1 ère S1 Contrôle du jeud 0 janver 011 ( h) Répondre très lsblement et sans rature, en écrvant au stylo à plume et sans utlser d abrévaton. Il est demandé de ne ren écrre sur l énoncé et de conserver le sujet (ne pas le rendre dans la cope). Pour tous les eercces, à l ecepton des eercces VI et VII, on donnera les réponses sur la feulle de réponses (écrre au stylo à plume très lsblement, sans rature ; abrévatons nterdtes). Les eercces VI et VII devront être rédgés sur une cope séparée. Encadrer tous les résultats demandés en rouge à la règle. I. ( ponts) Sot A un événement d un espace probablsé (, P). P A. On pose 11. A A 0,. 1 ) Détermner la (ou les) valeur(s) de telle(s) que P A 5P A ) Détermner la (ou les) valeur(s) de telle(s) que P P II. ( ponts) On lance deu dés équlbrés à s faces. On note les numéros des faces supéreures de chacun des deu dés. On modélse l epérence aléatore par la lo d équprobablté P sur l unvers des possbles. S la somme des deu nombres apparus est ou 11, on gagne euros. S la somme est 7, on perd euros. S une autre somme est obtenue, on ne perd n ne gagne ren. 1 ) On note X le gan algébrque en euros. a) Compléter la phrase : «X peut prendre les valeurs 1...,... et....» Donner la lo de probablté de X dans un tableau de la forme c-dessous ; on ne demande pas de détaller les calculs ; on écrra les dfférentes probabltés sous la forme de fractons ayant toutes le même dénomnateur. P X Total = 1 b) Compléter à l ade de nombres (et de nombres unquement) l algorthme suvant rédgé en langage naturel qu permet de smuler la varable aléatore X. Intalsaton : X prend la valeur 0 Tratement : a prend la valeur d un enter aléatore de 1 à b prend la valeur d un enter aléatore de 1 à S prend la valeur a + b S S = ou S = 11 alors X prend la valeur... FnS S S = 7 alors X prend la valeur... FnS Sorte : Affcher X ) a) Calculer l espérance de X (donner le résultat sans détaller les calculs). b) Une parte se joue en 18 lancers. S on effectue un grand nombre de partes, comben peut-on espérer gagner ou perdre en moyenne? c) L algorthme c-dessous permet de smuler le gan correspondant à 18 lancers successfs ndépendants. Intalsaton : G prend la valeur 0 Tratement : Pour allant de 1 à 18 Fare a prend la valeur d un enter aléatore de 1 à b prend la valeur d un enter aléatore de 1 à S prend la valeur a + b S S = ou S = 11 alors G prend la valeur G + FnS S S = 7 alors G prend la valeur G FnS FnPour Sorte : Affcher G On smule 50 fos 00 partes de 18 lancers (1 er graphque), pus on smule 50 fos 000 partes de 18 lancers ( e graphque).on note à chaque fos le gan moyen. On obtent les nuages de ponts suvants.
0,5 1,5,75,8,85,9,95,5,5,5,05,1,15, 0 10 0 0 0 50 0 0 10 0 0 0 50 0 Ces nuages de ponts vous semblent-ls en accord avec le résultat de la queston b)? III. ( ponts) Un élève dot répondre à un questonnare vra/fau, formé de tros questons Q 1, Q et Q. Il répond au hasard à chaque queston. Pour chacune d elles, la réponse de l élève peut-être juste (J), fausse (F) ou nestante (case vde). S elle est juste, l obtent ponts ; s elle est fausse, l perd 1 pont ; s l ne répond pas, l obtent 0 pont. Les résultats possbles sont consgnés dans le tableau suvant : Q 1 Q Q Ponts obtenus 0 J F 1 J J J J F 1 F 1 F J 1 F F J J J J F 1 J J J J J J J F J F 1 J F J J F F 0 F 1 F J 1 F F F J 1 F J J F J F 0 F F F F J 0 F F F 1 ) On note X la note de l élève (total des ponts, postf ou négatf). Donner la lo de probablté de X. Pour cela, on complètera un tableau de la forme suvante. On donnera les résultats sous forme de fractons ayant toutes le même dénomnateur. 1 0 1 P X Total = 1 ) Quelle note, en moyenne, un élève répondant au hasard peut-l espérer obtenr? IV. (5 ponts) Au rayon TV-vdéo d un grand magasn, on propose pendant un mos une promoton concernant deu produts : un télévseur 1/9 et un lecteur de DVD. Chaque clent peut acheter au mamum un télévseur et un lecteur DVD parm ceu en promoton. On constate que, parm les clents qu se présentent à ce rayon, 80 % n achètent pas le télévseur, 7 % n achètent pas le lecteur DVD et 0 % n achètent n le télévseur n le lecteur DVD. On chost un clent au hasard parm ceu qu se présentent au rayon. On note T l événement «ce clent achète le télévseur» et D l événement «ce clent achète le lecteur DVD». Dans cet eercce, on donnera toutes les probabltés sous forme décmale (on ne demande pas de détaller les calculs). 1 ) Détermner la probablté des événements T D, T D et T D. ) Calculer la probablté que le clent achète un télévseur ou un lecteur DVD.
