Mesure de compatblté et recherche de solutons régulères en contact pénalsé G. Vermot des Roches,3, E. Balmes,2, Hachm Ben Dha 3, Rém Lemare 4 SDTools 44, Rue Vergnaud, 7503, Pars - FRANCE {vermot,balmes}@sdtools.com 2 Arts et Meters ParsTech, CNRS, Laboratore LMSP, 5, boulevard de l hôptal, 7503, Pars - FRANCE 3 Ecole Centrale Pars, CNRS, Laboratore MSS-MAT, Grande Voe des Vgnes, 92295, Chatenay-Malabry - FRANCE hachm.ben-dha@ecp.fr 4 Robert Bosch (France) SAS, Chasss Systems Brakes 26, Rue de Stalngrad, 93700, Drancy - FRANCE rem.lemare@fr.bosch.com Résumé L utlsaton de modèles éléments fns d objets ndustrels complexes pose une problématque de compatblté des mallages aux nterfaces, en partculer dans le cas du contact. Cette ncompatblté génère des problèmes de convergence et de régularté des solutons. L étude présentée c étend le concept de la (-ε)-compatblté ntrodute par Ben Dha et Balmès et l applque à la problématque du contact entre soldes trdmensonnel présentant des mallages ncompatbles. Mots clés contact, ncompatblté, nterface, pénalsaton, régularsaton, (-ε)-compatblté Introducton La recherche d une flexblté maxmale dans la modélsaton éléments fns de systèmes ndustrels complexes nécesste une dscrétsaton fne et dfférentée par zones. Les technques de mallage lbre largement déployées dans l ndustre ans que les méthodes adaptatves/correctves condusent à la présence d nterfaces ncompatbles. La transmsson d efforts à travers de telles nterfaces est problématque et a fat l objet de nombreux travaux. De façon très partelle, on peut cter des approches posant le problème comme un couplage de modèles [, 2] ou en len avec la synthèse modale en ntrodusant la noton de modes d nterface [3, 4]. La présente contrbuton étend les dées présentées en [5] à la geston de contact entre mallages volumques trdmensonnels. La secton 2 défn un produt scalare sur la zone de contact effectve et montre comment la décomposton en valeur sngulère de l opérateur assocé condut à la défnton d un sous-espace vectorel presque compatble, ou ( ε)-compatble, sur les surfaces canddates au contact. Cette approche ne touche pas aux mallages d orgne, trate les contacts partellement recouvrants, et
trate les deux surfaces de façon dentque. Il est ensute proposé de ne consdérer que la cnématque ( ε)-compatble pour calculer les efforts de contact. En secton 3, un modèle académque de cube troué permet d llustrer les enjeux et le cas ndustrel d une plaquette de fren la généralté de la procédure. 2 Cnématque presque compatble et couplage 2. Produt scalare sur la surface de contact La résoluton du problème de contact entre deux soldes Ω et Ω 2, est défne entre deux nterfaces canddates au contact Γ et Γ 2. Les cas vsés par la méthodologe proposée utlsent des mallages ncompatbles, des cnématques dfférentes (degrés d nterpolaton, forme de faces,...) et des nterfaces partellement non recouvrantes. Pour analyser la compatblté, on suppose l exstence d un outl permettant de maller l nterface correspondant au sous-ensemble en contact de Γ Γ 2, noté Γ et montré en fgure. Fgure : Défnton de l nterface de transfert Γ La premère étape de la méthode proposée consste à défnr un produt scalare sur Γ Γ 2. Pour ader à la compréhenson, on chost c de présenter ce produt scalare comme l énerge de déformaton d un contact pénalsé, assocé à une densté surfacque de radeur de contact k. On a donc Z E p = k (u(q ) u(q 2 )) 2 ds () Γ Comme proposé en [5], on cherche a approcher ce produt scalare auss précsément que possble. La soluton numérque mse en oeuvre pour les applcatons présentées, est une trangulaton de Delaunay sur l ensemble des noeuds de Γ et Γ 2 effectvement en contact. A partr de ce mallage de Γ, l énerge du contact pénalsé consdéré est alors approchée par quadrature numérque E p = x kw J(x )(u (q ) u (q 2 )) 2 (2) avec un calcul du jeu g = {u (q ) u 2 (q 2 )} T {n} utlsant les approxmatons cnématques lées aux mallages de Γ et Γ 2. En pratque, le jeu est calculé sur les N Γ pont d ntégraton de Γ et est relé lnéarement aux degrés de lberté par des matrces d observaton du déplacement normal d nterface [ CN ] N Γ N Γ (resp. [ CN 2 ] N Γ N Γ2 ) de Γ (resp. de Γ 2 ). On a donc {g} = [ C N ] {q } [ C 2 N ] {q2 } (3) et le calcul de l énerge de contact pénalsé par { }. T.. q [ E p = C q N CN 2 ] T 2 kwj(x)... [ C N CN 2 ] { q q 2 } (4)
