Thème : Application affines en terminale

6 ième ASSEMBLEE GENERALE de l Association des Professeurs de Mathématiques de la Région de Sikasso et Sympathisants Thème : Application affines en terminale BOUGOUNI 2010-2011 Présenté par : APROMARS/ Section Kadiolo APROMARS Bougouni 2010-2011 1

Introduction APPLICATION AFFINE Applications affines en terminale Dès le second cycle, en 9 ième année, on rencontre la notion de fonction affine en tant que fonction numérique dont la représentation graphique est une droite. A cette fonction on associe la fonction linéaire dont la représentation graphique est parallèle à celle de f et passe par l'origine. Cette fonction numérique vérifie c'est la première application linéaire rencontrée dans l'enseignement secondaire. Cette notion se généralise au plan et à l'espace. Déjà en 10 ième Sciences et 11 ième nous avons renforcé nos compétences relatives à une application. Et nous avons même rencontré l expression «application affine» (par morceaux). APROMARS Bougouni 2010-2011 2

En terminal, encore, on nous parle d application affine. On pourrait se poser la question suivante : «Qu est-ce que ce cours peut rapporter de plus?». En effet, il s agira pour nous d étendre cette notion dans le plan et même dans l espace (dimension 3). En outre, nous parlerons des éléments caractéristiques de quelques applications affines particulières. Bref, les objectifs généraux de ce cours sont : Etendre à l espace les transformations rencontrées dans le plan : translations, homothéties, symétrie centrale, réflexion et la rotation. Savoir trouver les éléments caractéristiques de ces transformations Investir ces compétences relatives à la géométrie. I. GENERALITE APROMARS Bougouni 2010-2011 3

Activité Applications affines en terminale Soit un vecteur du plan vectoriel, un nombre réel, et sont trois points du plan affine tels que :. On désigne par les images respectives des points et par la translation de vecteur. 1. a. Exprimer le vecteur en fonction de. b.quelle remarque faites-vous sur le coefficient de colinéarité? 2. a. Ecrire comme barycentre des points et. b.ecrire comme barycentre des points et. c. Quelle remarque faites-vous sur les coefficients de pondérations? On dit que la translation conserve le barycentre et le coefficient de colinéarité. 1.Définition APROMARS Bougouni 2010-2011 4

On appelle application affine de l espace dans toute application de dans qui conserve le barycentre. Remarques D une manière analogue on définit une application affine de la droite dans, une application affine du plan dans. Une application affine conserve le coefficient de colinéarité. 2.Application vectorielle associée à une application affine Rappel : est une application linéaire de dans signifie que pour tous vecteurs de et pout tout nombre réel α on a : a.définitions APROMARS Bougouni 2010-2011 5

Définition 1 Applications affines en terminale On appelle application vectorielle toute application de la droite vectorielle (respectivement du plan vectoriel ou de l espace vectoriel ) dans (respectivement dans ou dans ) De façon analogue : on appelle application ponctuelle toute application de la droite (respectivement du plan ou de l espace ) dans (respectivement dans ou dans ). Notons que : désignent respectivement l ensemble des points et des vecteurs d une droite. désignent respectivement l ensemble des points et des vecteurs du plan. désignent respectivement l ensemble des points et des vecteurs de l espace. APROMARS Bougouni 2010-2011 6

Définition 2 Soit une application affine. Applications affines en terminale On appelle application vectorielle associée à toute application qui, à tout vecteur de représentant associe le vecteur. Exemple 1 : soit une homothétie de et de rapport -2. On a : Donc l application vectorielle associée à est : Exercice-exemple 2 : Quelle est l application vectorielle associée à une translation du plan? b. Propriété APROMARS Bougouni 2010-2011 7

Soit une application affine du plan, φ l application vectorielle associée à est linéaire. Remarque On a : 3.propriétés Propriété 1 La composée de deux applications affines est une application affine. Propriété 2 Soit une application, une droite, les images respectives de A et B par Si alors l image de est le singleton Si alors l image de est la droite 4.Transformation affine APROMARS Bougouni 2010-2011 8

