Liaison sup/spé Il n existe pas d idée franchement mauvaise, ce qui est franchement mauvais, c est de ne pas avoir d idée du tout. George Pólya (1887-1985) Cahier de vacances Mathématiques Lycée Jean-Baptiste Kléber Rien n est beau comme Kléber un jour de combat Napoléon Bonaparte 2015-2016
Liaison sup/spé 1 Préambule Nous avons conçu ce polycopié afin que vous abordiez l année de Spé dans les meilleures conditions. La deuxième année de préparation aux concours est courte et comporte un programme conséquent qui s appuie sur celui de première année. Il importe donc que vous ayez dès la rentrée prochaine des bases solides sur lesquelles nous allons construire et faire fonctionner les concepts de seconde année. Afin que vous soyez efficaces dès votre arrivée en Spé, nous vous recommandons de bien vous reposer pour être en bonne forme physique, de suivre le planning de travail indiqué dans ce polycopié. Quelques explications sur ce qu il contient : Programme : il s agit de certaines parties du programme de Sup que vous devez maîtriser et qui ne seront pas reprises en détail en Spé. Nous y avons ajouté des conseils de révision du cours et des questions méthodologiques. Exercices : il s agit d énoncés que vous travaillerez pour vérifier vos acquis et/ou vous rendre compte de vos difficultés éventuelles. Certains exercices sont faciles, d autres moins : nous avons indiqué pour chacun un temps approximatif de résolution. L essentiel est, pour chaque énoncé, soit que vous sachiez le résoudre, soit que vous ayez des questions à nous poser sur le sujet. Puis nous les reprendrons, les corrigerons ou les approfondirons éventuellement à la rentrée. Nous vous invitons à collecter vos solutions dans un cahier afin que vous puissiez utiliser au mieux votre travail à la rentrée. Nous vous proposons de noter vos difficultés ou points de blocage et mettons à votre disposition l adresse mail suivante : kleber.questions@gmail.com si vos questions ne peuvent attendre la rentrée. Annexes : il s agit d un formulaire portant sur les développements limités usuels et d un formulaire de trigonométrie à compléter. Assurez-vous de n avoir aucune hésitation sur leur contenu. Et maintenant, bonne fin d année scolaire, bonnes vacances, bonne lecture et bon travail, Les professeurs de Mathématiques du lycée Kléber 2015-2016 1
Liaison sup/spé 2 Vendredi 14 août : de l algèbre et des suites pour s échauffer Say what you know, do what you must, come what may. Sofia Kovalevskaya (1850-1891) Conseils de révision. Revoir le chapitre sur les nombres complexes; on accordera une importance particulière à ce qui concerne les racines de l unité. Revoir les formules de la trigonométrie circulaire (on complétera le formulaire donné en annexe). Revoir les grands théorèmes du chapitre sur les suites numériques. Exercice 1. (ç5+5 minutes) 1 o ) Trouver tous les nombres réels vérifiant (x+1) 2 = x 2. 2 o ) Trouver tous les nombres réels vérifiant (x+1) 2 = x 2. Exercice 2. (ç5+5+5 minutes) 1 o ) Déterminer les racines 4 e de 1 (c est-à-dire les racines quatrièmes de l unité). 2 o ) Déterminer les racines 4 e de 1+i (c est-à-dire les nombres complexes vérifiant z 4 = 1+i). 3 o ) Soitn N,n 2.Déterminerlesracinesn e de 1(c est-à-direlesnombrescomplexesvérifiantz n = 1). Exercice 3. (ç10 minutes) Résoudre dans C l équation du second degré à coefficients complexes z 2 (9 2i)z +26 = 0 Exercice 4. (ç5minutes) Trouver le reste de la division euclidienne du polynôme (X 1) 3 par X 2 3X+2. Exercice 5. (ç10+20 minutes) Soit θ R. On pose P = Ä Xsin(θ)+cos(θ) ä n. Calculer le reste de la division euclidienne de P par X 2 +1, puis par (X 2 +1) 2. Vrai - Faux Si (u n ) est une suite réelle non majorée, alors (u n ) diverge vers +. vrai faux Si (u n ) est une suite réelle qui tend vers +, alors (u n ) est croissante à partir d un certain rang. vrai faux Si (u n ) est une suite réelle croissante et si (u 2n ) converge, alors (u n ) converge. vrai faux Si (u n ) est une suite réelle telle que (u n+1 u n ) converge vers 0, alors (u n ) converge. vrai faux Si (u n ) est une suite réelle convergente, alors ( u n ) est convergente. vrai faux 2015-2016 2
