Séries de Fourier et FFT

Séries de Fourier et FFT Étiee Dupuis Uiversité d Ottawa Mars 1999 1 Itroductio Soit g : R R ue foctio périodique de période. Nous avos probablemet tous vu, lors d u cours de calcul itégral, que si certaies coditios sot satisfaites la foctio g(t) peut être approchée d aussi près que l o veut par sa série de Fourier F g (x), doée par F g (x) a + (a j cos(jx) + b j si(jx)), (1) j1 où a j 1 π b j 1 π π π π π g(t) cos(jt)dt g(t) si(jt)dt. Cosidéros par exemple la foctio périodique défiie par g(t) t pour t < : 1

Sa série de Fourier est doée par (cf Spiegel [8]) F g (x) π j1 si jx, j dot voici trois approximatios, la première état la somme des trois premiers termes (π, si(x) et si(x)), la deuxième état la somme des six premiers termes et la derière état la somme des 1 premiers termes de la série : Das ce documet ous ous itéresseros plus particulièremet à l évaluatio umérique des coefficiets a j et b j. Cepedat, avat de poursuivre la discussio,

il serait bo de défiir rigoureusemet le cocept de série de Fourier. Lemme 1.1. Soit T le cercle uité das le pla complexe, et f : T C. Alors f : R C défiie par f(t) f(e it ) est ue foctio périodique de période. De plus, si f : R C est ue foctio périodique de période, il existe ue foctio uique f : T C telle que f(t) f(e it ). E d autres mots, o peut associer les foctios défiie sur T aux foctios périodiques de période défiie sur R. E muissat T d ue mesure µ, soit celle de Lebesgue divisée par, o peut défiir l espace de Baach L p (T), 1 p <, qui est l esemble de toutes les foctios mesurables pour lesquelles la orme ( f p 1/p f(t) dµ) p T ( 1 ) 1/p f(t) p dt est fiie. E fait, L p (T) est u esemble de classes d équivaleces, deux foctios état équivaletes si elles sot égales presque partout, mais ous e ous arrêteros pas à ces détails d aalyse foctioelle. Nous sommes maiteat prêts à défiir le cocept de série de Fourier : Défiitio 1.1. Soit g L 1 (T). La série de Fourier de g est doée par F g (x) lim N N j N où les coefficiets de Fourier ĝ j sot doés par ĝ j 1 ĝ j e ijx, () g(t)e ijt dt. (3) Le théorème qui suit justifie cette défiitio. Mais avat de l éocer, rappelosous que puisque µ(t) 1 <, L (T) L 1 (T). Aisi o peut défiir la série de Fourier de g pour tout g L (T). La raiso pour laquelle ous ous itéressos à L (T) plutôt qu à L 1 (T) est que le premier est u espace de Hilbert avec le produit scalaire f 1 f fgdµ. Aisi, le théorème de Riesz-Fischer pour les espaces complets et l égalité de Parseval impliquet le théorème suivat : Théorème 1.1. L esemble {e ijx } j Z est orthoormal et maximal (par coséquet dese) das L (T), et pour pour tout g L (T), g est égal (presque partout) à sa série de Fourier F g. E d autres mots, l applicatio g ĝ {ĝ j } j Z est u isomorphisme etre les espaces de Hilbert L (T) et l (Z). Nous omettos la preuve de ce résultat, que le lecteur itéressé pourra trouver das Rudi [7]. Avat de coclure cette itroductio, metioos que T 3

Lemme 1.. Les défiitios (1) et () doées pour la série de Fourier F g de g sot équivaletes. Démostratio: Défiissos, afi d alléger la otatio, g j 1 g(t)e ijt dt. O déduit aisémet, e se servat des idetités d Euler et du fait que cos(jt) et si(jt) sot des foctios périodiques de période pour j 1,,..., les relatios suivates : Maiteat, a j 1 π 1 π π 1 g j + ĝ j b j g j ĝ j i iĝ j i g j. g(t) cos(jt)dt g(t)(e ijt + e ijt )dt g(t)e ijt dt + 1 g(t)e ijt dt a j cos(jx) + b j si(jx) ( g j + ĝ j ) eijx + e ijx + (iĝ j i g j ) eijx e ijx i g j e ijx + ĝ j e ijx, d où o tire, grâce à la relatio g j ĝ j, que F g (x) a + ( g j e ijx + ĝ j e ijx ) g + ĝ ĝ + j j1 + j 1 ĝ j e ijx j 1 ĝ j e ijx + g j e ijx + ĝ j e ijx j1 ĝ j e ijx j1 4