Cette formulaton met en évdence un produt scalare défn sur Γ, en consdérant une pénalsaton k unforme. La matrce du produt scalare ans ntrodut est notée [A] et peut être décomposée en blocs { } T [ E p = {q} T q A A [A]{q} = T ]{ } 2 q (5) q 2 A 2 A 22 q 2 2.2 Un calcul de compatblté robuste La (-ε)-compatblté défne en [5] compare l écart en norme d un vecteur d une nterface et de sa projecton sur l nterface en vs-à-vs. Un vecteur de Γ est par défnton orthogonal à tout vecteur de Γ 2 de telle sorte qu un vecteur {q } Γ et son projeté π 2 {q } Γ 2 vérfent [A 2 ]{q } [A 22 ]π 2 {q } = 0 (6) Cec condut à une formulaton de la (-ε)-compatblté sous la forme d un quotent de Raylegh C 2({q }) 2 = {q } A π 2 {q = {q } T [A 2 ] T [A 22 ] [A 2 ]{q } } A {q } T [A ]{q } Cette formulaton pose un problème de robustesse car lors de recouvrements très partels, les matrces [A ] et [A 22 ] sont très mal condtonnées. Pour comprendre le problème l sufft de perturber légèrement un mallage compatble pour que certans éléments aent ou non une ntersecton avec Γ. On propose donc c de calculer la décomposton en valeurs sngulères (SVD) de A (et non de A 2 comme proposé en [5]). A étant symétrque, on a [ u [A] =...{ u 2 } ]...... σ... (7) {U}T (8) Les vecteurs {u } assocés aux valeurs sngulères σ fables sont clarement compatbles, car l énerge de déformaton dans Γ est fable. Les DDL d éléments à fable recouvrement sont alors naturellement obtenus car l énerge ndute dans Γ est fable. Les vecteurs assocés à de grandes valeurs sngulères sont eux ncompatbles. Le résultat de la décomposton en valeur sngulère est donc une base [U n ε ] de mouvement presque compatbles défns sur Γ Γ 2. 2.3 Utlsaton de la cnématque presque compatble Comme ndqué en [5], les vecteurs presque compatbles peuvent être utlsés dans une approche prmale (on suppose {q } = [... u... ]{ q R},... ) ou duale (le traval des efforts de contact sur les pares { u }, { u 2 } est nul). L approche vsée c est l mplémentaton d un contact pénalsé avec une radeur de contact exponentelle. L approche duale n est donc pas explotable drectement. Par alleurs l approche prmale a une tendance connue à générer du verroullage (dscuté en [3]). On propose donc c un comproms qu consste à construre un pseudo-nverse permettant d estmer le déplacement ( ε)-compatble sur les deux surfaces pus de calculer les efforts de contact a partr des jeux assocés à ces déplacements corrgés. Pour Γ n, le déplacement ( ε)-compatble est défn comme une combnason lnéare des vecteurs de [U n ε ] {q ε n} NΓn N ε = [U n ε ] NΓn N ε {α n } Nε (9) où {α n } est soluton du problème de mnmsaton {α n } = mn {α} [U n ε ]{α} {q n } K (0)
qu défn le pseudo nverse. Le chox d une bonne norme K est largement ouvert. Il ne peut s agr d une restrcton de A, car cette norme est mal condtonnée pour les recouvrements partels. On a c utlsé l dentté mas une norme en déplacement ou en déformaton sur Γ n semblerat adaptée. Au fnal, on utlse donc une expresson modfée du jeu [ {g} = CN [ ][ ] U ε U + ] [ ε {q } CN 2 [ ][ ] U 2 ε U 2 + ] ε {q 2 } () Il est utle de noter que le mouvement étant régularsé, la règle d ntégraton utlsée mantenant peut être beaucoup mons rche que celle utlsée pour construre l opérateur A servant au calcul de compatblté. 3 Applcaton numérque 3. Un modèle de démonstraton Afn d llustrer la problématque ans que les solutons apportées, on pose le problème d un cube troué mallé fnement sur lequel est appuyé un cube plen mallé grossèrement comme présenté en fgure 2b. Les cubes sont gudés en translaton vertcale, la base du cube bas est encastrée et une presson unforme est applquée à la surface supéreure du cube haut. (a) Mallage des cubes (b) Superposton des mallages d nterface (c) Calcul statque basque (d) Calcul statque modfé Fgure 2: Modèle du cube troué et résultat du calcul statque avec un pont d ntégraton par élément de contact. La norme du déplacement vertcal est tracée Dans le cas où la surface grossère est chose comme surface maître pour une rason externe, le calcul en contact donne un résultat peu précs. La fgure 2c montre le résultat du calcul statque du contact en utlsant un pont d ntégraton (Gauss) par élément de la surface maître. Le calcul des mouvements compatbles par la SVD (8) donne une base de déplacement sur chacune des nterfaces. Les dfférentes formes obtenues sont tracées en fgure 3. L nterpénétraton générée par les mouvements de Γ et Γ 2 est tracée sur Γ, représentée par une trangulaton de Delaunay des ponts de Gauss. (a) Mouvement (b) Mouvement 22 (c) Mouvement 96 (d) Mouvement 66 Fgure 3: Mouvements compatbles calculés par la SVD (8) de A.