Activité (relative à la bijection) a.définition On appelle transformation affine de (respectivement de, de ) toute application affine bijective de dans ( respectivement de dans, de dans ) b. Propriétés Propriété 1 La réciproque d une transformation affine est une transformation affine. Propriéte2 Soit une application affine de la droite D. Si est bijective alors Si n est pas bijective alors est un singleton. Propriété 3 Soit une application affine du plan. Si est bijective alors APROMARS Bougouni 2010-2011 9

Si n est pas bijective alors est un singleton ou une droite. Propriété 4 Soit une application affine de l espace E. Si est bijective alors Si n est pas bijective alors est un singleton ou une droite ou un plan. 5.Expression analytique d une application affine a.sur une droite D muni d un repère Activité La droite est muni d un repère Soit une application affine de dans. Soit a et b les abscisses respectives de et images respectives des points et. Le point d abscisse à pour image d abscisse. APROMARS Bougouni 2010-2011 10

1) Ecrire comme barycentre des points et, puis comme barycentre des points et 2) En déduire l expression de en fonction de. Retenons : l expression analytique d une application affine de dans est de la forme b. Dans le plan muni d un repère Le plan est muni d un repère. Soit f une application affine du plan dans lui-même. L expression analytique de f est la forme : Activité c. Exemple de détermination de l expression analytique d une application affine dans l espace APROMARS Bougouni 2010-2011 11

Soit l espace muni d un repère, la projection sur le plan d équation :, suivant la direction définie par le vecteur. Déterminer l expression analytique de. Cas général : L expression analytique d une application affine dans l espace muni d un repère est : Exercices d application Exercices relatifs aux applications linéaires Exercice 1 Soit φ l application définie par : Montrer que φ est linéaire. Exercice 2 APROMARS Bougouni 2010-2011 12

Soit une base de et φ une application linéaire définie par : 1) Déterminer les images des vecteurs et 2) Déterminer l expression analytique de φ dans base 3) Cette application est-elle bijective? Justifier votre réponse. Exercices relatifs aux applications ponctuelles Exercice 1 Soit le plan complexe. Soit l application définie de qui à tout d affixe associe le point d affixe tel que 1) Déterminer les coordonnés de l image du point par f. APROMARS Bougouni 2010-2011 13

2) Déterminer les coordonnées du point tel que Exercice 2 Soit une application définie de dont l expression analytique est la suivante : Déterminer l ensemble des points invariants par. II. AFFINITES DU PLAN 1.Définition Soit une droite, δ une direction de droite distincte de celle de et un nombre réel. On appelle affinité d axe, de direction δ et de rapport l application qui à tout point M du plan associe le point M tel que : où H est le projeté de M sur suivant la direction δ. Illustration APROMARS est l image Bougouni de 2010-2011 par 14 l affinité d axe de direction δ et de rapport -1

2.Quelques affinités particulières Si la direction de est orthogonale à δ alors on parle d affinité orthogonale d axe est de rapport. Si alors on a une projection sur suivant la direction δ Si alors on a une projection identique du plan Si et que la direction de est orthogonale à δ alors on a une symétrie orthogonale d axe. Remarque : l ensemble des points invariants d une affinité est son axe. 3.Expression analytique d une affinité Le plan est muni du repère. APROMARS Bougouni 2010-2011 15

L expression analytique de l affinité d axe d équation, de direction celle de et de rapport est : Exercices Exercice 1 Soit une affinité de d axe, de direction δ et de rapport. Quelle est l image d un point de la droite par. Exercice 2 Dans le plan, on considère une droite et deux points distincts et n appartenant pas à. 1) A quelle condition existe-t-il une affinité d axe appliquant sur? Combien existe-t-il alors de telles affinités? APROMARS Bougouni 2010-2011 16

2) En supposant cette condition réalisée, construire l image d un point quelconque par cette affinité. III. DETERMINATION D UNE APPLICATION AFFINE 1.Détermination d une application affine par une application linéaire et un couple de points Théorème Etant donné un couple de point de l espace une application linéaire φ de l espace vectoriel dans lui-même, il existe une unique application affine de dans appliquant sur et associée à l application linéaire φ. De plus, pour tous points de : APROMARS Bougouni 2010-2011 17