Nous allos utiliser, tout au log de ce documet, la défiitio (), qui est plus cocise et par coséquet plus facile à étudier. Remarquez que cette défiitio se gééralise aisémet aux foctios périodiques de période autre que. Nous allos maiteat aborder le calcul umérique des coefficiets de Fourier ĝ j. DFT : Défiitio et propriétés Soit > u etier. Posos Π {{x k } k Z x k+ x k, x k C k Z}. C est l esemble des suites bi-ifiies périodiques de période. Évidemmet, toute suite de Π est etièremet et uiquemet détermiée par x, x 1,..., x 1. Π est doc u espace vectoriel de dimesio isomorphe à C. Nous sommes maiteat prêt à défiir ue DFT : Défiitio.1. Soit ω e i ue -ième racie de l uité. La trasformée de Fourier discrète (DFT) d ordre est l applicatio F : Π Π défiie par y F (x), où y j 1 1 ω jk x k. (4) À première vue, il est pas évidet que y est bie u élémet de Π. Cepedat, puisque ω 1, o a ce qui prouve que y Π. 1 y j+ 1 1 1 1 1 y j, ω (j+)k x k ω jk (ω) k x k ω jk x k Lemme.1. F est e fait u automorphisme de Π dot l iverse x F 1 (y) est doé par 1 x k j ω jk y j. U automorphisme est simplemet u isomorphisme d u espace vectoriel das lui-même. Iserles [4] cosidère ue applicatio liéaire ijective comme état u 5

isomorphisme alors que pour ous u isomorphisme est ue applicatio liéaire bijective, soit ijective et surjective. Démostratio: La liéarité de l applicatio F est aisémet vérifiée à partir de l équatio (4) la défiissat. Vérifios maiteat la formule doée pour l iverse e calculat F 1 (F (x)) : x s 1 j 1 ω js 1 1 1 1 j 1 1 1 1 1 j j ω jk x k ω js jk x k ω js jk ω js js x s + 1 1 1 x s + 1 1 j x s + 1 x s. k s x k 1 1 k s j ( 1 (ω s k 1 (ω s k 1 ( ) 1 1 s k k s 1 ω } {{ s k } x k } {{ } ω (s k)j ) ) ) x k x k Puisque qu à chaque élémet y F (x) correspod u iverse x, l applicatio est automatiquemet ijective. O e coclut doc qu elle est égalemet surjective puisque Π est u espace vectoriel de dimesio <. Afi d évaluer umériquemet les coefficiets de Fourier ĝ j, ous devos remplacer l itégrale (3) par ue somme fiie. C est ici que la DFT etre e jeu. E effet, soit > u etier et posos x k k. L esemble {x k k, 1,..., } est ue partitio de l itervalle [, ] qui ous permet d évaluer approximativemet les coefficiets ĝ j : ĝ j 1 1 1 g(t)e ijt dt (x k+1 x k )g(x k )e ijx k 6

1 1 g(x k)e ijkπ 1 1 ω jk g k, où g k g(x k ). Cette approximatio, que ous appelleros maiteat ĥj, ressemble étragemet à ue DFT. Cepedat, puisque j varie de à + das l équatio (), ous sommes itéressés o pas par les coefficiets ĝ j pour j, 1,..., 1 mais plutôt, e supposat pair, pour j / + 1, / +,..., / 1, /. E remplaçat j par l / + 1 das l approximatio ci-haut et e utilisat la relatio ω 1, o obtiet ĥ j 1 1 1 1 ω (l +1)k g k ω lk ( ω 1 ) k g k (F ( g)) l, (5) où g { ω k g k } k Z et (F ( g)) l est la l-ième composate de F ( g). Aisi, e effectuat ue seule DFT, ous calculos d u seul coup les approximatios des plus importats coefficiets ĝ j de la série de Fourier de g, soit les coefficiets ĝ +1 à ĝ. Avat de poursuivre, attardos-ous u peu sur la validité des approximatios ĥj aisi que sur le choix de la partitio x k. Lemme.. Soit S le sous-espace de L (T) egedré par l esemble orthoormal {e ilt l < } de cardialité 1. Soit f S et soit x k kπ. Alors la formule de quadrature est exacte. 1 f(t)dt 1 1 f(x k ) (6) Démostratio: Écrivos f(t) 1 l +1 c j e ilt, où les c j sot des ombres complexes. O calcule la valeur du membre de gauche de (6) : 1 f(t)dt 1 1 l +1 7 c l e ilt dt

