Objectifs : Chapitre6 : Géométrie plane *Connaitre et savoir utiliser les propriétés de géométrie du collège. * Connaitre la définition d un vecteur. * Savoir résoudre un problème de géométrie à l aide des vecteurs. Concrètement : * On utilise les vecteurs en physique pour le travail sur les forces. Par exemple, pour concevoir une voiture les ingénieurs utilisent les vecteurs forces. *Un itinéraire est un raisonnement vectoriel. I Géométrie du collège 1)Théorème de Pythagore et de Thalès : Théorème de Pythagore : ABC est un triangle rectangle en A si et seulement si BC²AC²+AB² Théorème de Thalès : Soit A,B, C trois points alignés et A, B,C trois points alignés dans le même ordre. (BB ) // (CC ) si et seulement si Contraposée du théorème de Thalès : Soit A,B, C trois points alignés et A, B,C trois points alignés dans le même ordre. implique que (BB ) et (CC ) ne sont pas parallèles. 2)Triangles : Hauteur dans un triangle : la hauteur issue de A est la droite passant par A et perpendiculaire au coté opposée [BC] Médiane dans un triangle : la médiane issue de A est la droite passant par A et qui coupe le coté opposée [BC] en son milieu.
Bissectrice : Une bissectrice d un angle est une droite qui partage un angle en deux angles égaux. Médiatrice : Une médiatrice d un segment est une droite qui coupe ce segment perpendiculaire en son milieu. Propriétés: Dans un triangle, les 3 trois hauteurs se coupent en un point (l orthocentre), les 3 trois médianes se coupent en un point (le centre de gravité), les 3 trois médiatrices se coupent en un point (le centre du cercle circonscrit), les 3 trois bissectrices se coupent en un point (le centre du cercle inscrit). Propriétés: Dans un triangle triangle, Le milieu de l hypothénuse est le centre du cercle circonscrit. La médiane issue de l angle droit a pour longueur la moitié de l hypothénuse. 1,5,8,10p184+15,16p185+66p191 2,3,4,6,7,9p184+11,12,13,14,17,18,19,20p191+p186,187,188,189+49,50,51,52,53,54,55p190 II Translation Première approche : Une translation est un glissement : - avec une direction donnée : câble du téléphérique T - avec un sens donné : le téléphérique monte T - avec une longueur donnée. On dit que : Le téléphérique T est l image du téléphérique T par la translation qui transforme A en B. Définition 1 : A et B désignent deux points du plan. La translation qui transforme A en B associe à tout point C du plan l unique point D tel que les segments [BC] et [AD] ont le même milieu. 1 er cas : C (AB) D est le point tel que ABDC est un parallélogramme. 2 e cas : C (AB) On dit que ABDC est un parallélogramme applati.
Définition 2 : La translation qui transforme A en B est appelée la translation de vecteur. Remarque : Le vecteur est donc caractérisé par : - une direction : celle de la droite (AB), - un sens : de A vers B, - une longueur : la longueur AB. Définition 3: Dire que les deux vecteurs et sont égaux signifie que la translation qui transforme A en B, associe au point C le point D. On note. Remarque : Les deux vecteurs ont donc: - une même direction - un même sens - une même longueur Propriété : Deux vecteurs et sont égaux si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme (éventuellement applati). Conséquence : Deux vecteurs et sont égaux si et seulement si [BC] et [AD] ont le même milieu. Remarque : Si alors B et C sont confondus Définition 4: Ces trois vecteurs sont égaux, on dit alors que,, sont des représentants d un même vecteur que l on peut noter également, (par exemple) Remarque : On parle ici de la translation de vecteur représentants.. Un vecteur admet une infinité de 5,6,7,8,9p212 4p212
III. Opérations sur les vecteurs Soient et deux vecteurs et M un point du plan La translation de vecteur associe au point M le point N. La translation de vecteur associe au point M le point P. Définition 1: La somme de deux vecteurs et est le vecteur associé à la translation résultant de l enchaînement des translations de vecteur et de vecteur et se note. Remarque : L ordre d enchaînement n a pas d importance. On peut également enchaîner trois translations ou plus. Définition 2: Pour tous vecteurs,, on a :. Vecteurs particuliers : Le vecteur nul est le vecteur associé à la translation qui transforme A en A. Il se note et. Le vecteur opposé à noté - est le vecteur associé à la translation qui transforme B en A. C est donc le vecteur. Définition 3: La différence de deux vecteurs et est le vecteur associé à la translation résultant de l enchaînement des translations de vecteur et de vecteur - où - est le vecteur opposé à et se note. Exemple : Relation de Chasles : Pour tout points A, B, C, Remarque : Cette égalité nous dit deux choses : - On peut simplifier une addition de vecteurs dans certains cas. «Dans un enchainement de vecteur on ne s intéresse qu au départ et à l arrivée. Aller de A à B puis de B à C revient à aller de A à C».
- On peut utiliser la relation de Chasles dans l autre sens. «on va de A à C, rien ne nous empêche de faire un détour par B» Exemple : En terme de vecteur, faire un voyage de Lyon à Marseille est équivalent à faire un voyage de Lyon à Pékin puis de Pékin à Marseille. Règle du parallélogramme : Pour tout points A, B, C, tous distincts où D est le point tel que ABDC est un parallélogramme. Définition 4:Soit un vecteur non nul donné et k un réel. Le point C tel que k est tel que : 1 er cas : C [AB) et ACkAB si k>0 2 e cas : C est aligné avec A et B mais C [AB) et AC-kAB si k<0 Propriétés : k0 ou si et seulement si k k( et (k+k ) k(k Définition 5: Deux vecteurs et sont colinéaires si il existe un réel k tel que Remarque : Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur du plan. Définition 6: Trois points A, B, C du plan sont alignés si et seulement si et sont colinéaires. Définition 7: Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si et sont colinéaires. 10,11p212 +12,14,16,17,19p213+56,58,61p218 13,15p213