Exercices de rentrée MPSI-PCSI Lycée Saint-Louis 015-016
Introduction Cette feuille d exercices s adresse aux élèves rentrant en MPSI ou en PCSI au lycée Saint- Louis Il s agit d exercices qui sont entièrement au programme de mathématiques de terminale (voire de première) Il est en effet inutile de commencer le programme de classes préparatoires avant la rentrée Par contre, il est indispensable de consolider les acquis du lycée Ce sont des exercices de mathématiques qui ont pour objectif d être à la fois utiles pour les mathématiques et la physique Certains exercices sont constitués de calculs extrêmement basiques mais sur lesquels les étudiants ont l habitude de faire des erreurs D autres exercices utilisent des notions plus compliquées Les exercices sont classés en quatre catégories : Les exercices d échauffement : il s agit d exercices basiques qui doivent être traités en respectant l indication de temps afin d acquérir plus de rapidité dans la résolution Ces exercices doivent être parfaitement maîtrisés Il peut donc être profitable de les recommencer en cas d erreur ou de non respect de la durée indiquée Les exercices corrigés : ils sont accompagnés d une correction rédigée Il ne faut pas vérifier uniquement la validité du résultat obtenu, mais également la manière de rédiger afin de commencer à repérer les différences entre la rédaction demandée au lycée et celle demandée en MPSI ou en PCSI Les exercices à préparer : ils sont accompagnés d indications et ce sont les exercices sur lesquels il faut accentuer ses recherches, quitte à ne pas travailler les exercices supplémentaires Les exercices supplémentaires : ils sont également accompagnés d indications et sont destinés aux élèves qui ont assez de temps pour les travailler Il est indispensable de se remettre au travail avant la rentrée afin d être prêt à démarrer directement au rythme d une classe préparatoire Il est donc vivement conseillé de travailler les exercices de cette feuille au moins deux semaines avant la rentrée, et en cas de difficultés, de consulter son cours ou un livre afin de combler ses lacunes Cependant il n est pas obligatoire de réussir à faire tous les exercices, le but de cette feuille est, principalement, d aborder sereinement la rentrée Nous remercions Florence Rasle pour sa relecture précise et ses remarques constructives Si vous remarquez des erreurs dans cette feuille, merci de les signaler à l adresse suivante : pcsi1saintlouis@orangefr 1
Table des matières I Exercices 3 1 Résolution d équations et d inéquations 4 Puissances et suites géométriques 8 3 Récurrences 11 4 Géométrie plane et trigonométrie 15 5 Dérivation et intégration 0 6 Formules de trigonométrie 3 7 Fonctions cosinus et sinus 6 8 Nombres complexes 9 II Indications et corrections 3 9 Indications et solutions 33 10 Corrections 43
Première partie Exercices 3
Chapitre 1 Résolution d équations et d inéquations Echauffement : 0 minutes 1 Soient a, b R tels que a b Résoudre l équation d inconnue x R : 1 x + 1 b = 1 a Résoudre les inéquations suivantes d inconnue x R : (a) x + 4 3, (b) 3 x > 5, (c) x 5 < 13, (d) 3 4x 17 3 Résoudre les équations suivantes d inconnue x R : (a) x 14x + 4 = 0, (b) 3x 1x + 1 = 0, (c) x x + = 0 Indications p 33 Exercice corrigé 1 (a) Résoudre l équation d inconnue x R : (b) Résoudre l inéquation d inconnue x R : 3x + 1 6x 3 = 7 6 3x + 1 6x 3 7 6 4
(c) Résoudre l équation d inconnue x R : ( ) 3x + 1 16 6x 3 Soient a, b, c R tels que a 0 Soit : f : R R x ax + bx + c (a) Montrer que la courbe représentative de f admet un extremum (c est-à-dire un maximum ou un minimum) au point d abscisse x = b a (b) Déterminer lim f(x) et lim x + f(x) x On étudiera différents cas en fonction du signe de a (c) On considère les courbes suivantes : Déterminer, en justifiant la réponse, les courbes qui correspondent aux valeurs : i a =, b = 4, c =, ii a =, b = 4, c =, iii a = 1, b =, c = 1, iv a = 1, b =, c =, v a = 1, b =, c = 1 Correction p 43 Exercice à préparer 1 Soient a, b, c, d R tels que a 0 et d 0 On considère l équation d inconnue x R : (a x)(d x) bc = 0 5
(a) Donner une condition sur a, b, c, d pour que cette équation admette deux racines réelles distinctes (b) On considère l équation d inconnue x R : ( x)(1 x) 6 = 0 Montrer que cette équation admet deux racines distinctes et déterminer ses racines que l on notera r 1 et r avec r 1 > r On pose : x 0 =, y 0 = 1, (c) Montrer que, pour tout n N, pour tout n N, x n+1 = x 3y n, y n+1 = x n + y n, pour tout n N, X n = x n y n, Y n = x n + 3y n X n = r n 1 et Y n = 7r n (d) En déduire, pour n N, les valeurs de x n et de y n en fonction de n Soient a, b, c R tels que a 0 On considère l équation d inconnue x R : ax + bx + c = 0 (a) Donner une condition sur a, b, c pour que cette équation admette au moins une racine r R On suppose dorénavant que cette condition est vérifiée (b) On pose : f : R R x e rx Sans calculer r, montrer que, pour tout x R : (c) On pose : af (x) + bf (x) + cf(x) = 0 g : R R x xe rx Quelle relation a, b, c doivent-ils vérifier pour que, pour tout x R : Indications p 33 ag (x) + bg (x) + cg(x) = 0 Exercice supplémentaire 1 On considère l équation (E 1 ) d inconnue x R : x 3 8x + 17x 10 = 0 (E 1 ) (a) Montrer que 1 est solution de (E 1 ) 6
(b) Montrer qu il existe trois réels a, b, c tels que, pour tout x R, et déterminer leur valeur (c) Résoudre l équation (E 1 ) (d) Soit r une racine de (E 1 ) On pose Montrer que, pour tout x R : x 3 8x + 17x 10 = (x 1)(ax + bx + c), f : R R x e rx f (x) 8f (x) + 17f (x) 10f(x) = 0 On considère l équation (E ) d inconnue x R : (a) Résoudre l équation (E ) (b) On pose et Montrer que, pour tout x R, Indications p 34 x 4x + 5 = 0 (E ) g : R R x cos(x)e x, h : R R x sin(x)e x g (x) 4g (x) + 5g(x) = 0 et h (x) 4h (x) + 5h(x) = 0 7
Chapitre Puissances et suites géométriques Echauffement : 30 minutes 1 Simplifier (sans utiliser la calculatrice) les expressions suivantes : ( ) a = 610 7 + 8 7 3 8, b =, c = ( ) 5, d = 95 3 8 Soient x R, y R Simplifier les expressions suivantes : ( A = x 5 (x) 3, B = (xy)9 y 7, C = y9 + ( y) ) 14 y 10 y 7 + y 1, D = (y 3 ) 6 3 On considère les suites suivantes : { u0 = 1, pour tout n N, u n+1 = u n, { v1 =, pour tout n N, v n+1 = 1 3 v n Exprimer u n en fonction de n N et v n en fonction de n N 4 On considère les suites suivantes : pour tout n N, u n = 1 + e n, pour tout n N, v n = 1 n + Montrer que les suites (u n ) n N et (v n ) n N sont croissantes Indications p 34 Exercice corrigé Soit x R On veut montrer les résultats connus suivants : 8