Liaison sup/spé 3 Le break du week-end du 15 août! Dans un monde toujours plus complexe, les scientifiques ont besoin des deux outils : des images aussi bien que des nombres, de la vision géométrique aussi bien que de la vision analytique. Ensembles de Mandelbrot Benoît Mandelbrot (1924-2010) Nous allons nous intéresser à la suite complexe définie par récurrence par z 0 = 0 et z n+1 = z 2 n + c pour tout n N où c est un nombre complexe. Plus particulièrement, on veut savoir si la suite ( z n ) n N diverge vers l infini lorsque n tend vers l infini. L ensemble de Mandelbrot est l ensemble des points c du plan complexe pour lesquels la suite ( z n ) n N ne diverge pas vers l infini. Il peut être démontré que dès que le module de z n est strictement plus grand que 2, la suite ( z n ) n N diverge vers l infini, et donc c est en dehors de l ensemble de Mandelbrot. L objectif est de représenter l ensemble de Mandelbrot. On commence par importer les modules numpy as np (pour manipuler des tableaux et des nombres complexes) et matplotlib.pyplot as plt pour dessiner des pixels. 1 o ) Construire une procédure mandelbrot(c) qui prend en entrée un nombre complexe c et qui renvoie le nombre d itérations nécessaires pour obtenir z n > 2 lorsque n [0,50]. Si on a alors on renvoie 1. n [0,50], z n 2 2 o ) Construire à l aide de la méthode np.linspace deux subdivisions x et y de l intervalle [ 2,2] comptant 2000 points régulièrement espacés. 3 o ) Construire à l aide de la fonction np.zeros un tableau iteration de taille 2000 2000 ayant tous ses coefficients nuls. 4 o ) Il nous faut maintenant construire l ensemble de Mandelbrot. Nous allons parcourir les tableaux x et y pour générer les nombres complexes complex(x[i],y[j]) où i [0,1999] et j [0,1999]. Pour chacun d eux, nous allons affecter à iteration[i,j] la valeur de la fonction mandelbrot pour ce nombre complexe. Une fois cela fait, le tableau iteration contient les codes couleurs des points d affixe complex(x[i],y[j]). 5 o ) Il vous reste à appeler les fonctions plt.imshow(iteration) et plt.show() pour voir le résultat. Ensembles de Julia On fixe cette fois-ci la valeur de c. On considère la suite récurrente définie par z 0 C et z n+1 = zn 2 +c pour tout n N. C est maintenant z 0 que nous allons faire varier. L ensembledejuliacorrespondantaunombrecomplexecestl ensembledesvaleursinitialesz 0 pourlesquelles la suite ( z n ) ne diverge pas vers +. On admettra encore que dès que le module de z n atteint une valeur strictement plus grande que 2, alors la suite ( z n ) n N diverge vers l infini; le complexe z 0 sera alors en dehors de l ensemble de Julia. Modifier les procédures de la partie précédente pour produire les ensembles de Julia pour les nombres complexes c = 0.28+0.53i, c = 0.63+0.67i, c = 0.85+0.2i. Vous pouvez maintenant prendre vos propres valeurs de c pour créer des images merveilleuses. 2015-2016 3
Liaison sup/spé 4 Lundi 17 août : inégalités et fonctions usuelles To understand mathematics means to be able to do mathematics. And what does it mean doing mathematics? In the first place it means to be able to solve mathematical problems. George Pólya (1887-1985) Conseils de révision. Revoir le chapitre concernant les fonctions usuelles. Revoir les manipulations d inégalités. Quelques questions naturelles : Quelles sont les opérations possibles que l on peut faire sur des inégalités? Comment établir une inégalité en effectuant une étude de fonction? Inégalités classiques : donner trois inégalités liant les fonctions usuelles. Illustrer graphiquement. Exercice 1. (ç5+10 minutes) 1 o ) Trouver tous les nombres réels vérifiant (x+1) 2 x 2. 2 o ) Trouver tous les nombres réels vérifiant (x+1) 2 x 2. Exercice 2. (ç15 minutes) Montrer que Étudier les cas d égalités. x R +, arctan(x) x x 2 +1. Exercice 3. (ç15 minutes) Montrer que Exercice 4. (ç15 minutes) Soit α [0,1]. x R +, sin(x)+sh(x) 2x. 1 o ) Montrer que (1+x) α 1+αx pour tout x R +. 2 o ) En déduire que n N, Exercice 5. (ç20 minutes) Montrer que Exercice 6. (ç20 minutes) 1 o ) x R, Étudier la convergence la suite de terme général n k=1 u n = Å 1+ α ã (n+1) α. k sh(x) ch(x) x 1+ x k=1 n n 2 +k. 2 o ) Étudier la convergence suite de terme général u n = n 2 k=1 k n 9 +k. 2015-2016 4