1 c + 1 c, aisi que celle du membre de droite : 1 1 ce qui prouve le résultat. f(x k ) 1 1 1 1 c dt + 1 l +1 l 1 l +1 l e ilt c l il t } {{ } } {{ } 1 l +1 1 l +1 c + 1 c, c l 1 1 c 1 + 1 l +1 l c l e ilkπ ω lk 1 l +1 l c l e ilt dt c l 1 c l 1 (ω l ) 1 (ω l ) } {{ } } {{ } O e déduit immédiatemet le corollaire suivat : Lemme.3. Supposos toujours pair afi de faciliter la otatio. Soit g ue foctio du sous-espace de L (T) egedré par l esemble orthoormal {e ilt < l } de cardialité. Alors les approximatios ĥj doées par la DFT (5) sot exactes. De plus, par choix de g, les autres coefficiets de Fourier (pour j et j > ) sot uls. E d autres mots, e effectuat ue DFT d ordre, o peut calculer exactemet la série de Fourier de importe quelle foctio g egedrée par l esemble des premières foctios trigoométriques. La preuve est qu ue applicatio du lemme. : Démostratio: Posos f j (t) g(t)e ijt. Alors par choix de g, pour tout j { /+1,..., /}, ω lk 8

f j est élémet de S. Aisi, puisque ĝ j 1 f j (t)dt, le lemme précédet implique que ĝ j ĥj pour tout j { / + 1,..., /}. Ce lemme peut égalemet être obteu comme coséquece directe du lemme suivat, qui caractérise l erreur proveat de l approximatio ĥj : Lemme.4. Supposos que les sommes partielles de la série de Fourier de g coverget uiformémet (vers g). Alors l erreur proveat de l approximatio des coefficiets de Fourier est doée par ĥ s ĝ s ĝ s+ν. (7) ν Z\{} Avat de passer à la démostratio, il y a plusieurs remarques itéressates à faire. D abord, si g satisfait aux coditios du lemme.3, alors sa série de Fourier coverge uiformémet vers (u représetat de la classe d équivalece de) g, aisi le lemme.4 s applique. O e déduit immédiatemet que le membre de droite de (7) est ul, car par choix de g si ν alors s + ν pour < s et doc ĝ s+ν pour tout ν, ce qui prouve le lemme.3. Deuxièmemet, si les sommes partielles de la série de Fourier F g de g (pour u certai g L (T)) coverget rapidemet vers F g, o peut s attedre à ce que l erreur ĥs ĝ s dimiue rapidemet e foctio de. Fialemet, est-il pas étoat que l erreur totale commise e estimat coefficiets de Fourier soit égale à la somme de tous les autres coefficiets de Fourier? Les mathématiques sot parfois pour le mois étrages, même si elles sot la coséquece de preuves irréfutables : Démostratio: Puisque les sommes partielles de F g coverget uiformémet vers g, o calcule ĥ s 1 1 ω sk g k 1 F g (x k )ω sk 1 1 1 1 j j ( 1 ĝ j ĝ j e ijkπ ω (j s)k ω sk ) } {{ } si j s mod Nous avos déjà calculé au mois deux fois ue expressio comme celle etre parethèse ci-haut. Il suffit, si ω (j s)k 1 de calculer la somme de la progressio. 9

