Triangles isométriques Triangles semblables

Triangles isométriques Triangles semblables Les transformations du plan ont permis de dégager des propriétés de figures superposables. Le théorème de Thalès a permis de s initier aux notions de réduction ou d agrandissement dans certaines situations bien particulières générées par des droites parallèles. ans ce chapitre naît une nouvelle idée ; celle de figures qui ont «la même forme» sans être nécessairement dans une configuration de Thalès. Les contenus Triangles isométriques p. 230 Triangles semblables p. 232 Les modules Longueurs p. 234 ngles p. 234 ires p. 235 e même forme et en plein vol chapitre 8 Triangles isométriques Triangles semblables r 227

ÉOÉTRINIPPON Pythagore, Thalès, uclide sont des noms connus de tous et on pourrait penser que la géométrie est essentiellement une affaire de recs, de préférence anciens. On a bien sûr entendu parler de hasles et de escartes qui redorent le blason national et il semble bien que la géométrie soit une discipline très localisée dans nos contrées à culture occidentale ou arabe. est évidemment faux. u Japon, par exemple, existe une curieuse tradition géométrique : les «sangaku» (littéralement tablettes mathématiques). Problèmes géométriques provenant de «sangaku» e 1639 à 1854, le Japon ferma ses frontières et le pays vécut en autarcie scientifique et culturelle. Naquit alors une tradition surprenante : toutes les classes de la société (du samouraï au paysan) ont rivalisé d astuce pour concevoir et résoudre des problèmes géométriques, faisant souvent intervenir des cercles. Ils inscrivaient les résultats sur des plaquettes, suspendues ensuite aux toits des édifices religieux. Selon les cas, ils s agissaient d offrandes aux divinités ou de défis aux autres visiteurs des lieux saints. À l aide d un logiciel de géométrie, nous nous sommes intéressés à l un de ces problèmes. Nous obtenons les écrans ci-dessous : Indication : le logiciel n indique que des valeurs approchées. r1 = 0,33 cm r2 = 0,68 cm r3 = 1,43 cm r1r3 = 0,4 690 r2r2 = 0,4 690 r1 = 0,34 cm r2 = 0,55 cm r3 = 0,88 cm r1r3 = 0,3 001 r2r2 = 0,3 001 Situation 1 Situation 2 ommenter ces deux copies d écran. Que peut-on conjecturer concernant les rayons des 3 cercles? Pour la démonstration, rendez-vous au T 2. t pour les passionnés, de nombreux problèmes de «sangaku» ainsi que leurs solutions sont accessibles sur internet et dans la revue Pour la science n 249 de juillet 1998. 228 r chapitre 8 Triangles isométriques Triangles semblables

ctivité 1 Triangles superposables 1. a. onstruire sur une feuille de papier un triangle superposable à T1. olorier en rouge l une des faces et en bleu l autre face. b. À l aide du gabarit ainsi obtenu, désigner les triangles superposables à T1 dans la figure ci-dessous. xpliquer pourquoi on peut affirmer qu il y a deux manières d «être superposables». T6 T2 T1 T5 T3 T4 2. a. Reproduire sur quadrillage le triangle T1. b. Placer un point sur un nœud du quadrillage. e combien de manières peut-on choisir deux nœuds du quadrillage pour obtenir un triangle superposable à T1 et de sommet? ctivité 2 Triangles isométriques, triangles de même forme On considère un triangle représenté ci-dessous : 1. onstruire un tel triangle en tenant compte des trois données fournies : a = 6 cm, b = 5 cm, c = 7 cm. omparer le triangle obtenu à ceux obtenus par les autres élèves de la classe. c b INITION : on pourra, par exemple, procéder à des découpages et des essais de superposition. a 2. Suivre la même procédure dans chacun des cas suivants. a. a = 6 cm, b = 5 cm, = 55 b. a = 5 cm, = 50, = 60 c. a = 5 cm, = 40, = 55 d. = 40, = 60 (et = 80 ). chapitre 8 Triangles isométriques Triangles semblables r 229

1 Triangles isométriques Vocabulaire Le terme iso est employé pour égal. Le terme métrique est employé pour mesure. eux triangles isométriques sont deux triangles qui ont leurs côtés deux à deux de même longueur. XPL : Puisque = R, = S et = RS, les triangles et RS sont isométriques. eux triangles sont isométriques s ils sont superposables, soit par glissement soit par retournement puis glissement de la feuille de calque. R S Note Une démonstration des théorèmes 1 et 2 est proposée aux exercices 20 et 21. Si deux triangles ont un côté de même longueur compris entre deux angles respectivement égaux, alors ils sont isométriques. XPL : = N = = N } donc et PN sont isométriques. 50 5cm 30 50 5cm 30 N P Si deux triangles ont un même angle compris entre deux côtés respectivement égaux, alors ils sont isométriques. XPL : =R =RS = R } donc et RS sont isométriques. 3 cm 40 S 5 cm 5 cm R 40 3 cm Si deux triangles sont isométriques, alors : leurs angles sont égaux ; leurs aires sont égales. ttention : deux triangles ayant les mêmes angles (ou la même aire), ne sont pas forcément isométriques (voir T 2). 230 r chapitre 8 Triangles isométriques Triangles semblables

1 Reconnaître des côtés, des sommets et des angles homologues ÉNONÉ Si l on superpose les deux triangles isométriques ci-contre, deux sommets (ou deux côtés, ou deux angles) qui se correspondent sont dits homologues. ésigner les sommets homologues, puis les côtés homologues puis les angles homologues de ces deux triangles. R K SOLUTION Les triangles isométriques sont R et K. On écrit les noms des triangles en prenant soin de mettre l un sous l autre les noms des sommets qui se correspondent si l on superpose les triangles. Les «objets» homologues sont alors placés les uns sous les autres. On peut aussi utiliser des couleurs. Sommets homologues ôtés homologues ngles homologues et K [R] et [K] et K R et [R] et [] R et et [] et [K] et 2 Utiliser des triangles isométriques ÉNONÉ Le triangle ci-contre est équilatéral de côté a. On donne = = = x. émontrer que est équilatéral. SOLUTION = =60 } = = a x donc les triangles et sont isométriques = = x (théorème 2). On en déduit que =. On démontre de même que et sont isométriques, d où Pour démontrer que des segments ont =. la même longueur, on peut On a donc : = =. démontrer que ce sont des Le triangle est donc équilatéral. côtés homologues de triangles isométriques. chapitre 8 Triangles isométriques Triangles semblables r 231