) Le pr du lecteur de DVD seul est 99, le pr du télévseur seul est 99, et s le clent achète les deu ensemble, le pr est de 9. On note X la varable aléatore égale au pr payé en euros par un clent qu se présente au rayon. (Ne pas oubler que certans n achètent ren). Quelles sont les valeurs possbles de X? Fare une phrase du type : «X peut prendre les valeurs 1...,... etc.». Détermner la lo de probablté de X. V. ( ponts) Sot ABCD un carré de côté 1 (une unté de longueur étant chose) et M un pont moble sur le segment [AB]. Chaque courbe représente l'are du domane grsé sur une confguraton en foncton de AM. Chaque foncton donne l'are du domane grsé sur une confguraton. Assocer à chaque confguraton la courbe et la foncton correspondante sans justfer. A D A D A D Pour cet eercce, on sera très attentf sur la rédacton en respectant les modèles de rédacton suvant : «La foncton f est dérvable sur.» «Une équaton de D s écrt..». «C admet une tangente parallèle à L au ponts d abscsses..». VII. (7 ponts) Un laboratore pharmaceutque fabrque un produt solde condtonné sous la forme d un paralléléppède rectangle dont le volume est égal à 57 mm. On note y la hauteur ; ses autres dmensons sont et ( et y sont en mm). y j M M M 1 B C O O O B g f C j 1 j C C C B C h 1 1 ) a) Calculer y en foncton de. b) Démontrer que la surface totale, en mm, de ce solde est donnée par S. ) Les condtons d emballage mposent que sot comprs entre et 1 au sens large. Calculer S ' (donner le résultat sous la forme d un seul quotent). Dresser un tableau comprenant l étude du sens de varaton de la foncton S sur l ntervalle [, 1]. Ne pas oubler de précser la (ou les) valeur(s) d annulaton de la dérvée ans que les 0 fgurant au numérateur ou au dénomnateur de la dérvée. Calculer les etremums locau au broullon et compléter le tableau de varaton avec les valeurs de ces etremums (mettre ces etremums ben placés c est-à-dre au bout des flèches de varatons). Indcaton : Pour l étude du sgne de la dérvée, on pourra remarquer que 1 varaton de la foncton cube. et utlser le sens de En dédure les dmensons du paralléléppède rectangle pour que la surface totale sot mnmale et précser la valeur de la surface mnmale. VI. (7 ponts) Sot f la foncton défne sur par le plan mun d un repère O,, j. 1 ) Calculer f '. Fare un tableau comprenant l étude du sgne de f. On note C sa courbe représentatve dans f ' et les varatons de la foncton f. Fare le tableau de varatons ans que toutes les flèches à la règle. Ne pas oubler de précser la (ou les) valeur(s) d annulaton de la dérvée. Calculer au broullon les valeurs des etremums locau et compléter le tableau de varaton avec ces valeurs. ) Donner une équaton de la tangente D à la courbe C au pont A d abscsse 1. ) Este-l des ponts de C en lesquels la tangente à C est parallèle à la drote L d équaton 9 y 5 0? S ou, donner les abscsses de ces ponts.
VIII. ( ponts) Logque mathématque 1 ) On consdère une foncton f défne sur l ntervalle [ ; ] dont les varatons sont données dans le tableau c-dessous : IX. (1 pont) Algorthme On consdère l algorthme c-dessous rédgé en langage naturel. 0 5 0 Varables : A, n, : enters naturels Varatons de f 1 Entrée : Sasr n Dre sans justfer s les mplcatons suvantes sont vraes ou fausses. Ces mplcatons portent sur un réel quelconque dans l ntervalle [ ; ]. 1 ère mplcaton : 0 f 0. e mplcaton : 0 f 0. Intalsaton : A prend la valeur 1 Tratement : Pour allant de 1 à n Fare A prend la valeur A FnPour Sorte : Affcher A ) Compléter l équvalence logque suvante qu porte sur deu réels a et b quelconques. ( a ab ) (. ou.) Quel est le nombre de sorte s le nombre d entrée n est égal à 7? ) On consdère l mplcaton suvante (proposton condtonnelle) valable pour tout quadrlatère ABCD : «S ABCD est un losange, alors (AC) (BD).» Cette mplcaton est vrae (proprété ben connue du losange). Compléter la phrase suvante correspondant à l mplcaton c-dessus (en utlsant les lettres A, B, C, D) : Une condton nécessare pour que ABCD sot un losange est : Cette condton est-elle suffsante?