Les mouvements parfatement compatbles comme en fgure 3a ne génèrent pas d nterpénétraton. Les mouvements non compatbles ont une valeur sngulère non nulle, sont mal transms et un dfférentel entre les deux surfaces est apparent. Pour générer une observaton compatble, l a d abord été ms en place une procédure de tr permettant une sélecton de ponts de Gauss de Γ. Dans le cas du cube, on obtent 24 ponts de Gauss à garder de manère optmsée et l apparaît clarement en fgure 4a que l approche proposée contrant la cnématque du mallage fn. La vsualsaton des matrces d observaton (duales des efforts de contact) montre que le passage de [ CN ] [ à CN [ ][ ] ] U ε U + ε condut à une répartton sur le vosnage du pont de contact. On peut noter que la procédure d assocaton des formes ( ε)-compatbles à des ponts spécfques n est pas robuste dans le cadre général. (a) Exemple de tr de ponts de Gauss (o) (ntégraton aux noeuds) (b) Observaton ntale (ntégraton pt) (c) Observaton régularsée (ntégraton pt) Fgure 4: Tr des mouvements compatbles et observaton L utlsaton de l observaton régularsée permet de meux approcher la réponse exacte, comme llustré en fgure 5 et 2d. Cec peut être applqué à dverses los d ntégraton du mallage sousjacent, en comparason avec la soluton de référence prse c comme étant le résultat d un calcul avec la surface raffnée comme maître et une règle d ntégraton à 9 ponts. Dans tous les cas la soluton régulère est une améloraton nette de la soluton ntale. x 0 8 x 0 8 Deplacement vertcal 4 4.5 2 4 6 8 0 Ponts sur l arete x=0;z= q0 pt q0 9pt qm pt qm 9pt qref Deplacement vertcal 3.5 4 4.5 2 4 6 8 0 Ponts le long d un quart de cercle q0 pt q0 9pt qm pt qm 9pt qref Fgure 5: Soluton régularsée (qm) et comparason avec les solutons non régulères (q0). Les déplacements sont calculés le long d une arête de Γ 2, et le long d un quart de tour du trou. 3.2 Applcaton à des composants ndustrels L applcaton ndustrelle concerne les modèles de fren à dsque automoble conçus par Bosch. On se lmte c à une nterface patn/dsque dont la régularté de la soluton peut poser problème. Les composants sont mallés séparément et lbrement par des tétraèdres à dx noeuds. Fgure 6: Modèle patn/dsque de fren ndustrel
Le calcul de mouvements de la SVD (8) (fgure 7) renvoe une grande gamme de valeurs sngulères fables. Cec est du aux recouvrements partels entre les éléments des bords des deux surfaces, générant des termes fables sur la dagonale de A. Les vecteurs notablement ncompatbles (30 %) montrés dans la fgure 7b, llustrent ben l ncompatblté des deux mallages. (a) Mouvement 73 (b) Mouvement 000 (c) Presson ntale (d) Presson modfée Fgure 7: Quelques vecteurs ( ε)-compatbles, et résultats de presson statques (en 0 4 MPa) tracés sur les ponts de Gauss de Γ. On note la dfférence de raffnement de la lo d ntégraton du contact entre le calcul des mouvements compatbles et le calcul statque Un résultat statque calculé en utlsant la plaquette comme surface maître en utlsant les technques de sous ntégraton classque donnent des résultats très perturbés fgure 7c. La lo d ntégraton aux noeuds n est pas suffsante pour obtenr une presson régulère, sauf en utlsant la régularsaton fgure 7d. Utlser une règle à tros ponts, permet également de résoudre partellement le problème au détrment de la talle du modèle. 4 Concluson La méthode de régularsaton aux nterfaces proposée dans ce paper permet, ndépendamment de chox de modélsaton externes, d obtenr des champs de presson de contact satsfasants. Ce crtère est crtque pour la convergence des calculs et la pertnence d éventuels post-tratements. En partculer une smulaton temporelle basée sur un calcul de contact statque nécesste un état ntal propre. Enfn, cette méthode ne change en ren la talle du modèle n la formulaton des éléments sous-jacents au contact, et permet un chox du nveau d ntégraton du contact sans nure à la stablté. Références [] I. Babuska. The fnte element method wth lagrange multpler. Numer.Math., 20 :79 92, 973. [2] C. Bernad, Y. Maday, and A.T. Patera. Doman decomposton by the mortar element method. Laboratore d analyse numérque, Pars VI Unv., Report 9203, 992. [3] E. Balmes. Use of generalzed nterface degrees of freedom n component mode synthess. Internatonal Modal Analyss Conference, pages 204 20, 996. [4] D. de Klerk, D.J. Rxen, and S. N. Voormeeren. General framework for dynamc substructurng : Hstory, revew and classfcaton of technques. AIAA Journal, 46(5) :69 8, 2008. [5] H. Ben Dha and E. Balmes. Mesure de compatblté et applcaton aux problèmes de sousstructuraton. Colloque Natonal en Calcul des Structures, Gens, 2003.