si x < 1, alors lim n + xn = 0, si x > 1, alors lim n + xn = +, si x = 1, alors lim n + xn = 1, si x 1, alors la suite (x n ) n N n a pas de limite en + On pose, pour tout n N, u n = x n 1 Si x = 1, montrer que lim n + u n = 1 Si x = 1, montrer que la suite (u n ) n N n a pas de limite en + 3 On suppose, dans cette question, que x < 1 (a) Montrer que la suite ( u n ) n N est décroissante (b) Montrer que la suite ( u n ) n N est minorée (c) Montrer que la suite ( u n ) n N converge On pose l = lim u n n + (d) Supposer que l 0 et obtenir une contradiction (e) Montrer que lim u n = 0 n + 4 On suppose, dans cette question, que x > 1 (a) Montrer que la suite ( u n ) n N est croissante (b) On suppose, dans cette question, que x > 1 i Montrer que, pour tout n N, u n n(x 1) + 1 On pourra étudier la fonction définie, pour tout x [1, + [, par f(x) = x n n(x 1) 1 ii Montrer que lim u n = + n + (c) On suppose, dans cette question, que x < 1 i Montrer que lim n + u n = + ii En raisonnant par l absurde, montrer que la suite (u n ) n N n a pas de limite en + Correction p 45 Exercice à préparer Les questions de cet exercice sont indépendantes 1 (a) Montrer que, pour tout n N, (b) Montrer que : n 3 n + 4 n = 4 n ( 1 + 1 n lim n + n 3 n + 4 n = + ( ) n ) 3 4 (a) Montrer que, pour tout n N, ( (6 n ) 3 n = 6 n 1 ) 3 n 9
(b) Montrer que, pour tout n N, ( 536 n 3 n = 6 n 5 1 ) n (c) En déduire : 3 Déterminer : (6 n ) 3 n lim n + 536 n 3 n ( 1) n + 7 n 3 n lim n + 4 n + 6 n+1 4 On définit la suite : { u0 = 1, pour tout n N, u n+1 = n n +1 u n (a) Montrer que, pour tout n N, 0 u n+1 1 u n (b) Montrer que, pour tout n N, 0 u n+1 1 n+1 (c) En déduire la limite de la suite (u n ) n N Indications p 34 Exercice supplémentaire 1 Montrer que, pour tout n N, pour tout x > 0 : Montrer que : x n = e n ln x ln(1 + x) lim = 1 x 0 x On pourra utiliser la définition du nombre dérivé et remarquer que : ln(1+x) x 3 Soit a ] 1, + [ (a) Montrer que : (b) Montrer que : Remarque : on a lim (1 n ln + a ) = a n + n ( lim 1 + a n = e n + n) a lim 1 + a = 1 et pourtant, en général, n + n lim ( 1 + a n 1 n + n) 4 Trouver une suite (u n ) n N telle que lim u n = 1 et lim n + n + un n = + 5 Trouver une suite (v n ) n N telle que lim v n = 1 et lim n + n + vn n = 0 Indications p 35 = ln(1+x) ln(1+0) x 0 10
Chapitre 3 Récurrences Avertissement La compréhension des raisonnements par récurrence signifie que l on sait faire le raisonnement mais également que l on sait quand le faire Toutes les questions de ce paragraphe ne se traitent donc pas par récurrence, c est à vous de voir si c est le cas ou non Notation Soit n N, soit f une fonction Si elle existe, on note f (n) la dérivée n-ième de f Par convention, on pose f (0) = f On a donc : Echauffement : 30 minutes 1 On pose, pour tout n N, f (0) = f, f (1) = f, f () = f, f (3) = f, u n = 1 + cos(πn + ) Montrer que, pour tout n N, u n 1 (a) Soit n N, montrer que si n est pair, alors n est pair et que si n est impair, alors n est impair (b) On pose u 0 N et, pour tout n N, u n+1 = u n + u n Montrer que, pour tout n N, u n est un entier pair 3 Soit f : R R, x e 3x Montrer que, pour tout n N, f (n) : R R, x 3 n e 3x 4 Soit f : R R, x x cos(πx) (a) Montrer que, pour tout n N, f(n) f(n + 1) (b) Montrer que f n est pas croissante Indications p 35 11
Exercice corrigé 1 On pose : v 0 = 1 et, pour tout n N, v n+1 = (n + 1)v n (a) Montrer que, pour tout n N, v n 0 (b) Montrer que la suite (v n ) n N est croissante (c) Montrer que, pour tout n N, v n n (d) En déduire lim v n n + (e) Montrer que, pour tout n N, v n = 1 3 n Pour n N, v n est appelée la factorielle de n et on note, pour n N : On pose, pour tout n N : (avec la convention 0 0 = 1) et u n = n! = v n = 1 3 n f n : R R x xn e x n! 1 0 e x x n dx = n! 1 0 f n (x) dx (a) Soit n N, exprimer f n en fonction de f n et de f n 1 (b) Soit n N, calculer 1 0 f n(x) dx (c) Calculer u 0 (d) Montrer que, pour tout n N : u n = u n 1 1 en! (e) Montrer que la suite (u n ) n N est décroissante (f) Montrer que, pour tout n N, u n 0 (g) En déduire que la suite (u n ) n N converge (h) Montrer que, pour tout n N : (i) En déduire la limite de la suite (u n ) n N Correction p 47 u n 1 n! 1
Exercice à préparer On pose : 1 Montrer que, pour tout n N : (a) Etudier les variations de f f : R R x xe 3x f (n) : R R x 3 n xe 3x + n3 n 1 e 3x (b) Montrer que f ( 1 3) > 1 3 On pose u 0 R et, pour tout n N, u n+1 = f(u n ) 3 Que peut-on dire de la suite (u n ) n N lorsque u 0 = 0? On justifiera la réponse 4 Montrer que si la suite (u n ) n N converge vers l R, alors l = 0 5 On suppose dans cette question que u 0 ]0, + [ (a) Montrer que, pour tout n N, u n ]0, + [ (b) Montrer que la suite (u n ) n N est croissante (c) Montrer que, pour tout n N, u n u 0 (d) Montrer que lim u n = + n + 6 On suppose dans cette question que u 0 [ 1 3, 0[ (a) Montrer que, pour tout n N, u n [ 1 3, 0[ (b) Montrer que, pour tout x [ 1 3, 0[, f(x) x 0 (c) En déduire que la suite (u n ) n N est croissante (d) Montrer que lim u n = 0 n + 7 On suppose dans cette question que u 0 ], 1 3[ (a) Montrer que u 1 [ 1 3, 0[ (b) En déduire la limite de la suite (u n ) n N Indications p 35 Exercice supplémentaire On pose : 1 (a) Etudier les variations de f f : [0, 1] R x ln(x + 1) + 1+ln (b) Montrer, sans utiliser la calculatrice, que 0 f(1) f(0) 1 (c) Montrer que, pour tout x [0, 1], on a f(x) [0, 1] On pose u 0 = 0 et, pour tout n N, u n+1 = f(u n ) (a) Montrer que cette suite est bien définie (b) Montrer que, pour tout n N, u n u n+1 13
(c) Donner les valeurs exactes, puis, en utilisant la calculatrice, des valeurs arrondies à 10 près de u 0, u 1, u et u 3 (d) Montrer que la suite (u n ) n N est croissante (e) Montrer que la suite (u n+1 ) n N est décroissante (f) La suite (u n ) n N est-elle monotone? Indications p 36 14
Chapitre 4 Géométrie plane et trigonométrie Dans toute cette partie, on considère un repère orthonormé direct R = (O, i, j) Sauf mention du contraire, les coordonnées des points seront données dans ce repère et les coordonnées des vecteurs dans la base ( i, j) Echauffement : 15 minutes 1 Simplifier (sans utiliser la calculatrice) : a = 0, 1 + 3 0, 1 (0, 1 +, 6) 0, 4 0,, b =, c = 0, 9 1, 6 1, 3, d = 10(0, + 0, 3) Soit A le point de coordonnées (, 1), soit B le point d ordonnée, d abscisse strictement inférieure à et tel que AB = 5 Soit C le point d abscisse strictement supérieure à 1, 15 tel que le triangle ABC soit rectangle en A et tel que BC = 3 (a) Représenter les points A, B et C sur une figure (b) Calculer l abscisse de B (c) Calculer la longueur AC (d) Soit θ l angle formé par les vecteurs BA et BC Calculer le cosinus et le sinus de θ En déduire la valeur de θ Indications p 36 Exercice corrigé Soit A un point du plan de coordonnées (x A, y A ) Soit B un point du plan de coordonnées (x B, y B ) tel que x A x B Soit u un vecteur du plan de coordonnées (x 0, y 0 ) tel que x 0 0 1 (a) Montrer que la droite (AB) est bien définie et n est pas verticale On peut donc considérer a, b R tels que la droite (AB) ait pour équation : y = ax+b 15
