Isométries du plan 4 ème Mathématiques

Isométries du plan 4 ème Mathématiques Dans tous les exercices le plan est orienté. Exercice 1. On considère un carré direct de centre, on désigne par,, et segments,, et. et les milieux respectifs des Déterminer la nature et les caractéristiques géométriques de chacune des composées suivantes : = = =, =, =,,! =,, " =,, # = $% & =, ' (((((() Exercice 2 Soit *+ un rectangle tel que * =2 et * ((((() -, ((((() 2/ On désigne par et les milieux respectifs des segments * et + et par et les centres respectifs de et *+ 1) Soit l isométrie du plan telle que : =* ; = et =+. a) Déterminer les images des droites ; et par. b) En déduire que =. c) Caractériser alors l isométrie. 2) Soit 0 l isométrie du plan telle que : 0*= ; 0+= et 0= et la rotation de centre et d angle a) Déterminer les images des points *, + et par l application 2 0. b) En déduire que 0 est la rotation de centre et d angle c) Caractériser l application : ' = 34 2. d) Déterminer les droites et telles que = 2 et ' = 2 7 e) Caractériser alors l application 2 '. 3) Soit h l isométrie du plan telle que : h= ; h=+ et h= a) Montrer que h ne fixe aucun point du plan. b) En déduire que h est une symétrie glissante. c) Montrer que la droite est l axe de h et () est le vecteur de h. d) Caractériser alors chacune des applications suivantes : h 2 9: et ' :9 ((() 2 h. Exercice 3 Soit un carré de centre tel que ((((() -, ((((() 2/ 1) a) Caractériser l isométrie 0= 2. b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de l isométrie = 2 2. Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 1

G 2) Soit la rotation de centre et d angle a) On pose =*, quelle est la nature du triangle *, construire le point *. b) Montrer que les point, et * sont alignés. 3) Soit le milieu du segment *. a) Vérifier que = 9 2 $. b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de l isométrie h telle que : 9 2 h = 2 9 Exercice 4 Le plan P est rapporté à un repère orthonormé direct,;),<) on considère l application > > : @A,B @ D A D,B D tel que E AD = A B+2 1) a) Montrer que est une isométrie du plan. B D = A B+2 b) Déterminer l ensemble des points invariants par. c) En déduire la nature de. 2) On pose H() = ;)+ <) a) Déterminer les expressions analytiques de l application : =' I() о b) En déduire que est une symétrie orthogonale et donner une équation cartésienne de son axe. c) Caractériser alors l isométrie. Exercice 5 Soit un rectangle de centre, on désigne par *, +, K et L les milieux respectifs des segments,, et et par et les points tels que L (((() = ((((() et = 3M Soit une isométrie du plan telle que := et =. 1) a) Faire une figure. b) Déterminer *. c) Déterminer l image de la droite par. 2) On désigne par $ la symétrie centrale de centre et par la symétrie axiale d axe a) Déterminer les images des points et B par l isométrie $. b) En déduire que : = $ ou = $ c) Dans le cas où $, montrer que = 3M ' (((((() (on pourra décomposer $ en composée de deux symétries axiales). 3) Soit l isométrie 0= 3M ' (((((() 3M ' (((((() a) Déterminer 0K ; 0 et 0L b) En déduire que 0 =OP c) En déduire que si $ alors =' (((((() 3M Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 2

Exercice 6 Soit un triangle isocèle rectangle en et tel que ((((() - /, ((((() 2 2/. On pose =, = et = et D = b: Soit une isométrie du plan telle que = et =. 1) Montrer que =. 2) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l isométrie 0 du plan définie par 0=, 0= et 0=. 3) Soit D = b. a) Montrer qu il existe une unique isométrie h telle que h=, h= et h= b) Montrer que h =' 9 (((() b: 4) a) Quelles sont les images possibles du triangle par l isométrie. b) Déterminer alors l isométrie. Exercice 7 Le plan P est rapporté à un repère orthonormé direct,;),<) on considère l application > > qui à tout point @ d affixe z on associe le point @ d affixe c tel que c D =dc+3+d 1) Montrer que est une isométrie du plan. 2) Montrer que admet un seul point invariant I et en déduire sa nature. 3) a) Déterminer l affixe du point D =. b) Donner une mesure de l angle (((() -, (((((). 4) Donner les éléments caractéristiques de. Exercice 8 Soit un carré de centre tel que : f (((((), ((((()g d angle et par la symétrie centrale de centre. 2/. On désigne par h la rotation de centre et 1) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques des applications suivantes : о о et о о ' ((((() 2) a) Prouver que о h est la rotation de centre et d angle b) En déduire que est l unique point du plan tel que h=. 3) Soient @ et i deux points du plan tels que : @ et =@ i. On pose h@=* ; @=+ ; hi=k et i=l. a) Placer les points @, i, *, +, K et L. b) Montrer que *+KL est un carré de centre. c) Soit h la rotation de centre et d angle. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l application h D о h et en déduire h D *=+. Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 3