Liaison sup/spé 5 Mardi 18 août : équivalents et limites An expert is a man who has made all the mistakes that can be made in a very narrow field. Niels Bohr (1885-1962) Conseils de révision. Revoir le chapitre concernant la manipulation des équivalents, des o() et des O(). Revoir les équivalents usuels. Revoir les croissances comparées. Revoir les opérations sur les limites. Quelques questions naturelles : Comment étudier et calculer la limite d une fonction en un point? A quoi servent les équivalents? Quelles sont les informations conservées par équivalents? Exercice 1. (ç40 minutes) Donner un équivalent simple et la limite des expressions suivantes au voisinage indiqué. Le résultat final ne devra comporter (à l exception des constantes) que des expressions que l on ne peut plus réduire par croissances comparées : les expressions ln(x) β, x α lorsque l on se place au voisinage de 0. les expressions ln(x) β, x α, e γ x lorsque l on se place au voisinage de +. N oubliez pas que la recherche d un équivalent peut nécessiter l utilisation de développements limités (notamment lorsque l on manipule des sommes). 1 o ) 2+3x x 4 x 2 +2x 4 en +, 6 o ) sin(x)+e x x 4 x 4 +cos(x) 2 en +, 12 o ) Ä n+ln(n) ä e n+1 en +, 2 o ) 3 o ) 4 o ) n 2 ln(1+ 1 n ) tan( π n ) en +, 2x 3 3x 2 +1 2x 3 2x 2 +x 1 x x+1 en +, en 1, 7 o ) ln(n 4 +4) n+1 en +, 8 o ) ln(1+x)+sin(x) en 0, 9 o ) ln(1+x) sin(x) en 0, 10 o ) ln(1+x)+sin(x) en +, 13 o ) e x+1 x en +, 14 o ) 15 o ) cos(x) 1+x 1 en 0, ( 1+ 1 n) n/2 en +, 5 o ) x+3 x 2 1 en 1 +, ( 1+ch(x) ) 11 o ) ln en 0, 2 16 o ) ( 1+ 1 x) x/2 e en +, Exercice 2. (ç15 minutes) L objectif de cet exercice est de nettoyer les expressions suivantes de tous les termes inutiles. 1 o ) Au voisinage de 0 2 o ) Au voisinage de + A(x) = 1 Å ã 1 x 2 +o x 2 +ln(x)+3+ 1 Å ã 1 x +o. x B(x) = x+o(x)+ x+o( x)+ x2 ln(x) +x ln(x)+oä x ln(x) ä. 3 o ) Lorsque n tend vers + u n = 1 + 1 Å ã 1 n 2 n +o 2 n + 1 Å ã 1 n +o + 1 n n 2. 2015-2016 5
Liaison sup/spé 6 Mercredi 19 août : développements limités et asymptotiques Et toute science, quand nous l entendons non comme un instrument de pouvoir et de domination, mais comme aventure de connaissance de notre espèce à travers les âges, n est autre chose que cette harmonie, plus ou moins vaste et plus ou moins riche d une époque à l autre, qui se déploie au cours des générations et des siècles, par le délicat contrepoint de tous les thèmes apparus tour à tour, comme appelés du néant. Alexander Grothendieck (1928-2014) Conseils de révision. Revoir le chapitre sur les développements limités. Vous assurer de bien connaître par cœur les développements limités exigibles pour les fonctions usuelles au voisinage de 0 (voir le formulaire en annexe). Revoir les formules de Taylor locale et globale. Quelques questions naturelles : Comment montrer qu une fonction possède un développement limité au voisinage d un point à l ordre n? Quels sont les opérations sur les développements limités? Comment les effectuer? Comment se ramène-t-on au voisinage de 0? A quoi servent les développements limités? Exercice 1. (ç20minutes) Onnotef lafonctiondéfinieparf(0) = 0etf(x) = x2 sh(x) pourtoutx R. 1 o ) Montrer que le développement limité de f à l ordre 3 au voisinage de 0 est f(x) = x x3 6 +o(x3 ). 2 o ) En déduire que f est dérivable en 0 et donner f (0). Préciser la position relative locale du graphe de f par rapport à sa tangente en 0. Exercice 2. (ç50 minutes) On note f la fonction définie sur R + par la relation f(x) = x1+1 x. 1 o ) Montrer que f est prolongeable par continuité en 0. On continue dans toute la suite à appeler f la fonction prolongée sur R +. 2 o ) a) Montrer que f est dérivable sur R + et calculer f (x) pour tout x > 0. b) La fonction f est-elle dérivable en 0? 3 o ) Montrer que f possède un développement limité à l ordre 3 au voisinage de 1 et le calculer. Que peut-on en déduire concernant le graphe de f et la tangente au graphe de f en 1? 4 o ) On pose g: x x+ln(x). Montrer que f(x) g(x) x + 0. Qu en déduisez-vous? Déterminer la position relative du graphe de f et du graphe de g au voisinage de +. 2015-2016 6