2 Triangles semblables ire que deux triangles sont semblables signifie que les angles de l un sont égaux aux angles de l autre. On dit aussi que ces triangles ont même forme. Remarque : dans la pratique, il suffit que deux angles de l un des triangles soient égaux à deux angles de l autre triangle puisque la somme des angles est pour chacun égale à 180. 30 50 100 R 100 30 50 stuce On écrit les sommets des angles égaux l un sous l autre. XPL : Les triangles et R sont de même forme. Sommets homologues ôtés homologues ngles homologues et [] et [] et et [] et [R] et et R [] et [R] et R Si 2 triangles sont semblables alors leurs côtés homologues sont proportionnels. Remarque : une démonstration est proposée au T 1. XPL : ans la figure ci-dessus, = = = k R R k 1 : on dit alors que est une réduction de R dans le rapport k. On a aussi = R = R = k' k' 1 : R est un agrandissement de dans le rapport k'. k et k' sont appelés rapports de similitude. (admis) Si 2 triangles ont leurs côtés proportionnels, alors ils sont semblables. Note XPL : 9 6 = 7,5 5 = 4,5 3 = 1,5 S Un autre critère de similitude est démontré à l exercice 22. donc les triangles S et R sont semblables. 1,5 1 donc S est un agrandissement de R dans le rapport 1,5. 6 cm 5 cm 3 cm R 4,5 cm 9 cm 7,5 cm (admis) Si un triangle T est une réduction (ou un agrandissement) d un triangle T ' dans le rapport k, alors : ire de T = k 2 ire de T '. XPL : ans la figure ci-dessus, on a : ire de S = 1,5 2 ire de R = 2,25 ire de R. 232 r chapitre 8 Triangles isométriques Triangles semblables

3 Reconnaître des triangles rectangles semblables ÉNONÉ émontrer que les triangles et ci-contre sont semblables. SOLUTION = = 90 = On en déduit que les triangles et sont semblables (définition 2). ès que deux triangles rectangles ont un même angle aigu alors ils sont semblables. 4 Utiliser des triangles semblables dans un problème ÉNONÉ eux cordes [] et [] d un cercle se coupent en. émontrer que =. SOLUTION On fait apparaître les triangles et. eux angles inscrits dans un cercle et qui interceptent le même arc sont égaux, donc : = et d autre part =. onc les triangles et sont semblables (définition 2). Leurs côtés homologues sont donc proportionnels d où : = (théorème 3). L égalité des produits en croix donne : =. 5 Utiliser des triangles semblables pour comparer des aires ans les problèmes faisant intervenir un cercle, repérer des angles inscrits égaux. ÉNONÉ ans la figure ci-contre, est isocèle en. On donne = 5 cm et = 3 cm. alculer le rapport entre l aire de et celle de. SOLUTION est isocèle en donc = est isocèle en donc = Le rapport des aires de deux triangles semblables est égal au carré du rapport de réduction (ou d agrandissement). omme =, on en déduit que les triangles et sont semblables (définition 2). [] et [] sont des côtés homologues donc le rapport de réduction est k = = 3. 5 ire () onc ire () = k2 = 9 (théorème 5). 25 chapitre 8 Triangles isométriques Triangles semblables r 233

1 alcul de longueur Objectif : Utiliser des triangles semblables pour calculer une longueur. On établit que les triangles sont semblables en comparant leurs angles. On écrit ensuite la proportionnalité de leurs côtés. XPL La figure ci-contre ne respecte pas les dimensions réelles. Le codage indique cependant =. alculer O et. Vers la solution : On démontre que les triangles O et O ont leurs angles deux à deux égaux. On écrit trois rapports égaux faisant intervenir des longueurs de segments de la figure. On calcule O et. Rédiger la solution. 4 3 O 2 5 RÉINVSTISSNT On donne RS = 2 cm, ST = 3 cm,t = 4,8 cm et T = 3,6 cm. alculer RT et. R S T 2 ngles Objectif : Utiliser des triangles semblables pour calculer ou comparer des angles. On établit que les triangles sont semblables en démontrant que leurs côtés sont proportionnels. On écrit ensuite que leurs angles sont égaux. XPL On donne = 4, = 5, = = 6, = 9, =7,5. émontrer que la droite () est la bissectrice de. Vers la solution : On calcule, et, puis on commente la réponse obtenue. On en déduit des égalités d angles et le fait que la droite () est la bissectrice de. Rédiger la solution. RÉINVSTISSNT ans la figure suivante, le rectangle a été décomposé en trois carrés isométriques de côté 1. 1. alculer, et. 2. n déduire que les triangles et sont semblables. 3. émontrer que et ont la même bissectrice. 234 r chapitre 8 Triangles isométriques Triangles semblables

3 ires Objectif : Utiliser des triangles semblables pour comparer des aires. On établit que des triangles sont semblables. On exprime leur rapport de similitude. On utilise le fait que leurs aires sont dans le rapport 2. XPL La figure ci-contre représente un carré. I et sont les milieux de deux côtés. On cherche le rapport entre l aire du triangle rouge et celle du carré. Vers la solution : On démontre que les triangles I et sont isométriques et on commente les valeurs des angles IK et I. On démontre que les triangles IK et I sont semblables. On calcule le rapport de similitude ainsi que le rapport ire (IK) ire (I). ire (IK) On en déduit le rapport. ire () Rédiger la solution. I K RÉINVSTISSNT Le cercle représenté ci-contre a pour diamètre []. Soit K sur []. La perpendiculaire à () menée par K coupe le cercle en. La médiatrice de [] coupe [] en J. La perpendiculaire à la droite (J) menée par J coupe [] en. On souhaiterait positionner le point K pour que l aire du triangle rouge soit la moitié de celle du triangle. 1. a. ontrer que J =. b. n déduire que les triangles J et sont semblables. c. n déduire : pour que l aire du triangle rouge soit la moitié de celle du triangle, il faut que = 2 puis que K = 2 O. J INITION : on pourra montrer que K O = J. J 2. Proposer une construction du point K cherché. K O chapitre 8 Triangles isométriques Triangles semblables r 235

