Exo7 Applicatios liéaires cotiues, ormes matricielles Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr Exercice * * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable O muit E = R[X] de la orme défiie par : P E, P = Sup. Vérifier brièvemet que est ue orme sur E. P!, N. 2. Soit f l edomorphisme de E défii par P E, f P = XP. Démotrer que l applicatio f est cotiue sur E, et détermier f. Correctio [5854] Exercice 2 ** O muit E = l C le C-espace vectoriel des suites borées de la orme = sup u. N O cosidère les edomorphismes et C de l C défiis par : u E, u = v où N, v = u + u et u E, Cu = w où N, w = + k= u k. Motrer que et C sot cotius sur E, et calculer leur orme. Correctio [5855] Exercice 3 *** I O muit E = C [,],R de la orme défiie par f E, f = f t dt. O pose T : E E et o admet que T est u edomorphisme de E. f T f : [,] R x x f t dt. Démotrer que T est cotiu sur E, et détermier T. 2. Vérifier que la bore supérieure est pas atteite. Correctio [5856] Exercice 4 ** O muit E = M R de la orme N défiie par A E, NA = Sup a i, j o admet que N est ue i orme sur E. Soit f l applicatio de E das R défiie par A E, f A = TrA. Démotrer que l applicatio f est cotiue sur E,N et détermier f. Correctio [5857] Exercice 5 *** Détermier s = Sup AB A B, A,B M C \ 2 quad est
., 2. 2, 3.. Correctio [5858] Exercice 6 * Ue orme sur M R 2, est-elle écessairemet ue «orme trois barres»? Correctio [5859] Exercice 7 ** Soit N ue orme sur M R. Motrer qu il existe k > tel que A,B M R 2, NAB kanb. Correctio [586] Exercice 8 ** Existe-t-il ue orme N sur M R 2 telle que A,B M R 2, NAB = NANB. Correctio [586] Exercice 9 *** O pose X = x i i M, R, X = i= x i et X = Max i x i. Détermier les ormes sur M R respectivemet associées aux ormes et de M, R. O otera et ces ormes. Correctio [5862] Exercice **I Pour X = x i i M, R, o pose = i= x2 i. Pour A S R, o ote ρa le rayo spectral de A c est-à-dire ρa = Max λ, λ SpA. Motrer que A S R, A 2 = ρa où A 2 = Sup AX 2, X M, R \. Correctio [5863] Retrouver cette fiche et d autres exercices de maths sur exo7.emath.fr 2
Correctio de l exercice P k k!. Soit P E. Si o pose P = + k= a kx k, il existe N tel que k >, a k =. Doc P = Sup Max a k, k existe das R. P E, P. Soit P E. P = k N, a k k N, a k = P =. Soiet P E et λ R. λp = Max λa k, k = λ Max a k, k = λ P. Soiet P = k a k X k et Q = k b k X k deux polyômes. Pour k N, a k + b k a k + b k P + Q et doc P + Q P + Q. est ue orme sur E. 2. P E, f P = P et doc P E \, f P P =. O e déduit que Sup f P P, P E \ =. Ceci motre tout à la fois que f est cotiue sur E, et f =. f est cotiue sur E, et f =., k N = Correctio de l exercice 2 La liéarité de est claire et de plus est u edomorphisme de E car si u est ue suite borée, u l est ecore. Plus précisémet, u E, N, u u + u + 2 et doc u E, u 2. Ceci motre que est cotiu sur E et 2. Esuite, si u est la suite défiie par N, u = alors u est u élémet o ul de E tel que = et u = 2. E résumé, u E \, u 2, u E \, u = 2. O e déduit que est cotiu sur E, et = 2. La liéarité de C est claire et C est u edomorphisme de E car si u est borée, Cu l est ecore. Plus précisémet, u E, N, Cu + k= = et doc u E, Cu. Par suite T est cotiue sur E et T. Esuite, si u est la suite défiie par N, u = alors u est u élémet o ul de E tel que = et Cu =. E résumé, u E \, Cu, u E \, Cu =. O e déduit que C est cotiu sur E, et C =. Correctio de l exercice 3 3
. Soit f E. T f = T f x dx = x f t dt f t dt x f t dt dx dx dx = f dx = f. Ceci motre que f E \, T f f. Ceci motre que T est cotiu sur E, et que T. Pour N et x [,], posos f x = x. Pour N, f = x dx = [ x+ + ] = +, puis pour x [,], T f x = x t dt = + x+ et doc T f = T f x dx = + x+ dx = + O e déduit que N, T T f f = + +2. E résumé, N, + +2 T et doc T =. T est cotiu sur E, et T =. +2 = +2. 2. Supposos qu il existe f E \ tel que T f = f. O e déduit que chaque iégalité écrite au début de la questio est ue égalité et e particulier x f t dtdx = f t dt dx ou ecore f t dt x f t dt dx =. Par suite, x [,], f t dt x f t dt = foctio cotiue, positive, d itégrale ulle puis e dérivat la derière iégalité, x [,], f x = et fialemet f =. Ceci est ue cotradictio et doc T est pas atteite. Correctio de l exercice 4 L applicatio f est liéaire de E,N das R,. Soit A = a i, j i, j E. f A = TrA i= i= a i, j a i,i i= NA = NA. Ceci motre déjà que f est cotiue sur E,N et que f. De plus, si A = I, f A NA = =. Doc f est cotiue sur E, N et f =. Correctio de l exercice 5 A = a i, j i, j M R, A = Max a i, j, i, j. Soiet A = a i, j i, j et B = b i, j i, j. Posos AB = c i, j i, j où i, j [[,]] 2, c i, j = a i,kb k, j. Pour i, j [[,]] 2, c i, j a i,k b k, j A B = A B, 4