Exercice 9 Soit un losange de centre tel que ((((() -, ((((() +j/ ;j Z. Soit + l ensemble des isométries qui laissent globalement invariants l ensemble n,,,o Soit +. On pose =. 1) a) Montrer que ((((() + ((((() + ((((() + ((((() = (). b) En déduire que le point est invariant par toute isométries +. 2) Soit f un élément de F. Montrer que f (A) B et f(a) D 3) a) On pose = et 0 = о. Montrer que 0 fixe les points et. b) En déduire les éléments de + qui transforment en. 4) a) Déterminer les éléments de + qui fixent le point. b) En déduire que + =pop,,, 9 q ( Idp étant l identité du plan ). Exercice 10 Soit un triangle équilatéral direct et C le cercle circonscrit à. La médiatrice de recoupe le cercle C en et la droite coupe en *. 1) a) Montrer que le triangle * est isocèle en. b) Montrer que est la médiatrice de *. 2) On note = о et 0 = о. a) Caractériser les isométries et 0. b) Déterminer les droites et telles que = о et 0 = о c) Montrer que et sont parallèles puis identifier о 0. Exercice 11 Soit un triangle équilatéral tel que ((((() -, ((((() 2/. On pose =, r s et =, r t et = о 1) a) Quelle est la nature de? b) Déterminer et construire le centre Ω de. c) Caractériser l application о. 2) a) On pose =*. Montrer que la droite * est la médiatrice de. b) On pose =+. Montrer que la droite Ω+ est la médiatrice de *. 3) La perpendiculaire à passant par E coupe la droite Ω en. a) Montrer que =. b) En déduire que Ω=. Exercice 12 Soit un carré de centre tel que : ((((() -, ((((() 2/. On désigne par et les milieux respectifs des segments et. Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 4

1) a) Montrer qu il existe une unique isométrie qui transforme en, en et en. b) Déterminer l image de la droite par l isométrie. c) Caractériser l isométrie. 2) Soit 0 une isométrie du plan telle que : 0= et 0=. a) Montrer que si 0 admet un point invariant alors ce point est nécessairement. b) Caractériser l isométrie 0 dans le cas où 0=. c) Montrer que si le point n est pas invariant par 0 alors son image par 0 est son symétrique par rapport à la droite. Exercice 13 Soit +* un carré de coté 4 wx tel que + ((((() -, ((((() 2/ et soit son centre. On désigne par et les symétriques respectifs de et par rapport à *+. 1) a) Soit la rotation définie par +=* et *=. Préciser l angle et le centre de. b) Soit = о $9 où $9 est la symétrie orthogonale d axe. Montrer que = $9. 2) Soit D =' $9 (((() о y où ' $9 (((() désigne la translation de vecteur (((() et y désigne la réciproque de. a) Déterminer les images des points, + et par D. b) Déduire que D est une rotation dont on précisera le centre et l angle. 3) Soit la médiatrice du segment + et soit 0 = о о $9. a) Montrer que 0 est une symétrie glissante dont on précisera l axe et le vecteur. b) Soit @ un point du plan. Montrer que 0@= D @ si et seulement si @=@. c) En déduire l ensemble des points @ tel que 0@= D @. Exercice 14 Soit un triangle isocèle rectangle en et tel que ((((() -, ((((() 2/. On pose = ; = et = Soit une isométrie du plan telle que = et = 1) a) Montrer que =. b) Montrer que s il existe un point @ invariant par alors nécessairement @ =. 2) On suppose que =. Déterminer alors la nature et les éléments caractéristiques de. 3) On suppose dans cette question que = où = : et on considère l application 0 ='z { ((((() о La parallèle à et passant par coupe en >. a) Déterminer 0 ; 0 et 0. b) Montrer alors que 0 = 9:. c) En déduire que = : о b о 9:, que peut-on conclure? Exercice 15 Le plan P est rapporté à un repère orthonormé direct,;),<) on considère l application Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 5

G > > : @A,B @ D A D,B D tel que E AD = A B+2 1) a) Montrer que est une isométrie du plan. B D = A B+2 b) Déterminer l ensemble des points invariants par. c) En déduire qu il existe une droite et un vecteur H() uniques tel que : H() est un vecteur directeur de et = о ' I() =' I() о 2) On se propose de déterminer le vecteur H() et la droite par deux méthodes. A\ Méthode 1 a) Déterminer les expressions analytiques de о. b) Caractériser l application о et en déduire le vecteur H(). c) Caractériser l application ' yi() о et en déduire la droite. B\ Méthode 2 a) sachant que pour tout point @ de >, on a : @ @ donner une équation cartésienne de b) En déduire le vecteur H(). Exercice 16 Soit l application qui à tout @A+dB associe le point @ D A D +db et tel que E AD = fa+ 3B+2g B D = f 3A Bg G 1) a) Montrer que : c D = ~ c+1 b) On pose =, vérifier que @ =@. c) Déterminer l ensemble des points invariants par. 2) Soit @ d affixe c et 2 @=@ a) Exprimer c en fonction de c et montrer que l application 2 est une translation de vecteur H() que l on précisera. b) Soit les points et d affixes respectives et d et l application 0 ='z { I() 2 c) Déterminer les affixes respectives des point et images respectifs de et par 0. e) Montrer que 0 est une symétrie orthogonale dont on précisera l axe. 3) a) Montrer que y ƒ est un réel. z { (() b) Déterminer alors la nature et les éléments caractéristiques de. Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 6