Universié d'angers : LSEN relaions foncionnelles p. Parie A : Proporionnalié RELATIONS FONCTIONNELLES I Généraliés / Définiion : Soien deux suies de nombres réels : (x ;x ;x ;x 4 ) e (y ;y ;y ;y 4 ). Ces deux suies son proporionnelles si on passe de l'une à l'aure en muliplian par le même coefficien k di de proporionnalié. Remarque : On es condui fréquemmen à consruire un ableau di de proporionnalié Remarque : Une applicaion qui fai passer d un nombre x à a x s appelle une applicaion linéaire. On noe f : x a x ou f(x)=a x Exemple : Les ableaux suivans son-ils de proporionnalié? x 0,5 5 x 6 0 y,5 0,5,5 y 8 5 0 Méhode : Vérifier que les quoiens son égaux dans oues les colonnes. a/ linéarié : / Propriéés Règle : Quand deux grandeurs son proporionnelles, si on muliplie une des grandeurs par un nombre alors il fau muliplier l'aure par le même nombre: f(λ x i ) = λ f(x i ) x x 8 y y 6 0 Règle : Quand deux grandeurs son proporionnelles, si on addiionne deux ermes de la première grandeur alors il fau addiionner les deux ermes de la deuxième grandeur f( x + x ) = f( x )+f(x ) x x x 0,, 6, y y y 9 0,6 8,4 b/ Produi en croix (quarième proporionnelle) Soi un ableau de proporionnalié avec a,b,c e d non nuls: a c b d On en dédui les égaliés suivanes :
Universié d'angers : LSEN relaions foncionnelles p. Applicaion : Déerminer la quarième proporionnelle dans les ableaux de proporionnalié suivans : 8 8 8 9 7 5 c/ Représenaion graphique Propriéé : Un ableau de proporionnalié es représené graphiquemen par une droie passan par l'origine. / Viesse e Débi II/ Applicaions de la proporionnalié a/ Viesse b/ Débi La viesse (moyenne) es le coefficien de proporionnalié enre le emps e la disance. v= d= = avec v (viesse), d (disance) (emps) Aenion aux uniés! Exemple : Paradoxe de la viesse a. Anoine e Paul parcouren à bicyclee le raje enre Angers e Segré, soi 40 km, en h0. Quelle es la viesse moyenne? b. Anoine effecue le reour à une viesse de 5km/h. Quelle es sa viesse moyenne sur l aller e le reour? / échelle L échelle es le coefficien de proporionnalié enre la dimension réelle e la dimension de la care (ou de la maquee, ou de la phoo) Echelle = dimension reproduie dimension réelle (avec les dimensions dans la même unié!) Exercice : a. Sur une care à l échelle /5 000, villes son séparées de,5 cm. Quelle es la disance réelle enre ces villes en km. b. Les dimensions d un sade recangulaire son 0 m e 50 m. Quelles son les dimensions obenues pour une maquee à l échelle /400.
Universié d'angers : LSEN relaions foncionnelles p. / Parage proporionnel e inversemen proporionnel Parage proporionnel Soi une somme S=500 euros. Si cee somme es paragée enre personnes proporionnellemen à, e 4, on obien respecivemen pour chaque personne : Parage inversemen proporionnel On souhaie réparir une prime de 650 euros à employés inversemen proporionnellemen au nombre de jours d absence : 5 e 8. 4/ Double proporionnalié Exemple : Pour consruire un parking de 500 m² avec 4 employés, il fau 5 jours. Combien fau-il de jours pour consruire un parking de 00 m² avec employés? 5/ Pourcenage a. Appliquer un pourcenage : 00 x Calculer un pourcenage % d'une grandeur x revien à calculer : Exemple : 50% de 0 = 00% de 0 = 00 x Exemple : Une populaion es passée à 800 habians après une augmenaion de 5%. Quel es le nombre d'habians iniial? b. Déerminer un pourcenage Pour calculer ce que représene en pourcenage une grandeur y par rappor à une grandeur x revien à calculer : 00. Exemple : Sur 400 personnes, 5 son érangères. Quel es le pourcenage de personnes érangères?
Universié d'angers : LSEN relaions foncionnelles p. 4 c. Calculer une grandeur après une augmenaion de % : ( + 00 ) x Règle : Calculer une grandeur après une augmenaion de % revien à calculer : (+ d. Calculer une grandeur après une diminuion de % : ( 00 ) x Règle : Calculer une grandeur après une augmenaion de % revien à calculer : (+ 00 ) x 00 ) x Exemple : Le ableau suivan radui une augmenaion ou une diminuion par a x. Déerminer le pourcenage d'augmenaion ou de diminuion correspondan: a x ou de % a x ou de %,05 x augmenaion de 5 % 0.97 x diminuion de 7 %. x de 50 % puis de 50% x de 0 % puis de 0% Parie C : Foncions affines / Foncions affines Définiion : Soien a e b deux réels donnés. Lorsqu à chaque réel x, on associe le réel ax + b, on défini une foncion affine f e on noe f(x) = ax + b. Lorsque b = 0, la foncion es die linéaire, comme par exemple, f(x) = -x. Lorsque a = 0, la foncion es die consane, comme par exemple, f(x) =, pour ou réel x. Dans un repère, la représenaion graphique d une foncion affine f : x ax + b es une droie. On di que cee droie a pour équaion y = ax + b e que a es son coefficien direceur, b son ordonnée à l origine. Cee droie passe par le poin P(0 ; b). A P O a y = ax + b Dans le cas d une foncion linéaire x ax, l image y es proporionnelle à la variable x. Dans le cas d une foncion affine x ax+b, les variaions de la réponse y son proporionnelles aux variaions de la variable x. Propriéé Soi f une foncion affine définie par f(x) = ax + b. Alors, pour ous u e v els que u v, = a. Ce rappor es appelé aux de variaion de f enre u e v. Ce rappor es égalemen égal au coefficien de proporionnalié relian les variaions de x à celle de y.