géométrique pour obteir ue expressio dot le umérateur est ul. Si ω (j s)k 1, ce qui est le cas lorsque j s mod, alors l expressio etre parethèse vaut simplemet, d où ĥ s ce qui prouve le résultat. {j j s mod } ν ĝ s+ν, Avat de clore cette sectio cosacrée à la DFT, metioos que l applicatio y F (x) peut être écrite sous forme matricielle : y y 1 y.. y 1 1 ω 1 1 ω 1 1 ω.... 1 ω 1( 1) ĝ j ω ω ( 1) ω ω 1( 1) ω 4 ω ( 1)....... ω ( 1) ω ( 1) x x 1 x.. x 1. (8) Le calcul d ue DFT est doc à priori de complexité O ( ). Rappelos qu ue complexité de ce type sigifie que le ombre d opératios à effectuer pour u problème de taille est de l ordre de. Il est maiteat temps d itroduire la FFT, qui est autre qu u algorithme efficace pour calculer ue DFT. 3 FFT : Calcul efficace d ue DFT L algorithme que ous allos préseter maiteat est essetiellemet celui de Cooley-Tukey, (re)découvert das les aées soixate (cf Cooley-Tukey []). Iserles [4] metioe qu u certai Laczos e serait e fait l auteur et Leighto [6] fait remoter l algorithme aux aées vigt. Fialemet, certais croiet que Gauss le coaissait. Qui dit vrai? Nous allos limiter otre étude au cas simple où m, m >. Soit x {x k } k Z Π et défiissos, afi de simplifier la discussio qui va suivre, F (x) F (x). État doé F (x), le calcul de F (x) e cosiste qu à multiplier le vecteur coloe F (x) par le scalaire 1/, ce qui est ue opératio de complexité O (). Aisi ous sommes itéressés par le calcul efficace de F (x). Défiissos x [] {x k } k Z x [1] {x k+1 } k Z, 1

soit les composates paires et impaires de la suite bi-ifiie {x k } k Z. Puisque x [], x [1] Π, o peut calculer y[] F (x [] ) et y [1] F (x [1] ). Puis, à partir de ces deux valeurs, o calcule y F(x) de la faço suivate : 1 y j ω jk x k 1 k pair 1 1 y [] j ω jk x k + ω jk x k + 1 k impair 1 ω jk x k + ω j + ω j y [1] j. ω jk x k ω j(k+1) x k+1 1 ω jk x k+1 E d autres mots, état doés y [] et y [1], il est possible de les combier e O () opératios pour obteir y. Les calculs ci-haut peuvet cepedat être simplifiés davatage. E effet, y [α 1] (où α ν {, 1} pour évetuellemet ν 1,,..., m) état périodique de période /, y [α] j y [α] j+. De plus, puisque ω 1, o peut calculer simultaémet deux composates de y : { y j y [] j + ω j y [1] j y j+ y [] j ω j y [1] j. (9) Il e reste plus qu à régler u petit détail, soit celui du calcul des deux y [α]. O pourrait bie sûr les calculer e effectuat la multiplicatio matricielle (8), ce qui ous doerait ue complexité totale de O () + O ( /4 ), qui est e fait égale à O ( ), soit la même complexité que la formule (8). Cepedat, il est possible de faire beaucoup mieux e appliquat exactemet le même raisoemet que ous veos d effectuer. E effet, il suffit de défiir x [] {x (k) } k Z x [1] {x (k+1) } k Z x [1] {x (k)+1 } k Z x [11] {x (k+1)+1 } k Z, de calculer les 4 trasformées d ordre /4 et fialemet de calculer y [α 1α ] y [] j y [] j F 4 (x[α 1α ] ) 11 + ω j y [1] j

y [1] j y [1] j + ω j y [11] j pour j, 1,..., 1 (ou j, 1,..., 4 1 si o calcule de faço aalogue à la formule (9) deux composates simultaémet). Les lecteurs familiers avec le pricipe de récurrece verrot immédiatemet que les 4 valeurs y [α1α] peuvet à leur tour être obteue de huit trasformée d ordre /8, qui peuvet à leur tour être obteue de seize trasformées d ordre /16, etc. O répète le processus jusqu à l étape où pour j, où y [α 1α α m ] j F 1 (x [α 1α α m ] j ) x [α1α αm] j, (1) x [α 1α α m ] {x (( (k+αm ) )+α )+α 1 } k Z où {x m k+ m 1 α m+ m α m 1+ +α 1 } k Z x α, (11) α m ν 1 α ν. (1) ν1 Le schéma suivat représete le déroulemet de l algorithme das le cas où m 8 3 : 1

x x 1 x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x y [] y [] y [] ω y [1] 4 ω y [1] y [1] ω 1 ω ω y [11] 4 ω 1 y [1] y [1] y [1] ω ω y [11] 4 ω ω 3 y [11] y [11] ω 1 y [111] ω 4 y y y 1 y y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 13