Liaison sup/spé 7 Jeudi 20 août : calculs d intégrales L essence des mathématiques, c est la liberté. Georg Cantor (1845-1918) Conseils de révision. Revoir les propriétés de l intégrale. Revoir les méthodes de calcul d intégrales : intégration par parties, changement de variable, linéarisation, figures imposées. Revoir le théorème fondamental de l intégration. Revoir comment on dérive une fonction définie par une intégrale. Quelques questions naturelles : Comment montrer l existence d une intégrale? d une primitive? Comment calculer une intégrale? une primitive? Comment dérive-t-on une fonction définie par une intégrale? Citer le théorème reliant le calcul d une primitive au calcul d une intégrale. Exercice 1. Existence et calcul des intégrales suivantes : 1 o ) 1 0 x ln(1+x)dx (ç5minutes) 5 o ) 1 0 dt t 2 +2t 3 (ç10 minutes) 2 o ) 3 o ) 4 o ) π 0 2 1 π 0 sin(t)e t dt (ç5minutes) 1 du (ç2minutes) u3/2 sin(ϑ) 4 dϑ (ç10 minutes) 6 o ) 7 o ) 3 0 1 0 x arctan(x)dx (ç5minutes) du u 2 +2u+5 (ç10 minutes) Exercice 2. Calculer les intégrales suivantes à l aide des changements de variables indiqués : 4 dx 1 o ) Calculer 0 1+ x en faisant un changement devariable faisant disparaître la racine (ç10 minutes) 2 o ) Soit a ó π 2, π î a dx 2. Calculer 0 cos(x) en faisant le changement de variable t = sin(x) (ç10 minutes) 2 dx 3 o ) Calculer x x 2 1 en faisant le changement de variable x = 1 t (ç10 minutes) 2 3 Exercice 3. (ç40 minutes) On pose ϕ(x) = 1 o ) Montrer que ϕ est définie sur R? 2 o ) 1 x x arctan(t) t Étudier la parité de ϕ (on pourra faire un changement de variable affine adapté). 3 o ) Montrer que ϕ est dérivable sur R et calculer ϕ (x) pour tout x R. 4 o ) Montrer que x xϕ (x) est constante sur R +. 5 o ) En déduire l expression de ϕ(x) pour tout x R. Exercice 4. (ç5minutes) Soit f: R R une fonction continue. Dériver l expression y f(t)dt par rapport à x, par rapport à y et enfin par rapport à t. x dt. 2015-2016 7
Liaison sup/spé 8 Vendredi 21 août : synthèse analyse Exercice 1. (ç1heure) Soit f la fonction définie, pour x R +, par f(x) = 1+x x arctan( x). Wir müssen wissen, wir werden wissen. David Hilbert 1 (1862-1943) On appelle C f la courbe représentative de f. 1 o ) a) Justifier que f est indéfiniment dérivable sur R +. b) Montrer que arctan(u) u pour tout u 0. c) Étudier les variations de f sur R +. On sera sans doute amener à isoler le facteur de f (x) dont on ne connaît pas le signe et dériver une seconde fois. 2 o ) Étude locale au voisinage de 0 +. a) Calculer le développement limité de f au voisinage de 0 + à l ordre 2. b) En déduire qu en posant f(0) = 1 on réalise un prolongement par continuité de f en 0. On continuera à noter f la fonction ainsi prolongée. c) Montrer quela fonction f est dérivable en 0 et calculer f (0). Donner l équation de la (demi)-tangente à C f en 0 ainsi que la position locale de la courbe C f par rapport à cette tangente. 3 o ) Étude de f au voisinage de +. a) Montrer que arctan(x)+arctan Ä ä 1 x = π 2 pour tout x R +. b) Montrer qu il existe des réels a,b et c tels que, au voisinage de +, on ait c) Donner l allure de la courbe C f. Exercice 2. (ç1heure) On pose I n = f(x) = a x+b+ c x +o 1 0 Ç å 1 x. x n dx pour tout n N. 1+x 2 1 o ) Montrer que si u R, l équation sh(t) = u d inconnue t R possède une unique solution dans R. On pourra se ramener à une équation du second degré et on exprimera cette solution à l aide de la fonction logarithme népérien. 