(b) Montrer que : (c) Montrer que : Soit D la droite passant par A et dirigée par u a = y A y B x A x B b = x Ay B x B y A x A x B (a) Montrer que la droite D est bien définie et n est pas verticale On peut donc considérer a, b R tels que la droite (AB) ait pour équation : y = ax+b (b) Montrer que : (c) Montrer que : 3 Soit D la droite passant par A et dirigée par u a = y 0 x 0 b = x 0y A x A y 0 x 0 (a) Montrer qu on peut se ramener au cas où x 0 > 0 (b) Soit θ ] π, π [ l angle orienté ( i, u) Faire une figure en indiquant θ On dit que θ est l angle entre D et l axe des abscisses (c) Donner une formule reliant cos θ, sin θ et la pente de D 4 Applications : (a) Calculer la pente de la droite D, l équation réduite de la droite D et l angle θ entre D et l axe des abscisses, dans les cas suivants : i D est la droite passant par le point A de coordonnées ( 3, ) et dirigée par le vecteur u de coordonnées ( 3, 3), ii D est la droite passant par le point A de coordonnées ( 3, 1) et dirigée par le vecteur u de coordonnées ( 3, 1), iii D est la droite passant par le point A de coordonnées ( 3 coordonnées ( 8, 3 ),, 5 ) et le point B de iv D est la droite passant par le point A de coordonnées ( 3, 0) et le point B de coordonnées ( 3, 6) (b) Donner l équation réduite de la droite D et un vecteur directeur de la droite D dans les cas suivants : i D est la droite passant par le point A de coordonnées ( 1, ) et faisant un angle θ = π 4 avec l axe des abscisses, ii D est la droite passant par le point A de coordonnées ( 3, 6) et faisant un angle θ = π 6 avec l axe des abscisses Correction p 49 16
On a alors : AD AB = AE DE = AC BC (a) Traduire vectoriellement les hypothèses suivantes : i D est un point de la droite (AB), ii E est un point de la droite (AC), iii (DE) et (BC) sont parallèles (b) Soient a, b R Montrer que si a AB + bac = 0, alors a = b = 0 (c) Conclure (d) On considère la configuration suivante : 17 Exercice à préparer 1 Preuve vectorielle du théorème de Thalès On rappelle l énoncé du théorème de Thalès (vu au collège et utile pour la physique de prépa) : soient A, B, C trois points du plan deux à deux distincts et non alignés, soit D un point de la droite (AB), soit E un point de la droite (AC) On suppose que les droites (DE) et (BC) sont parallèles
Montrer que : Soient A, B, C trois points du plan (a) Soit G l unique point du plan tel que : i Montrer que : F A F O = OA OA OG = 1 3 ( OA + OB + OC) ii Soit M un point du plan Montrer que : (b) Soit I le milieu du segment [AB] i Montrer que : GA + GB + GC = 0 MA + MB + MC = 3 MG GI + GC = 0 ii Montrer que G appartient à la droite (IC) (c) Montrer que G est le centre de gravité du triangle ABC, c est-à-dire que G est l intersection des médianes du triangle ABC Indications p 37 Exercice supplémentaire On considère un second repère orthonormé direct du plan R = (O, I, J) tel que l angle entre i et I soit égal à θ ] π, π [ Soit u un vecteur de norme faisant un angle α ] π, π [ avec i 1 (a) Déterminer l affixe de u dans la base ( i, j) 18
(b) Déterminer les coordonnées de u dans la base ( i, j) (c) Déterminer l affixe de u dans la base ( I, J) (d) Déterminer les coordonnées de u dans la base ( I, J) On considère le vecteur v de coordonnées (3, 3) dans la base ( i, j) (a) Déterminer la norme de v (b) Déterminer l angle formé par i et v 3 On considère, dans cette question, que α = π 3 (a) Déterminer les coordonnées de u dans la base ( i, j) (b) Déterminer l angle formé par i et u + v Indications p 37 19
Chapitre 5 Dérivation et intégration Echauffement : 0 minutes 1 (a) Soient x, y R Exprimer en fonction de e x et e y les quantités suivantes : a = e x y, b = e x + 1 e x, c = e3x + e y x e x+y + e y 3x (b) Soient x, y R + Exprimer en fonction de ln(x) et ln(y) les quantités suivantes : ( a = ln(x y 5 ), b = ln ) x + e ln(y+ x), c = ln(y e ln x ) + ln ( ) x (x 1) (c) Dire pour quelles valeurs de x les expressions suivantes ont un sens et les simplifier : a = ln (3 ) e x, b = ln ( (e x + e x ) e x (e x + e 3x ) ), c = e ln(x4) e ) Calculer les dérivées des fonctions suivantes : Indications p 37 f : R R x 1 x 4, g : R + R x ln(x)e x, h : R R x e 3x ln(x +1) Exercice corrigé 1 On pose : f : R R { x x si x x 7 x + 4 si x > (a) Etudier les variations de f sur ], ] et sur ], + [, ses limites en ± et tracer la courbe représentative de f (b) Soit x R + Calculer : x 0 f(t) dt 0
(a) Déterminer a, b R, tels que, pour tout x R \ { 1, 1} : (b) En déduire la valeur de : 3 (a) On pose : Calculer la dérivée de f (b) En déduire la valeur de : Correction p 51 x x 6 x 1 I = = 1 + a x + 1 + b x 1 5 3 x x 6 x 1 dx f : R + R x x ln x J = e 1 x ln x dx Exercice à préparer 1 On pose : f : R R x e (x 1)/ si x 1 x+1 si 1 < x < (x ) 4 + 3 si x (a) Etudier les variations de f sur ], 1], sur ]1, [ et sur ], + [, ses limites en ± et tracer la courbe représentative de f (b) Soit x R + Calculer : x 0 f(t) dt (a) Déterminer a, b, c R, tels que, pour tout x R \ {1} : (b) En déduire la valeur de : 3 (a) On pose : x 3x + 3 (x 1) 3 = a x 1 + b (x 1) + c (x 1) 3 I = 5 3 x 3x + 3 (x 1) 3 dx f : R + R x e(x ) x Calculer la dérivée de f et la dérivée seconde de f (b) En déduire la valeur de : Indications p 38 J = 1 e (x) (x 1) x 3 dx 1
Exercice supplémentaire 1 (a) Montrer que, pour tout x R +, ex + e x (b) Montrer que, pour tout y [1, + [ : 1 0 < y y 1 1 y + y 1 (c) Soit y [1, + [, résoudre l équation d inconnue X [1, + [ : X + 1 X = y (d) Soit y [1, + [, résoudre l équation d inconnue x R + : e x + e x = y On pose : (a) Calculer la dérivée de f (b) En déduire la valeur de : (c) Calculer : Indications p 38 f : ]1, + [ R x ln(x + x 1) I = 3 1 t 1 dt 1 lim x 1 x t 1 dt
Chapitre 6 Formules de trigonométrie Echauffement : 0 minutes 1 (a) Simplifier : π 3 π 4 (b) En déduire les valeurs de cos π 1 et sin π 1 (a) Simplifier : π 3 + π 4 (b) En déduire les valeurs de cos 7π 1 3 Soit θ R et sin 7π 1 (a) Résoudre l équation d inconnue x R : x x + sin θ = 0 (E) On pensera à utiliser la relation, valable pour tout x R, cos x + sin x = 1 afin de simplifier le discriminant (b) Déterminer les solutions de (E) dans les cas particuliers : Indications p 39 Exercice corrigé Soit θ R θ = 0, θ = π 3, θ = π 3, θ = π 6 1 (a) Déterminer à partir du cercle trigonométrique l expression de cos(π θ) en fonction de cos θ, puis, en utilisant les formules de trigonométrie, prouver le résultat obtenu (b) Déterminer à partir du cercle trigonométrique l expression de sin(π + θ) en fonction de sin θ, puis, en utilisant les formules de trigonométrie, prouver le résultat obtenu (c) Déterminer, en utilisant les questions précédentes, les valeurs de cos π 3 et de sin 7π 6 (d) Déterminer à partir du cercle trigonométrique l expression de cos ( π θ) en fonction de sin θ, puis, en utilisant les formules de trigonométrie, prouver le résultat obtenu 3
(e) Déterminer à partir du cercle trigonométrique l expression de sin ( π θ) en fonction de cos θ, puis, en utilisant les formules de trigonométrie, prouver le résultat obtenu (a) Résoudre l équation d inconnue x R : cos x = sin θ (b) Soit x R, montrer que : cos x + sin x = ( cos x π ) 4 (c) Résoudre l équation d inconnue x R : cos x + sin x = sin θ Préciser le résultat obtenu dans le cas particulier θ = 3π 4 (d) Résoudre l équation d inconnue x R : cos x + sin x = cos θ + sin θ Correction p 53 Exercice à préparer Soit θ R 1 (a) Exprimer cos(θ) en fonction de cos θ (b) Exprimer cos(3θ) en fonction de cos θ (c) Exprimer sin(3θ) en fonction de cos θ et sin θ (d) Exprimer cos(5θ) en fonction de cos θ Posons a = cos π 10 (a) Montrer que a > 0 (b) Montrer que : 16a 4 0a + 5 = 0 3 Résoudre (sans utiliser la calculatrice), l équation d inconnue x R : 16x 0x + 5 = 0 4 (a) Montrer que a > (b) Montrer (sans utiliser la calculatrice) que : 5 5 < 8 (c) Déterminer la valeur de a 5 Déterminer les valeurs de sin π 10, cos π 5 et sin π 5 Indications p 39 4