Tout d abord, à partir du vecteur x, o calcule les huit trasformées d ordre 1, ce qui est équivalet à chager l ordre des élémets du vecteur. E effet, e écrivat l idice d ue composate de x e biaire, les relatios (11) et (1) sot équivaletes à l égalité x αmα m 1 α 1 x [α 1α α m ] et selo (1) ue trasformée d ordre 1 est que l idetité. Il suffit doc d iverser les bits de l idice de chaque composate de x pour coaître leur ouvelle positio. À partir de ces huit vecteurs de logueur 1 o e calcule 4 autres (de logueur ) à l aide de la formule (9), et esuite deux autres (de logueur 4) et fialemet u derier, qui est le vecteur y cherché. La complexité totale de cet algorithme se calcule aisémet. Puisque la complexité de la combiaiso de deux trasformées d ordre / est O (), o obtiet pour l algorithme ue complexité de m O () + O (/) + 4O (/4) + + O (1) ν O ( ν ) ν m O () ν O (m) O ( log ), toute ue amélioratio par rapport à la multiplicatio matricielle de complexité O ( ). Afi de doer ue idée du gai, le temps requis pour effectuer ue DFT d ordre 1 14 sera comparable à celui écessaire pour effectuer ue FFT d ordre 16 65536. Les lecteurs itéressés par la programmatio de cet algorithme et le temps d exécutio sot ivités à cosulter l aexe A. 4 Ue applicatio Les applicatios de la trasformée de Fourier rapide, la FFT, sot iombrables. Elle est omiprésete das le traitemet, l iterpolatio et l aalyse de sigaux de toutes sortes et idispesable pour la résolutio de certais types d équatios différetielles. Cepedat, l applicatio que j ai choisi de préseter appartiet pas à i l ue i l autre de ces deux immeses catégories. E effet, ous allos utiliser la FFT pour accélérer le calcul du produit de deux etiers. Soit h > 1 u etier et soiet a, b deux etiers positifs de chiffres exprimés e base h : 1 a a ν h ν b ν 1 b ν h ν, ν 14

où a ν, b ν {, 1,..., h 1} pour ν, 1,..., 1. Le produit c ab est doé par le polyôme où c ( 1) c k i+jk c k h k, (13) a i b j. La coversio de ce polyôme e u ombre exprimé e base h est aisée, il suffit d abord de distribuer les reteues e ajoutat c k 1 /h à c k et esuite de poser c k c k mod h. Les etiers c k aisi formés sot iférieurs à h ; ils sot doc des chiffres e base h. La complexité de cet algorithme, qui est autre chose que celui que ous appliquos pour multiplier à la mai des ombres e base 1 est de complexité O ( ), à la différece près qu à la mai ous distribuos les reteues au fur et à mesure qu elles se présetet. Grâce à u igéieux artifice de calcul, ous allos utiliser ue FFT pour réduire cette complexité de faço sigificative. Nous allos calculer le produit d ab mod (h + 1). Pour avoir la relatio c d, il suffit de predre deux fois trop grad, c est à dire que si a et b sot des ombres de N chiffres, o pose N, aisi a < h N et b < h N c ab < h N h, d où le calcul d ab est e fait exact. Puisque h 1 mod h + 1, l équatio (13) deviet où 1 1 d c k h k + c k h h k k 1 d k c k c k+ a i b j i+jk k a ν b k ν ν 1 c k h k i+jk+ 1 νk+1 k a i b j a ν b k+ ν. 1 c k h k d k h k, Nous désigeros cette opératio sous la forme cocise suivate : d a b. Le lemme qui suit est e fait ue méthode pour calculer de faço efficace l expressio d a b e utilisat des trasformées de Fourier discrètes : Lemme 4.1. Soit ω ue -ième racie de l uité, et posos Ω (1, ω, ω,..., ω 1 ). 15