1. Thalès et les triangles semblables Objectif : omment transformer une situation avec deux triangles semblables en une configuration de Thalès pour démontrer que des triangles semblables ont leurs côtés homologues proportionnels. Première situation 1. Vérifier que les triangles et sont semblables. 2. Indiquer la nature de chacune des transformations successives que subit le triangle bleu dans les figures 2 et 3. 3. émontrer que les triangles et "" sont isométriques. n déduire que puisque le point " est sur [] alors le point " est sur []. 4. émontrer que les côtés homologues des triangles et sont proportionnels. 82 64 34 34 euxième situation On suppose que les triangles et sont semblables. 1. Indiquer la nature de chacune des transformations successives que subit le triangle bleu dans les figures 2, 3 et 4. 2. émontrer que les triangles et 2 3 sont isométriques. n déduire que puisque 2 est sur [], alors 3 est sur []. 3. émontrer que les côtés homologues des triangles et sont proportionnels. igure 1 igure 1 82 64 ' ' 1 34 1 igure 2 2 igure 2 82 64 2 ' 1 ' igure 3 1 " 34 2 82 64 " 2 3 igure 3 igure 4 236 r chapitre 8 Triangles isométriques Triangles semblables

2. émonstration et sangaku Objectif : émontrer, à l aide des triangles semblables, que la conjecture évoquée à la page 228 est vraie. Résultat préliminaire On désigne par s l aire du triangle, p son périmètre et par r le rayon de son cercle inscrit. 1. émontrer : 2s = rp. INITION : on pourra s intéresser aux triangles O, O et O. 2. Soit ''' un triangle semblable à. On désigne par le rapport de similitude ''. Soit r' le rayon du cercle inscrit dans '''. éduire de la question 1 que r' = r. K O I émonstration de la conjecture Le triangle est rectangle en. hacun des trois cercles est inscrit dans le triangle qui le contient. Les quadrilatères verts sont tous les trois des carrés. On note r 1, r 2 et r 3 les rayons des cercles de la gauche vers la droite. e même c 1, c 2 et c 3 désignent les côtés des carrés dans le même ordre. On désigne par la mesure de l angle. I J 1. xpliquer pourquoi tous les triangles visibles sur la figure sont semblables. 2. a. émontrer que c 3 = c 2( sin + 1 cos ). INITION : on pourra remarquer que c 3 =I+J. b. n déduire que r 3 = r 2 ( sin + 1 cos ). INITION : utiliser le rapport de similitude de deux triangles bien choisis. 3. émontrer que l on a aussi : r 2 = r 1( sin + 1 cos ). 4. Pour conclure, comparer les produits r 1 r 3 et r 22. chapitre 8 Triangles isométriques Triangles semblables r 237

3. Quadrilatères de même forme Objectif : S interroger sur la notion de forme pour d autres figures que des triangles et essayer de fournir une définition de cette notion. Première approche Parmi les polygones ci-contre, quel est celui qui paraît «avoir la même forme» que le polygone 1? Préciser les critères qui ont pu guider ce choix (nombre de côtés, angles, ). 1 2 3 5 4 Étude du problème as des rectangles On considère le rectangle 1. a. Parmi les rectangles dessinés ci-dessous, lequel vous paraît «avoir la même forme» que le rectangle? b. Quel critère a pu guider ce choix? c. Les critères retenus dans la partie ont-ils été efficaces ici? 4 cm 6 cm R 6 cm S 2 cm U T 5 cm 2 cm 3 cm N 4 cm Q P 2. onstruire un rectangle de même forme que et de périmètre 12 cm. as de quadrilatères quelconques 1. À la vue de ce qui précède, on peut se demander si la proportionnalité des côtés suffit à caractériser des quadrilatères de même forme. Observons pour cela les polygones ci-contre. a. Les deux quadrilatères ont-ils des côtés proportionnels? b. Ont-ils pour autant la même forme? N Q P 238 r chapitre 8 Triangles isométriques Triangles semblables

2. a. On considère le quadrilatère. Parmi les quadrilatères dessinés ci-dessous, lequel vous paraît «avoir la même forme» que le quadrilatère? alculer la longueur des trois côtés non mesurés de ce quadrilatère. 2,5 cm 5 cm 5,5 cm 4 cm 6,6 cm U R 7,7 cm S T Q N P 8,8 cm b. On donne = 7 cm et US = 9,8 cm ; = 8,4 cm et NQ = 11,2 cm. ontrer que et le quadrilatère précédemment sélectionné se décomposent en deux triangles qui sont respectivement semblables. Ne serait ce pas là finalement la définition recherchée? c. ontrer que les deux quadrilatères suivants se décomposent en deux triangles qui sont respectivement semblables. Les deux quadrilatères ont-ils pour autant la même forme? 4,0 cm 3,0 cm Q 3,6 cm 4,5 cm 2,7 cm N 3,0 cm 5,0 cm 3,0 cm 4,5 cm 7,5 cm P d. Proposer finalement une définition correcte de deux quadrilatères de même forme. chapitre 8 Triangles isométriques Triangles semblables r 239