Prénom et nom :.. ) I () II () III () Feulle de réponses IV () V (5) VI (7) VII (7) VIII () IX (1) a) Espérance de X : E(X) = b) S on effectue un grand nombre de partes, on peut espérer...... c) Commentares sur les nuages de ponts I. ( ponts) 1 ).. ).. III. ( ponts) 1 ) Lo de probablté de X : II. ( ponts) 1 ) a) X peut prendre les valeurs 1...,... et.... 1 0 1 P X Total = 1 Lo de probablté de X : ) b) Algorthme de smulaton de X. P X Total = 1 [ ] S S = ou S = 11 alors X prend la valeur... FnS S S = 7 alors X prend la valeur... FnS [ ]
IV. (5 ponts) 1 ) P (T D) = P(T D ) = P( T D) = ) ) VIII. ( ponts) Logque mathématque 1 ) La 1 ère mplcaton est La deuème mplcaton est ) ( a ab ) ( ou ) ) Une condton nécessare pour que ABCD sot un losange est : Cette condton est-elle suffsante? ou non IX. (1 pont) Algorthme S le nombre d entrée est 7, alors le nombre de sorte est. P X Total =1 V. ( ponts) Courbe... Foncton...
Corrgé du contrôle du 0 janver 011 b) Algorthme de smulaton de X. [ ] I. On a : P A donc PA 1. 1 ) Détermnons la (ou les) valeur(s) de telle(s) que P A 5P A 11 11 5 11 5 9 (1) 51 ) Détermnons la (ou les) valeur(s) de telle(s) que P P () 1 0, 0, 0, 0 Consdérons le polynôme. [ ] On en dédut que 0, ou 0,. II. 11 (1). A A 0, (). ) a) EX 1 S S = ou S = 11 alors X prend la valeur FnS S S = 7 alors X prend la valeur FnS Queston non demandée : calcul de la varance et de l écart-type et X [ ] 1 b) 18 S on effectue un grand nombre de partes, on perdra en moyenne euros. 1 5 V X 1 c) Les nuages de ponts sont en accord avec les résultats précédents. En effet, les ordonnées des ponts sont relatvement «groupées» autour de. 5. N.B. : L algorthme proposé est ntéressant car l propose une nstructon condtonnelle à l ntéreur d une boucle Pour. III. 1 ) 1 ) a) X peut prendre les valeurs 1, et 0. On dresse un arbre de possbltés au broullon. Il y a résultats possbles. 1 0 1 P X 1 7 7 7 7 7 7 7 7 1 7 Total = 1 0 P X 7 Total =1 ) Détermnons quelle note, en moyenne, un élève répondant au hasard peut espérer obtenr. On calcule l espérance. 1 1 1 E(X) = 1 0 1 7 7 7 7 7 7 7 7 7 1 9 1 7 7 7 7 7 7 7 7 = 1 Donc l élève peut espérer avor 1 en répondant au hasard à ce QCM.
IV. On peut utlser un tableau à double entrée en se ramenant à un total de 100. V. On calcule toutes les ares par dfférence. En bleu, les nombres de l énoncé. T T Total D 8 0 8 D 1 0 7 Total 0 80 100 Fgure 1 : 1 A = 1 1 1 = = 1 Fgure : 1 A = 1 1 1 = = A = Fgure : 1 1 1 = 1 1 = En nor, les nombres que l on peut calculer. On peut auss utlser un dgramme de Venn mas c est un peu mons évdent. T (0) 0 D (8) Courbe C C C 1 Foncton h f g Nous sommes dans un cas d équprobablté. 1 ) P (T D) = 0,08 P(T D ) = 0,1 P( T D) = 0, ) P (T D) = P (T) + P(D) P(T D) = 0, + 0,8 0,08 = 0,0 ) X peur prendre les valeurs 1 99, 99, 9, 0. 99 99 9 0 La foncton f est la restrcton d une foncton polynôme du second degré. Sa représentaton graphque est donc une parte de parabole dont le sommet est S(1 ; 0) (on rappelle que le b sommet d une parabole d équaton y a b c a pour abscsse ). a De plus cette parabole est tournée vers le bas. La foncton g est une foncton lnéare. Sa représentaton graphque est donc une parte de la drote d équaton y. La foncton h est une foncton polynôme du second degré. 1 1 Sa représentaton graphque est donc une parte de parabole dont le sommet est S ;. De plus cette parabole est tournée vers le haut. P X 0, 0,1 0,08 0, Total =1 On peut utlser la calculatrce pour vérfer les résultats précédents. N.B. : On pourrat calculer l espérance de X.
