Lycée Pothier Orléans Nombres complexes Rappels de BCPST 1 BCPST 018 019 I. Définition Définition 1 [ Nombre complexe ] Un nombre complexe z peut s écrire sous la forme z = a + ib où a et b sont deux réels et i vérifie i = 1. Cette écriture est appelée forme algébrique du nombre complexe z. Le réel a est la partie réelle de z, notée Re(z), et le réel b sa partie imaginaire, notée Im(z). L ensemble des nombres complexes est noté C. Vocabulaire pur. Si Im(z) = 0, z est réel de sorte que R C. Si Re(z) = 0, on dit que z est imaginaire Définition [ Égalité de nombres complexes ] Deux nombres complexes seront dits égaux si et seulement leurs parties réelles et leurs parties imaginaires sont égales. { Re(z) = Re(z z = z ) Im(z) = Im(z ) Remarque [ Nullité d un nombre complexe ] En particulier, un nombre complexe est nul si et seulement ses parties réelle et imaginaire sont nulles. II. Opérations sur les nombres complexes On définit maintenant les opérations usuelles sur les nombres complexes. Soient z et z deux nombres complexes que l on écrira z = a + ib et z = a + ib sous forme algébrique. On définit alors : La somme de z et z par : z + z = (a + a ) + i(b + b ); Le produit de z et z par : zz = (aa bb ) + i(a b + ab ). En pratique, pour effectuer une somme ou un produit de nombres complexes écrits sous forme algébrique, on effectue les calculs comme on les ferait dans R en imaginant que i est une variable, on se sert de la relation i = 1 (dans le cas d un produit) et on regroupe finalement les termes «sans i» (la partie réelle du résultat) et les termes «avec i» (la partie imaginaire du résultat). Exemple ( + i)(1 + 3i) = + 6i + i + 3i = + 6i + i 3 = 1 + 7i 1
Définition 3 [ Conjugué d un nombre complexe ] Soit z = a +ib un nombre complexe. On appelle conjugué de z le nombre complexe z obtenu en opposant la partie imaginaire de z : z = a ib. Proposition 1 [ Caractérisation des réels et des imaginaires purs ] Soient z et z deux nombres complexes, on a : z + z = Re(z) z z = i Im(z) Ainsi, z réel z = z et z imaginaire pur z = z Proposition [ Propriétés de la conjugaison ] Soient z et z deux nombres complexes, avec z = a + ib. on a : (1) z + z = z + z () z z = z z (3) z z = a + b R + La notion de conjugué d un nombre complexe permet de définir l inverse d un nombre complexe non nul. Si z = a + ib est un nombre complexe non nul, c est-à-dire avec (a,b) (0,0), on définit : 1 z = z a + b On peut vérifier que 1/z z = 1. En effet, en utilisant le point (3) de la proposition précédente : 1 z z = zz a + b = a + b a + b = 1 On peut alors définir le quotient de deux nombres complexes z et z avec z 0 en posant : z z = z 1 z Le conjugué d un quotient est le quotient des conjugués : z/z = z/z. Définition 4 [ Module d un nombre complexe ] Soit z = a + ib un nombre complexe. On définit le module de ce nombre complexe, noté z, par z = z z = a + b. Le module a une interprétation géométrique importante qui sera vue plus loin.
Proposition 3 [ Propriétés du module ] Soient z et z deux nombres complexes, on a : (1) z = z () zz = z z (3) Si z 0, z/z = z / z (4) z = 0 z = 0 Proposition 4 [ Inégalité triangulaire pour le module ] Soient z et z deux nombres complexes, on a : z + z z + z III. Représentation géométrique Dans la suite, on suppose le plan muni d un repère orthonormé direct (0, i, j ). Définition 5 [ Affixe d un point, d un vecteur ] Soit M (resp. u ) un point (resp. un vecteur) du plan de coordonnées (a,b). On appelle affixe de M (resp. de u ) le nombre complexe z = a + ib. Proposition 5 [ Interprétations géométriques ] Soient M et N deux points du plan d affixes respectives z et z. Si M s désigne le symétrique de M par rapport à l axe des abscisses alors l affixe de M s est z OM = z MN = z z Définition 6 [ Argument d un nombre complexe ] Soit z un nombre complexe non nul et M le point du plan d affixe z. On appelle argument de z, noté arg(z), toute mesure de l angle orienté ( i, OM). On appelle argument principal de z l unique argument de z appartenant à ] π,π]. Remarque L argument d un nombre complexe est donc défini à π près. On parle donc d un argument et non pas de l argument d un nombre complexe. Si θ est un argument de z C, on notera arg(z) = θ (mod π) ce qui signifie que arg(z) = θ + kπ pour un certain k Z. 3