4. Le problème de Napoléon Objectif : Utiliser des triangles semblables pour résoudre un problème historique. On dit que Napoléon, ancien artilleur, était épris de géométrie. Ses contacts avec le mathématicien italien ascheroni lors de la campagne d Italie lui auraient permis de résoudre le problème suivant : On a égaré le centre du cercle tracé ci-contre. Le but est de le retrouver avec l aide exclusive d un compas. onstruction 1. hoisir un point sur le cercle. Tracer un cercle 1 de centre qui coupe en deux points. Soient et N ces deux points. 1 N 2. Tracer les cercles 2 et 3 de centres et N et qui passent par. es deux cercles se coupent en et en un point qu on nomme. 3. Tracer le cercle 4 de centre qui passe par. e cercle coupe 1 en deux points. Soient P et Q ces deux points. 4. Tracer les deux cercles 5 et 6 de centre P et Q et qui passent par. es deux cercles se coupent en et en O. Nous allons démontrer dans ce qui suit que le point O est le point cherché. Pour cela, nous allons d abord établir que le triangle O est isocèle en O, ce qui permettra de déduire que O = O. Nous ne serons alors pas bien loin de la conclusion. 240 r chapitre 8 Triangles isométriques Triangles semblables

émonstration 5 2 P 1 O 4 Q N 3 6 Pour démontrer que O = O 1. a. Justifier les égalités P = Q, P = Q et OP = OQ. b. n déduire que, et O sont alignés. 2. a. Pourquoi les triangles P et PO sont-ils isocèles? b. n remarquant que ces deux triangles ont un angle commun, établir que ce sont des triangles semblables. c. À l aide de la proportionnalité des côtés de ces deux triangles, établir que =. O d. n déduire que les triangles O et sont semblables. INITION : utiliser le critère de similitude démontré à l exercice 22. 3. a. Quelle est la nature de? b. n déduire que O = O. Pour démontrer que O est bien le centre cherché 1. Pourquoi a-t-on O = ON? 2. Justifier que O est le centre du cercle. chapitre 8 Triangles isométriques Triangles semblables r 241

Triangles isométriques 1 xpliquer pourquoi les deux triangles ci-dessous sont isométriques. 5 ême exercice que le précédent avec les données suivantes : ' 112 6,3 cm 23 23 6,3 cm 112 ' 2 ans la figure ci-dessous, les droites 1 et 2 sont parallèles, = et =. Pourquoi peut-on être sûr que =? 6 ans la figure suivante, on donne = 14, = 45 et = 5 cm. onstruire un triangle ''' isométrique à. Justifier. 1 2 7 Les triangles de sommets,, et R,, I sont isométriques. Recopier et compléter le tableau suivant : INITION : on pourra s aider d une figure faite au brouillon pour chacun des trois cas. 3 est un triangle rectangle en tel que = 8,1 et = 36 et est un triangle rectangle en. ans chacun des cas suivants, les triangles et sontils isométriques? Justifier. a. = 36,9 et = 8,1 b. = 36 et = 36,9 c. = 36 et = 36,9. 4 Reproduire la figure suivante sur quadrillage. À l aide du quadrillage et d une règle non graduée, construire un triangle ''' isométrique à. INITION : on donnera deux solutions en utilisant des couleurs différentes. ' ' Éléments du triangle Éléments homologues du triangle RI a. b. c. [] [R] [R] [] [] 8 Soit le triangle représenté ci-dessous : Indiquer, pour chacun des cas suivants, si on est sûr que les triangles et sont isométriques. Si tel est le cas, préciser les sommets homologues. R 63 [RI] 5 cm 6 cm 70 R 242 r chapitre 8 Triangles isométriques Triangles semblables

a. = 6 cm, = 5 cm et = 70 b. = 5 cm, = 63 et = 70 c. = 6 cm, = 70 et = 63 d. = 5 cm, = 6 cm et = e. = 5 cm, = 6 cm et = 63 f. = 6 cm, = 70 et = 47. Triangles semblables 9 Soit et RST deux triangles tels que = 48, = 50, RST = 50 et RTS = 82. émontrer que ces deux triangles sont semblables. 10 ans la figure ci-dessous, on suppose que les droites () et () sont parallèles. 1. émontrer que les triangles et sont semblables. 2. On suppose à présent que est un point de [], que N est un point de [] et que et N sont deux triangles semblables. st-on sûr alors que les droites (N) et () sont parallèles? Justifier la réponse. 13 Soit et deux triangles semblables. On suppose que deux côtés homologues ont la même longueur. Que peuton dire de ces deux triangles? 14 ans la figure suivante, et N sont deux points de la bissectrice de l angle xoy. émontrer que les triangles ON et OK sont semblables. O N Pour les exercices 15 et 16, on considère un triangle tel que : = 3 cm, = 5 cm et = 6 cm. K x y 11 N émontrer que les triangles NK et sont semblables. 2,4 3 1,5 K 4,8 15 Le triangle RST est semblable au triangle. Les sommets et R d une part et les sommets et S d autre part sont homologues. Recopier et compléter le tableau suivant : RS ST TR a. 5cm b. 7cm c. 9cm 12 ans la figure ci-dessous, les points I, J et K sont les milieux respectifs des côtés du triangle. I J 16 ans chacun des cas suivants, indiquer si les triangles et sont semblables. Si tel est le cas, préciser leurs sommets homologues. a. 3,6 6 7,2 b. 10,8 9 5,4 c. 3,5 5,5 6,5 1. Prouver que les triangles IJK et sont semblables. 2. a. Préciser le rapport de réduction. b. omment obtient-on l aire du triangle IJK à partir de celle de? K 17 On considère la figure de l exercice 8. Le triangle est semblable au triangle. Les sommets et d une part, et d autre part sont homologues. Recopier et compléter le tableau ci-dessous : a. 7,5 cm b. 8,4 cm chapitre 8 Triangles isométriques Triangles semblables r 243