2 o ) Justifier l existence de I n. Calculer I 0 et I 1. 3 o ) Montrer que (I n ) n N est décroissante. Est-elle convergente? 4 o ) Montrer que n N, 1 2(n+1) I n 1 n+1. En déduire la limite de la suite (I n ) n N. 5 o ) a) En faisant le changement de variable x = sh(t), montrer que I n = ln(1+ 2) 0 sh(t) n dt. b) À l aide d une intégration par parties (on écrira l intégrande sous la forme sh(t) sh(t) n 1 ; on pourra s inspirer du calcul des intégrales de Wallis), montrer que : 2 n N, n 2, I n = n + 1 n n I n 2 c) En déduire I 2, I 3 et I 4. 1. Phrase gravée sur sa pierre tombale, à Göttingen où de nombreux mathématiciens et autres scientifiques sont enterrés. 2015-2016 8
Liaison sup/spé 9 Le break du week-end! Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905-1986) né à Dahanu près de Bombay est un mathématicien indien connu pour ses recherches sur les nombres. On lui doit la notion de nombre de Kaprekar ainsi que l algorithme de Kaprekar. Boudé par ses contemporains, ses travaux seraient passés inaperçus s ils n avaient pas été relayés par Martin Gardner, spécialiste de mathématiques récréatives. Passionné par les nombres, il dira : Un alcoolique souhaite continuer à boire pour retrouver un état de plaisir. Il en est de même pour moi concernant les nombres. Nous allons étudier l algorithme de Kaprekar découvert en 1949. On considère un entier naturel à quatre chiffres, par exemple n = 5278. On associe à cet entier le nombre n = 8752 obtenu en reclassant les chiffres formant 5278 dans l ordre décroissant et n = 2578 en reclassant ces mêmes chiffres dans l ordre croissant. La différence n n entre ces reclassements : 8752 2578 = 6174 est appelée itéré de 5278. Nous allons remarquer ce qu il se passe lorsque l on calcule les itérés d un entier à quatre chiffres donnés. Par exemple, en partant de 1826, on obtient puis le procédé stationne. 1 o ) 2 o ) 3 o ) 1826 7353 4176 6174 6174 Écrire une fonction chiffre qui prend comme entrée un entier naturel n et qui retourne la liste des chiffres dans l écriture décimale de n. Par exemple chiffre(24536) = [2,4,5,3,6]. Écrire une fonction decroissant qui prend comme entrée un entier naturel n et qui retourne le nombre entier obtenu en reclassant les chiffres formant n dans l ordre décroissant. On obtient par exemple decroissant(24536) = 65432. Écrire une fonction croissant qui prend comme entrée en entier naturel n et qui retourne le nombre entier obtenu en reclassant les chiffres formant n dans l ordre croissant. Par exemple croissant(24536) = 23456. 4 o ) Écrire une fonction Kaprekar qui prend comme entrée un entier naturel n et qui retourne n n en utilisant les notations définies ci-dessus. Par exemple : Kaprekar(1826) = 8621 1268 = 7353. 5 o ) Montrer que si on définit la fonction Kaprekar sur les nombres entiers à quatre chiffres, celle-ci est à valeurs dans l ensemble des entiers à quatre chiffres auxquels on ajoute 0 et 999. On notera Ω = [1000,9999] {0,999}. 6 o ) Trouver les points fixes de la fonction kaprekar contenus dans l ensemble Ω. 7 o ) Écrire une fonction Kaprekar it qui prend comme entrée les entiers naturels n et i qui retourne le i e -itéré de n par la fonction Kaprekar. 8 o ) Montrer que si n est un entier de [1000,9999] alors le 7 e itéré de n est dans {0,6174}. 9 o ) Écrire une fonction chaine qui prend comme entrée un entier naturel n et qui retourne la liste des itérés de n jusqu à ce que l on atteigne 0 ou 6174. Par exemple : chaine(1826) = [1826, 7353, 4176, 6174] et chaine(1211) = [1211, 999, 0] 10 o ) Donner un exemple de chaîne à 8 éléments. 2015-2016 9