Exercice supplémentaire On pose, pour tout n N, ( π ) u n = cos n ( π ) et v n = sin n 1 Calculer u 0, u 1, u, v 0, v 1 et v (a) Montrer que, pour tout n N, un + 1 u n+1 = On fera attention à bien étudier le signe avant de conclure (b) Montrer que, pour tout n N, (c) Calculer u 3 et v 3 3 Montrer que, pour tout n N, v n+1 = v n ( 1 vn + 1) (u n 1) + v n = 4v n+1 4 Montrer que, pour tout n, u n v n = ( ( n ) + 1)π cos n 5 Montrer que, pour tout n N, (u n + iv n ) n+1 = 1 Indications p 40 5
Chapitre 7 Fonctions cosinus et sinus Complément Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors : x cos(u(x)) est dérivable sur I et a pour dérivée x u (x) sin(u(x)), x sin(u(x)) est dérivable sur I et a pour dérivée x u (x) cos(u(x)) Echauffement : 15 minutes 1 Simplifier les expressions suivantes : ( π A = 4 3 + π ) ( π 3 6 4 π ), 3 B = Résoudre l inéquation d inconnue x R : π 5 + 3π 4 π 5 3π 3 Résoudre l inéquation d inconnue x R : 4 Calculer la dérivée des fonctions suivantes : Indications p 40 0 x + π 3 < π 0 < 3x + π 6 3π f 1 : x cos(x) + sin(3x), f : x cos(x) sin(3x) ( x ) f 3 : x (cos x) 7, f 4 : x sin π 6
Exercice corrigé f : R R 1 Soit x cos ( ) x + π 3 (a) Calculer f(0), f ( ) ( ) ( ) π 6, f π 3 et f π 6 (b) Calculer f et en déduire les variations de f sur l intervalle [ π 3, ] 5π 3 (c) Tracer la courbe représentative de f sur l intervalle [ π 3, ] 5π 3 (d) En utilisant la périodicité de la fonction f, tracer la courbe représentative de f sur l intervalle [ 3π, 3π] (e) Sur le même graphique, tracer la courbe représentative de la fonction cos Comment passe-t-on de la courbe représentative de cos à celle de f? g : R R Soit x cos(x) (a) Calculer g(0), g ( π 4 ) et g ( π ) (b) Calculer g et en déduire les variations de g sur l intervalle [0, π] (c) Tracer la courbe représentative de g sur l intervalle [0, π] (d) Montrer que, pour tout x R, g(x + π) = g(x) (e) En déduire la courbe représentative de g sur l intervalle [ 3π, 3π] Correction p 55 Exercice à préparer Soit f : R R x cos ( ) 5x + π 4 1 (a) Montrer que, pour tout x R, f ( x + π 5 ) = f(x) (b) Comment pourra-t-on, à partir de la courbe représentative de f sur [ 0, π 5 la courbe représentative de f sur [ π, π]? Calculer f(0), f ( ) ( π 5 et f π ) 5 3 Calculer f et en déduire les variations de f sur l intervalle [ π 0, ] 7π 0 4 Tracer la courbe représentative de f sur [ π 0, ] 7π 0 puis sur [ π, π] Indications p 40 Exercice supplémentaire ], obtenir Soient ω R, ϕ ] π, π] f : R R Soit On suppose que la courbe représentative de f est la suivante t cos (ωt + ϕ) : La droite représentée sur cette figure est la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse 0 Le but de cet exercice est de déterminer, par lecture graphique, les valeurs de ω et ϕ 7
1 (a) Calculer f(0) puis donner, avec la précision permise par le graphique, la valeur de f(0) (b) En déduire la valeur de ϕ Première méthode pour la détermination de ω (a) Calculer f (0) puis donner, avec la précision permise par le graphique, la valeur de f (0) (b) En déduire la valeur de ω 3 Seconde méthode pour la détermination de ω (a) Montrer que, pour tout t R, f ( ) t + π ω = f(t) (b) Donner, avec la précision permise par le graphique, une valeur de de T telle que, pour tout t R, on ait f(t + T ) = f(t) (c) En déduire la valeur de ω Indications p 41 8
Chapitre 8 Nombres complexes Echauffement : 40 minutes 1 Simplifier les quantités suivantes : a = 1 4+3i i i, b = +i 1 i, c = 4 + 3i, +i 1 i d = ( i)(1 + 3 i), e = 1 1 i + 1 1 1+ 3 i 7+4i Calculer la partie réelle, la partie imaginaire et le module des nombres complexes suivants : z 1 = (1 + i)(3 8i), z = 3 Calculer le module des nombres complexes suivants : 3 i (1 i), z 3 = ( 3 i) 6 z 1 = ( + i) 4, z = ( 18 i 7), z 3 = 1 + ia b + ia où a, b R 4 Déterminer un argument des nombres complexes suivants : 3 i z 1 = (1 i) 7, z = (1 + i) 5, z 3 = (1 + i 3)(1 + i) 3, z 4 = i( 3 + i) 5 Indications p 41 Exercice corrigé 1 (a) Soit θ R Montrer que : e iθ + e iθ = cos θ et eiθ e iθ i = sin θ (b) Soient p, q R 9
i Montrer que : e ip + e iq = e i p+q cos ( p q ii Déterminer une formule analogue pour e ip e iq (c) Soient p, q R Calculer e ip + e iq et e ip e iq On pose z 1 = e i π 4 + e i π 1 et z = e i π 4 e i π 1 (a) Calculer z 1 et z en fonction de cos ( ( π 1) et sin π 1) (b) Déterminer un argument de z 1 et de z 13π i 3 On pose z 3 = e 15 + e i π 5 et z4 = e i 13π 15 e i π 5 (a) Calculer z 3 et z 4 en fonction de cos ( 8π 15 (b) Déterminer un argument de z 3 et de z 4 4 Soient p, q ] π, π] (a) Montrer que π < p q < π (b) Montrer que e ip + e iq a pour argument : p + q p + q + π si p q [ π, π], sinon (c) Montrer que e ip e iq a pour argument : p + q + π si p q [0, π[, p + q + 3π sinon Correction p 58 Exercice à préparer ) et sin ( 8π 15 ) 1 On pose z 0 = 1 + i Calculer z 0, z 3 0 et z 4 0 On donnera les réponses sous forme algébrique et sous forme exponentielle On considère l équation d inconnue z C : z 4 6z 3 + 18z 4z + 16 = 0 (a) Soit a R, on pose z = a + ia Montrer que : z 4 6z 3 + 18z 4z + 16 = 0 (b) Résoudre l équation d inconnue a R : a 3 3a + a = 0 ) (E) { a 4 3a 3 + 6a 4 = 0 a 3 3a + a = 0 (c) En déduire deux solutions de (E) 3 (a) Montrer que si z C est solution de (E), alors z est solution de (E) (b) En déduire quatre solutions de (E) que l on notera z 1, z, z 3 et z 4 4 Montrer que, pour tout z C : Indications p 41 z 4 6z 3 + 18z 4z + 16 = (z z 1 )(z z )(z z 3 )(z z 4 ) 30
Exercice supplémentaire Soit (z n ) n N une suite de nombres complexes et soit l C On dit que la suite (z n ) n N converge vers l si les suites réelles (Re(z n )) n N et (Im(z n )) n N convergent respectivement vers Re(l) et Im(l) On note alors : l = lim z n n + 1 On pose, dans cette question uniquement, pour tout n N, z n = Montrer que la suite (z n ) n N converge et déterminer sa limite (a) Montrer que, si lim n + z n = 0, alors lim n + z n = 0 (b) Montrer que, pour tout z C, z Re(z) z et z Im(z) z (c) Montrer que, si lim z n = 0, alors lim n + z n = 0 n + ( ) 1 3 3 On pose z 0 = et, pour tout n N, z n+1 = 4 + i z n + 3 3 4 4 i 4 (a) Montrer que, pour tout n N : (b) Montrer que lim z n 1 = 0 n + (c) En déduire lim z n n + Indications p 4 ( ) e iπ/3 n z n = 1 + ( 1 n + i ) (n + i) n 31
Deuxième partie Indications et corrections 3
Chapitre 9 Indications et solutions 91 Résolution d équations et d inéquations Echauffement 1 Solution : x = ab b a (a) Solution : x 1 (b) Solution : x < 1 (c) Remarquer que x 5 < 13 13 < x 5 < 13 Solution : 4 < x < 9 (d) Remarquer que 3 4x 17 4x 3 17 ou 4x 3 17 Solution : x 5 ou x 7 3 (a) Solution : Remarquer que x 14x + 4 = 0 x 7x + 1 = 0 Solution : x = 4 ou x = 3 (b) Remarquer que 3x 1x + 1 = 0 x 4x + 4 = 0 Solution : x = (c) Solution : x = 1 + i ou x = 1 i Exercice à préparer 1 (a) Remarquer que l équation considérée est x (a + d)x + ad bc = 0 et étudier son discriminant Solution : (a d) + 4bc > 0 (b) Appliquer la question précédente à a =, d = 1 et bc = 6 Solution : r 1 = 4 et r = 1 (c) Montrer que, pour tout n N, X n+1 = 4X n et Y n+1 = Y n et utiliser la formule de suites géométriques avec X 0 = 1 et Y 0 = 7 (d) Montrer que, pour tout n N, x n = 3 5 X n + 1 5 Y n et y n = 1 5 Y n 5 X n Solution : x n = 34n + 7( 1) n 5 et y n = 7( 1)n 4 n 5 33