et doc, AB A B. Aisi, A,B M C \ 2 AB, A B. De plus, pour A = B = i, j, A = B = puis A B = A = et doc. Ceci motre que Sup AB A B, A,B M C \ 2 =. A B A B = E particulier, est pas ue orme sous-multiplicative. A = a i, j i, j M R, A = i, j a i, j. Avec les otatios précédetes, AB = i, j i, j c i, j = i, j a i,k b k, j i,k b k, j a a i, j b k,l = A B. i, j,k,l = a i,k b k, j i, j,k Doc A,B M R \ 2 AB, A B. De plus, pour A = B = E,, o a A B = E, et doc A B A B =. Ceci motre que Sup AB A B, A,B M C \ 2 =. E particulier, est ue orme sous-multiplicative. A = a i, j i, j M R, A 2 = i, j a 2 i, j. Avec les otatios précédetes, AB 2 2 = i, j c 2 i, j = a i, j 2 i,k = a i, j 2 i,k b 2 k, j i, j b 2 l, j l= a i,k b k, j 2 iégalité de CAUCHY-SCHWARZ = i, j,k,l a 2 i,kb 2 l, j = i,k a 2 i,k Doc A,B M R \ 2 AB, 2 A 2 B 2. De plus, pour A = B = E,, o a A B = E, et doc A B 2 A 2 B 2 =. Ceci motre que Sup AB 2 A 2 B 2, A,B M C \ 2 = b 2 l, j j,l = A 2 B 2 E particulier, 2 est ue orme sous-multiplicative. Correctio de l exercice 6 Ue «orme trois barres» sur M R est écessairemet sous-multiplicative. L exercice précédet motre qu il existe des ormes sur M R qui e sot pas sous-multiplicatives par exemple. Doc ue orme sur M R est pas écessairemet ue «orme trois barres». 5
Correctio de l exercice 7 Soit N ue orme sur M R. D après l exercice 5, est ue orme sous-multiplicative. Puisque M R est u espace vectoriel de dimesio fiie sur R, N et sot des ormes équivaletes. Par suite, il existe deux réels strictemet positifs α et β tels que α N β. Pour A,B M R 2, NAB β AB β A B β α 2 NANB et le réel k = β est u réel strictemet positif tel que A,B M α 2 R 2, NAB knanb. Remarque. Le résultat précédet sigifie que N = K N est ue orme sous-multiplicative car pour A,B M R 2, N AB = k 2 NAB k 2 NANB = k NA k NB = N AN B. Correctio de l exercice 8 No, car si A = E, et B = E 2,2 alors AB = puis NAB < NANB. Correctio de l exercice 9 Pour. Soiet A = a i, j i, j M R puis X = x i i M, R. AX = i= i, j x j a i= x j a i, j x j Max = x j a i, j i= a i, j, j i= = Max C j, j X, e otat C,..., C les coloes de la matrice A. Doc, A M R, A Max C j, j. Soit alors j [[,]] tel que C j = Max C j, j. O ote X le vecteur coloe dot toutes les composates sot ulles sauf la j -ème qui est égale à. X est u vecteur o ul tel que AX = i= a i, j = Max C j, j X. E résumé, X M, R \, AX X Max C j, j, 2 X M, R \, AX X = Max C j, j. O e déduit que A M R, A = Max C j, j. Pour. Soiet A = a i, j i, j M R puis X = x i i M, R. Pour i [[,]], AX i = Max a i, j x j a i, j X a i, j, i a i, j x j X = Max L k, k X, e otat L,..., L les liges de la matrice A. Doc, A M R, A Max L i, i. Soit alors i [[,]] tel que L i = Max L i, i. O pose X = ε i i où j [[,]], ε j est u élémet de, tel que a i, j = ε j a i, j par exemple, ε j = a i, j a i, j si a i, j et ε j = si a i, j =. 6
AX = Max a i, jε j = a i, j ε j, i a i, j = L i = Max L i, i X. E résumé, X M, R \, AX X Max L i, i, 2 X M, R \, AX X Max L i, i. O e déduit que A M R, A = Max L i, j. Aisi, e otat C,..., C et L,..., L respectivemet les coloes et les liges d ue matrice A, A M R, A = Max C j, j et A = Max L i, i. Correctio de l exercice Soit D = diagλ i i D R. Pour X = x i i M, R, DX 2 = i= λ i 2x2 i ρd 2 i= x2 i = ρd, De plus, si λ est ue valeur propre de D telle que λ = ρd et X est u vecteur propre associé, alors DX 2 = λx 2 = λ X 2 = ρd X 2. E résumé X M, R \, DX 2 ρd, 2 X M, R \, DX 2 X 2 = ρd. O e déduit que D D R, D 2 = ρd. Soit alors A S R. D après le théorème spectral, il existe P O R et D = diagλ i i D R tel que A = PD t P. De plus ρa = ρd. Pour X M, R, AX 2 = PD t PX 2 = D t PX 2 car P O R Y M, R, PY 2 = Y 2 = DX 2 où o a posé X = t PX. Maiteat l applicatio X t PX = X est ue permutatio de M, R car la matrice t P est iversible et doc X décrit M, R si et seulemet si X décrit M, R. De plus, pour tout vecteur coloe X, X 2 = t PX 2 =. O e déduit que AX 2, X M, R \ = DX 2 X 2, X M, R \ et e particulier, A 2 = D 2 = ρd = ρa. A S R, A 2 = Sup AX 2, X M, R \ = ρa. Remarque. L applicatio A ρa est doc ue orme sur S R et de plus cette orme est sous-multiplicative. 7