2.Détermination d une application affine par l image d un repère a.application affine déterminée par l image d un repère de la droite Théorème Toute application affine de la droite dans est déterminée par l image d un repère de. Activité : Exemple de construction Soit A et B deux points de la droite. Les points et, de la même droite, leurs images respectives par une application affine. Construire l image du point par cette application. Théorème b. Application affine déterminée par l image d un repère du plan APROMARS Bougouni 2010-2011 18

Une application affine du plan dans est entièrement déterminée par l image d un repère du plan. Activité : Exemple de construction Les points, et sont trois points non alignés du plan et, et leurs images respectives par une application affine. Construire l image du points M par cette application. IV. QUELQUES APPLICATIONS AFFINES 1.Translation a.définition Soit un vecteur de l espace vectorielle. APROMARS Bougouni 2010-2011 19

On appelle translation de vecteur, notée, l application de l espace dans lui-même qui à tout point associe le point tel que :. b. Propriétés Propriété 1 Soit une application de l espace dans lui-même. est translation si et seulement si, pour tous points et d images respectives et, on a :. Propriété 2 Soit deux vecteurs de l espace vectoriel. La composée des translations de vecteurs respectifs et est la translation de vecteur. c. Expression analytique dans l espace L espace est muni du repère. APROMARS Bougouni 2010-2011 20

L expression analytique de la translation de vecteur est : 2.Homothéties a.définition Etant donné un point du plan P et un réel non nul, on appelle homothétie de centre et de rapport l'application qui, à tout point M, fait correspondre le point M' tel que. On la note. Remarques Si, l'homothétie se réduit à l'application identique. Si, l'homothétie est équivalente à la symétrie par rapport à (ou symétrie centrale de centre ). Dans la suite nous supposerons. APROMARS Bougouni 2010-2011 21

b. Propriétés Les points, et son image sont alignés. (D après ) Point invariant : Le centre de l'homothétie est le seul point invariant de l'application. (pour la démonstration, supposez qu'il existe un autre point invariant). Réciproque : Toute homothétie est bijective. Toute homothétie de centre et de rapport admet une réciproque qui est l'homothétie de centre et de rapport : Caractérisation d'une homothétie : Une homothétie de rapport transforme un APROMARS Bougouni 2010-2011 22

bipoint en un bipoint (M',N') :. Démonstration : Soit l'homothétie. On a :. Alors :, d'où. Réciproque : soit une application qui transforme le bipoint (, ) en (, ) tel que ( avec ). APROMARS Bougouni 2010-2011 23

On applique cette relation à un couple (, ) fixes et (, ) quelconque i.e.. si et sont confondus, on a alors et l'homothétie de centre et de rapport. si et sont distincts, il existe un point sur qui partage le segment dans le rapport. (avec ). On a : et, alors. Donc est l'homothétie qui transforme en. D'où le théorème suivant : Théorème Si une application affine transforme un point fixe en un point fixe et tout point en un point tel que ( ), cette application est une homothétie de rapport. Propriété 1 APROMARS Bougouni 2010-2011 24

Si sont trois points distincts et alignés alors il existe une homothétie de centre, et une seule, qui transforme en, c'est l'homothétie de rapport. Propriété 2 Si est un réel non nul ( ), sont des points tels que ne sont pas alignés et alors il existe une homothétie, et une seule, qui transforme en et en ; c'est l'homothétie de centre, intersection de et et de rapport. c. Composée de deux homothétiestranslations i. Composée de deux homothéties Soient deux homothéties de centre respectif et rapport respectifs. Si Si alors l'application composée est une translation. alors l'application composée est une homothétie. APROMARS Bougouni 2010-2011 25

ii. Composée d'une homothétie et d'une translation En utilisant les propriétés d'une homothétie et d'une translation, on démontre le théorème suivant : Théorème Si est l'homothétie de centre et de rapport ( ), la translation de vecteur non nul alors sont des homothéties de rapport dont les centres sont sur la droite passant par et de vecteur directeur. Exercice : Démontrer que des homothéties. sont d. Expression analytique dans le plan Soit l'homothétie de centre et rapport. Soit, des points du plan P tels que ' i.e. APROMARS Bougouni 2010-2011 26

