Type brevet 5 par Selim Ellieh Exercice I (3 points) On donne les longueurs suivantes : ( )( ). Calculer, en détaillant les étapes, les longueurs données. 2. Montrer que (IJ) est la médiatrice de [AB]. 3. Si, que représente J pour le segment [AB]? Exercice II (3 points) Voici les deux offres de deux loueurs de voitures : Premier payement (en $) Prix par km (en $) Offre A 00 5 Offre B 50 25 Sami souhaite savoir quelle offre est plus avantageuse pour lui, il résous l inéquation :. Que représente l inconnue dans cette inéquation? 2. En déduire, à partir de combien de km l offre A devient plus avantageuse que l offre B. 3. Sami choisis l offre B et paye 00$. Sami a-t-il fait le bon choix? Exercice III (4 points) Dans la figure ci-contre : ABCD est un rectangle E est un point quelconque de [AB] F est la projection orthogonal de E sur [DC] GHBE est un carré tel que J est un point quelconque de [AD] [IJ] est le segment-hauteur mené de I dans le triangle IAD On donne :,, et L aire du rectangle ABCD : ( est positif). a. Vérifier que. b. En déduire la longueur de [AD] en fonction de. 2. Existe-il une valeur telle que l aire du carré GHBE est égale à E? 3. Existe-il une valeur telle que l aire du rectangle AEFD est égale à E? 4. Pour quelle valeurs de la somme de l aire du carré GHBE et l aire du rectangle AEFD est égale à E? 5. On note J l aire du triangle IAD. Exprimer J en fonction de. 6. Pour quelle valeurs de la somme de l aire du carré GHBE et l aire du rectangle AEFD et J est égale à E?
Exercice IV (4 points) Dans un repère orthonormé d axes x Ox on donne les points A(- ; 0), B(4 ;0), C(-4 ; 8) et D( ; 8).. (AD) et (CB) se coupent en E. a. Ecrire une équation de (AD). b. Ecrire une équation de (CB). c. En déduire les coordonnées du point E. 2. Justifier que A est l intersection de (AD) avec x Ox et B l intersection de (CB) avec x Ox. 3. Vérifier que E est le milieu de [CB]. 4. a. Ecrire une équation de la droite (CD). b. Ecrire une équation de la droite (AB). c. En déduire que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. 5. Calculer les longueurs EA et CD. 6. En appliquant la propriété de Thalès : a. Justifier que E est le milieu de [AD] puis trouver ED. b. Trouver la longueur du segment [AB]. 7. Quelle est la nature du triangle OEB? En déduire la mesure de l angle obtus que fait (CB) avec y Oy. Exercice V (6 points) Dans la figure ci-contre: (C) est un cercle de centre O et de rayon 4 cm. C est un point de (C) tel que. Les deux tangentes menées de A et B à (C) coupe la tangente en C à (C) en D et E respectivement. (DO) coupe [AC] en F et (EO) coupe (CB) en G.. Faire une figure. 2. Quelle est la nature du triangle CAB? Justifier. En déduire la longueur du segment [CB]. 3. Démontrer chacune des affirmations suivantes : (On demande une démonstration avec tous les détails) a. G est le milieu de [CB] b. *OE) est la bissectrice de l angle c. [OD) est la bissectrice de l angle 4. Démontrer que le triangle DOE est rectangle en O. 5. Montrer que les droites (GO) et (CA) sont parallèles puis calculer GO. 6. Choisir deux triangles semblables pour établir la relation 7. Calculer la mesure de l angle au degré près et calculer les longueurs et. 8. Déduire la longueur du segment [ED].
Exercice I ( )( ) 2 alors I est un point de la médiatrice de [AB] alors J est un point de la médiatrice de [AB] Par suite, (IJ) est la médiatrice de [AB] 3 Si alors ( ) et par suite les points A, I et B sont alignés mais alors I est le milieu de [AB] Exercice II représente la distance parcourue en km. () 2 donne soit alors 0.5) Donc, à partir de 5 de km l offre A devient plus avantageuse que l offre B. 3 donne et Comme alors Sami a fait le bon choix. Exercice III a (0.5) b donne (0.5) 2 est équivalente à ce qui donne et soit alors alors ou Valeurs à rejeter. Il n existe pas 3 donne et =0 alors ou à rejeter. Il n existe pas 4 donne soit alors d où ; alors ou à rejeter 5 (0.5)
6 donne (à rejeter ) ou Questio n a b c Exercice IV Réponses attendues Notes (AD) : (CB) : alors E(0 ; 4) 2 ; A est l intersection de (AD) avec x Ox ;B est l intersection de (CB) avec x Ox 3 4 (AB) : (CD) : Alors ils sont parallèles car ils sont de la forme 0.25+ 5 ( 0.25 + 6 Thalès donne mais alors ce qui donne ( 0.25 (+ E, D, A alignes alors D milieu de [EA]) et + 7 EOB rectangle isocèle en O alors ; ( 0.25 +
Exercice V ( 2 CAB est rectangle en C car il est inscrit dans un demi-cercle de diamètre [AB] Pythagore donne et ; cm 0.5) 3 Les triangles ECO et EOB rectangle en C et B respectivement sont superposable : (côté commun) et alors et et par suite (EO) est la médiatrice de [AB]. OG est un point de cette médiatrice alors mais G, C et B sont alignés alors G est le milieu de [CB] 0.5) ECO et EOB sont superposable ; *OE+ bissectrice de l angle Les triangles AOD et DOC rectangle en A et C respectivement sont superposable : (côté commun) et ; [OD) bissectrice de 4 DOE rectangle en O (0.5) 5 Dans le triangle CAB : O milieu de [AB] G milieu de [CB] Alors (OG) // (CA) et 6 DOE et CGE sont semblables car ils ont : (angle commun) Rapport de similitude : ; 7 Dans le triangle GOB rectangle en G : 8 Dans le triangle OBE rectangle en B : -> Pythagore donne : alors cm donne d après le théorème des milieux