1 Complexes Exercice 1 Question 1.1 a, b et c sont les nombres complexes : 3 + i, 1 + i, 1 + i 3 Calculer leurs parties réelles et imaginaires, leurs arguments et modules. Question 1. a et b sont deux réels, vérifier l égalité : ( ) e ia + e ib = e i a+b a b cos En déduire les modules et arguments de e ia + e ib. Trouver une formule semblable pour e ia e ib. Question 1.3 Mettre les nombres 3 1 + i(1 + 3), 1 + i 3 + i 3, 1 + i(1 + ) sous forme exponentielle. Exercice Mettre les nombres suivants sous la forme a + ib où a et b sont réels. 3 + 6i 3 6i, ( ) 1 + i, 1 i + 3i i + 3i + i Exercice 3 Trouver les parties réelles et imaginaires, les normes et modules des nombres suivants : ( + i, 3 + 4i,exp i π ) (, exp i π ) 3 4 Exercice 4 Calculer le module et l argument de ( ) 10 1+i 3 ( 1 i et de 1+i ) 3. 1 i Exercice 5 Calculer le module et l argument de (1 + i 3) n + (1 i 3) n. Exercice 6 Écrire des nombres complexes sous forme cartésienne lorsqu on connait leurs modules (r ) et arguments (θ). 1. r =, θ = π 6 ;. r = 5, θ = π 4 ; 3. r =, θ = 17π 6 ; 4. r = 3, θ = 7π 4. Exercice 7 Calculer le module et l argument de Exercice 8 Soient z 1 = 1 + i 3 et z = 3 + i. Calculer 1 + cosθ + isinθ 1 cosθ isinθ. ( z1 z ) 011. Exercice 9 Montrer que si z U {1} alors i 1+z 1 z R. Réciproque? 1
Exercice 10 Mettre sous forme trigonométrique 1 + e iθ où θ ] π,π[. Donner une interprétation géométrique. Exercice 11 Résoudre l équation exp(z) = 3 + 3i. Exercice 1 Montrer que z C cas d égalités. Re(z) + Im(z) Exercice 13 Résoudre l équation z = z. Exercice 14 Résoudre les équations suivantes dans C : 1. z = 3 + 4i.. z 4 = + i 3. 3. z 4 = 119 + 10i. 4. z iz + 4i = 0. 5. z + z + = 0. 6. z + ( + i)z + 3 i = 0. 7. z 4 + ( 5 + 14i)z + ( 1 5i) = 0. 8. z + z cosθ + 1 = 0. 9. z n + z n cosθ + 1 = 0 où n est un entier strictement positif. 10. z 4 = i. 11. z 4 = 16e i π 3. 1. z 6 = 1. 13. 8(z + 1) 6 (z 1) 6 = 0. 14. z 5 + z 4 + z 3 + z + z + 1 = 0. Exercice 15 Résoudre les équations (n est un entier) n (coskθ + isinkθ) = 1 k=1 (z + 1) n + (z 1) n = 0 z Re(z) + Im(z). Étudier les Exercice 16 Déterminer les complexes tels que z 3+i = z +1 i. Interprétation géométrique? et 1 z aient des mo- Exercice 17 Trouver les nombres complexes z tels que z, 1 z dules égaux. Exercice 18 Déterminer l ensemble des points d affixe z tels que : z(z 1) = z (z 1) Exercice 19 x, y et z ont des modules égaux à 1. Comparer x+y +z et x y +y z+zx.