(a) Utiliser le discriminant Solution : b 4ac 0 (b) Remarquer que ar + br + c = 0 (c) Raisonner par identification après avoir simplifié e rx On trouve r = b discriminant est nul Solution : b 4ac = 0 Exercice supplémentaire 1 (a) (b) Raisonner par coefficients indéterminés Solution : a = 1, b = 7, c = 10 (c) Résoudre l équation x 7x + 10 = 0 Solution : x = 1 ou x = ou x = 5 (d) Remarquer que r 3 8r + 17r 10 = 0 (a) Solution : x = + i ou x = i (b) Calculer les dérivées premières et secondes de g et h 9 Puissances et suites géométriques Echauffement 1 Solution : a = 7, b = 8, c = 3 4, d = 9 Solution : A = x 5 (x) 3, B = (xy)9 y 7, C = y, D = y 3 Solution : u n = n et v n = 3 n 1 4 Montrer, en utilisant des inégalités, que, pour tout n N, u n u n+1 et v n v n+1 Exercice à préparer 1 (a) Utiliser les propriétés des puissances a donc le (b) Se ramener au produit d une quantité tendant vers + et d une quantité tendant vers 1 (a) Utiliser les propriétés des puissances (b) Utiliser les propriétés des puissances (c) Simplifier les 6 n (6 n ) 3 n Solution : lim n + 536 n 3 n = 1 5 3 Factoriser le numérateur par 9 n et le dénominateur par 16 n Solution : lim n + ( 1) n + 7 n 3 n 4 n + 6 n+1 = 0 4 (a) Raisonner par récurrence pour montrer que u n+1 0 puis montrer que n n +1 1 (b) Raisonner par récurrence (c) Utiliser le théorème des gendarmes Solution : lim u n = 0 n + 34
Exercice supplémentaire 1 Utiliser les propriétés de l exponentielle et du logarithme Montrer que la limite est égale à la dérivée de x ln(1 + x) en 0 3 (a) Utiliser le résultat précédent en remplaçant x par a n (b) 4 Solution : u n = 1 + 1 n 5 Solution : v n = 1 1 n 93 Récurrences Echauffement 1 Il est inutile de faire une récurrence, il suffit de remarquer que cos(πn + ) 1 (a) Si n est pair, il existe k N tel que n = k et calculer n Si n est impair, il existe k N tel que n = k + 1 et calculer n (b) Raisonner par récurrence Ne pas oublier de montrer que u n+1 est un entier Faire deux cas selon la parité de u n et utiliser la question précédente 3 Raisonner par récurrence 4 (a) Remarquer que f(n) = n (b) Montrer, par exemple, que f(0) > f ( 1 ) Exercice à préparer 1 Raisonner par récurrence (a) Solution : f est décroissante sur ], 1 3] et croissante sur [ 1 3, + [ (b) Remarquer que e 1 < 1 3 Raisonner par récurrence Solution : la suite (u n ) n N est constante égale à 0 4 Passer à la limite dans la définition de (u n ) n N, pour montrer que le 3l = l 5 (a) Raisonner par récurrence (b) Raisonner par récurrence et utiliser la croissance de f sur [0, + [ (c) Utiliser la croissance de (u n ) n N (d) Raisonner par l absurde pour montrer que (u n ) n N est divergente et utiliser la croissance de (u n ) n N pour conclure 6 (a) Raisonner par récurrence et utiliser la croissance de f sur [ 1 3, 0[ (b) Remarquer que f(x) x = x(e 3x 1) (c) Appliquer la question précédente à x = u n (d) Montrer que (u n ) n N est croissante et majorée 7 (a) Utiliser les variations de f (b) Se ramener au cas précédent Solution : lim u n = 0 n + 35
Exercice supplémentaire 1 (a) Calculer f Solution : f est décroissante (b) On sait que 1 e donc 0 ln() 1 (c) Utiliser la décroissance de f et les inégalités précédentes (a) Comme f n est définie que sur [0, 1], il faut prouver par récurrence que, pour tout n N, u n [0, 1] (b) Raisonner par récurrence et appliquer deux fois la fonction f à l inégalité u n u n+1, donc, en changeant deux fois le sens des inégalités (c) Solution : u 0 = 0, u 1 = 1+ln() 1+3 ln() 085, u = ln (3 + ln()) + 0, 3, u 3 = ln ( ) +3 ln ln(3 + ln ) + + ln +1 0, 64 (d) Raisonner par récurrence pour montrer que, pour tout n N, u n u n+ (e) Raisonner par récurrence pour montrer que, pour tout n N, u n+1 u n+3 (f) Raisonner par l absurde Solution : La suite (u n ) n N n est pas monotone 94 Géométrie plane et trigonométrie Echauffement 1 Solution : a = 4, b = 6, c = 3, d =, 5 (a) Solution : ( (b) Se ramener à l équation : (xb ) + ( 1) ) = 5 Solution : 3 (c) Appliquer le théorème de Pythagore Solution : 15 6 (d) Remarquer que cos θ = AB BC AC et sin θ = BC Solution : cos θ = 3, sin θ = 1 et θ = π 6 36
Exercice à préparer 1 (a) i Solution : AD = k1 AB, k1 R ii Solution : AE = k AC, k R iii Solution : DE = k 3 BC, k3 R (b) Supposer a 0 et en déduire que A, B, C sont alignés, ce qui est absurde (c) Montrer que ( k 1 + k 3 ) AB + (k k 3 ) AC = 0 (d) Appliquer deux fois le théorème de Thalès (a) i Remarquer que GA = G0 + OA et raisonner de même pour les autres points ii Remarquer que MA = MG + GA et raisonner de même pour les autres points i Montrer que GA + GB = GI ii Montrer que GI et IC sont colinéaires (b) Remarquer que (IC) est la médiane issue de C et raisonner de même pour les autres points Exercice supplémentaire 1 (a) Solution : e iα (b) Solution : ( cos(α), sin(α)) (c) Remarquer que l angle entre I et u est α θ Solution : e i(α θ) (d) Solution : ( cos(α θ), sin(α θ)) (a) Solution : 3 (b) Calculer l argument de l affixe de v Solution : π 6 (a) Solution : (1, 3) (b) Calculer u + v Solution : 0 95 Dérivation et intégration Echauffement 1 (a) Solution : a = (ex ) e y, b = 1 + e x, c = (ex ) e y (b) Solution : a = ln(x) + 5 ln(y), b = ln(y), c = ln(x)+ ln(y) ln(x) (c) Pour b, étudier et simplifier d abord (e x + e x ) e x (e x + e 3x ) Solution : pour x R, a = ln(3) + x ; pour x R, b = ln() ; pour x R \ {0}, c = 1 x 4 Pour f, remarquer que f(x) = x 4 Solution : f (x) = 4 x, g (x) = ( 1 5 x + ln(x))ex, h (x) = (3(x +1) ln(x +1) x)e 3x (ln(x +1)) (x +1) 37
(b) Une primitive de x e (x 1)/ est x e (x 1)/, une primitive de x x+1 est x (x+1) 4 et une primitive de x (x ) 4 + 3 a (a) Mettre b Solution : a = c = 1, b = 1 (x )5 est x 5 + 3 x (b) Sur ]1, + [, une primitive de x 1 1 x 1 est x ln(x 1), une primitive de x (x 1) est x 1 1 x 1, une primitive de x Solution : I = ln 4 3 + 11 3 (a) Solution : f (x) = ( 1x ) e (x), f (x) = (4x x + x ) 3 e (x) x 3 = ) xe(x f (x) et qu une primitive de x xe (x ) (b) Etudier les fonctions y y y 1 et y y + y 1 (c) Se ramener à une équation du second degré et, en utilisant la question précédente, chercher une solution X 1 Solution : X = y + y 1 (d) Se ramener à la question précédente en posant X = e x Solution : x = ln(y + y 1) (a) Solution : f 1 (x) = x 1 38 4 Exercice à préparer 1 (a) Solution : f est strictement croissante sur ], 1[, sur ]1, [ et sur ], + [, lim x f(x) = 0, lim x + f(x) = + et on obtient la courbe suivante : Solution : x 0 f(t) dt = (e(x 1)/ e 1/ ) si x 1, x 0 f(t) dt = 1 e 1/ + (x+1) si 1 < x, x 0 f(t) dt = 1 4 e 1/ + (x )5 5 + 3 x si x > x 1 + (x 1) + c (x 1) au dénominateur commun (x 3 1)3 3 (x 1) = (x 3 1) 3 est x 1 (x 1) (b) Remarquer que : e(x) (x 1) est x e (x) Solution : J = e 4 e Exercice supplémentaire 1 (a) Etudier la fonction : x ex + e x