Liaison sup/spé 10 Lundi 24 août : la dimension finie (famille de vecteurs) J ai profondément regretté de ne pas avoir été assez loin pour au moins comprendre un petit peu des grands principes fondamentaux des mathématiques : car les hommes qui les ont acquis semblent avoir un sens supplémentaire un sixième sens Charles Darwin (1809-1859) Conseils de révision. Revoir tout le vocabulaire sur les familles de vecteurs (famille libre, génératrice, base, rang). Revoir tous les grands théorèmes de la dimension finie. Quelques questions naturelles : Comment calculer la dimension d un espace vectoriel E de dimension finie? Comment démontrer qu une application est linéaire? Comment montrer qu une famille est libre? génératrice de E? base de E? Exercice 1. (ç10 minutes) Soit a R. On pose u = (1,1,1), v = (1,2,3), w = (a,a 2,a 3 ). Quelles sont les valeurs de a pour lesquelles la famille (u,v,w) est une base du R-espace vectoriel R 3? Quel est de rang de la famille (u,v,w) selon les valeurs de a? Exercice 2. (ç20 minutes) Soient E un C-espace vectoriel et u 1,...,u n des vecteurs de E. 1 o ) Démontrer que l application φ suivante est linéaire : φ: K n E (x 1,...,x n ) x k u k 2 o ) Montrer que φ est injective si et seulement si (u 1,...,u n ) est libre. 3 o ) Montrer que φ est surjective si et seulement si (u 1,...,u n ) est génératrice de E. 4 o ) Donner une condition nécessaire et suffisante sur la famille (u 1,...,u n ) pour que φ soit un isomorphisme de K n sur E. k=1 Exercice 3. (ç10 minutes) On se place dans le R-espace vectoriel R N des suites réelles. Soient (u n ), (v n ), (w n ) et (t n ) les quatre suites définies par : n N, u n = e n, v n = 2 n, w n = n 2, t n = ln(n+1). La famille de fonctions Ä (u n ),(v n ),(w n ),(t n ) ä est-elle libre? Exercice 4. (ç20 minutes) Soit l espace vectoriel E des polynômes à coefficients réels de degré 4. On considère l ensemble F = P E P(0) = P (0) = P (1) = 0 1 o ) Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E, déterminer une base de F et préciser sa dimension. 2 o ) Montrer que le sous-espace vectoriel G = Vect(1,X,1+X+X 2 ) est un supplémentaire de F dans E. 2015-2016 10
Liaison sup/spé 11 Mardi 25 août : la dimension finie (applications linéaires) L Algèbre est généreuse, elle donne souvent plus qu on ne lui demande. Jean Le Rond D Alembert (1717-1783) Conseils de révision. Revoir plus particulièrement les théorèmes concernant les applications linéaires en dimension finie : théorème du rang, caractérisation des isomorphismes et des automorphismes en dimension finie, toutes les formules concernant le rang d une application linéaire. Quelques questions naturelles : Comment déterminer le rang d une application linéaire? la dimension de son noyau? Comment appliquer la formule du rang à une restriction? Comment interpréter l incantation Une application linéaire u L(E, F) est entièrement déterminée par l image des vecteurs d une base de l espace vectoriel E? Exercice 1. (ç40 minutes) Pour tout P R 2 [X], on pose 1 o ) Montrer que a est un endomorphisme de R 2 [X]. 2 o ) Montrer que a est un automorphisme de R 2 [X]. a(p) = (1 X 2 )P +(2X+1)P. 3 o ) Expliciter dans la base canonique R 2 [X] l unique polynôme P R 2 [X] solution de l équation ( ) (1 X 2 )P +(2X+1)P = X 2 +2. Il convient d expliquer pourquoi il existe bien une et une seule solution à l équation ( ). Exercice 2. (ç15 minutes) Soit E un C-espace vectoriel de dimension n N. Soient u et v deux endomorphismes de E tels que u v = 0 L(E) et u+v GL(E). 1 o ) Quelle est l inclusion universelle liant les sous-espaces vectoriels Im(u), Im(v) et Im(u+v)? En déduire que rg(u)+rg(v) n. 2 o ) Montrer que rg(u)+rg(v) = n. Exercice 3. (ç15 minutes) Soit E un R-espace vectoriel de dimension n N. Soit a L(E). On suppose que a(u) Vect(u) pour tout u E. Montrer qu il existe α R tel que a = α Id E. Exercice 4. (ç1heure) Soient n et p deux entiers naturels tels que 0 < p n. Soient f L(R n,r p ) et g L(R p,r n ). 1 o ) On suppose dans cette question que f g = Id R p. a) Calculer rg(f) et rg(g). b) Quelle est la nature de l endomorphisme g f de R n? On déterminera le rang de rg(g f). 2 o ) On suppose dans cette question que g f est un projecteur de R n de rang p. Montrer que f g = Id R p. 2015-2016 11