Groupes Exercice 0 Vérifier que R muni de la loi (x, y) 3 x 3 + y 3 est un groupe. Exercice 1 p est un entier strictement supérieur à 1. Montrer que { n p m /n Z, m N} est un sous groupe additif de Q. Exercice Démontrer que l ensemble des fonctions définies par : f 1 (x) = x, f (x) = 1 x,, f 3 (x) = 1 1 x, f 4(x) = x 1 x f 5 (x) = x 1 x, f 6(x) = 1 sur R {0,1}, forme un groupe pour la loi de composition x des applications. Exercice 3 Un ensemble E est muni d une loi associative,, telle que, pour tous a et b, les équations : a x = b et y a = b aient une solution, démontrer que (E, ) est un groupe. Exercice 4 Soient G un groupe multiplicatif et e son élément neutre. Les éléments a et b de G vérifient : ab = ba 3 et a 5 = e. Montrer que : a b = ba et ab 3 = b 3 a. Exercice 5 Démontrer que 5Z, l ensemble des multiples de 5, est un groupe. Exercice 6 Soit G = ({0,1,,3,4},+) l ensemble des cinq premiers entiers, muni de la loi + telle que : m + n = p où p est le reste de la division euclidienne de m + n par 5. Démontrer que G est un groupe. Exercice 7 Sur R on définit la loi par : a b = a + b + ab. Démontrer que (R { 1}, ) est un groupe commutatif. Résoudre l équation : 3 x 4 = 3 4. Exercice 8 Soit S 3 l ensemble des permutations de l ensemble 1,3 = {1,,3} (i.e. les bijections de cet ensemble dans lui-même). Munissons S 3 de la loi de composition des applications. Montrer que (S 3, ) est un groupe non commutatif (établir sa table de multiplication). Exercice 9 Soit K le carré (direct, pour fixer les idées) du plan (orienté), de sommets A, B, C et D. Déterminer les isométries du plan (symétries, rotations) qui laissent K invariant. Notons G K l ensemble de ces isométries, muni de la loi de composition des applications. Dresser la table de multiplication de G K. Démontrer que G k est un groupe. Est-il commutatif? Exercice 30 Déterminer les sous-groupes de Z. 3
3 Géométrie élémentaire Dans ce qui suit le plan et l espace sont munis d une base (ou un repère) orthonormé. Exercice 31 Démontrer que les triangles ABC et A B C ont le même isobarycentre si et seulement si AA + BB + CC = 0 Exercice 3 Quatre points non alignés a,b, a,b et un réel λ 1 vérifient a b = λ ab. Démontrer qu il existe une homothétie h telle que h(a) = a et h(b) = b. Étudier le cas λ = 1. Exercice 33 Construire l isobarycentre de quatre points A,B,C,D. Exercice 34 Les médianes d un triangle sont concourantes. Exercice 35 Soient quatre points A,B,C,D dans le plan (ou l espace) tels que : Que vaut γ? B est-il barycentre de A,C,D? D = 1 A + 3 4 B +γc Exercice 36 Soit h : M M l application de l espace affine qui à un point M associe le barycentre des points A(1),B(),M(3) où A et B sont deux points quelconques. Démontrer que h est une homothétie, donner son centre et son rapport. Exercice 37 Soient h et h deux homothéties respectivement de centres ω et ω de rapports k et k. 1. Démontrer que la composée h h est une homothétie dont le centre est aligné avec ω et ω ou une translation de vecteur v à préciser.. À quelle condition h h = h h? Exercice 38 Soient A,B,C,D des points d un espace affine et les points E,F,G,H tels que E (AB), F (BC), G (CD), H (AD) et (EH) (BD) (FG). Démontrer que les droites (EF),(HG),(AC) sont concourantes ou parallèles. Indication : utiliser des homothéties. Exercice 39 À l aide de deux parallèles, tracer le milieu d un segment. Soient h une homothétie de centre ω et deux point a et b tels que ω, a et b ne sont pas alignés, enfin que les droites (ah(b)) et (bh(a)) ne sont pas parallèles. Notons ω le point commun à (ah(b)) et (bh(a)). Démontrer que les points ω,ω, a+b et h(a)+h(b) sont alignés. 4