VI. f : 1 ) Calculons f '( ). Attenton à la concluson : C admet une tangente parallèle à L au ponts d abscsses = 1 et =. MAUVAIS f est dérvable sur comme foncton polynôme. f ' On cherche les valeurs charnères c est-à-dre les valeurs qu annulent chaque facteur. 0 0 0 C admet une tangente parallèle à L au ponts d abscsses 1 1 et. CORRECT Attenton à ne pas utlser le symbole // en tant qu abrévaton dans une phrase. VII. 1 ) a) Eprmons y en foncton de. On vérfe que les varatons de f sont en accord avec la courbe obtenue sur l écran d une calculatrce graphque. ) Donnons une équaton de la tangente D à la courbe C au pont A d abscsse 1. Une équaton de D s écrt : y f ' 1 1 f 1 f 1 0 f ' 1 Sgne de 0 + Varatons de f D a donc pour équaton y. 1 0 sot y. ) Détermnons s l este des ponts de C en lesquels la tangente à C est parallèle à la drote L d équaton 9 y 5 0. L a pour équaton rédute y 9 5. Le coeffcent drecteur de L est donc égal à 9. On résout l équaton f ' 9 (1). f ' + 0 0 + L équaton (1) est successvement équvalente à 9 9 0 0 1 (racne évdente) ou (obtenue par produt) C admet une tangente parallèle à L au ponts d abscsses 1 et. Le volume du paralléléppède est égale à 57 cm donc y 57 (1). (1) donne successvement : y 57 57 y 88 y b) Démontrons que la surface totale, en mm, de ce solde est donnée par S( ). L are totale du paralléléppède est égale à : S y y S y y S y 88 S 88 S 178 S S( ) ) La foncton S est dérvable sur l ntervalle [, 1] comme restrcton d une foncton ratonnelle (on peut le vor en mettant au même dénomnateur l epresson). Pour effectuer le calcul de la dérvée, on effectue une réécrture qu permet de faclter la dérvaton.
S( ) 1. [, 1] S ' S ' 1 8 8 Étudons le sgne de. La foncton cube est strctement crossante sur.. VIII. Logque mathématque 1 ) 1 ère mplcaton : 0 f 0. Cette mplcaton est vrae. ) e mplcaton : 0 f 0. Cette mplcaton est fausse. Justfcaton : ( a ( a ab ) ( a ab 0 ) aa b 0 a 0 ou a b 0 a 0 ou a b ) «S ABCD est un losange, alors (AC) (BD).» ab ) ( a 0 ou a b ) Une condton nécessare pour que ABCD sot un losange est : (AC) (BD). S >, alors S <, alors Le sgne de et 0. et 0. Cette condton n est pas suffsante (en effet, ce n est pas parce qu un quadrlatère perpendculare que c est un losange). Sgne de Sgne de Sgne de 1 + 0 + Varatons de S + + S ' 0 + Dédusons-en les dmensons du paralléléppède rectangle pour que la surface totale sot mnmale. D après le tableau de varaton, la foncton S présente un mnmum global sur [, 1] obtenu pour =. Ce mnmum est égal à. 88 88 Dans ce cas, les autres dmensons du paralléléppède sont 1 et y 8. 70 IX. = 1. Valeur de A après le 1 er passage dans la boucle : 1 1 = 1 =. Valeur de A après le e passage dans la boucle : 1 = =. Valeur de A après le e passage dans la boucle : = =. Valeur de A après le e passage dans la boucle : = = 5. Valeur de A après le 5 e passage dans la boucle : 5 = 10 =. Valeur de A après le e passage dans la boucle : 10 = 70 = 7. Valeur de A après le 7 e passage dans la boucle : 70 7 = 5 00 S le nombre d entrée est 7, le nombre de sorte est 5 00.