(b) Remarquer que I = f(3) f() Solution : I = ln 3 + + 3 1 (c) Remarquer que dt = f() f(x) et que lim f(x) = 0 x t 1 x 1 Solution : ln( + 3) 96 Formules de trigonométrie Echauffement 1 (a) Solution : π 1 (b) Utiliser les formules de trigonométrie pour avoir : cos π 1 = cos π 3 cos π 4 + sin π 3 sin π 4 et sin π 1 = sin π 3 cos π 4 sin π 4 cos π 3 Solution : cos π (1 + 3) 1 = 4 (a) Solution : 7π 1 et sin π 1 = ( 3 1) 4 (b) Utiliser les formules de trigonométrie pour avoir : cos 7π 1 = cos π 3 cos π 4 sin π 3 sin π 4 et sin 7π 1 = sin π 3 cos π 4 + sin π 4 cos π 3 Solution : cos 7π (1 3) 1 = et sin 7π (1 + 3) 4 1 = 4 3 Soit θ R (a) Montrer que le discriminant est = ( cos θ) Solution : 1 + cos θ et 1 cos θ (b) Solution : Pour θ = 0 : et 0, pour θ = π 3 : 3 et 1, pour θ = π 3 θ = π 6 : + 3 et 3 Exercice à préparer 1 (a) Remarquer que cos(θ) = cos(θ + θ) et que sin θ = 1 cos θ Solution : cos θ 1 (b) Remarquer que cos(3θ) = cos(θ + θ) Solution : 4 cos 3 θ 3 cos θ (c) Remarquer que sin(3θ) = sin(θ + θ) Solution : sin θ(4 cos θ 1) (d) Remarquer que cos(5θ) = cos(3θ + θ) Solution : cos θ(16 cos 4 θ 0 cos θ + 5) (a) Remarquer que 0 π 10 < π (b) Remarquer que cos ( 5 π 10) = 0 et utiliser le résultat de 1d : 3 et 1, pour 39
3 Calculer le discriminant associé à cette équation Solution : x = 5 ± 5 8 4 (a) Remarquer que 0 π 10 < π 4 (b) Elever au carré chacun des deux membres 5± (c) Comme a > 0, on a a = 5 8 et utiliser les questions précedentes pour choisir le signe 5 + 5 Solution : 8 5 Remarquer que sin π 10 = 1 cos π 10, cos π ( 5 = cos π ) et sin π 1 10 5 = cos π 5 Solution :sin π 10 = Exercice supplémentaire 3 5, cos π 8 5 = 1 + 5 4 et sin π 5 = 5 5 8 1 Solution : u 0 = 1, u 1 = 0, u =, v 0 = 0, v 1 = 1, v = (a) Remarquer que u n = cos ( ) π et en déduire, en utilisant les formules de trigonométrie, que u n = u n+1 n+1 1 (b) Remarquer que v n = sin ( ) π et que n+1 un = 1 vn (c) Utiliser les formules obtenues aux questions précédentes + 1 Solution : u 3 = et v 3 = ( + ) 3 Remarquer que u n + v n = 1 4 Remarquer que u n v n = ( 5 Remarquer que u n + iv n = e iπ/n 97 Fonctions cosinus et sinus Echauffement 1 Solution : A = 39π 1, B = 3 6 Solution : π 3 x < π 6 3 Solution : 4π 9 x < π 18 cos ( π n ) sin ( π n ) ) 4 Solution : f 1(x) = sin(x) + 3 cos(3x), f (x) = sin(x) sin(3x) + 3 cos(x) cos(3x), f 3(x) = 7 sin(x)(cos(x)) 6, f 4(x) = 1 π cos ( x π ) Exercice à préparer 1 (a) Utiliser la π-périodicité du cosinus (b) Solution : On obtient la courbe représentative de f sur [ π, π] à partir de la courbe représentative de f sur [ ] 0, π 5 en effectuant des translations horizontales de multiples de π 5 40
Solution : f(0) =, f ( ) π 5 =, f ( ) π 5 = 3 L étude du signe de f sur [ π 0, ] 7π 0 se déduit du signe du sinus sur [0, π] Solution : f (x) = 5 sin ( ) [ 5x + π 4, f est croissante sur π 0, ] [ 3π 0 et décroissante sur 3π 0, ] 7π 0 4 Exercice supplémentaire 1 (a) Solution : Calculer f(0) = cos(ϕ) et par lecture graphique f(0) 0, 87 (b) On a cos(ϕ) 3 Solution : ϕ = π 6 (a) Solution : f (0) = ω sin(ϕ) et par lecture graphique (pente de la tangente à l origine) f (0) 15 (b) On a ω sin(ϕ) = ω sin π 6 3 Solution : ω = 3 3 (a) Utiliser la π-périodicité du cosinus (b) Solution : T, 1 (c) Solution : ω = π T = 3 98 Nombres complexes Echauffement 1 Pour e, on peut utiliser la valeur de d pour choisir le dénominateur commun Solution : a = 3i, b = 9+13i 10, c = 13 9i 5, d = 7 3+i + i, e = Pour z 3, passer par la forme trigonométrique Solution : Re(z 1 ) = 19, Im(z 1 ) =, z 1 = 365, Re(z ) = 1 5, Im(z ) = 3 5, z = 10 5, Re(z 3 ) = 64, Im(z 3 ) = 0, z 3 = 64 3 Solution : z 1 = 5, z = 5, z 3 = 1+a b +a 4 Solution : arg(z 1 ) = π 4, arg(z ) = 11π 1, arg(z 3) = π 1, arg(z 4) = π 3 Exercice à préparer 1 Solution : z 0 = i = e i π, z 3 0 = i = ee i 3π 4, z 4 0 = 4 = 4e iπ (a) Remplacer z par a + ia et écrire une équation pour la partie réelle et une équation pour la partie imaginaire (b) Se ramener, dans le cas où a 0 à une équation du second degré Solution : a = 0 ou a = 1 ou a = (c) Regarder, parmi les trois valeurs précédentes, celles qui vérifient a 4 3a 3 +6a 4 = 0 Solution : 1 + i et + i 3 (a) Calculer le conjugué de z 4 6z 3 + 18z 4z + 16 (b) Solution : 1 + i, 1 i, + i et i 4 Remarquer que, (z (1 + i))(z (1 i)) = ((z 1) i)((z 1) + i) = (z 1) i et raisonner de même pour l autre terme 41
Exercice supplémentaire 1 Calculer Re(z n ) et Im(z n ) Solution : lim z n = i n + (a) Utiliser z n = Re(z n ) + Im(z n ) (b) Utiliser z = Re(z) + Im(z), Re(z) Re(z) + Im(z) et Im(z) Re(z) + Im(z) (c) Appliquer l inégalité de la question précédente à z n et utiliser le théorème des gendarmes 3 (a) Raisonner par récurrence (b) Montrer que z n 1 = 1 (c) Solution : lim z n = 1 n + n 4
Chapitre 10 Corrections 101 Résolution d équations et d inéquations 1 (a) L équation est définie pour 6x 3 0, c est-à-dire x 1 Soit x 1, on a : 3x+1 6x 3 = 7 6 6(3x + 1) = 7(6x 3) 18x + 6 = 4x + 1 60x = 15 x = 15 60 = 1 4 Donc l équation admet pour solution : x = 1 4 (b) L inéquation est définie pour 6x 3 0, c est-à-dire x 1 Méthode 1 : Soit x 1, on a : { 3x+1 6(3x + 1) 7(6x 3) si 6x 3 > 0 6x 3 7 6 { 6(3x + 1) 7(6x 3) si 6x 3 < 0 60x 15 si x > 1 { 60x 15 si x < 1 x 1 4 si x > 1 x 1 4 si x < 1 1 4 x < 1 Donc l inéquation admet pour solution : [ 1 x 4, 1 [ Méthode : Soit x 1, on a : 3x+1 6x 3 7 6 3x+1 6x 3 + 7 6 0 (3x+1) 6(x 1) + 7(x 1) 6(x 1) 0 0x 5 6(x 1) 0 5(4x 1) 6(x 1) 0 4x 1 x 1 0 43
On a le tableau de signes suivant : 1 x 4 Donc l inéquation admet pour solution : 1 4x 1 0 + + x 1 0 + 4x 1 x 1 + 0 0 + x [ 1 4, 1 [ (c) L inéquation est définie pour 6x 3 0, c est-à-dire x 1 Soit x 1, on a : ( ) 16 3x+1 4 3x+1 6x 3 Or, on a le tableau de signes suivant : Donc : ( 3x+1 6x 3) 16 6x 3 3x + 1 4 6x 3 1 x 1 3 3x + 1 0 + + 6x 3 0 + (3x + 1) 4(6x 3) si x 1 3 (3x + 1) 4(6x 3) si 1 3 < x < 1 (3x + 1) 4(6x 3) si x > 1 1x 13 si x 1 3 7x 11 si 1 3 < x < 1 13 1x si x > 1 x 13 1 si x 1 3 Or 1 3 < 1 < 13 1 et 1 3 < 11 7 < 1, ainsi : ( 3x+1 6x 3 x 11 7 si 1 3 < x < 1 13 1 x si x > 1 ) 16 x 1 3 ou 1 3 < x 11 7 Donc l inéquation admet pour solution : ] x, 11 ] ou 7 [ [ 13 1, + ou 13 1 x (a) Soit x R, on a : f (x) = ax + b Ainsi : si a > 0, f est négative sur ] ] [, b a et positive sur b a, + [ Donc f est décroissante sur ] ] [, b a et croissante sur b a, + [ D où, pour tout x ] ] (, b a, f(x) f b ) [ a et, pour tout x b a, + [, f(x) f ( ) b a Ainsi, pour tout x R, f(x) f ( ) b a Donc la courbe représentative de f admet un minimum au point d abscisse x = b a 44
si a < 0, f est positive sur ] ] [, b a et négative sur b a, + [ Donc f est croissante sur ] ] [, b a et décroissante sur b a, + [ D où, pour tout x ] ] (, b a, f(x) f b ) [ a et, pour tout x b a, + [, f(x) f ( ) b a Ainsi, pour tout x R, f(x) f ( ) b a Donc la courbe représentative de f admet un maximum au point d abscisse x = b a Dans tous les cas, la courbe représentative de f admet un extremum au point d abscisse x = b a (b) Soit x R, on a : ( f(x) = ax 1 + b ax + c ) ax Or : Ainsi : et ( lim 1 + b x ± ax + c ) ax = 1 { + si a > 0 lim f(x) = x + si a < 0, { + si a > 0 lim f(x) = x si a < 0 (c) i On a a > 0 et b a = 1 donc la courbe représentative de f admet un minimum au point d abscisse x = 1 et ce minimum vaut f(1) = 0 Il s agit donc de la courbe f 1 ii On a a < 0 et b a = 1 donc la courbe représentative de f admet un maximum au point d abscisse x = 1 et ce minimum vaut f(1) = 0 Il s agit donc de la courbe f 3 iii On a a > 0 et b a = 1 donc la courbe représentative de f admet un maximum au point d abscisse x = 1 et ce minimum vaut f( 1) = 0 Il s agit donc de la courbe f 6 iv On a a > 0 et b a = 1 donc la courbe représentative de f admet un maximum au point d abscisse x = 1 et ce minimum vaut f( 1) = 1 Il s agit donc de la courbe f 5 v On a a > 0 et b a = 1 donc la courbe représentative de f admet un maximum au point d abscisse x = 1 et ce minimum vaut f( 1) = 1 Il s agit donc de la courbe f 7 10 Puissances et suites géométriques 1 Soit n N, on a : u n = 1 n = 1 Ainsi la suite (u n ) n N est constante égale à 1 Donc : lim u n = 1 n + 45