18 Le triangle est semblable au triangle. Les sommets et d une part, et d autre part sont homologues. Reproduire la figure ci-dessous sur quadrillage. À l aide du quadrillage et d une règle non graduée, construire le triangle. 3. a. émontrer que =. b. onclure. INITION : on donnera toutes les solutions en utilisant des couleurs différentes. 19 ême exercice que le précédent dans les deux cas suivants : a. 21 L objectif est de démontrer le théorème suivant : «Si deux triangles ont un côté de même longueur compris entre deux angles respectivement égaux, alors ils sont isométriques». ans les figures de l exercice précédent, on suppose que : =, = et =. 1. émontrer que = K (on pourra utiliser le cosinus). 2. a. émontrer que = K (on pourra utiliser le sinus). b. émontrer que = K. c. n déduire que = puis que = K. d. onclure. K Un nouveau critère de similitude b. émonstrations 20 L objectif de cet exercice est de démontrer le théorème suivant : «Si deux triangles ont un même angle compris entre deux côtés respectivement égaux, alors ils sont isométriques». ans les figures ci-après, on suppose que : =, = et =. 1. émontrer que = K (on pourra utiliser le sinus). 2. a. émontrer que = K (on pourra utiliser le cosinus). b. n déduire que K =. On établit pour un exemple de deux triangles un nouveau critère de similitude dont on admet la généralisation : exercice 22. On réinvestit ensuite ce résultat dans les exercices 23 et 24. 22 1. Vérifier que les deux triangles ci-dessous ont un angle égal compris entre deux côtés respectifs proportionnels. 2. a. Soit '' le translaté de suivant le vecteur. émontrer que les triangles '' et sont isométriques. b. On considère une des rotations de centre qui envoient le point ' sur le segment []. Soit " et " les images de ' et de ' par cette rotation. 4 émontrer que les triangles "" et 30 5 sont isométriques. 6 30 c. Pourquoi le point " est-il sur le segment []? 7,5 d. émontrer que les triangles et sont semblables. Nous admettrons par la suite que le résultat obtenu ici se généralise et qu ainsi : «Si deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés respectifs proportionnels, alors ils sont semblables.» 244 r chapitre 8 Triangles isométriques Triangles semblables

23 Les triangles et SJP représentés ci-dessous sont-ils semblables? Justifier la réponse. 28 iter le plus possible de triangles semblables dans la figure suivante. Justifier la réponse. S 5 29 4 P 7,5 6 99 52 J 24 onstruire un triangle semblable au triangle représenté ci-dessous tel que et soient les sommets homologues respectifs de et, et = 6 cm. 6 29 1. Soit et deux triangles rectangles ayant chacun un angle de 42. Que peut-on dire de ces deux triangles? 2. On suppose de plus que ces deux triangles ont des hypoténuses de même longueur. Que peut-on dire de ces deux triangles? Justifier la réponse. 3. Que peut-on penser de l affirmation : «Si deux triangles rectangles ont chacun un angle de 35 et un côté de 5 cm, alors ils sont isométriques.»? 4 55 Raisonner avec des triangles isométriques Triangles particuliers 30 Soit un parallélogramme, O le point d intersection de ses diagonales. Une droite qui passe par O coupe [] en et [] en N. 1. émontrer que les triangles O et ON sont isométriques. 2. Que peut-on en déduire pour les longueurs et N? Pour les exercices 25 et 26, on suppose que et sont deux triangles isocèles respectivement en et en. 25 1. On suppose que = et =. Que peut-on dire des triangles et? 2. Que penser de l affirmation : «Si deux côtés d un triangle isocèle ont les mêmes longueurs que deux côtés d un autre triangle isocèle, alors ces deux triangles sont semblables.»? 26 1. On suppose que = = 40. émontrer que les triangles et sont semblables. 2. Que penser de l affirmation : «Pour deux triangles isocèles, si un angle de l un est égal à un angle de l autre, alors ils sont semblables.»? 27 1. Pourquoi deux triangles équilatéraux sont-ils toujours semblables? 2. Pourquoi deux triangles rectangles et isocèles sont-ils toujours semblables? 31 Soit un triangle rectangle en. La bissectrice de coupe () en. Sur le segment [], on place le point tel que =. La perpendiculaire à () en coupe () en. 1. Réaliser cette figure. 2. ontrer que les triangles et sont isométriques. 3. iter deux triangles isocèles de la figure. 32 Le triangle est isocèle en. La médiatrice de [] coupe () en. On note le point de la droite () tel que =, avec et de part et d autre de. 1. émontrer que le triangle est isocèle. 2. omparer les angles et. 3. émontrer que les triangles et sont isométriques. 4. Quelle est la nature du triangle? chapitre 8 Triangles isométriques Triangles semblables r 245

33 et sont deux triangles équilatéraux construits à l extérieur du triangle. Raisonner avec des triangles semblables 36 1. émontrer que dans la figure suivante où (I) est la bissectrice de, les triangles et I sont semblables. 1. a. ans la figure précédente, quel segment autre que [] semble avoir pour longueur? b. Quels triangles isométriques utiliser pour démontrer cette égalité? c. émontrer l isométrie de ces deux triangles. onclure. 2. a. omparer les angles et. b. () coupe () en I et () en J. émontrer que les triangles J et JI sont semblables. c. n déduire la mesure de l angle I. 34 Tracer un triangle tel que. La bissectrice de coupe () en un point. Le cercle de centre et de rayon coupe [] en. 1. ontrer que les triangles et sont isométriques. 2. Quelle est la nature du triangle? 35 Soit un triangle isocèle en, et un point du segment []. 2. n déduire que = I. 37 1. émontrer que dans la figure suivante les triangles Q et PN sont semblables. 2. n déduire l égalité N N = P Q. 3. a. Refaire la figure dans le cas où la sécante (P) passe par P le centre O du cercle. Q émontrer que N = O 2 R 2 où R désigne le centre du cercle. b. pplication : dans la figure ci-contre, calculer sachant que le carré a pour côté 6 cm. I 38 ans la figure suivante, la droite () est tangente au cercle en. K P 1. a. Réaliser une telle figure. b. Tracer la parallèle à () passant par. Soit I le point d intersection de cette droite avec (K). 2. a. émontrer que les triangles et I sont isométriques. b. n déduire que la somme + K ne dépend pas de la position du point sur le segment []. 246 r chapitre 8 Triangles isométriques Triangles semblables 1. Quelle est la nature de chacun des triangles OP, OPQ et OQ? O Q

