1 FLUCTUATION ET ESTIMATION Le mathématicie d'origie russe Jerzy Neyma (1894 ; 1981), ci-cotre, pose les fodemets d'ue approche ouvelle des statistiques. Avec l'aglais Ego Pearso, il développe la théorie de l'estimatio et de la prise de décisio sur u échatillo. Ses travaux trouverot rapidemet des applicatios das de ombreux domaies cocrets, tels la médecie, l'astroomie ou la météorologie. Das ce chapitre, o va étudier deux domaies des statistiques qu'il faut savoir distiguer : Echatilloage Prise de décisio - Ue ure cotiet u très grad ombre de boules blaches et de boules oires dot o coaît la proportio p de boules blaches. O tire avec remise boules (échatillo) et o observe la fréquece d'apparitio des boules blaches. Cette fréquece observée appartiet à u itervalle, appelé itervalle de fluctuatio de cetre p. Estimatio Ue ure cotiet u très grad ombre de boules blaches et de boules oires dot o igore la proportio p de boules blaches. O tire avec remise boules das le but d'estimer la proportio p de boules blaches. Cette estimatio s'obtiet à l'aide d'u itervalle de cofiace costruit selo u iveau de cofiace que l'o attribue à l'estimatio. - Das le cas où o e coaît pas la proportio p mais o est capable de faire ue hypothèse sur sa valeur, o parle de prise de décisio. O veut par exemple savoir si u dé est bie équilibré. O peut faire l'hypothèse que l'apparitio de chaque face est égale à 1/6 et o va tester cette hypothèse. Coditios sur les paramètres : Das tout le chapitre, sauf metio cotraire, la taille de l'échatillo et la proportio p du caractère étudié das la populatio vérifiet : 30, p 5 et 1 p ( ) 5. I. Echatilloage 1) Itervalle de fluctuatio asymptotique Das ce paragraphe, o suppose que la proportio p du caractère étudié est coue.
2 Exemple : O dispose d'ue ure coteat u grad ombre de boules blaches et oires. La proportio de boules blaches coteues das l'ure est p = 0,3. O tire successivemet avec remise = 50 boules. Soit X 50 la variable aléatoire déombrat le ombre de boules blaches tirées. X 50 suit la loi biomiale B 50 ; 0,3 ( ). E effectuat 50 tirages das cette ure, o va prouver das ce chapitre que la fréquece d'apparitio d'ue boule blache est comprise das l'itervalle [0,173 ; 0,427] avec ue probabilité de 0,95. Cette itervalle s'appelle l'itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil 0,95 (ou 95%). O désige das la suite par X ue variable aléatoire qui suit ue loi biomiale B ; p ( ). Défiitio : La variable aléatoire F = X représete la fréquece de succès pour u schéma de Beroulli de paramètres et p. Propriété : La probabilité que la fréquece F pree ses valeurs das l'itervalle ( ) p 1 p I = p 1,96 ; p + 1,96 de l'échatillo deviet grade. ( ) p 1 p se rapproche de 0,95 quad la taille I est appelé l itervalle de fluctuatio au seuil 0,95 de la variable aléatoire fréquece F. Remarque : La probabilité défiie das la propriété se rapproche de 0,95 sas être écessairemet égale d'où l'emploi du terme "asymptotique". Exemple : Démotros le résultat doé das l'exemple précédet : O a : p = 0,3 et = 50. 0,3 0,7 0,3 0,7 I 50 = 0,3 1,96 ; 0,3 + 1,96 50 50 Soit I 50 = 0,173; 0,427.
