement si il existe un réel t tel que AM = t AB ) donne : M(x ; y ; z) (AB) x = a + t x0 y = b + ty0 t R z = c + t z0 Définition 3 : Ce système est appelé une représentation paramétrique de la droite passant par le point A de coordonnées (a ; b ; c) et de vecteur directeur u de coordonnées (x 0 ; y 0 ; z 0) ; t est appelé le paramètre Remarque : pour représenter le segment [AB], on prend t [0; 1] Plans de l espace Soient P un plan, A, B et C des points de P non alignés Si dans un repère A a pour coordonnées (a ; b ; c), AB a pour coordonnées (x 0 ; y 0 ; z 0), et AC a pour coordonnées (x 1 ; y 1 ; z 1) la traduction analytique de l équivalence M P si et donne : seulement si il existe deux réels et tels que AM = α AB + βac M(x ; y ; z) P x = a + α x0 + βx1 y = b + α y0 + β y1 α R, β R z = c + α z0 + β z1 Obligatoire Année 011-01

5/ Géométrie dans l Espace Terminale S Définition 4 : Ce système est appelé une représentation paramétrique du plan contenant le point A de coordonnées (a ; b ; c) et de vecteurs directeurs u et v de coordonnées (x 0 ; y 0 ; z 0) et (x 1 ; y 1 ; z 1); et sont appelés les paramètres Définition 5 : Un vecteur dont la direction est orthogonale à P est appelé vecteur normal à P Soit n un vecteur normal à P La droite passant par A et admettant n pour vecteur directeur est orthogonale à P, donc orthogonale à toutes les droites de P Ainsi : M P n AM = 0 Propriété 6 : Si dans un repère le vecteur n (a ; b ; c) est un vecteur normal à un plan P, alors il existe un réel d, tel que pour tout point M(x ; y ; z) du plan P: ax + by + cz + d = 0 Réciproquement : a, b, c et d désignent des réels tels que (a ; b ; c) (0 ; 0 ; 0) L ensemble des points M(x ; y ; z) tels que ax + by + cz + d = 0 est un plan qui admet pour vecteur normal n (a ; b ; c) Soit A(xA ; ya ; za) un point du plan P admettant n (a ; b ; c) pour vecteur normal M(x ; y ; z) est un point de P si et seulement si AM n = 0 ce qui équivaut à : a(x xa) + b(y ya) + c(z za) = 0 En notant d = (axa + bya + cza) on a : ax + by + cz + d = 0 Soit P l ensemble des points M(x ; y ; z) vérifiant ax + by + cz + d = 0 avec (a ; b ; c) (0 ; 0 ; 0) Si a 0 (par exemple), alors le point de coordonnées (-d/a ; 0 ; 0) est un point de P qui n est donc pas vide On prend un point A(xA ; ya ; za) dans P On a : d = (axa + bya + cza) D après le résultat précédent, tous les points du plan passant par A et admettant n (a ; b ; c) pour vecteur normal ont des coordonnées qui vérifient ax + by + cz + d = 0, ils sont donc dans P Réciproquement, si M(x ; y ; z) appartient à P alors a (x xa) + b (y ya) + c ( z za) = 0, ce qui équivaut à AM n = 0 M est donc dans le plan passant par A, et admettant n (a ; b ; c) pour vecteur normal Finalement P est ce plan Obligatoire Année 011-01

6/ Géométrie dans l Espace Terminale S Définition 6 : Une telle équation est appelée équation cartésienne du plan Remarque : Soient a, b, c, et d des réels avec a, b et c non tous nuls, l ensemble des points M(x ; y ; z) tels que ax + by + cz + d > 0 (resp < 0) dans un repère orthonormal est un demi-espace ouvert de frontière le plan d équation ax +by + cz + d = 0 Propriété 7 : Deux plans distincts P et P peuvent être : Strictement parallèles, si leurs vecteurs normaux sont colinéaires Sécants, dans le cas contraire et leur intersection est alors une droite Définition 7 : Deux plans P et P sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux Corollaire : Deux plans sont donc perpendiculaires si et seulement si l un contient une droite perpendiculaire à l autre Propriété 8 : Dans l espace, l intersection de trois plans distincts P, P et P est soit : Une droite ; L ensemble vide ; Un point Obligatoire Année 011-01

7/ Géométrie dans l Espace Terminale S 3 Droites de l espace (partie ) Définition 8 : Une droite de l espace peut être définie comme la droite d intersection de deux plans non parallèles Si les vecteurs n ( a ; b ; c) et n '( a '; b '; c ') ne sont pas colinéaires, elle est alors ax + by + cz + d = 0 caractérisée par un système appelé système d équations a ' x + b ' y + c ' z + d ' = 0 cartésiennes de cette droite Propriété 9 : Soit D et P respectivement une droite et un plan de l espace L intersection de D et P peut être : Un point, D coupe P ; La droite D, D est contenue dans P ; Vide, D et P sont parallèles III Distance d un point à une droite, à un plan 1 Dans le plan, distance d un point à une droite Soient D une droite du plan et A un point du plan Soient D la droite perpendiculaire à D passant par A, n un vecteur directeur de D (on dit que n est un vecteur normal à D), et H l intersection de D et D (H est le projeté orthogonal de A sur D) Théorème 4 : Si M est un point de D, autre que H, la distance de A à D est AH = AM n n Dans un repère orthonormal du plan, si A a pour coordonnées (x A; y A) et D pour équation ax + by + c = 0, alors AH = a x + by + c A A a² + b² Obligatoire Année 011-01

8/ Géométrie dans l Espace Terminale S D après la propriété : AM n = n AH n On note (x ; y) les coordonnées de M, et on note n le vecteur de coordonnées (a ; b) Ce vecteur est normal à D car il est orthogonal au vecteur de coordonnées (-b ; a) qui est un vecteur directeur de D On a : AM n = ( x xa) a + ( y ya) b = ax + by ( axa + bya), or M est un point de D donc ax + by = -c, d où : AM n = ax + by + c Comme n = a + b, on a le résultat attendu A A Dans l espace, distance d un point à un plan Soient P un plan de l espace et A un point de l espace Soient n un vecteur normal à P, H l intersection de P et de la droite passant par A de vecteur directeur n (H est le projeté orthogonal de A sur P) Théorème 5 : Si M est un point de P autre que H, la distance de A à P est AH = AM n n Dans un repère orthonormal de l espace, si A a pour coordonnées (x A; y A; z A), et P pour équation cartésienne ax + by + cz + d = 0, alors AH = a x + by + cz + d A A A a² + b² + c² Dans le plan (AMH) : AM n = n AH On note (x ; y ; z) les coordonnées de M, et on prend pour n le vecteur de coordonnées (a ; b ; c) On a : AM n = ( x x ) a + ( y y ) b + ( z z ) c = ax + by + cz ( ax + by + cz ) A A A A A A M étant un point de P on a : ax + by + cz = -d, d où AM n = ax + by + cz + d Comme n = a + b + c, on a le résultat attendu Obligatoire Année 011-01