2. n déduire que PO + QO + OQP = 90 puis que P = QP. 3. Prouver que P et Q sont deux triangles semblables. 4. n déduire que 2 =P Q. 5. pplication : soit un triangle équilatéral de côté a. P Le point Q du côté [] vérifie Q = a. 4 alculer Q et en déduire P. Q I 40 1. On donne = x et = y. a. alculer x +2y. b. Repérer sur la figure les angles de mesure x et ceux de mesure y. 2. On donne = 5 cm et = 3 cm. a. éduire de la question 1 que les triangles et sont semblables. b. alculer. 3. a. éduire de la question 1 que les triangles et sont semblables. b. alculer. 39 ans la figure suivante, le triangle NP est inscrit dans le cercle. La droite () est la bissectrice de l angle NP. 41 ans la figure ci-dessous, deux cercles et ' de centre et se coupent en et. Une droite qui passe par recoupe en et ' en. N P 1. émontrer que les triangles N et N sont semblables. 2. n déduire que N 2 =. 3. émontrer que P 2 =. Que peut-on en déduire pour le triangle NP? 4. pplication : le rectangle de longueur 4 et de largeur 3 est inscrit dans le cercle bleu. La bissectrice de coupe le cercle en. a. Que peut-on déduire de la question 3? b. n remarquant que [] est un diamètre du cercle, indiquer la nature précise du triangle. c. alculer. 1. a. omparer les mesures des angles et. b. émontrer que =. c. Que peut-on en déduire pour et? 2. a. émontrer que les triangles et sont semblables. INITION : on pourra s intéresser aux angles et. b. On note r = et R =. éduire de la question 2a que, lorsque pivote autour du point, le rapport reste égal à un nombre fixe que l on exprimera en fonction de r et de R. 42 Le point est l orthocentre du triangle. 1. émontrer que les triangles ' et ' sont semblables. n déduire que ' = '. 2. Quel est l orthocentre du triangle? n déduire que ' = '. ' ' chapitre 8 Triangles isométriques Triangles semblables r 247

Relations métriques dans le triangle rectangle Pour les exercices 43 et 44, on considère un triangle rectangle en et de hauteur []. 43 1. émontrer que les triangles et sont semblables. 2. n déduire que 2 =. 3. pplication : a. onstruire à l aide d une équerre et d un compas un triangle rectangle de hauteur [] tel que = 2 cm et = 5 cm. ombien mesure []? b. n s inspirant de ce qui précède, construire en utilisant exclusivement un morceau de règle graduée de 7 cm et un compas, un segment de longueur 21 cm. Problèmes de périmètres et d aires 46 ans la figure ci-dessous, les points,, et sont alignés et les droites () et () sont parallèles. omparer les aires des deux triangles. 44 1. émontrer que les triangles et sont semblables. 2. n déduire que 2 =. 3. pplication : a. onstruire, à l aide d une équerre graduée et d un compas, un triangle rectangle de hauteur [] tel que = 1 cm et = 7 cm. ombien mesure []? b. n s inspirant de ce qui précède, construire, en utilisant exclusivement un morceau de règle graduée de 8 cm et un compas, un segment de longueur 15 cm. 45 On sait que uclide connaissait les triangles semblables et leurs propriétés. Il est donc probable qu il connaissait la démonstration suivante du théorème de Pythagore. 47 1. Un triangle a pour côtés 25 m, 30 m et 35 m. Quelles seraient les longueurs des côtés d un triangle semblable de périmètre 675 m? 2. ans un triangle rectangle, les côtés de l angle droit mesurent 6 m et 9 m. Quelles seraient les longueurs des côtés de l angle droit d un triangle semblable d aire 675 m 2? 48 1. a. émontrer que les deux triangles représentés ci-dessous sont semblables. b. Préciser leurs sommets homologues ainsi que le rapport d agrandissement. 2. éterminer les rapports périmètre de aire de et périmètre de aire de. 5 1. ontrer que les triangles, et sont semblables. 2. n déduire que 2 = et 2 =. 3. n déduire que 2 + 2 = 2. 4 7 2 2,5 3,5 248 r chapitre 8 Triangles isométriques Triangles semblables

49 ême exercice que le précédent dans le cas des triangles ci-dessous : INITION : on pourra utiliser le critère de similitude évoqué dans l exercice 22. ans un repère Pour les exercices 52 et 53, on a muni le plan du repère orthonormé (O ; I, J). 52 1. Représenter les points (1 ; 0), (2 ; 3), (0 ; 4), ( 2 ; 2), (2 ; 0) et (0 ; 6). 2. À l aide de calculs de longueurs, démontrer que les angles et sont égaux. 6 30 9 2 30 3 53 1. Représenter les points ( 6 ; 5), ( 9 ; 3), ( 5 ; 2), (2 ; 6), (4 ; 2) et (8 ; 4). 2. À l aide de calculs de longueurs, démontrer que l aire de est quatre fois plus grande que celle de. 50 ans la figure suivante les points et sont sur le cercle de diamètre [] et de centre O. 1. a. émontrer que les triangles I et I sont semblables. b. alculer en fonction du rayon R du cercle. n déduire que le rapport d agrandissement est 2. 2. émontrer que l aire de I est le double de celle de I. O I pplication pratique 54 es rectangles de même forme On rappelle (voir T 3) que deux rectangles sont de même forme quand leurs dimensions sont proportionnelles. Les feuilles de papier que l on emploie couramment sont des rectangles qui ont les mêmes formes (pour faciliter la duplication à l échelle) et dont les dimensions n'ont pas été fixées au hasard. n effet, elles répondent essentiellement à 2 critères : Une feuille de format 3 contient exactement deux feuilles de format 4, et ainsi de suite suivant le principe suivant : 51 Un rapport d aires Soit un carré de côté 8 cm. On nomme le milieu de []. Les segments [] et [] se coupent en. Soit [] la hauteur de issue de. 1. Réaliser une figure. 2. a. émontrer que les triangles et sont semblables. b. Quel est le rapport d agrandissement? 3. On note x l aire de. a. éduire de la question 2b une expression de l aire de en fonction de x. b. À l aide de calculs de différences d aires de triangles, démontrer que l aire de peut s écrire 32 4x et aussi 16 x. c. n déduire la valeur de x. alculer le rapport entre l aire de et celle du carré. 3 3 2 chapitre 8 Triangles isométriques Triangles semblables r 249 L 4 4 3 4 La feuille de format 0 a pour aire 1 m 2 soit 10 000 cm 2. 1. a. émontrer que ( L ) 2 = 2 puis en déduire que L = 2. INITION : utiliser les aires. b. Le format 4 est une réduction du 3. Quel est le rapport de réduction? 2. xpliquer pourquoi, sachant qu une feuille de papier 0 a pour aire 10 000 cm 2, une feuille de papier 4 a pour aire 625 cm 2. 3. n déduire L et à 1 mm près. L

