L'usage de la calculatrice et des instruments de géométrie est autorisé. La présentation, la clarté de la rédaction, la précision des justifications et le soin apporté aux tracés seront pris en compte lors de la notation : RVT L 1 samedi 11 mars 06 au maximum TIVITÉS UÉRIQUS xercice 1 n donne l'expression = (x ) (4x + 7)(x ). 5 points 1. évelopper et réduire. = (x) x + (8x 1x + 14x 1) = 4x 1x + 9 8x + 1x 14x + 1 = 4x 14x + 0. Factoriser. = (x )(x ) (4x + 7)(x ) = (x ) [(x ) (4x + 7)] = (x )(x 4x 7) = (x )( x 10). alculer la valeur de pour x =. = 4 ( ) 14 ( ) + 0 = 4 4 + 8 + 0 = 4. 4. Résoudre l'équation (x )( x 10) = 0. Si un produit est nul, alors l'un au moins des facteurs est nul : x = 0 ou x 10 = 0 x = x = 10 = 5 Les solutions de l'équation sont et 5. xercice n donne = 5 4 7 11 = 4 + = 1 + 10 10 9 5 10 1 5 10 4 1. alculer et sous forme de fraction irréductible en détaillant les calculs. = 5 4 7 11 = 5 8 = 55 8 = 7 = 9 4 + 1 4 = = 11 1 + 6 15 4 7 = 15 4 7 = 45 8 4,5 points. onner l'écriture scientifique de en précisant toutes les étapes intermédiaires. = 10 5 10 9 10 1 5 10 4 = 0 10 10 4 = 0 10 7 = 10 1 10 7 = 10 8 xercice ce n'est pas une écriture scientifique ujourd'hui arc a 11 ans et Pierre a 6 ans. 1. xprime en fonction de x l'âge de arc et de Pierre dans x années. ans x années, arc aura : 11 + x ans et Pierre : 6 + x ans.,5 points. ans combien d'années (on notera x ce nombre) l'âge de Pierre sera-t-il le double de celui de arc? ette situation se traduit par l'équation : (11 + x) = 6 + x + x = 6 + x x x = 6 x = 4 ans 4 ans, l'âge de Pierre sera le double de celui de arc.
TIVITÉS GÉÉTRIQUS xercice 1 La figure ci-contre donne le schéma d'une table à repasser. Le segment [] représente la planche. Les segments [] et [] représentent les pieds. Les droites () et () se coupent en. n donne : = 15 cm. = 100 cm. = 60 cm. = 7 cm. = 60 cm. = 50 cm. 1. ontrer que la droite () est parallèle à la droite (). Les points,, et les points,, sont alignés dans le même ordre. 'une part, = 7 = 1, 'autre part, 60 = 60 50 = 1, onc = et les droites () et () sont parallèles d'après la réciproque du théorème de Thalès.. alculer l'écartement en cm. Les droites () et () étant parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès : = = 7 60 = 7 100 d'où = = 10 cm. 100 60 xercice,, FG et GH sont des carrés représentés ci-contre. FH est un carré de centre. 1. a) Quelle est l'image du triangle par la symétrie orthogonale d'axe (G)? 'est le triangle. b) Quelle est l'image du triangle par la translation de vecteur? 'est le triangle G. H G. n utilisant des transformations dont on précisera les éléments caractéristiques (centre de symétrie, axe de symétrie, vecteur ), recopier et compléter les phrases suivantes sans justifier la réponse. a) Le triangle est l'image du triangle par la translation de vecteur. F b) Le triangle GF est l'image du triangle par la symétrie orthogonale d'axe (H) ou par la symétrie centrale de centre. xercice Sur le schéma suivant : () est un cercle de centre et de diamètre F = 40 mm. est un point du cercle () tel que a F = 0 La perpendiculaire à la droite (F) passant par coupe le segment [F] en. 1. Quelle est la nature du triangle F? Justifier la réponse. () Le point est sur le cercle de diamètre [F]. r, si le cercle circonscrit à un triangle a pour diamètre un côté du triangle, alors ce triangle est rectangle. onc F est rectangle en. F
. alculer la valeur arrondie au millimètre près de la longueur F. ans le triangle F, rectangle en, on utilise cos : cos a F = F F cos 0 = F d'où F = 40 cos 0 8 mm. 40. alculer la valeur arrondie au millimètre près de la longueur. ans le triangle F, rectangle en, on utilise sin : sin a F = F sin 0 = d'où = 0 sin0 7 mm. 0 PRLÈ est un losange dont les diagonales [] et [] se coupent en. n donne : = 5 cm et = 6 cm. Sur cette figure, les dimensions ne sont pas respectées. Partie I 1. Refaire la figure en vraie grandeur et la compléter tout au long du problème. P Figure complète en vraie grandeur :. Que peut-on dire de [] et []? Justifier par une propriété. [] et [] sont les diagonales du losange. r les diagonales d'un losange se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires. onc [] et [] sont perpendiculaires et ont le même milieu.. alculer en justifiant ; en déduire que = 8 cm. est donc un triangle rectangle en ; on peut appliquer le théorème de Pythagore : + = n a = = 6 = cm car est le milieu de []. + = 5 = 5 = 5 9 = 16 d'où = 16 = 4 cm. étant le milieu de [], = = 8 cm. 5 cm cm 4. alculer la mesure arrondie au degré de l'angle a. ans le triangle, rectangle en, on utilise sin : sin a = = 5 d'où a 7 (en utilisant la touche sin 1 de la calculatrice) (il est plus sûr d'utiliser ces valeurs, données dans l'énoncé, plutôt que celle calculée à la question., pour le cas où une erreur aurait été commise)
5. alculer l'aire du losange. petite diagonale grande diagonale = = = 6 8 = 4 cm. Partie II n place un point sur le segment []. La droite passant par et parallèle à la droite () coupe le côté [] en. 1. n suppose que =. alculer et. Justifier. ans le triangle on a (), () et () // (). n peut appliquer le théorème de Thalès : = = = donne 5 = 5 d'où = = 5 cm. 5 5 = donne 5 = 8 d'où = = 4,8 cm. 8 5 5 cm 5 cm cm 8 cm. n pose = x. onter que = 1,6x. n peut toujours appliquer le théorème de Thalès et reprendre l'égalité précédente : = = lors x 5 = 8 x d'où = = 1,6 x (cm) 8 5 La droite passant par et parallèle à la droite () coupe le côté [] en P. 5 cm x. xprimer en fonction de x. = = 5 x (cm) 4. n admet que P = 6 1,x. alculer la valeur de x pour laquelle le triangle P est isocèle en. "Le triangle P est isocèle en " se traduit par : = P 1,6x = 6 1,x 1,6x + 1,x = 6,8 x = 6 x = 6,8 = 6 10,8 10 = 60 8 = 60 : 4 8 : 4 = 15 7 cm. Partie III 1. ontrer que la droite () est perpendiculaire à la droite () puis que =. n sait que : () // () et que () (). r, si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est aussi perpendiculaire à l'autre. onc () ().
n a = (partie II), avec = puisque est un losange, d'où =. n déduire que la droite () est la médiatrice du segment []. Le triangle est donc isocèle en et () est la hauteur issue du sommet principal. r, dans un triangle isocèle, la hauteur, la médiane, la bissectrice et la médiatrice relatives au sommet principal et à la base sont confondues. onc () est aussi la médiatrice de la base []. e la même façon on démontrerait que la droite () est la médiatrice du segment [P].. n déduire le rôle du point pour le triangle P. est le point d'intersection des médiatrices () et (), c'est donc le centre du cercle circonscrit au triangle P. P