Exercice 40 Le plan P est muni d un repère orthonormé R = (O, ı, j). D est la droite, contenue dans le plan P, de repère (A, u). Une équation paramétrique de D est : M D λ R, M = A +λ u est la droite dont une équation cartésienne est M(x, y) 3x + 4y = 5 Les coordonnées de A : (, 3), de u : (1,). 1. Donner une équation cartésienne de D.. Donner une équation paramétrique de. Exercice 41 Dans le plan déterminer l ensemble des points M tels que : 1. MA + MB = MC 3 MD. MA + MB + 3 MC = 5 MA MB 3 MC 3. MA MB = 4. MA + MB + 3MC = 9 5. 3MA MB MC = 8 MA 6. MB = 5 7. ( MA, MB) = π 6 8. ( MA, MB) = π 3 mod(π) mod(π) Exercice 4 Soit D la droite du plan passant par A(,3) et B(5, 3 3). Question 4.1 Donner des équations paramétriques, cartésiennes, normale et polaire de D, puis de la droite D orthogonale à D passant par C(3,4). Déterminer les coordonnées du point d intersection I de D et D. Question 4. Soit J(3,5), calculer les distances de J aux droites D et D. Question 4.3 Déterminer des équations paramétriques et cartésiennes des bissectrices et des droites D et D. Exercice 43 Soit R = (O,( ı, j)) et R = (O,( ı, j )) deux repères orthonormés du plan où O (1,) dans R et : ı = 1 ı + 3 j j = 3 ı + 1 j Les coordonnées du point M sont (x, y) dans R et (x, y ) dans R. Calculer (x, y ) en fonction de (x, y). Exercice 44 On considère trois points A(3, 4), B(5, 5), C(4, 6). Donner les équations cartésiennes et paramétriques des bissectrices des droites (AB) et (AC). 5
Exercice 45 Soient A, B, C trois points non alignés du plan. Soit O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Calculer x, y et z tels que : x OA + y OB + z OC = 0 Exercice 46 Déterminer l intersection du cercle C d équation x + 4x + y y = 0 et de la droite D d équation x + y = 1. Calculer au préalable la distance du centre du cercle Ω à la droite D. Exercice 47 Dans l espace on considère les points A, B, C, D et A, B. Déterminer l ensemble des points M tels que : 1. ( MA + MB + MC) ( MA + MB ) = 0. ( MA + MB + MC + MD) ( MA + MB + MC) = 1 Exercice 48 Soit un quadrilatère ABCD. On construit sur les cotés des triangles isocèles rectangles : AMB, BNC, COD et DPA. Montrer que MO NP et MO = NP. Exercice 49 Soit ABC un triangle rectangle en A. Soit H le pied de la hauteur (issue de A) sur [B,C]. Montrer que AB AC = AD BC. Exercice 50 Soit A un espace affine de dimension. Soient trois points A, B, C non alignés de A, on définit les points D et E par : AD = 1 3 AC, CE = 1 3 CB, {G} = (DB) (AE). Trouver des coefficients a, b, c tels que G soit le barycentre de {(A, a),(b,b),(c,c)}. Exercice 51 Un plan P de l espace contient les points A(1,0,), B(3, 1,) et C(5,3, ). Question 51.1 Donner une équation paramétrique et une équation cartésienne de P (éventuellement une équation normale). Question 51. Soit I(1,1,1), calculer la distance de I à P. Exercice 5 Soit D = (AB) la droite de l espace où A(,3,1) et B(3,,4). Question 5.1 Donner des équations paramétriques et cartésiennes de D. Question 5. Soit I(1,0, 1), calculer la distance de I à D. Exercice 53 Soit P le plan d équation : 4x 3y z = 8. Déterminer l équation paramétrique de la droite D orthogonale à P qui passe par le point A(, 3,1). Exercice 54 Soit D la droite d équation : { x y + z = 4 x + 3y + z = 6 Déterminer des équations cartésiennes et paramétriques de la droite D et du plan P, orthogonal à D, qui contient le point A( 1,1,). 6
Exercice 55 Soit D la droite de repère (A, u) où A(,3,4) et u(1, 1,1). Déterminer des équations cartésiennes et paramétriques du plan P qui contient la droite D et le point B(4, 3, ). Exercice 56 Soit, dans l espace muni d un repère orthonormé, les points A(1,, 3), B(1,0,1), C(0,1,0) et les vecteurs u(1,1,1), v(,1,1), w(,1, ). Question 56.1 Soient D, D et D les droites définies respectivement par les repères (A,u), (B, v) et (C, w). Calculer les distances de D à D, de D à D et de D à D. Question 56. Soient P et P les plans définis respectivement par les repères (B,u, v) et (C,u, w). Calculer les distances de A à P et de A à P. Exercice 57 Soient les droites D et D de l espace : D { y z = 1 x y = 1 D { x 5y = 7 y z = 4 Calculer la distance de D à D et déterminer une équation de leur perpendiculaire commune. Exercice 58 Soient les droites D et D de l espace : D { x = 5z + 1 y = 3z 4 D { x = 3z + 1 y = 5z 4 Calculer des équations de leurs bissectrices. Exercice 59 Soit S la sphère de centre Ω(1,1,1) et de rayon 3. Question 59.1 Déterminer l intersection de S avec la droite D passant par les points A(, 1, 1) et B( 1, 1, 1). Question 59. Déterminer l intersection de S avec la droite dont une équation cartésienne est : { x + y z = 0 x + y + z = 0 Question 59.3 Déterminer l intersection de S avec le plan P dont une équation cartésienne est : x + y z = 0 Exercice 60 Soient quatre points de l espace : A(,1,0), B(3,1,0) C(1,3,3) et D(,, 3). Calculer le volume du polyèdre ABCD. Exercice 61 Double produit vectoriel : ( u v) w. Soit v orthogonal à u : v u v = v u u Alors ( u, v, u v ) est une base orthogonale et w = u w u u + v w v v + ( u v ) w u v ( u v ) 7