e que je dois savoir 1 Les éfinition symboles des N, Z, triangles, Q et R. (pp. isométriques 000 à 000) (p. 230) 2 La ritères définition ded un reconnaissance nombre décimal, derationnel, triangles isométriques irrationnel. (pp. (p. 000 230) à 000) 3 Propriétés L écriture scientifique des triangles d un nombre isométriques décimal. (pp. (p.?? 230) à??) (pp. 000 à 000) 4 L arrondi éfinition d un nombre des triangles réel au n 0 ; la troncature semblablesd un nombre (p. 232) réel au n 0 (pp. 000 à 000) 5 Une valeur approchée d un nombre réel (pp. 000 à 000) 56 La Propriété définition des d un côtés nombre de triangles premier (pp. semblables 000 à 000) (p. 232) 67 Les oefficient formules sur deles réduction puissances ou d agrandissement (pp. 000 à 000) ; les (p. radicaux 232) (pp. 000 à 000) 78 Les ritère formules de reconnaissance sur les fractions (pp. de triangles 000 à 000) semblables (p. 232) 89 Propriété Les règles des aires de de priorité triangles des semblables opérations (pp. (p. 000 232) à 000) 10 Les identités remarquables (pp. 000 à 000) e que je dois savoir faire 1 Identifier des éléments homologues de triangles isométriques (p. 231) 2 Reconnaître et justifier que des triangles sont isométriques (p. 231) 3 Utiliser des triangles isométriques pour démontrer (p. 231) 4 Reconnaître et justifier que des triangles sont semblables (pp. 233 à 235) 5 Identifier des éléments homologues de triangles semblables (p. 232) 6 Utiliser les triangles semblables pour démontrer (pp. 233 à 235) 7 alculer le coefficient de réduction ou d agrandissement (pp. 233 à 235) 8 Utiliser le rapport de similitude pour calculer des longueurs ou des aires (pp. 233 à 235) Qui a raison? 250 r chapitre 8 Triangles isométriques Triangles semblables

hoisir la (ou les) affirmation(s) juste(s) Pour vérifier vos résultats, voir page 354. 1 ans ces triangles isométriques L R l homologue de L est l homologue de RL est l homologue de [] est [R] 2 Pour que deux triangles soient isométriques, il suffit qu ils aient deux côtés respectivement égaux et un angle égal un côté de même longueur et deux angles égaux trois côtés respectivement de même longueur 3 L R P T Q P T Q Pour que LR et soient isométriques, on peut placer en K 4 I ans les triangles semblables l homologue de est K l homologue de est IK l homologue de [I] est [] 5 ans les triangles semblables de la question 4, on donne : = 6 cm et K = 3 cm. lors IK est une réduction de dans le rapport 1 2 = 2K = 2 KI 6 ans les triangles semblables de la question 4, on donne : = 3 cm, = 5 cm, I = 2 cm. lors K = 10 3 K = 15 2 IK = 10 3 7 ans les triangles semblables de la question 4, on suppose que = 8 et IK = 5. lors ire() = 1,6 ire(ik) ire() = 2,56 ire (IK) IK est une réduction de dans le rapport 8/5 8 J I I J Pour que et soient semblables, on peut placer en chapitre 8 Triangles isométriques Triangles semblables r 251

55 alcul d un diamètre ans un triangle, on donne = 3 cm, = 4 cm et on suppose que la hauteur [] mesure 2,5 cm. alculer le diamètre du cercle circonscrit au triangle. INITION : on pourra comparer les triangles et ' (où ' est le point diamétralement opposé à ). 56 ouble carré ans la figure suivante, et sont deux carrés. 1. émontrer que les triangles et sont isométriques. 2. Que peut-on en déduire pour les longueurs et? 3. émontrer que les droites () et () sont perpendiculaires. 57 Un partage équitable On a découpé un triangle en trois zones par des parallèles à la droite (), comme indiqué sur la figure. 2 e partie (synthèse) : Soit un triangle. On souhaite à présent construire à la règle et au compas les points et N qui répondent à la question. 1. a. onstruire un triangle équilatéral, de côté. Soit son centre de gravité. ontrer que = k où k est le nombre trouvé dans la 1 re partie. b. onstruire un carré de côté. ontrer que sa diagonale a pour longueur d = h où h est le nombre trouvé dans la 1 re partie. 2. On place sur [) le point tel que = et le point N tel que N = d. ontrer que les points et N obtenus conviennent. 58 Tous liés Soit un triangle inscrit dans un cercle, [] sa hauteur issue de, et le point du cercle diamétralement opposé à. 1. Réaliser une figure. 2. émontrer que les triangles et sont semblables. 3. a. On désigne par R le rayon du cercle. émontrer que =. 2R b. On désigne par l aire du triangle et par a, b et c les longueurs de ses côtés. émontrer l égalité 4R = abc. 59 Somme de distances ans la figure ci-dessous, on a représenté un triangle équilatéral et son cercle circonscrit. est un point de l arc qui ne contient pas. Le but de l exercice est de prouver l égalité + =. RRQU : cette égalité peut être conjecturée à l aide d un logiciel de géométrie. ' N' N K On souhaite trouver la position des points et N pour que les aires des trois zones soient égales. 1 re partie (analyse) : Supposons que et N conviennent. 1. alculer le rapport k =. INITION : on pourra utiliser l effet sur l aire d une réduction de rapport k. 2. alculer h = N. 252 r chapitre 8 Triangles isométriques Triangles semblables 1. a. émontrer que = 60. b. Soit K le point de [] tel que K =. Quelle est la nature du triangle K? 2. a. À l aide de l angle K, démontrer que = K. b. n déduire que les triangles et K sont isométriques. c. onclure.