Alors ( F 1 ( Ω ) ( a) F 1 ( Ω ) b) où représete le produit composate par composate. Démostratio: La j-ième composate du membre de gauche est ( 1 k 1 ω jk1 1 ) ( 1 Ω k1 a k1 1 k ω j(k 1+k ) ω k 1+k k 1 k ( 1 k 1 +k k ( 1 k 1 +k k 1 ω jk Ω k d k, ω jk Ω k b k ) a k1 b k ω jk ω k a k1 b k + ω jk Ω k a k1 b k F 1 ( Ω ( a b)), k 1 +k k+ k 1 +k k+ qui est la j-ième composate du membre de droite. ) ω j(k+) ω k+ a k 1 b k ω jk Ω k a k1 b k ) Aisi, l opératio d a b peut être calculée à l aide de quatre produits composate par composate et de trois FFT. E supposat que est ue puissace de, la complexité de cette opératio est de 4O () + 3O ( log ) O ( log ). Bie sûr, doit être assez grad pour réaliser ue écoomie de temps, chaque opératio de la méthode classique état très rapide à effectuer. De plus, le ombre réel de multiplicatios pour la méthode classique est approximativemet N alors que das la méthode utilisat la FFT, ce ombre est eviro de 14N +6N log N. Aisi, même si a et b sot des ombres de 16 chiffres e base 3, c est-à-dire des ombres de l ordre de 1 15, la méthode classique sera ettemet plus rapide. A Programmatio d ue FFT Nous allos maiteat ous itéresser à la programmatio d ue routie permettat le calcul d ue FFT comme décrit à la sectio 3. Les fragmets de programme serot doés e pseudo-code afi qu ils puisset être trasposés das importe quel lagage. Les temps d exécutio ot été obteus sur u Petium MMX Mhz avec 64 Mo de RAM, les programmes ayat été compilés à l aide de Microsoft Visual C++ 5., e utilisat l objet complex<double> de la Stadard Template Library. Le vecteur x devat subir ue trasformée de Fourier est costitué de ombres complexes choisis au hasard. 16

Commeços d abord par ue versio aïve du calcul d ue DFT à l aide d ue multiplicatio matricielle : De x et o calcule ω e i Pour j, 1,..., 1 faire y j Pour k, 1,..., 1 faire y j y j + ω jk x k y j y j / Retourer y. Temps d exécutio : 5, 1 secodes pour 14 1. Cet algorithme est vraimet let, etre autres parce qu à chaque itératio ous élevos ω à ue certaie puissace, ue opératio très coûteuse. Remplaços-le doc par la versio suivate, qui calcule ue fois pour toute les racies de l uité et les sauvegarde das u tableau : De x et o calcule θ / Pour s, 1,..., 1 faire ω s cos(sθ) + i si(sθ) Pour j, 1,..., 1 faire y j Pour k, 1,..., 1 faire y j y j + ω jk mod x k y j y j / Retourer y. Cette deuxième versio écessite cepedat uités de mémoire pour sauvegarder le vecteur ω. Temps d exécutio :, 7 secodes. Par ailleurs, e supposat que est toujours ue puissace de, le calcul de jk mod peut être effectué très rapidemet, ce qui fait baisser le temps d exécutio à, 5 secodes. Passos maiteat à la FFT. Nous avos besoi d ue foctio σ qui iverse les bits d u etier α de m bits, afi de réordoer les élémets du vecteur x : De α et m o calcule β Faire m fois : β β 17

β β + (α mod ) α α/ Retourer β. Cette procédure pourrait bie sûr être accélérée e utilisat des tables pour iverser plus d u bits à la fois, mais ce est pas ce gere d optimisatio sur lequel porte ce documet. La première étape de la trasformée cosiste justemet à réordoer les élémets du vecteur x afi de former les vecteurs y [α1α αm] de taille 1. Ces vecteurs serot tous localisés les us à la suite des autres das u tableau de taille, que ous désigos par w. Tout e réordoat les élémets, ous e profiteros pour les diviser par : De x et m o calcule m Pour α, 1,..., 1 faire β σ(α, m) Si α β alors u x α / v x β / w α v w β u Retourer w. Remarquez que la faço dot cette foctio, que ous désigeros par Φ, est costruite ous permet de placer les vecteurs x et w au même edroit e mémoire. L algorithme pricipal est costitué de m étapes, chacue d elle cosistat à calculer les /s trasformées de Fourier d ordre s à partir des /s vecteurs de logueur s/, pour s 1,, 3,..., m. Doos le programme, ous l expliqueros après : De x et m o calcule m w Φ( x, m) Pour s, 4, 8,..., faire θ /s Pour j, 1,..., s/ 1 faire ω cos(jθ) + i si(jθ) Pour ν, 1,..., /s 1 faire y w νs u y j v ωy j+s/ y j u + v 18