Proposition 6 [ Propriétés de l argument ] Soient z et z deux nombres complexes non nuls, on a : (1) arg(z) = arg(z) (mod π) () arg(zz ) = arg(z) + arg(z ) (mod π) (3) arg(1/z) = arg(z) (mod π) (4) arg(z/z ) = arg(z) arg(z ) (mod π) IV. Forme trigonométrique Proposition 7 [ Forme trigonométrique d un nombre complexe ] Tout nombre complexe non nul z C peut s écrire sous la forme z = ρ(cos(θ) + i sin(θ)) avec ρ R + et θ R. On dit que c est la forme trigonométrique de z. De plus on a ρ = z et θ = arg(z) (mod π). Proposition 8 [ «Unicité» de la forme trigonométrique ] Soient z et z deux nombres complexes non nuls écrits sous forme trigonométrique z = ρ(cos(θ) + i sin(θ)) et z = ρ (cos(θ )+i sin(θ )) avec ρ, ρ réels strictement positifs et θ, θ réels. Alors : { ρ = ρ z = z θ = θ (mod π) Remarque En pratique, pour écrire sous forme trigonométrique un nombre complexe z = a + ib non nul écrit sous forme algébrique, on utilise les identités : ρ = z = a + b et cos(θ) = a b et sin(θ) = a + b a + b Exemple Si z = 3 + i, 3 3 ρ = z = + 1 = et cos(θ) = de sorte que z = (cos(π/6) + i sin(π/6)). et sin(θ) = 1 V. Exponentielle d un nombre complexe Définition 7 [ Exponentielle complexe d un imaginaire pur ] Pour tout θ R, on notera e iθ le nombre complexe cos(θ) + i sin(θ). 4
Remarque [ Écriture exponentielle d un nombre complexe ] Tout nombre complexe z non nul peut donc s écrire sous la forme z = ρe iθ avec ρ R + et θ R. On parle de forme exponentielle du nombre complexe z. Pour tout θ R, e iθ est un nombre complexe de module 1 puisque : θ R, e iθ = cos (θ) + sin (θ) = 1 Proposition 9 [ Propriétés de l exponentielle complexe d un imaginaire pur ] Soient θ et θ deux réels et n Z, on a : (1) e iθ = 1 () e iθ = e iθ (3) e i(θ+θ ) = e iθ e iθ (4) (e iθ ) n = e inθ (5) e i(θ θ ) = e iθ /e iθ Proposition 10 [ Formules d Euler et de Moivre ] Soient θ R et n Z. Formules d Euler : cos(θ) = eiθ + e iθ et sin(θ) = eiθ e iθ i Formule de Moivre : (cos(θ) + i sin(θ)) n = cos(nθ) + i sin(nθ) Exemple [ Application des formules d Euler ] Les formules d Euler permettent de linéariser des expressions du type cos p (x)sin q (x) en les exprimant en fonction des cos(kx), 1 k p, et des sin(lx), 1 l q. Par exemple, cos(x)sin(x) = 1 4i (ei x + e i x )(e i x e i x ) = 1 4i (ei x 1 + 1 e i x ) = 1 4i (ei x e i x ) = 1 sin(x) Par ailleurs, si a, b sont réels, les formules d Euler permettent, par la technique de «l angle moitié», de mettre les complexe e i a ± e ib sous forme exponentielle. Par exemple : Ainsi, e i a + e ib = e i a+b (e i a b a b i + e ) ( ) a + b = cos e i a+b ( ) e i a + e ib a + b = cos et arg ( e i a + e ib) = a + b 5 (mod π)
Exemple [ Application de la formule de Moivre ] Inversement, la formule de Moivre permet de transformer des expressions du type cos(nx) ou sin(nx) en les exprimant sous forme de somme de cos k (x) et sin k (x), 1 k n. Par exemple, cos(3x) + i sin(3x) = (cos(x) + i sin(x)) 3 = cos 3 (x) + 3i cos (x)sin(x) 3cos(x)sin (x) i sin 3 (x) = ( cos 3 (x) 3cos(x)sin (x) ) + i ( 3cos (x)sin(x) sin 3 (x) ) En prenant les parties réelle et imaginaire des deux membres, on obtient donc : { cos(3x) = cos 3 (x) 3cos(x)sin (x) sin(3x) = 3cos (x)sin(x) sin 3 (x) Définition 8 [ Exponentielle complexe d un nombre complexe ] Soit z = a + i b un nombre complexe. L exponentielle de z est définie par e z = e a+ib = e a e ib = e a (cos(b) + i sin(b)) Remarque Comme e a R + et e ib = 1, on obtient que e z = e a e ib = e a e ib = e a. De plus, arg(e z ) = arg(e a e ib ) = arg(e a ) + arg(e ib ) = b (mod π). Proposition 11 [ Propriété de l exponentielle complexe ] Soient z et z deux nombres complexes. Alors e z+z = e z e z. 6