On a : e. Expression analytique d une homothétie dans l espace Soit l'homothétie de centre et rapport. Soit, des points de l espace tels que ' i.e. On a : Remarque On remarque que l expression analytique d une translation ou d une homothétie est de la forme : nombre réel non nul. où, et sont trois réel, un APROMARS Bougouni 2010-2011 27

Si alors on a une translation de vecteur Si alors on a une homothétie de rapport Exercice Le plan est muni d un repère orthonormé On considère l application affine qui, à tout point de, de coordonnées, associe le point de coordonnées données par : 1) Déterminer l ensemble des points invariants par 2) Montrer que l image de par est une droite 3) Montrer que est une homothétie qu on déterminera et la projection orthogonale sur APROMARS Bougouni 2010-2011 28

3.Rotation dans le plan et dans l espace a.définitions Soit un point et un nombre réel. On appelle rotation de centre et d'angle, l'application, qui à tout point distinct de, associe le point telle que : et On la note.. θ Exemples : L'application identique est une rotation d'angle 0. est un demi-tour ou une symétrie centrale de centre ou une homothétie de centre et rapport. b. Propriétés APROMARS Bougouni 2010-2011 29

Pour toute rotation r de centre θ, on a : Applications affines en terminale et d angle un unique point invariant. La réciproque de la rotation r est une rotation de centre et d'angle. c. Composée de deux rotations Soit deux rotation et d angle respectifs. La composée est une rotation d'angle. d. Expression complexe d'une rotation Soit la rotation de centre et d'angle. Les points et sont tels que. Soient les affixes respectives des points On a : ce qui équivaut à : APROMARS Bougouni 2010-2011 30

Il en résulte que : Donc e. Expression analytique d une rotation dans le plan Soit la rotation de centre et d'angle. Les points et sont tels que. Soient les affixes respectives des points Posons : '. En utilisant la formule On montre que : APROMARS Bougouni 2010-2011 31

On vérifie que c'est de la forme : des nombres réels. Définition f. Rotation dans l espace Applications affines en terminale où et sont Soit une droite de l espace et un angle orienté, défini dans un plan orthogonal à. Pour tout point de, on désigne par le plan passant par et orthogonal à et par le point d intersection de et. On appelle la rotation d axe et d angle orienté, l application telle que : Si alors ; Si alors est caractérisé par : APROMARS Bougouni 2010-2011 32

Activité 1) Soit une rotation d axe de l espace. a) Quel est l ensemble des points de invariants par? b) Soit un point n appartenant pas à et son image par. Préciser la position relative de et du plan médiateur du segment. 2) Soit une rotation de d angle orienté plat et d axe. Montrer que, pour tout point de, d image par, le milieu de appartient à. 4.Symétries orthogonales a.réflexions Activité APROMARS Bougouni 2010-2011 33

Soit et deux point de l espace et le milieu du segment. Quel est l ensemble des points de équidistants de et? Réponse : le plan orthogonal à en ; c est le plan médiateur i. Définition Soit un plan de l espace. On appelle réflexion du plan, notée, l application de dans lui-même qui à tout point associe le point tel que : Si, alors Si, alors est le plan médiateur de ii. Propriétés Pour les deux propriétés suivante on désigne par un plan et la réflexion du plan. APROMARS Bougouni 2010-2011 34

Propriété 1 Si est un plan perpendiculaire à et leur droite d intersection, alors : est globalement invariant par La restriction de à est la symétrie orthogonale d axe. Propriété 2 Si est une droite orthogonale à en un point, alors : est globalement invariant par La restriction de à est la symétrie de centre. iii. Expression analytique d une réflexion L espace est muni du repère orthonormé. APROMARS Bougouni 2010-2011 35