y w Retourer y. y j+s/ u v Fixos ue étape s. Nous devos calculer /s vecteurs de logueur s. Nous calculos la j-ième et la (j + s/)-ième composate de ces /s vecteurs à l aide des équatios (9). Remarquez que les boucles pour j et ν peuvet être iterchagées : o peut soit calculer toutes les composates d u vecteur avat de passer au prochai ou soit, comme das le programme ci-haut, calculer deux composates pour tous les vecteurs avat de passer à la prochaie paire de composates. La lige y w νs sigifie seulemet que le ν-ième vecteur y [ν] de logueur s commece das le tableau w à la positio νs. E pratique, cette lige correspod à l ajustemet d u poiteur. Les quatre liges de codes à l itérieur des trois boucles représetet les formules (9). Remarquez que grâce à ces deux formules, il est possible de faire toutes les opératios e u seul tableau de taille das lequel serot sauvegardés successivemet les vecteurs x, w et y. Bie qu à première vue complexe, cet algorithme est la fidèle reproductio du schéma de la sectio 3 pour 8. Le lecteur est ivité à mettre e relatio ce schéma et le programme ci-haut afi de bie compredre ce derier. Mais qu e est-il du temps d exécutio? Formidable : 4, secodes pour 6 144 18. Les chiffres parlet d eux-mêmes, il est plus rapide d effectuer ue FFT d ordre 18 qu ue DFT d ordre 1, et ous avos pas ecore optimisé otre FFT! Notre versio améliorée de la DFT aurait pris plus de 9 heures pour 18. Refereces [1] E. Ora Brigham. The Fast Fourier Trasform ad its Applicatios, chapter 8, The Fast Fourier Trasform (FFT), pages 131 166. Sigal Processig Series. Pretice Hall, 1988. [] J. W. Cooley ad J.W. Tukey. A algorithm for machie calculatio of complex fourier series. Math. Computatio, 19:97 31, April 1965. [3] Robert Dautray ad Jacques-Louis Lios. Mathematical Aalysis ad Numerical Methods for Sciece ad Techology, volume, chapter 3.B, Discrete Fourier Trasforms ad Fast Fourier Trasforms, pages 59 91. Spriger- Verlag, 1984 (Traslated from Frech, 1988). [4] Arieh Iserles. A First Course i the Numerical Aalysis of Differetial Equatios, chapter 1., The Fast Fourier Trasform, pages 49 56. Cambridge Texts i Applied Mathematics. Cambridge, 1996 (Secod Pritig 1998). [5] Abdul J. Jerri. Itegral ad Discrete Trasforms with Applicatios ad Error Aalysis, chapter 4.1, Discrete Fourier Trasform, pages 51 645. Number 16 i Pure ad Applied Mathematics. Marcel Dekker Ic., 199. 19

[6] F. Thomso Leighto. Itroductio to Parallel Algorithms ad Architectures: Arrays, Trees, Hypercubes, chapter 3.7, The Fast Fourier Trasform, pages 711 79. Morga Kaufma Publishers, 199. [7] Walter Rudi. Real & Complex Aalysis, chapter 4, Elemetary Hilbert Space Theory, pages 76 94. Series i Higher Mathematics. McGraw-Hill, 1966 (Third Editio 1987). [8] Murray R. Spiegel. Mathematical Hadbook of Formulas ad Tables, chapter 3, Fourier Series, pages 131 135. Schaum s Outlie Series. McGraw Hill, 1968. La otatio utilisée das ce documet s ispire de Iserles [4], qui fut, e raiso de sa clarté, ma pricipale référece pour les sectios et 3. Metioos cepedat que l auteur commet ue bourde lors de la dérivatio de la formule (5). Les lemmes. et.3 sot tirés de Dautray & Lios [3]. Ces deux auteurs présetet beaucoup de résultats (avacés) de faço extrêmemet cocise. Les deux lemmes metioés ci-haut occupet qu u maigre espace de ciq liges das le texte! Le schéma décrivat le calcul d ue FFT est ue adaptatio de ceux que l o trouve das Brigham [1]. Ce livre est pas idéal mais il présete de ombreux exemples qui aidet à compredre des explicatios difficiles à suivre. Pour ce qui est de l itroductio, l exemple est tiré de Spiegel [8], tadis que les otios plus théoriques d aalayse sot tirées de l excellet livre de Rudi [7]. L applicatio de la FFT à la multiplicatio de deux etiers est ue simplificatio de celui de Leighto [6]. Fialemet, le programme de la sectio A est ue cotributio persoelle. L article de Cooley-Tuckey [] est doé qu à titre de référece. Le livre de Jerri [5] cotiet beaucoup de résultats itéressats à propos des séries de Fourier et de la trasformée de Fourier mais malheureusemet l auteur e cesse d etrer das des discussios itermiables et le fil coducteur est très difficile à suivre. De plus, le livre est truffé de coquilles, ce qui est loi d e faciliter la lecture.