Universié d'angers : LSEN relaions foncionnelles p. 5 Exemple : Rerouver graphiquemen les foncions affines représenées ci-dessous. x 4 f(x) 4-4 - - - 0 4 - - y x x 0 l(x) 0 4 4 y - - 0 - x 5 4 - - - 0 - - y x g(x) 5 x Exercice : Dans un repère, les poins A e B on pour coordonnées (-4 ; -) e ( ; ). Quelle es la foncion affine représenée par la droie (AB)? ) Foncions affines par morceaux définiion : Une foncion es die affine par morceaux si elle es définie sur une réunion d inervalles sur lesquels elle coïncide avec une foncion affine. Remarque : La courbe représenaive d une foncion affine par morceaux es donc composée de segmens e de demi droies. x exemple : f (x) = x + 5 x pour x : x y pour x pour < pour x > x pour < x : x y pour x > : x 6 y 0 0 ) Inerpolaion linéaire Principe : On suppose qu on connaî la valeur d une foncion pour valeurs de x. On esime alors la valeur de la foncion pour les valeurs inermédiaires en supposan que la foncion es affine.
Universié d'angers : LSEN relaions foncionnelles p. 6 exemple : Le ableau suivan indique les empéraures relevées oues les 4 heures dans une ville au cours d une journée : heure 0h 4h 8h h 6h 0h 4h empéraure T 5 8 0 5 9 6 Dans un repère du plan, l axe des abscisses représene le emps (0,5 cm pour h) e l axe des ordonnées représene la empéraure T (0,5 cm pour ). Le ableau ne nous donne pas les empéraures en dehors des valeurs mesurées. Pour esimer ces valeurs, on fai une inerpolaion linéaire. T (en C) 5 a) à l aide du graphique, donnez une esimaion de la empéraure à h 0 b) On va rerouver cee valeur par le calcul : méhode : 4 8 6 0 4 (en h) 4/ Régionnemen du plan La droie (d) d équaion ax + by = c parage le plan en deux demi-plans : Un demi-plan fermé P conenan la droie (d), qui es l ensemble des poins M(x ;y) els que : ax + by = c 0 ; Un demi-plan fermé P conenan la droie (d), qui es l ensemble des poins M(x ;y) els que : ax + by = c 0 ; La droie (d) es appelée droie fronière des demi-plans P e P. Si les inégaliés son srices (< ou >), les demi-plans ne coniennen pas la droie (d). Pour disinguer les deux demi-plans, on calcule la valeur de ax + by pour les coordonnées d un poin qui n es pas sur la droie (d), l origine O(0 ;0) du repère par exemple lorsque c es possible. On regarde ensuie si cee valeur vérifie bien l inéquaion du demi-plan. On peu aussi revenir à l'équaion sous réduie. Sysèmes d inéquaions : applicaion à la programmaion linéaire Résoudre un sysème de deux (ou plusieurs) inéquaions à deux inconnues x e y signifie déerminer l ensemble des poins M(x ;y) don les coordonnées vérifien simulanémen oues les inéquaions du sysème. Dans la praique, après avoir déerminé les demi-plans définis par chaque inéquaion du sysème, la parie soluion es la parie qui rese non hachurée. La parie non hachurée es alors la parie soluion.
Universié d'angers : LSEN relaions foncionnelles p. 7 Exemple : À l'approche des fêes de Pâques, un arisan chocolaier décide de confecionner des oeufs en chocola. En allan inspecer ses réserves, il consae qu'il lui rese 8 kg de cacao, 8 kg de noisees e 4 kg de lai. Il a deux spécialiés : l'oeuf Exra e l'oeuf Sublime. Un oeuf Exra nécessie kg de cacao, kg de noisees e kg de lai. Un oeuf Sublime nécessie kg de cacao, kg de noisees e kg de lai. Il fera un profi de 0 en vendan un oeuf Exra, e de 0 en vendan un oeuf Sublime. Combien d'oeufs Exra e Sublime doi-il fabriquer pour faire le plus grand bénéfice possible? Résoluion : Poser les inconnues du problème Déerminer les conraines sur ces inconnues (inégaliés) Déerminer graphiquemen l'ensemble des soluions par régionnemen du plan. Déerminer la foncion bénéfice ou coû en foncion des variables e représener les soluions possibles pour une valeur de bénéfice fixe. Trouver la soluion opimale.