L expression analytique de la réflexion de plan d équation est b. Demi-tour i. Définition Soit une droite de l espace. On appelle demi-tour d axe, noté, l application de dans lui-même qui à tout point associe le point tel que : Si, alors Si, alors est la médiatrice de ii. Propriétés Propriété 1 APROMARS Bougouni 2010-2011 36

Soit une droite de l espace, le demi-tour d axe et un plan orthogonal à en un point. est globalement invariant par La restriction de à est la symétrie de centre I. Propriété 2 La composée de deux réflexions de plans perpendiculaires suivant une droite est le demi-tour d axe. Tout demi-tour est la composée de deux réflexions de plans perpendiculaire suivant la droite iii. Expression analytique d un demitour APROMARS Bougouni 2010-2011 37

L espace est muni du repère orthonormé. L expression analytique du demitour d axe ayant pour équations est : Activité 1 Soit l espace muni du repère orthonormé directe. Soit le plan d équation et la droite orthogonale à passant par. Déterminer l expression analytique des transformations suivantes : 1) Réflexion 2) Demi-tour 3) APROMARS Bougouni 2010-2011 38

Activité 2 Applications affines en terminale Soit un tétraèdre dont la face est un triangle équilatéral et les faces,, sont des triangles rectangles isocèles. 1) Démontrer que la droite est orthogonale au plan. 2) Déterminer les plans et axes de symétrie de ce tétraèdre. 3) Préciser les images des points A, B, C et D par les transformations suivantes : a. Réflexion de plan b.réflexion de plan c. Demi-tour d axe d.demi-tour d axe 5.ISOMETRIE a.définition et propriété APROMARS Bougouni 2010-2011 39

i. Définition Applications affines en terminale On appelle isométrie du plan (ou de l espace) toute application qui conserve les distances, i.e. pour tous points,, si alors on a : Exemples : une translation, une rotation ou une symétrie axiale sont des isométries. Contre-exemple : une homothétie de rapport 2 n est pas une isométrie. ii. Propriété Le composé de deux isométries est une isométrie. Définition b. Composition et décomposition d isométries APROMARS Bougouni 2010-2011 40

On appelle Identité, notée, l application affine telle que pour tout point Propriété La symétrie axiale est une application involutive, i.e. pour toute droite Attention! En général, l ordre de composition des transformations est important, cette opération n est pas commutative :. Propriétés La composée de deux symétries axiales d axes parallèles est une translation Toute translation se décompose en deux symétries d axes parallèles, l un étant choisi, arbitrairement, perpendiculaire au vecteur de la translation. Exemple APROMARS Bougouni 2010-2011 41

Soient et deux droite parallèles et un point du plan. Si est le projeté orthogonal de M sur, on a tel que Si est le projété orthogal de sur, on a tel que. D où On a un vecteur fixe indépendant de M, ainsi ;. L ordre de la composition est important. On a : et On peut classer les isométries en deux : les déplacements et les antidéplacements Définition c. Déplacement APROMARS Bougouni 2010-2011 42

On appelle déplacement toute isométrie qui conserve les angles orientés. Ce sont les translations et les rotations. Définition d. Antidéplacement On appelle antidéplacement toute isométrie qui change les angles orientés en leurs opposés. Ce sont les symétries axiales et les symétries glissées. APROMARS Bougouni 2010-2011 43

Difficultés Applications affines en terminale 1.Constructions géométriques 2.Détermination de l axe d une symétrie glissée 3.Détermination des éléments caractéristiques de la composée de deux rotations de centres distincts 4.Insuffisance de pré-requis 5.Contrainte de temps 6.Le passage du plan à l espace 7.Passage de l analytique à la géométrie et vice-versa. Solution 1.Concertation dynamique entre professeurs. 2.Formation continue des professeurs de Mathématiques. 3.Multiplication des activités de construction suivant un principe clairement défini. 4.Exécution d exemples concrets avec des objets réels et des projections si possible. APROMARS Bougouni 2010-2011 44

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