Soit n N, on a : u n = ( 1) n { 1, 1} Donc la suite (u n ) n N est bornée Ainsi, si elle admet une limite, cette limite est finie Supposons que lim u n = l R On a, pour tout n N, u n+1 = u n, donc par passage n + à la limite, l = l, d où l = 0 De plus, on a, pour tout n N, u n = 1 d où l = 1 On a donc 0 = 1 ce qui est absurde Donc (u n ) n N n a pas de limite en + 3 (a) Soit n N, on a : lim u n = 1 Or, n + u n+1 u n = x n+1 x n = x n ( x 1) 0, car 0 x < 1 Donc la suite ( u n ) n N est décroissante (b) On a, pour tout n N, u n 0 Donc la suite ( u n ) n N est minorée par 0 (c) La suite ( u n ) n N est décroissante et minorée donc est convergente (d) Supposons l 0, on a, pour tout n N : Donc, en faisant tendre n vers +, on a : u n+1 = x n+1 = x x n = x u n l = x l Or l 0, donc, x = 1 ce qui contredit l hypothèse x < 1 (e) On a donc lim u n = 0 n + Or, pour tout n N, on a : u n u n u n De plus, lim u n = lim u n = 0 n + n + Donc, d après le théorème des gendarmes, 4 (a) Soit n N, on a : lim u n = 0 n + u n+1 u n = x n+1 x n = x n ( x 1) 0, car x > 1 Donc la suite ( u n ) n N est croissante lim u n = l, ainsi, n + (b) i Soit n N On considère la fonction définie, pour tout x [1, + [, par f(x) = x n n(x 1) 1 La fonction f est dérivable sur R et on a, pour tout x [1, + [ : f (x) = nx n 1 n = n(x n 1 1) 0 Donc f est croissante sur [1, + [ Ainsi, pour tout x [1, + [, f(x) f(1), or f(1) = 0 donc, pour tout x [1, + [, f(x) 0 On a donc x n n(x 1) 1 0 Donc : u n n(x 1) + 1 46
ii Comme x 1 > 0, on a : lim n(x 1) + 1 = + n + Donc, d après le théorème de comparaison des limites : lim u n = + n + (c) i Soit n N, on a : u n = x n Donc, d après la question précédente appliquée à x > 1, on a : lim u n = + n + ii Supposons que la suite (u n ) n N admette une limite en + Alors, comme lim u n = +, on a lim u n = + ou n + n + Si lim u n = +, alors lim u n+1 = + et, comme x < 0, n + n + lim xu n = n + Donc, comme pour tout n N, u n+1 = xu n, on a, par passage à la limite : + = ce qui est absurde Si lim u n =, alors lim u n+1 = et, comme x < 0, lim xu n = n + n + n + + Donc, comme pour tout n N, u n+1 = xu n, on a, par passage à la limite : = + ce qui est absurde Donc la suite (u n ) n N n a pas de limite en + 103 Récurrences 1 (a) Pour n = 0, on a v 0 = 1 0 Soit n N, supposons que v n 0 On a v n+1 = (n + 1)v n, donc, comme n + 1 0 et v n 0, on a v n+1 0 On a donc prouvé par récurrence que, pour tout n N, v n 0 (b) Soit n N, on a : Donc la suite (v n ) n N est croissante v n+1 v n = (n + 1)v n v n = nv n 0 (c) Pour n = 0, on a v 0 = 1 0 Soit n N, supposons que v n n On a v n+1 = (n + 1)v n, ainsi : Si n 1, comme v n n 1, on a v n+1 n + 1 Si n = 0, comme v 0 = 1 1, on a v n+1 n + 1 Dans tous les cas, on a v n+1 n + 1 On a donc prouvé par récurrence que pour tout n N, v n n (d) Comme lim n = +, on a, d après le théorème de comparaison des limites : n + (e) Pour n = 1, on a v 1 = 1v 0 = 1 lim v n = + n + 47
Soit n N, supposons que v n = 1 3 n On a alors : v n+1 = (n + 1)v n = v n (n + 1) = 1 3 n (n + 1) On a donc prouvé par récurrence que pour tout n N, (a) Soit x R, f n(x) = nxn 1 e x + x n ( e x ) n! Donc : (b) Comme f n est une primitive de f n, on a : (c) On a : u 0 = 1 0 1 0 v n = 1 3 n = nxn 1 e x xn e x = xn 1 e x e x n! n! (n 1)! xn = f n 1 (x) f n (x) n! f n = f n 1 f n (d) Soit n N, comme f n = f n 1 f n, on a : Donc : Ainsi : 1 0 f n(x) dx = [f n (x)] 1 0 = e 1 n! e x dx = [ e x] 1 0 = e 1 ( 1) = 1 e 1 f n(x) dx = 1 0 e 1 n! f n 1 (x) dx = u n 1 u n u n = u n 1 1 en! 1 0 f n (x) dx (e) Soit n N, comme 1 en! 0, on a, d après la question précédente : Donc la suite (u n ) n N est décroissante u n u n 1 (f) Soient n N et x [0, 1], on a : xn e x 0, donc n! Ainsi pour tout n N, u n 0 1 0 e x x n dx 0 n! (g) La suite (u n ) n N est décroissante et minorée, elle est donc convergente (h) Soient n N et x [0, 1], comme 0 x n 1 et 0 e x 1, on a : Donc, comme 1 0 x n e x 1 n! n! 1 n! dx = 1 n!, on a pour tout n N : u n 1 n! 48
(i) On a, pour tout n N : Or d après 1, gendarmes : lim n! = +, donc lim n + 0 u n 1 n! n + 1 n! lim u n = 0 n + 104 Géométrie plane et trigonométrie 1 (a) On a x A x B donc A B ainsi la droite (AB) est bien définie On a x A x B donc la droite (AB) n est pas verticale = 0 Ainsi, d après le théorème des (b) Comme A et B sont des points de la droite (AB), on a y A = ax A + b et y B = ax B + b En soustrayant ces deux égalités, on a y A y B = a(x A x B ) Et comme x A x B, on obtient : a = y A y B x A x B (c) On a donc, en réinjectant la valeur précédente : y A = y A y B x A x B x A + b Ainsi b = y A y A y B x A = y A(x A x B ) (y A y B )x A x A x B x A x B Soit D la droite passant par A et dirigée par u (a) Comme x 0 0, on a u 0 donc la droite D est bien définie On a x 0 0 donc la droite D n est pas verticale (b) Soit B le point tel que AB = u, alors D = (AB) De plus, x B x A = x 0 et y B y A = y 0 Donc, d après les questions précédentes, a = y A y B = x Ay B x B y A x A x B = y 0 = y 0 x A x B x 0 x 0 (c) En appliquant les résultats précédents, on a : b = x Ay B x B y A x A x B = x A(y 0 + y A ) (x 0 + x A )y A x 0 = x 0y A x A y 0 x 0 3 (a) Si x 0 < 0 comme u est un vecteur directeur de D de coordonnées ( x 0, y 0 ) et x 0 > 0, on peut, quitte à changer u en u, se ramener au cas où x 0 > 0 (b) (c) Le vecteur u de coordonnées (cos θ, sin θ) est un vecteur directeur de D De plus, d après la question b, la pente de la droite D est a = y0 x0 = sin θ cos θ 49
4 (a) i La pente de la droite D est : a = y 0 x 0 = 3 3 = 3 On a b = 3 3 3 3 = 5, donc l équation réduite de D est : y = 3x 5 On a sin θ cos θ = a = 3, donc sin θ = 3 cos θ Or cos θ + ( 3 cos θ) = 1, ainsi cos θ = 1 4 De plus, θ ] π, [ π 1, donc cos θ > 0, ainsi, cos θ = De plus a > 0, donc θ > 0, on a donc : θ = π 3 ii La pente de la droite D est : On a b = a = y 0 = 1 3 = x 0 3 3 3 + 3 3 = 3, donc l équation réduite de D est : y = 3 3 x + 3 On a sin θ cos θ = a = 3 3, donc sin θ = 3 3 cos θ Or cos θ + ( 3 3 cos θ) = 1, ainsi cos θ = 3 4 De plus, θ ] π, [ 3 π, donc cos θ > 0, ainsi, cos θ = De plus a < 0, donc θ < 0, on a donc : θ = π 6 iii La pente de la droite D est : a = y A y B x A x B = 5 3 3 8 = = 1 On a b = D est : 3 3 8 5 3 8 = 9 10 y = x + = =, donc l équation réduite de On a sin θ cos θ = a = 1, donc sin θ = cos θ Or cos θ + cos θ = 1, ainsi cos θ = 1 De plus, θ ] π, [ π, donc cos θ > 0, ainsi, cos θ = De plus a > 0, donc θ > 0, on a donc : θ = π 4 50
