Les réels Rationnels: Entiers, décimaux, fractions, nombre dont sa suite décimale est illimitée et logique Tout rationnels s écrit sous la forme d une fraction a b Irrationnels : Nombre dont sa suite décimale est illimitée et illogique La racine carrée ( a) 2 = a a 2 = a a n = a n 2 a n = 1 a n a b = a b a b = a b Rendre rationnel le dénominateur d une fraction revient à multiplier numérateur et dénominateur par un même nombre convenable de façon que les radicaux disparaissent du dénominateur Polynômes et expressions fractionnaire Pour développer un polynôme: k(a + b) = ka + kb et (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Pour factoriser un polynôme (à l aide d un facteur commun) : ka + kb = k(a + b) Propriété importante pour factoriser ou développer un polynôme : ( a b) 2 = (a + b) 2 Identités remarquables de gauche à droite pour développer et droite à gauche pour factoriser : (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a b)(a + b) = a 2 b 2 Une expression fractionnaire est définie quand son dénominateur est non nul Les solutions d une équation avec expression fractionnaire qui rend l expression fractionnaire inexistante sont à rejeter
Tangentes et cercles Dans la figure suivante (PI) et (PJ) sont deux tangentes menées de P au cercle (c) de centre O alors : PI = PJ (PO) médiatrice de [IJ] [PO) bissectrice de IPJ [OP) bissectrice de IOJ Système d équations On peut résoudre un système d équations à deux inconnues par l une des méthodes suivantes : Substitution : On isole une inconnue dans une équation puis on la remplace dans l autre Comparaison : On isole une inconnue dans les deux équations Combinaison : On multiplie une équation par un nombre convenable de façon d éliminer une variable par addition ou soustraction des deux équations Théorème de Thalès Théorème de Thalès : Si (DE) // (BC) alors AD = AE = DE AB AC BC Réciproque du théorème de Thalès : Si AD = AE alors (DE) // (BC) AB AC Méthode à suivre pour écrire les rapports égaux correctement du théorème de Thalès: AD AB = AE AC = DE BC Triangles semblables Si deux triangles sont semblables alors : Leurs côtés sont respectivement proportionnels Leurs angles sont respectivement égaux
Conditions de similitude : Deux triangles sont semblables si Ils ont deux angles respectivement égaux Ils ont un angle égal compris entre deux côtés respectivement proportionnels Ils ont les côtés respectivement proportionnels Si le rapport de similitude (rapports des côtés homologues) est : Plus grand que 1: c est un rapport d agrandissement Entre 0 et 1: c est un rapport de réduction Vecteurs Un vecteur est un objet géométrie définie par sa direction, son sens et sa longueur A est l image (ou le translaté) de B par la translation de vecteur u signifie que BA = u Relation de Chasles : AB + BC = AC Règle du parallélogramme : AB + AC = AD tel que D le quatrième sommet du parallélogramme ABDC Les coordonnées du vecteur AB sont x AB = x B x A et y AB = y B y A Deux vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées Proportionnalité Les nombres a et b sont respectivement proportionnels à 2 et 3 si a 2 = b 3 = k Dans une proportion, les produits en croix sont égaux a = c alors a d = b c b d Quatrième proportionnelle : Si a b = c x alors x = b c a Moyenne proportionnelle : Si a x = x b alors x2 = ab alors x = ab ou x = ab y = ax est une fonction linéaire Prendre t% de x : y = t 100 x Augmenter un nombre x de t% : y = x(1 + t Diminuer un nombre x de t% : y = x(1 t Augmenter un nombre x de t% puis le diminuer de t % : y = x(1 + t 100 )(1 t
Géométrie analytique Un point appartient à une droite si ces coordonnées vérifient l équation de cette droite La longueur du segment [AB] est donnée par AB = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 Si I est le milieu de [AB] alors x I = x A+x B 2 La pente de (AB) est donnée par a (AB) = y B y A x B x A et y I = y A+y B 2 Deux droites sont parallèles s ils ont la même pente Deux droites sont perpendiculaires si leur produit de pentes est égale à -1 Statistiques L effectif cumulé d une valeur est l effectif de cette valeur additionné aux effectifs précédents La fréquence est donné par f = effectif effectif total Pour traduire une série statistique par un diagramme circulaire on doit faire un calcul d angles L angle qui représente un caractère est donné par A = fréquence 360 ou A = Pourcentage 3,6 La moyenne d une série statistique est donnée par x = Trigonométrie Propriétés : Cosinus de B : cos α = Sinus de B : sin α = Tangente de B tan α = Côté adjacent = BA Hypoténuse BC Côté opposé = AC Hypoténuse BC Côté opposé = AC Côté adjacent BA sin 2 α + cos 2 α =1 0 < cos α < 1 et 0 < sin α < 1 tan α = sin α cos α (valeur 1 effectif1)+(valeur 2 effectif2) effectif total α est la mesure de l angle aigu que fait (d) : y = ax + b avec l axe des abscisses : Si la pente a de (d) est positive, alors tan α = a Si la pente a de (d) est négative, alors tan α = a
Propriétés à savoir pour le brevet par Selim Ellieh Théorème de Pythagore Réciproque du théorème de Pythagore Théorème des milieux ABC triangle tel que Dans le triangle ABC : I milieu de [AB] et J milieu de [AC] (IJ) // (BC) et Réciproque du théorème des milieux Théorème du triangle inscrit dans un demi-cercle Propriété de la médiane issue de l angle droit d un triangle rectangle Dans le triangle ABC : (IJ) // (BC) et I milieu de [AB] J milieu de [AC] AMB est un triangle inscrit dans le demicercle de diamètre [AB] AMB rectangle en M ABC triangle rectangle en A [AI] la médiane issue de A Réciproque de la propriété de la médiane Théorème de Thalès Réciproque du Théorème de Thalès Dans le triangle ABC [IA] est la médiane issue de A tel que A, D, B alignés et A, E, C alignés (DE) // (BC) A, D, B alignés et A, E, C alignés dans le même ordre et (DE) // (BC)