Symétrie centrale Niveau 5 e H. TOURNEUR 26 septembre 2018
En bref 1 Définir le symétrique central d un point ; 2 Quelques propriétés de conservation de la symétrie centrale ; 3 Tracer le symétrique central d une figure.
Sommaire I. Définition et construction du symétrique central d un point II. Propriétés de conservation III. Centre de symétrie d une figure
Plan I. Définition et construction du symétrique central d un point II. Propriétés de conservation III. Centre de symétrie d une figure
Rappel Définition Deux points sont symétriques par rapport à une droite lorsque la droite est la médiatrice du segment dont les points sont les extrémités. La droite est l axe de symétrie. Définition (variante) Deux points M et M sont symétriques par rapport à une droite ( ) lorsque la droite ( ) est la médiatrice du segment [MM ]. La droite ( ) est l axe de symétrie.
Définition version 1 Deux points sont symétriques par rapport à un troisième point lorsqu ils sont les extrémités d un segment qui a pour milieu ce troisième point. Ce dernier point est le centre de symétrie. Définition version 2 Deux points M et M sont symétriques par rapport à un point O lorsque : O [MM ] MO = OM Le point O le centre de symétrie.
Construction Étant donnés deux points M et O, pour tracer le symétrique du point M par rapport au point O : on trace la droite (MO) ; on pique le compas en O en réglant l écartement avec M ; on retourne le compas pour placer M sur la droite (MO). On n oublie pas les codages indiquant que MO = OM.
Cas particulier important Le symétrique d un point par rapport à lui-même est lui-même. Vocabulaire Les expressions suivantes sont synonymes : symétrie par rapport à un point, symétrie centrale. Attention! En 6 e on parlait de symétrie par rapport à une droite (un axe). symétrie axiale
Plan I. Définition et construction du symétrique central d un point II. Propriétés de conservation III. Centre de symétrie d une figure
Construire un segment [AB] ; placer un point O ; tracer le symétrique [A B ] du segment [AB] par rapport au point O. Propriété Si on a une symétrie centrale, alors le symétrique d un segment est un segment de même mesure.
Propriété Si on a une symétrie centrale, alors le symétrique d un segment est un segment et tel que ce segment possède la même mesure.
Construire un angle ÂBC ; placer un point O ; tracer le symétrique  B C de l angle ÂBC par rapport au point O. Propriété Si on a une symétrie centrale, alors le symétrique d un angle est un angle de même mesure.
Construire un cercle C A de centre A ; Propriété placer un point O ; tracer le symétrique de C A par rapport au point O. Si on a une symétrie centrale, alors le symétrique d un cercle est un cercle de même rayon et dont le centre est le symétrique du centre du cercle initial.
Propriété 1/2 Si on a une symétrie centrale, alors le symétrique d un cercle est un cercle de même rayon. Propriété 2/2 Si on a une symétrie centrale, alors le symétrique d un cercle est un cercle dont le centre est le symétrique du centre du cercle initial.
Propriété version 1 Si on a une symétrie centrale, alors le symétrique d une droite est une droite. Propriété version 2 Si on a une symétrie centrale, alors des points alignés sont transformés en points alignés. Mise en évidence avec GeoGebra En plaçant un point mobile sur l une des droites : le symétrique de ce point reste bien sur l autre droite. On constate également que les droites semblent parallèles. Cela sera démontré dans la suite.
Construire 1 Tracer une droite (d) et placer un point O n appartenant pas à la droite (d). 2 Placer deux points quelconques M et N appartenant à la droite (d). 3 Construire les points M et N symétriques respectifs des points M et N par rapport au point O. 4 Tracer une droite passant par le point O et perpendiculaire à la droite (d). Cette droite coupe la droite (d) en un point H.
Situation initiale M H N O M H N
Questions 1 Quelle est la droite symétrique de la droite (d) par rapport au point O? 2 Quel est le point H symétrique du point H par rapport au point O? Justifier. 3 a) Quel est le symétrique du point O? b) En déduire quel est l angle symétrique de l angle MHO et quel est sa mesure? 4 a) Que peut-on dire des droites (HH ) et (M N )? b) En déduire que les droites (d) et (M N ) sont parallèles.
Démonstration Etape 1 On sait que les points M, H et N sont alignés ; M = sym O M ; H = sym O H ; N = sym O N. Or d après la propriété si on a une symétrie centrale, alors des points alignés sont transformés en points alignés. Donc les points M, H et N sont alignés.
Etape 2 On sait que M = sym O M d après l énoncé ; H = sym O H d après l énoncé ; O = sym O O d après l énoncé. ainsi M H O = sym O MHO. de plus MHO = 90. Or d après la propriété si on a une symétrie centrale, alors un angle est transformé en un angle de même mesure. Donc M H O = 90.
Etape 3 On sait que (MH) (HH ) d après l énoncé ; (MH ) (HH ) d après l étape 2 ; Or d après la propriété si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles. Donc (MH) (M H ). d où finalement en tenant compte des alignement de points à l étape 1, le parallélisme précédent peut encore s écrire : (MN) (M N )
Propriété Si on a une symétrie centrale, alors le symétrique d une droite est une droite qui lui est parallèle.
Propriété Si on a une symétrie centrale, alors le symétrique d une demi-droite est une demi-droite dont le support lui est parallèle, l origine est le symétrique de l origine de la demi-droite initiale, le sens est contraire à la demi-droite initiale.
Plan I. Définition et construction du symétrique central d un point II. Propriétés de conservation III. Centre de symétrie d une figure
Construction 1 Tracer un rectangle ABCD tel que AB = 6 cm et BC = 4 cm. Placer J à l intersection de ses diagonales. 2 Tracer A B C D le symétrique du rectangle ABCD par rapport à J. Question Que constate-t-on? Définition Un point est le centre de symétrie d une figure lorsque le symétrique de cette figure par rapport à ce point est la figure elle-même.