60 Un autre «sangaku» On admettra dans cet exercice le résultat démontré dans la partie du T2, à savoir : «si deux triangles sont semblables, les rayons des cercles inscrits sont dans le même rapport que le rapport de similitude». ans la figure suivante, est un triangle rectangle en. et sont les milieux des côtés [] et []. On a inscrit le rectangle dans le triangle. On a représenté les cercles inscrits dans les triangles rectangles, et. Ils ont pour centres respectifs O 1,O 2 et O 3 et pour rayons respectifs R 1,R 2 et R 3. O 2 62 À côtés parallèles 1. a. émontrer que deux triangles qui ont des côtés deux à deux parallèles sont semblables. b. n est-il de même pour deux rectangles? Rappel : dire que deux rectangles sont semblables signifie que le rapport des longueurs est égal au rapport des largeurs (voir T 3). 2. Reprendre la question 1a dans le cas où les côtés sont deux à deux perpendiculaires. 63 u tiers des trois côtés ans la figure ci-dessous, les points, et sont situés au tiers de chaque côté du triangle équilatéral. O 3 O 1 1. émontrer que les triangles, et sont semblables. 2. n déduire que R 1 = R 2 et R 3 =. R 2 3. émontrer que R 12 +R 32 =R 22. P N 61 La règle de ostor Les deux triangles rectangles et ci-dessous sont semblables. 1. On note k le rapport. iter deux autres quotients égaux à k. 2. À l aide du nombre k, établir l égalité : 2 2 + 2 2 = 2. INITION : on pourra montrer que ces deux expressions sont égales à 2k 2 2 2. 3. n déduire la règle énoncée par ostor, auteur mathématicien du XIX e siècle : «Lorsque deux triangles rectangles sont semblables, le produit des hypoténuses est égal à la somme des produits des autres côtés homologues», autrement dit = +. 4. Qu obtient-on si on applique la «règle de ostor» à un triangle rectangle en remarquant qu il est semblable à lui-même? 1. On note = a. émontrer que 2 = 7a2 9. Indication : on pourra introduire le point I milieu de []. aire () 2. éterminer le rapport aire (). 3. a. émontrer que les triangles et sont isométriques. n déduire que P et sont semblables. b. n utilisant les questions 1 et 3a, déterminer le rapport aire (P) aire (). aire (NP) 4. n déduire le rapport aire (). 5. a. émontrer que le triangle NP est équilatéral. b. n déduire que les triangles et NP sont semblables. c. éduire de ce qui précède l expression de P en fonction de a. chapitre 8 Triangles isométriques Triangles semblables r 253

Problèmes de synthèse 64 À parts égales ans le triangle, = 13, = 14 et = 15. I est un point du segment []. On a tracé la perpendiculaire à () passant par I, délimitant deux zones dans le triangle. On souhaite déterminer la position du point I pour laquelle les aires de ces deux zones sont égales. 66 Le théorème de Ptolémée Le quadrilatère représenté ci-contre est inscrit dans un cercle. J Première partie (analyse) On suppose que le point I répond à la question. On pose I = x. 1. Soit [] la hauteur du triangle issue de. a. Le point I est-il sur [] ou sur []? b. émontrer que 2 peut s écrire 13 2 (14 ) 2 et aussi 15 2 2. c. n déduire la valeur de puis celle de. 2. a. alculer l aire de et en déduire celle de IJ. b. alculer l aire de et en déduire la valeur du rapport aire IJ aire. 3. a. émontrer que les triangles IJ et sont semblables. aire IJ b. n déduire une expression de en fonction de x. aire 4. À l aide des questions 2b et 3b, calculer la valeur de x. I On a construit le point sur [] tel que =. 1. a. émontrer que les triangles et sont semblables. b. émontrer que et sont semblables. 2. n déduire que : a. = b. =. 3. aucuns prétendent que pour un quadrilatère inscrit dans un cercle, le produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés. Que doit-on en penser? 67 utour des milieux On donne un triangle dont les côtés ont pour milieux I, J et K. On fait tourner chaque droite support d un côté d un même angle autour du milieu du côté comme indiqué sur la figure. Les droites ainsi obtenues donnent un nouveau triangle '''. ' euxième partie (synthèse) 1. onstruire un triangle répondant aux hypothèses et placer le point I correspondant à la valeur de x trouvée dans la 1 re partie. 2. émontrer que l on obtient bien le découpage attendu. I J 65 Une somme invariante 1. Soit un triangle isocèle en. Placer un point sur []. Tracer la hauteur [J] du triangle et la hauteur [] du triangle. Le cercle de diamètre [] recoupe () en K. 2. a. émontrer que les droites (K) et () sont parallèles. b. n déduire que la distance du point à la droite () est K. 3. a. émontrer que les triangles K et J sont isométriques. b. n déduire que la somme des distances du point aux côtés [] et [] du triangle ne dépend pas de la position du point sur []. 254 r chapitre 8 Triangles isométriques Triangles semblables ' K 1. émontrer que les triangles et ''' sont semblables. 2. Étudier le cas particulier où est équilatéral et où l angle de rotation est 60. onner dans ce cas le rapport de similitude. 3. Étudier le cas où est équilatéral et où l angle de rotation est 30. '