iv La pente de la droite D est : On a b = a = 0 6 3 + 3 = 6 3 = 3 3 = 3 36 + 30 = 6 3 3 + 3 = 3, donc l équation réduite de D est : 3 y = 3x + 3 On a sin θ cos θ = a = 3, donc sin θ = 3 cos θ Or cos θ + ( 3 cos θ) = 1, ainsi cos θ = 1 4 De plus, θ ] π, [ π 1, donc cos θ > 0, ainsi, cos θ = De plus a < 0, donc θ < 0, on a donc : θ = π 3 ( (b) i Le vecteur (cos θ, sin θ) est un vecteur directeur de D, or (cos θ, sin θ) = (1, 1) Ainsi (1, 1) est un vecteur directeur de D On a a = 1 1 + 11 = 1 et b = = 3, donc D a pour équation : y = x + 3 1 1 ( 3 ii Le vecteur (cos θ, sin θ) est un vecteur directeur de D, or (cos θ, sin θ) = 1, ) = ), 1 = ( 3, 1) Ainsi ( 3, 1) est un vecteur directeur de D On a a = 1 3 = et b = 6 3 + 3 = 8, donc D a pour équation : 3 3 3 y = 3 3 x + 8 105 Dérivation et intégration 1 (a) On a : pour x <, f (x) = 1 > 0, donc f est strictement croissante sur ], ], pour x >, f (x) = x 7 > 4 7 > 0, donc f est strictement croissante sur ], + [ De plus : et lim f(x) = x On obtient donc la courbe suivante : lim x x =, lim f(x) = lim x + x + x 7 x + 4 = + 51
(b) On a : si x : x x [ t t f(t) dt = 0 0 dt = 4 ]x = x 0 4, si x > : x 0 f(t) dt = 0 f(t) dt + x f(t) dt = t 0 dt + x (t 7 t + 4) dt [ ] [ ] x t = t 4 + 3 3 7t 4 + 4t 0 = 1 + x3 3 7x 4 + 4x 8 3 + 7 8 = x3 3 7x 4 + 4x 8 3 (a) Soient a, b R on a : 1+ a x + 1 + b (x + 1)(x 1) + a(x 1) + b(x + 1) = = x + (a + b)x 1 a + b x 1 (x + 1)(x 1) x 1 Or : { { { a + b = 1 a = 1 b a = 1 a + b = 6 b = 6 b = 3 Ainsi a = et b = 3 conviennent (b) On a : 3 (a) Soit x R +, on a : I = 5 dx x x 6 = 3 5 3 3 x 1 dx x 1 1 + = x+1 [x + ln(x + 1) + 3 ln(x 1)] 5 3 = 5 + ln 6 + 3 ln 4 3 ln 4 3 ln = + ln 6 + ln 4 3 ln = + ln 6 4 3 = + ln 18 f (x) = x ln x + x 1 = x ln x + x x 5
On remarque donc que : sin(π + θ) = sin θ 53 (b) On a : J = e x ln x dx 1 = e f (x) x 1 dx = 1 e [ 1 (f (x) ] x) dx e = 1 f(x) x ( 1 ) = 1 f(e) e f(1) + 1 ( ) = 1 e e 0 + 1 = e +1 4 106 Formules de trigonométrie 1 (a) On a la figure suivante : On remarque donc que : De plus, on a : cos(π θ) = cos θ cos(π θ) = cos π cos θ + sin π sin θ = ( 1) cos θ + 0 sin θ = cos θ (b) On a la figure suivante :
De plus, on a : sin(π + θ) = sin π cos θ + cos π sin θ = 0 cos θ + ( 1) sin θ = sin θ (c) On a : et : cos π ( 3 = cos π π ) = cos π 3 3 = 1, sin 7π ( 6 = sin π + π ) = sin π 6 6 = 1 (d) On a la figure suivante : On remarque donc que : ( π ) cos θ = sin θ De plus, on a : ( π ) cos θ = cos π cos θ + sin π sin θ = 0 cos θ + 1 sin θ = sin θ (e) La figure précédente permet de remarquer que : ( π ) sin θ = cos θ De plus, on a : ( π ) sin θ = sin π cos θ cos π sin θ = 1 cos θ 0 sin θ = cos θ (a) Soit x R, on a : cos x = sin θ cos x = cos ( π θ) x = ± ( π θ) + kπ, k Z Donc les solutions sont : ( π ) x = ± θ + kπ, k Z (b) On a : ( cos x π ) = (cos π 4 4 cos x + sin π ) 4 sin x = ( ) cos x + sin x = cos x+sin x 54
(c) Soit x R, on a : cos x + sin x = = sin θ cos ( ) x π 4 = sin θ cos ( ) x π 4 = sin θ x π 4 = ±θ + kπ, k Z, d après la question précedente Donc les solutions sont : x = π ± θ + kπ, k Z 4 Dans le cas particulier θ = 3π 4, les solutions sont : x = π + kπ et x = π + kπ, k Z (d) Soit x R, on a : cos x + sin x = cos θ + sin θ cos ( ) ( ) x π 4 = cos θ π 4 cos ( ) ( ) x π 4 = cos θ π 4 x π 4 = ± ( ) θ π 4 + kπ, k Z Donc les solutions sont : x = π ( 4 ± θ π ) + kπ, k Z 4 107 Fonctions cosinus et sinus 1 (a) f(0) = cos ( ) π 3 = 1, f ( ) ( π 6 = cos π 6 + ) ( π 3 = cos π ) = 0, f ( ) ( π 3 = cos π 3 + ) π 3 = cos (0) = 1, f ( ) ( π 6 = cos π 6 + ) ( π 3 = cos π ) 6 = 3 (b) La dérivée de x x + π 3 est x 1, donc, pour tout x R : ( f (x) = sin x + π ) 3 Si x [ π 3, ] 5π 3, alors x + π 3 Soit x [ π 3, ] 5π 3, on a : [0, π] f (x) 0 sin ( ) x + π 3 0 x + π 3 [0, π] x [ π 3, ] π 3 Ainsi f est décroissante sur [ π 3, ] [ π 3 et croissante sur π 3, ] 5π 3 (c) On obtient donc la courbe suivante : 55
(d) On a, pour tout x R : f(x + π) = cos (x + π ) ( π ) 3 + π = cos = f(x) 3 Donc f est π-périodique L intervalle [ π3, ] 5π3 est de longueur π, donc on obtient la courbe représentative de f sur un intervalle quelconque en partant de celle sur [ π3, ] 5π3 et en effectuant des translations horizontales de multiples de π On obtient donc la courbe suivante : (e) On a : On remarque que l on passe de la courbe représentative de cos à celle de f par une translation horizontale de π3 56
57 (a) g(0) = cos(0) = 1, g ( ) ( π 4 = cos π ) = 0, g ( ) π = cos (π) = 1 (b) La dérivée de x x est x, donc, pour tout x R : g (x) = sin (x) Si x [0, π], alors x [0, π] Soit x [0, π], on a : g (x) 0 sin (x) 0 x [0, π] x [ ] 0, π Donc g est décroissante sur [ 0, π ] et g est croissante sur [ π, π] (c) On obtient donc la courbe suivante : (d) Soit x R, on a : g(x + π) = cos((x + π)) = cos(x + π) = cos(x) = g(x) (e) On obtient la courbe représentative de g sur un intervalle quelconque en partant de celle sur [0, π] (qui est de longueur π) et en effectuant des translations horizontales de multiples de π On a donc :
108 Nombres complexes 1 (a) On a : et e iθ + e iθ e iθ e iθ i = = cos θ + i sin θ + cos θ i sin θ cos θ + i sin θ cos θ + i sin θ i (b) i On a, d après la question précédente : ( ) e i p+q p q cos = e i p+q Donc : ( ) e i p+q p q cos = e i p+q p q +i ii On a, d après la question précédente : ( ) ie i p+q p q sin = e i p+q (e i p q + e + e i p+q (e i p q e = cos θ, = sin θ p q i ) i p q = e ip + e iq p q i ) Donc : ( ) ie i p+q p q sin = e i p+q p q +i e i p+q i p q = e ip e iq (c) On a : Ainsi : Or, e i p+q = 1, donc : De même : e ip e iq = ie i p+q sin e ip + e iq = ei p+q ( p q ) ( ) p q cos ( ) e ip + e iq = p q cos ( ) ( ) e ip e iq p+q = p q iei sin = p q sin (a) En appliquant les formules précédentes : z 1 = cos ( π 4 π 1 ) = cos π 1, et ( π 4 z = sin π ) 1 = sin π 1 58
(b) D après la question 1b, z 1 = e i π 4 + π 1 cos ( π 4 π 1 ) = cos π 1 ei π 6 = z1 e i π 6 Ainsi : arg(z 1 ) = π 6 De même, z = ie i π 4 + π 1 sin ( π 4 π 1 ) = i sin π 1 ei π 6 = z e i π 6 +i π = z e i π 3 Ainsi : arg(z ) = π 3 3 (a) En appliquant les formules précédentes : et (b) D après la question 1b, ( 13π 15 z 3 = cos π ) ( 5 = cos 8π ) ( ) 8π = cos, 15 15 ( 13π 15 z 4 = sin π ) ( 5 = sin 8π ) ( ) 8π = sin 15 15 ( z 3 = e i 13π 15 + π 5 13π 15 cos π ) ( ) 5 8π = cos e i π 3 = z3 e i π 3 15 Ainsi : De même, Ainsi : arg(z 3 ) = π 3 z 4 = ie i 13π ( ) 15 + π 5 13π 15 sin 5 = i sin ( ) 8π 15 e i π 3 = i z 4 e i π 3 = z 4 e i π 3 i π = z 4 e i 7π 6 = z 4 e i 5π 6 arg(z 4 ) = 5π 6 4 (a) On a π < p π et π q < π, donc, en sommant ces inégalités, π < p q < π (b) Si p q [ π, π], alors p q [ π, π ], donc cos ( ) p q 0 Ainsi, e ip + e iq = cos ( ) p q D où, d après 1b : e ip + e iq = e i p+q cos ( ) p q Donc e ip + e iq a pour argument p + q = e ip + e iq e i p+q 59
Si p q [ π, π], alors p q ] π, π[\[ π, π ], donc cos ( ) p q < 0 Ainsi, e ip + e iq = cos ( ) p q D où, d après 1b : e ip + e iq = e i p+q cos ( ) p q = e ip + e iq e i p+q = e iπ e ip + e iq e i p+q = e ip + e iq e i p+q+π Donc e ip + e iq a pour argument p + q + π (c) Si p q [0, π[, alors p q [0, π[, donc sin ( ) p q 0 Ainsi, e ip + e iq = sin ( ) p q D où, d après 1b : e ip e iq = ie i p+q sin ( ) p q = i e ip e iq e i p+q = e i π e ip e iq e i p+q = e ip e iq e i p+q+π Donc e ip e iq a pour argument p + q + π Si p q [0, π[, alors p q ] π, 0[, donc sin ( ) p q < 0 Ainsi, e ip e iq = sin ( ) p q D où, d après 1b : e ip e iq = ie i p+q sin ( ) p q Donc e ip e iq a pour argument p + q + 3π = i e ip e iq e i p+q = e i 3π e ip e iq e i p+q = e ip e iq e i p+q+3π 60