Question 61.1 Calculer ( u v ) w Question 61. Vérifier ( u v) w = ( u v ) w. Question 61.3 Démontrer que : ( u v) w = ( v w) u ( u w) v 8
4 Trigonométrie Exercice 6 Résoudre les équations suivantes où x R : Exercice 63 Simplifier : 1 + cos(x) + cos(4x) = 0 (1) cos(x) cos(3x) + cos(5x) = 0 () sin(x) + sin(x) + sin(3x) = 0 (3) ( sin x + π ) + sin(x) = 3 3 (4) cos(x) + cos(6x) = sin(3x) sin(5x) (5) cos(x) + 3sin(x) = 3 (6) 3sin(x) + cos(x) = 1 (7) cos(x) sin(x) = 1 (8) sin(x) + sin(4x) + sin(6x), 1 + cos(x) + cos(4x) sin 3 (x) + sin(x)cos (x) tan 3 (x) + tan(x) Exercice 64 Montrer que tout z dans U { 1} peut s écrire 1 + ia où a R. 1 ia Exercice 65 Linéariser cos 5 (θ). Exercice 66 Exprimer (sin3x) en fonction de sin x et cos x, puis seulement en fonction de sin x. Exercice 67 Calculer 5 k=0 k. Si a est un complexe, donner une formule simple dépendant de l entier n qui permette de calculer n k=0 ak. Calculer n k=0 ( 1)k suivant les valeurs de n. Exercice 68 Soient des réels a, b et θ. Simplifier n k=0 1. cos(a + kb).. n k=0 cos (kθ). 3. n k=0 cosk (θ)cos(kθ). Exercice 69 Calculer cos(5θ) en fonction de cos(θ) et en déduire cos ( ) π 10 Exercice 70 Écrire les expressions suivantes sous forme de produits : 1. cos x + cos(x) + cos(3x).. sin x + sin(x) + sin(7x) + sin(8x) cos(6x) + 6cos(4x) + 15cos(x) + 10 Exercice 71 Simplifier. cos(5x) + 5cos(3x) + 10cos x Exercice 7 Soient a,b et c trois réels tels que a + b + c = π. Montrer que 4sin a cos b cos c = 1 cos a + cosb + cosc 9
Exercice 73 Linéariser ( π ) ( π ) 4sinθ sin 3 θ sin 3 +θ Exercice 74 Soit a un réel positif inférieur à 1. Comparer a et a puis résoudre l équation : x R, sin x + cos x = 1 Exercice 75 Démontrer que pour θ réel et p entier positif 0 k p 1 ( cos Linéariser puis intervertir les sommations. θ + kπ p ) = p ( p) p p 1 10
5 Géométrie plane complexe Exercice 76 Montrer que si z k < 1 alors 1 k 1 + z 1 + k. Faire un dessin et montrer qu il peut y avoir égalité. Exercice 77 Dessiner la partie du plan définie par z 1 4 et z 3 4i 5. Exercice 78 Montrer algébriquement et géométriquement que si z = 1 alors 1 + z 1 ou 1 + z 1. Exercice 79 a,b et c sont trois nombres complexes, j = e i π 3. 1. Factoriser a 3 + b 3 + c 3 3abc (indication : a + b + c est un facteur).. Soient trois points A(a), B(b) et C(c) tels que : a + j b + j c = 0. Démontrer que le triangle ABC est équilatéral. 3. Si le triangle a une orientation opposée : a + j c + j b = 0. 4. En déduire que ABC est équilatéral si et seulement si : a + b + c ab bc ca = 0. Exercice 80 Soient trois applications complexes : h(z) = z ; t(z) = z + 3 ; r (z) = e i π 4 z. Question 80.1 On pose f (z) = (t r h)(z). On dit que ω est un point fixe de f si f (ω) = ω. Résoudre l équation f (z) = z (z C). Calculer les module et argument de f (z) ω en fonction de ceux de z ω. Question 80. Même question avec g = r t h. Exercice 81 Identifier les transformations du plan définies par : 1. f 1 : z z + 1 + i ;. f : z 3z + 3 + i ; 3. f 3 : z 1+i z + 3 i ; 4. f 4 : z z + i 5. f 5 : z z + 1 + i (glisse). Exercice 8 Dans le plan orienté, soit ABC un triangle équilatéral direct et r 1, r, r 3 les rotations d angle π 3 de centres respectifs A, B, C. Déterminer r 3 r r 1. Exercice 83 Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC et A, B, C les mileux de [B,C], [C,A], [A,B]. Soient r 1, r, r 3 les rotations d angle π et de centres A, B, C. On pose : r 1 (B) = P, r (C) = Q, r 3 (A) = R Démontrer que ( AP, QR), sont des vecteurs orthogonaux de même longueur. 11
Exercice 84 Sur les cotés d un triangle direct ABC du plan P, on construit extérieurement au triangle des triangles équilatéraux BCA, CAB et ABC. Montrer que AA = BB = CC. Démontrer que les droites (AA ),(BB ),(CC ) sont concourantes. Indication : M(m) appartient aux trois droites, si et seulement si, le système : (où u = a + j c + j b 0) a une solution. m P (λ,µ,ν) R 3 m = a +λu m = b +µu m = c +νu Exercice 85 Déterminer l image du triangle de sommets d affixes 0, 1, 1 + i par la transformation définie par z z. 1