3 Cela sigifie que pour 50 tirages, das 95% des cas, la fréquece d apparitio de boules blaches se situe das l itervalle I 50 = 0,173; 0,427. Pour 500 tirages, o obtiet : 0,3 0,7 0,3 0,7 I 500 = 0,3 1,96 ;0,3 + 1,96 = 0,26 ; 0,34 500 500 O costate que l'itervalle, pour u même seuil, se resserre fortemet lorsqu'o augmete le ombre de tirages. 2) Prise de décisio Das ce paragraphe, la proportio du caractère étudié 'est pas coue mais est supposée être égale à p. La prise de décisio cosiste à valider ou ivalider l'hypothèse faite sur la proportio p. Propriété (Règle de décisio) : Soit f la fréquece du caractère étudié d'u échatillo de taille. Soit l'hypothèse : "La proportio de ce caractère das la populatio est p." Soit I l'itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil 0,95. - Si f I, alors o accepte l'hypothèse faite sur la proportio p. - Si f I, alors o rejette l'hypothèse faite sur la proportio p. Remarque : O peut iterpréter cette propriété par le fait que la probabilité qu'o rejette à tord l'hypothèse sur p sachat qu'elle est vraie est approximativemet égale à 5%. Méthode : Predre ue décisio à l'aide d'u itervalle de fluctuatio U fabricat d'alarme commade auprès de so fourisseur deux types de composats électroiques : RS017 et P412. Il demade 900 composats de chaque sorte. Au momet de la livraiso, le service de cotrôle retire 50 composats et costate que 19 sot des modèles RS017. Peut-o affirmer que la commade est respectée par le fourisseur? - Hypothèse : La commade est respectée par le fourisseur. - Le fabricat a commadé autat de composats de chaque sorte. O peut doc supposer que la proportio de composats RS017 est : p = 0,5. La taille de l'échatillo est : = 50. - Vérifios si les paramètres est p répodet aux coditios imposées : = 50 30, p = 50 0,5 = 25 5 et 1 p ( ) = 50 0,5 = 25 5
4 - L'itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil 0,95 est : 0,5 0,5 0,5 0,5 I = 0,5 1,96 ; 0,5+1,96 0,361; 0,639. 50 50 - La fréquece observée est f = 19 50 = 0,38. - f = 0,38 I. La fréquece observée appartiet à l'itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil 0,95. D'après la règle de décisio, l'hypothèse faite est acceptable : la commade est respectée par le fourisseur. II. Estimatio Das ce paragraphe, o suppose que la proportio p du caractère étudié est icoue. C'est le problème iverse de celui de l'échatilloage. A partir de la fréquece observée sur u échatillo, o va estimer la proportio p d'u caractère das la populatio tout etière. Défiitio : Soit f ue fréquece observée du caractère étudié sur u échatillo de taille. La proportio théorique p du caractère étudié appartiet à l itervalle J = f 1 ; f + 1. J est appelé l itervalle de cofiace de la proportio p au iveau de cofiace 0,95. Remarques : - U iveau de cofiace 0,95 sigifie que das 95 cas sur 100, o affirme à juste titre que p appartiet à l'itervalle de cofiace. - Il 'est pas vrai d'affirmer que p est égal au cetre de l'itervalle de cofiace. Il 'est pas possible d'évaluer la positio de p das l'itervalle de cofiace. - p état icou, il 'est pas possible de vérifier si les coditios éocées sur et p e itroductio de chapitre sot vérifiées. Cepedat, il faudra les vérifier sur la fréquece observée f : 30, f 5 et 1 f ( ) 5. Exemple : O dispose d'ue ure coteat u grad ombre de boules blaches et oires. La proportio de boules blaches coteues das l'ure 'est pas coue.
5 O réalise u tirage de 100 boules et o obtiet 54 boules blaches. La fréquece observée est doc f = 0,54. L'itervalle de cofiace de la proportio de boule blache das l'ure au iveau de 1 cofiace 95% est 0,54 100 ; 0,54 + 1 = 0,44 ; 0,64. 100 Méthode : Estimer ue proportio icoue par u itervalle de cofiace U istitut de sodage iterroge 1052 persoes etre les deux tours de l'électio présidetielle sur leur itetio de vote. 614 déclaret avoir l'itetio de voter pour Martie Phio. E supposat que les votes serot coformes aux itetios, la cadidate a-t-elle raiso de croire qu'elle sera élue? La proportio p des électeurs de Martie Phio est icoue. - La taille de l'échatillo est = 1052. - La fréquece observée est f = 614 1052 0,5837. - Vérifios si les paramètres est f répodet aux coditios imposées : = 1052 30, f 1052 0,5837 614 5 et ( ) 1052 ( 1 0,5837) 438 5. 1 p - L'itervalle de cofiace de la proportio p au iveau de cofiace 0,95 est : 1 J = 0,5837 1052 ; 0,5837 + 1 1052 0,553 ; 0,615. - Pour être élue, la proportio p doit être strictemet supérieure à 0,5. Selo ce sodage, il est evisageable que Martie Phio soit élue. Méthode : Détermier ue taille d'échatillo suffisate pour obteir ue estimatio d'ue proportio U costructeur automobile fait appel à u istitut de sodage afi de mesurer le degré de satisfactio du service après-vete. L'istitut souhaite estimer la proportio de cliets satisfaits au iveau de cofiace 0,95 avec ue amplitude d'au plus 5 cetièmes. Combie de persoes au miimum faut-il iterroger? O appelle p la proportio de cliets satisfaits. Cette proportio est icoue.
6 Ue estimatio de cette proportio peut être obteue à l'aide de l'itervalle de cofiace au iveau de cofiace 0,95 : f 1 ; f + 1, où f est la fréquece observée. 2 Cette itervalle a pour logueur. Doc 2 0,05 soit 4 0,05 = 1600. 2 L'istitut de sodage devra doc iterroger au mois 1600 persoes. Hors du cadre de la classe, aucue reproductio, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété itellectuelle, e peut être faite de ce site sas l'autorisatio expresse de l'auteur. www.maths- et- tiques.fr/idex.php/metios- legales