Liaison sup/spé 12 Mercredi 26 août : calculs matriciels Pourquoi faire des mathématiques? Parce que les mathématiques, ça sert à faire de la physique. La physique, ça sert à faire des frigidaires. Les frigidaires ça sert à y mettre des langoustes, et les langoustes ça sert aux mathématiciens, qui les mangent et sont alors dans de bonnes dispositions pour faire des mathématiques, qui servent à la physique, qui sert à faire des frigidaires qui... Laurent Schwartz (1915-2002) Conseils de révision. Revoir les cours sur les matrices partie calculatoire : calculs algébriques, calcul d inverse, calcul du rang, opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes, calcul de puissance. Quelques questions naturelles : Comment montrer qu une matrice est inversible? (on devra au minimum dégager cinq méthodes) Comment calcule-t-on l inverse d une matrice? Comment calcule-t-on une puissance de matrice? Comment calcule-t-on le rang d une matrice? Quelles sont les opérations qui conservent le rang? 1 2 0 Exercice 1. (ç10 minutes) On pose A = 0 1 3. Calculer A n pour tout n N. 0 0 1 a+1 1 a Exercice 2. (ç15 minutes) Pour a réel, on pose M a = 1 0 1. Trouver les réels a pour a 1 a lesquels la matrice M a est inversible. Le cas échéant, calculer l inverse de cette matrice. 2 1 0 0 1 1 3 0 Exercice 3. (ç15 minutes) On considère la matrice A = 0 1 2 2 0 0 2 1 1 o ) Calculer le rang de A. La matrice A est-elle inversible? 2 o ) Trouver le rang de A ainsi qu une base de Im(A). 3 o ) Trouver une base de Ker(A). 1 1 0 Exercice 4. (ç30 minutes) On pose A = 0 2 1. Calculer A n pour tout n N. 0 0 3 Exercice 5. (ç1heures) On dit qu une matrice A M n (R) est symétrique (resp. antisymétrique) si et seulement si A T = A (resp. A T = A) où l on a noté A T la transposée de la matrice A. On note S n (R) (resp. A n (R)) l ensemble des matrices symétriques (resp. antisymétriques). 1 o ) Montrer que S n (R) et A n (R) sont des sous-espaces vectoriels de M n (R). Calculer leur dimension. 2 o ) Montrer que M n (R) = S n (R) A n (R) 3 o ) Soit A M n (R). On pose X = X M n (R) AX = XA T. Montrer que X est un sous-espace vectoriel de M n (R) de dimension plus grande que n. 2015-2016 12
Liaison sup/spé 13 Jeudi 27 août : matrices et applications linéaires dans R n Si les gens ne croient pas que les mathématiques sont simples, c est uniquement parce qu ils ne réalisent pas à quel point la vie est compliquée. John Van-Neumann (1903-1957) Conseils de révision. Revoir la partie concernant le lien entre matrice et application linéaire, application linéaire canoniquement associée à une matrice. Savoir étudier un problème matriciel à travers des applications linéaires ou un problème sur les applications linéaires à travers les matrices. Matrices de passages et changement de bases. Quelques questions naturelles : Comment obtenir la matrice d une application linéaire dans des bases données? Comment obtient-on l expression analytique de l application linéaire canoniquement associée à une matrice donnée? Quelles sont les endomorphismes remarquables que l on a étudiés dans le courant de l année? Comment fait-on un changement de base? Comment reconnaître une de ces applications linéaires lorsque l on connaît sa matrice dans une base? Exercice 1. (ç40 minutes) Soit a l endomorphisme de R 3 défini par (x,y,z) R 3, a(x,y,z) = ( y +z,x z, x+y) 1 o ) Donner la matrice A de a dans la base canonique de R 3. 2 o ) Donner une base de Ker(a) et de Im(a). 3 o ) Montrer que R 3 = Ker(a) Im(a). 4 o ) L endomorphisme a est-il un projecteur? 5 o ) Calculer les puissances de A. Exercice 2. (ç1heure) On se place dans le R-espace vectoriel R 4 muni de sa base canonique C = (e 1,e 2,e 3,e 4 ). On note b l endomorphisme de R 4 dont la matrice dans la base canonique de R 4 vaut : 1 2 7 4 1 1 1 1 B = 1 1 1 1 1 0 3 2 1 o ) Déterminer une base de Ker(b) de Im(b) et de Ker(b) Im(b). 2 o ) Déterminer une base de Ker(b Id R 4). 3 o ) Soit B = (ε 1,ε 2,ε 3,ε 4 ) la famille de vecteurs de R 4 définie par : ε 1 = (1,0,0,0), ε 2 = (1,1, 1,1), ε 3 = (3,2,0, 1), ε 4 = (7,4, 4,5). Montrer que B est une base de R 4. 4 o ) Donner la matrice de passage P de la base C vers la base B. 5 o ) Déterminer U la matrice de b dans la base B. On trouvera une matrice de la forme suivante (à vous compléter)? 0?? 1 0 4 0 U =? 0 0 0? 0 1? 2015-2016 13
Liaison sup/spé 14 Vendredi 28 août : exercices de synthèse The only thing greater than the power of the mind is the courage of the heart. John Nash (1928-2015) Exercice 1. (ç1heure) Dans toute cette partie on se placera dans le R-espace vectoriel C. On définit l application p: C C z z jz où, bien entendu le complexe j désigne la célèbre racine cubique de l unité e 2iπ 3. 1 o ) Montrer que la famille B = (1,j) est une base du R-espace vectoriel C. 2 o ) Montrer que p est un endomorphisme du R-espace vectoriel C. Déterminer la matrice de p dans la base B. 3 o ) Montrer que p est un projecteur. 4 o ) Déterminer une base et la dimension de Ker(p). Déterminer une base et la dimension de Im(p). 5 o ) Trouver une base F de C dans laquelle la matrice de p est diagonale. 6 o ) Soit φ une forme linéaire non nulle du R-espace vectoriel C (c est-à-dire une application linéaire définie sur C et à valeurs dans R). On définit l application : q: C C z φ(z)j a) Vérifier que q est un endomorphisme de C. Donner la matrice de q dans la base B. Montrer que p q = 0 LR (C). b) Trouver une condition nécessaire et suffisante sur φ pour que q soit un projecteur. c) Si cette condition est vérifiée, c est-à-dire si q est un projecteur, montrer que p+q q p = Id C. Exercice 2. (ç30 minutes) On se place dans M 2 (R), l ensemble des matrices ayant 2 lignes et 2 colonnes à coefficients réels. On note C la base canonique de M 2 (R). On considère l application 1 o ) Montre que u est un endomorphisme de M 2 (R). u: M 2 (R) M 2 (R) M M+ t M 2 o ) Donner la matrice U de u dans la base canonique de M 2 (R). 3 o ) On considère la famille de matrices B = (S 1,S 2,S 3,A) où l on a posé ñ ô ñ ô ñ ô 1 0 0 0 0 1 S 1 =, S 0 0 2 =, S 0 1 3 =, A = 1 0 Montrer que cette famille est une base de M 2 (R). 4 o ) Donner la matrice U de u dans la base B. 5 o ) Déterminer une base de Ker(u) et une base de Im(u) 6 o ) A-t-on Ker(u) Im(u) = M 2 (R)? 7 o ) Reconnaître Ker(u) et Im(u). ñ ô 0 1. 1 0 2015-2016 14
Liaison sup/spé 15 Développements limités en 0 des fonctions de référence 1 1 x = 1+x+x2 + +x n +o(x n ) = x k +o(x n ) k=0 1 1+x = 1 x+x2 +( 1) n x n +o(x n ) = ( 1) k x k +o(x n ) k=0 e x = 1+ x 1! + x2 2! + + xn n! +o(xn ) = k=0 x k k! +o(xn ) ln(1+x) = x x2 2 + +( 1)n+1 xn n +o(xn ) = ( 1) k+1xk k +o(xn ) k=1 ln(1 x) = x x2 2 xn n +o(xn ) = k=1 x k k +o(xn ) cos(x) = 1 x2 2! + x4 x2n + +( 1)n 4! (2n)! +o(x2n+1 ) = ( 1) k x2k (2k)! +o(x2n+1 ) k=0 sin(x) = x x3 3! + x5 5! + +( 1)n x 2n+1 (2n+1)! +o(x2n+2 ) = ( 1) k x 2k+1 (2k +1)! +o(x2n+2 ) k=0 ch(x) = 1+ x2 2! + x4 x2n + + 4! (2n)! +o(x2n+1 ) = k=0 x 2k (2k)! +o(x2n+1 ) sh(x) = x+ x3 3! + x5 x2n+1 + + 5! (2n+1)! +o(x2n+2 ) = k=0 x 2k+1 (2k +1)! +o(x2n+2 ) (1+x) α = 1+ α 1! x+ α(α 1) 2! x 2 + α(α 1)(α 2) 3! x 3 + + arctan(x) = x x3 3 + x5 x2n+1 +( 1)n 5 2n+1 +o(x2n+2 ) = n termes { }} { α(α 1) (α (n 1)) x n +o(x n ) n! ( 1) k x2k+1 2k +1 +o(x2n+2 ) k=0 tan(x) = x+ x3 3 +o(x3 ) 2015-2016 15
Liaison sup/spé 16 Formulaire de la trigonométrie circulaire (à compléter) 1 Formules des arcs associés Soit θ R. Compléter les cases suivantes à l aide sin(θ), cos(θ) et tan(θ). sin( θ) = cos( θ) = tan( θ) = sin(θ +π) = cos(θ +π) = tan(θ +π) = sin(π θ) = cos(π θ) = tan(π θ) = sin ( π 2 +θ) = cos ( π 2 +θ) = tan ( π 2 +θ) = sin ( π 2 θ) = cos ( π 2 θ) = tan ( π 2 θ) = 2 Formules de transformation cos(a+b) = sin(a+b) = cos(a b) = sin(a b) = cos(2a) = sin(2a) = cos(a) cos(b) = sin(a) sin(b) = sin(a) cos(b) = tan(a+b) = tan(a b) = 3 Formules de factorisation sinp+sinq = cosp+cosq = sinp sinq = cosp cosq = Exemple classique d utilisation. Exprimer cos(t), sin(t) et tan(t) en fonction de tan Ä t 2ä. 2015-2016 16
Liaison sup/spé 17 Le break du week-end! Es-tu un artiste? Dessine ton professeur de math de première année. 2015-2016 17